計算機圖形學(xué)及cad技術(shù)講義——曲線曲面基本理論(共39頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三講 曲線曲面基本理論1概述 (a) 飛機 (b) 船舶 (c) 汽車圖 1-1 曲線曲面造型應(yīng)用曲線曲面造型(Surface Modeling)是計算機輔助幾何設(shè)計(Computer Aided Geometric Design, CAGD)和計算機圖形學(xué)的一項重要內(nèi)容，主要研究在計算機系統(tǒng)中如何用曲線曲面表示、設(shè)計、顯示和分析物體模型。它在航空航天、船舶、飛機、汽車等行業(yè)得到廣泛應(yīng)用(如圖1-1所示)。由Coons、Bezier等大師于二十世紀(jì)六十年代奠定其理論基礎(chǔ),經(jīng)過三十多年的發(fā)展，曲線曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理B樣條曲線曲面(Rational B-spli

2、ne Surface)參數(shù)化特征設(shè)計和隱式代數(shù)曲線曲面(Implicit Algebraic Surface)表示為主體的兩類方法，且以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)手段為幾何理論體系。1.1曲線曲面表示曲線曲面可以用三種形式進行表示，即顯式、隱式和參數(shù)表示，三種形式表示如下。顯式表示：形如的表達式。對于一個平面曲線而言，顯式表達式可寫為。在平面曲線方程中，一個值與一個值對應(yīng)，所以顯式方程不能表示封閉或多值曲線，例如，不能用顯式方程表示一個圓。隱式表示：形如的表達式。如一個平面曲線方程，隱式表達式可寫為。隱式表示的優(yōu)點是易于判斷函數(shù)是否大于、小于或等于零

3、，也就易于判斷點是落在所表示曲線上或在曲線的哪一側(cè)。參數(shù)表示：形如，的表達式，其中t為參數(shù)。即曲線上任一點的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。如平面曲線上任一點可表示為，如圖1-2(a)所示；空間曲線上任一三維點可表示為，如圖1-2(b)所示。 (a) 平面曲線 (b)空間曲線圖1-2曲線參數(shù)表示最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點為、的直線段參數(shù)方程可表示為； (1-1)圓在計算機圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為 (1-2)其參數(shù)形式可表示為 (1-3)計算機圖形學(xué)中通常用參數(shù)形式描述曲線曲面，因為參數(shù)表示的曲線曲面具有幾何不變性等優(yōu)點，其優(yōu)勢主要表現(xiàn)在：(1) 可以滿足

4、幾何不變性的要求，坐標(biāo)變換后仍保持幾何形狀不變；(2) 有更大的自由度來控制曲線曲面的形狀。如一條二維三次曲線的顯式表示為： (1-4)由上式可知只有四個系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參數(shù)表達式為： (1-5)與二維三次曲線的顯式表達式比較，參數(shù)表達式由8個系數(shù)來控制此曲線的形狀。(3) 對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進行變換，必須對其每個型值點進行幾何變換，不能對其方程變換(因不滿足幾何變換不變性)；而對參數(shù)表示的曲線、曲面來說，可對其參數(shù)方程直接進行幾何變換實現(xiàn)曲線曲面的變換。(4) 便于處理斜率為無窮大的情形，即當(dāng)斜率為無窮大的時候，計算也不會中斷。(5) 參數(shù)方程中，代數(shù)或幾何相關(guān)

5、和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個數(shù)沒有限制，從而便于用戶將低維空間的曲線、曲面擴展到高維空間。這種變量分離的特點有助于實現(xiàn)用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。(6) 規(guī)格化的參數(shù)變量使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。(7) 易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。1.2曲線曲面基本性質(zhì)位置矢量： 曲線上任一點的位置矢量可表示為；其一階、二階和階導(dǎo)數(shù)矢量(如果存在的話)可分別表示為 (1-9) 切矢量： 若曲線上、兩點的參數(shù)分別是和，矢量，其大小以連接的弦長表示。如果在處有確定的切線，則當(dāng)趨向于，即時，導(dǎo)數(shù)矢量趨向于該點的切線方向。如果選擇弧長作為參數(shù)，則是單位矢量。法矢量：

6、 對于空間參數(shù)曲線上任意一點，所有垂直切矢量的矢量有一束，且位于同一平面上，該平面稱為法平面。若對曲線上任意一點的單位切矢為，因為，兩邊對求導(dǎo)矢得：，可見是一個與垂直的矢量。與平行的法矢稱為曲線在該點的主法矢。主法矢的單位矢量稱為單位主法矢量。矢量積是第三個單位矢量，垂直于和。平行于矢量的法矢稱為曲線在該點的副法矢，則稱為單位副法矢量。對于一般參數(shù)，切矢、法矢關(guān)系如下 (1-10)圖1-3 曲線矢量曲率和撓率： 因為與平行，令，則，即稱為曲率，其幾何意義是曲線的單位切矢對弧長的轉(zhuǎn)動率，與主法矢同向。曲率的倒數(shù)，稱為曲率半徑。又，兩邊對求導(dǎo)矢得：，將代入上式，并注意到，得到，因為，所以兩邊對求導(dǎo)

7、得到。可見既垂直于，又垂直于，故有，再令，稱為撓率。撓率的絕對值等于副法線方向?qū)τ诨￠L的轉(zhuǎn)動率。撓率大于0、等于0和小于0分別表示曲線為右旋空間曲線、平面曲線和左旋空間曲線。對于一般參數(shù)，可知曲率和撓率的計算公式如下： (1-11)光順：通俗含義指曲線的拐點不能太多，因為曲線拐來拐去，就會不順滑。對平面曲線而言，相對光順的條件是：a) 具有二階幾何連續(xù)性()；b) 不存在多余拐點和奇異點；c) 曲率變化較小。連續(xù)性：一條復(fù)雜曲線時通常由多段曲線組合而成，曲線段之間的光滑連接問題即為連續(xù)性問題。曲線間連接的光滑度的度量有兩種：一種是函數(shù)的可微性，把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到階連續(xù)導(dǎo)矢，即

8、階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為或階參數(shù)連續(xù)性。另一種稱為幾何連續(xù)性，組合曲線在連接處滿足不同于的某一組約束條件，稱為具有階幾何連續(xù)性，簡記為。曲線光滑度的兩種度量方法并不矛盾，連續(xù)包含在連續(xù)之中。 圖1-4 曲線連續(xù)性 圖1-5 一階連續(xù) 圖1-6二階連續(xù)對于如圖1-4所示二條曲線和，參數(shù)，若要求在結(jié)合處達到連續(xù)或連續(xù)，即兩曲線在結(jié)合處位置連續(xù)，則需。若要求在結(jié)合處達到連續(xù)(如圖1-5所示)，就是說兩條曲線在結(jié)合處滿足連續(xù)的條件下，并有公共切矢： () (1-12)當(dāng)時，連續(xù)就成為連續(xù)。若要求在結(jié)合處達到連續(xù)(如圖1-6所示)，即兩條曲線在結(jié)合處滿足連續(xù)的條件下，并有公共曲率矢： (1-13)代

9、入(1-12)得： (1-14)此式可進一步表示為： (1-15)即在和確定的平面內(nèi)。為任意常數(shù)。當(dāng)，時，連續(xù)就成為C2連續(xù)。在弧長作參數(shù)的情況下，連續(xù)保證連續(xù)，連續(xù)能保證連續(xù)，但反過來不行。也就是說連續(xù)的條件比連續(xù)的條件要苛刻。1.3曲線曲面生成插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點，構(gòu)造一條曲線順序地通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。常用插值方法有線性插值、拋物線插值等。逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。擬合：插值和逼近統(tǒng)稱為擬合(fitting)。2 Bezier曲線曲面2.1 Bezier曲線2

10、.1.1 Bezier曲線定義給定空間個點的位置矢量，則Bezier參數(shù)曲線上各點坐標(biāo)的插值公式為： (2-1)    將其寫成矩陣表達形式為： (2-2)其中，構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，是次Bernstein基函數(shù)： (2-3)約定：，；，；，；，；，； 如圖2-1所示為一條的三次Bezier曲線實例。圖2-1 三次Bezier曲線三次Bezier曲線可以表達式為 (2-4)其中，因此其矩陣表達式為 (2-5)如果用上式求的值，則取的坐標(biāo)進行計算，同理可求，具體如下： 由上式可以看到Betnstain基函數(shù)僅需計算一次。2.1.2 Betnstein基

11、函數(shù)本節(jié)主要介紹Betnstein基函數(shù)的性質(zhì)，其性質(zhì)如圖2-2所示。(1) 正性 (2-6)(2) 端點性質(zhì) (2-7)(3) 權(quán)性 (2-8)由二項式定理可知： 圖2-2 Betnstein基函數(shù)的性質(zhì)(4) 對稱性 (2-9)因為(5) 遞推性,其計算過程表示為： 遞推性即高一次的Bernstein基函數(shù)可由兩個低一次的Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成。(6) 導(dǎo)函數(shù) (2-10)(7) 最大值 在處達到最大值。2.1.3 Bezier曲線性質(zhì) 圖2-3 Bezier曲線的性質(zhì)Bezier曲線的性質(zhì)如圖2-3所示。(1) 端點性質(zhì)a. 曲線端點位置矢量 由Bernstein基函數(shù)的

12、端點性質(zhì)可以推得，因此，Bezier曲線的起點、終點與相應(yīng)的特征多邊形的起點、終點重合。b. 端點切矢量因為，即，上式說明Bezier曲線的起點和終點處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。c. 端點二階導(dǎo)矢 (2-11)即：， 上式表明：2階導(dǎo)矢只與相鄰的3個頂點有關(guān)，事實上，r階導(dǎo)矢只與（r+1）個相鄰點有關(guān)，與更遠點無關(guān)。(2) 對稱性顛倒控制點順序，即控制頂點， 構(gòu)造出的新Bezier曲線，則與原Bezier曲線形狀相同，僅走向相反。因為： (2-12)這個性質(zhì)說明Bezier曲線在起點處有什么幾何性質(zhì)，在終點處也有相同的性質(zhì)。(3) 凸包性由于，且，這一結(jié)果說明當(dāng)在

13、0，1區(qū)間變化時，對某一個值，是特征多邊形各頂點的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是。在幾何圖形上，意味著Bezier曲線在中各點是控制點的凸線性組合，即曲線落在構(gòu)成的凸包之中，如圖2-4所示。圖2-4 Bezier曲線的凸包性(4) 幾何變換不變性即某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線的位置和形狀與其特征多邊形頂點的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇，即有：，(參變量是的置換)。(5) 變差縮減性若Bezier曲線的特征多邊形是一個平面圖形，則平面內(nèi)任意直線與的交點個數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點個數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動還小，也就是

14、說Bezier曲線比其特征多邊形的折線更光順(如圖2-5所示)。2-5 Bezier曲線與其特征多邊形(6) 仿射不變性對于任意的仿射變換，有： (2-13)即在仿射變換下，的形式不變。2.1.4 Bezier曲線幾何作圖    計算Bezier曲線上的點，可用Bezier曲線方程，但使用de Casteljau提出的遞推算法則要簡單的多。如圖1-19所示的拋物線，設(shè)、是一條拋物線上順序三個不同的點。過和點的兩切線交于點，在點的切線交和于和，則如下比例成立： (2-14)這就是拋物線的三切線定理，其幾何意義如圖2-6所示。圖2-6 拋物線的三切線定理當(dāng)，固定，引入

15、參數(shù)，令上述比值為，即有： (2-15)從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們正好是兩條一次Bezier曲線。將一、二式代入第三式得： (2-16)當(dāng)從0變到1時，表示由三頂點，定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：這二次Bezier曲線可以定義為分別由前兩個頂點和后兩個頂點決定的一次Bezier曲線的線性組合。依次類推，由四個控制點定義的三次Bezier曲線可被定義為分別由和確定的二條二次Bezier曲線的線性組合；進一步由個控制點定義的次Bezier曲線可被定義為分別由前、后個控制點定義的兩條次Bezier曲線與的線性組合： (2-17)由此得到Bezier曲線

16、的遞推公式如下： (2-18)    這便是著名的de Casteljau算法。用此遞推公式，在給定參數(shù)下，求Bezier曲線上一點非常有效。且上式中是定義Bezier曲線的控制點，即為曲線上具有參數(shù)的點。de Casteljau算法穩(wěn)定可靠，直觀簡便，可以編出十分簡捷的程序，是計算Bezier曲線的基本算法和標(biāo)準(zhǔn)算法。function deCasteljau(i,j) begin if i = 0 then return P0,j else return (1-u)* deCasteljau(i-1,j) + u* deCasteljau(i-1,j+1) en

17、d 上述算法也可用簡單的幾何作圖來實現(xiàn)。給定參數(shù)，將定義域分成長度為的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點就是第一級遞推生成的中間頂點，對這些中間頂點構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點。重復(fù)進行下去，直到級遞推得到一個中間頂點即為所求曲線上的點。如圖2-7所示為幾何作圖求三次Bezier曲線（給定參數(shù)域）上的點。把定義域分成長度為1/3 : (1-1/3)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點就是第一級遞推生成的中間頂點、，對這些中間頂點構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點、。重復(fù)進行下去，直到第3級遞推得到

18、一個中間頂點即為所求曲線上的點。圖2-7 幾何作圖法求Bezier曲線上一點(，)上述過程的de casteljau算法遞推出的呈三角形，對應(yīng)結(jié)果如圖2-8所示。遞歸算法是上述過程的逆過程，首先從上向下遞歸，直到最底層后開始返回，最頂層點即為曲線上的點。圖2-8 時，的遞推關(guān)系另外，這一算法隱含說明任一Bezier曲線均可被分割為兩段Bezier曲線。第一段由、確定，參數(shù)空間為0,1/3；第二段、確定，參數(shù)空間為1/3,1,分割后的曲線形狀保持不變。如圖2-9所示。 圖2-9 Bezier曲線的分割(，)2.2 Bezier曲面根據(jù)上一節(jié)的Bezier曲線的定義以及性質(zhì)，可以方便地給出Bezi

19、er曲面的定義和性質(zhì)，Bezier曲線的一些算法也很容易擴展到Bezier曲面的情況。2.2.1 Bezier曲面定義設(shè)為個空間點列，則次張量積形式的Bezier曲面定義為： (2-19)其中，是Bernstein基函數(shù)。依次用線段連接點列中相鄰兩點所形成的空間網(wǎng)格，稱之為特征網(wǎng)格。Bezier曲面的矩陣表示式是： (2-20)在一般實際應(yīng)用中，不大于4。以雙三次Bezier曲面為例，將其寫為矩陣表達式則為：其具體計算方法為：其中，上式中各基函數(shù)的值只需計算一次。 先按等參數(shù)方向均勻離散成網(wǎng)格點，再按一定規(guī)則繪制網(wǎng)格線繪制其線框圖，繪制的線框圖如圖2-10所示。圖2-10 線框圖2.2.2 B

20、ezier曲面性質(zhì)除變差減小性質(zhì)外，Bezier曲線的其它性質(zhì)可推廣到Bezier曲面。(1) Bezier曲面特征網(wǎng)格的四個角點正好是Bezier曲面的四個角點，即：，(2) Bezier曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點定義Bezier曲面的四條邊界，且每條邊界曲線仍為一Bezier曲線，該邊界Bezier曲線由對應(yīng)的一條邊界特征網(wǎng)格頂點確定，即：推廣之：沿Bezier曲面任何等參數(shù)的截線均為一Bezier曲線（讀者證明）。（3）Bezier曲面邊界的跨界一階切矢只與定義該邊界的頂點及相鄰一排頂點（共二排頂點）有關(guān)，且、和（如圖1-26所示打上斜線的三角形）組成的平面與曲面在對應(yīng)的角點相切；其跨界二

21、階導(dǎo)矢只與定義該邊界的及相鄰兩排頂點（共三排頂點）有關(guān)。（4）幾何不變性。（5）對稱性。（6）凸包性。如圖2-11所示，以雙三次Bezier曲面為例，可以清楚看出它的上述幾何特性。vu圖2-11 雙三次Bezier曲面及邊界信息2.2.3 Bezier曲線拼接幾何設(shè)計中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。這是由于增加由于特征多邊形的頂點數(shù)，會引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項式又會帶來計算上的困難，實際使用中，一般不超過10次。所以有時采用分段設(shè)計，然后將各段曲線相互連接起來，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達到不同階幾何連續(xù)的條件。給定兩條Be

22、zier曲線和，相應(yīng)控制點為和，且令，如圖2-12所示，現(xiàn)在把兩條曲線連接起來。(1) 連續(xù)的充要條件是：；(2) 連續(xù)的充要條件是：、三點共線，即；(3) 連續(xù)的充要條件是：在連續(xù)的條件下，并滿足方程。圖2-12 Bezier曲線的拼接我們將、和，、代入，并整理，可以得到： (2-21)選擇和的值，可以利用該式確定曲線段的特征多邊形頂點，而頂點、已被連續(xù)條件所確定。要達到連續(xù)的話，只需自由選取頂點。如果上式的兩邊都減去，則等式右邊可以表示為和的線性組合： (2-22)這表明、和五點共面，事實上，在接合點兩條曲線段的曲率相等，主法線方向一致，還可以斷定，和位于直線的同一側(cè)。2.2.4 Bezi

23、er曲面拼接如圖2-13所示，設(shè)兩張次Bezier曲面片 (2-23)分別由控制頂點和定義。圖2-13 Bezier曲面片的拼接如果要求兩曲面片達到連續(xù)，則它們有公共的邊界，即： (2-24)于是有。如果又要求沿該公共邊界達到連續(xù)，則兩曲面片在該邊界上有公共的切平面。因此曲面的法向矢量應(yīng)當(dāng)是跨界連續(xù)的，而曲面的偏導(dǎo)切向矢量不必跨界連續(xù)，如圖2-14所示，僅需、共線，、共面即可。Pv（1，v）Pu（1，v）Qv（0，v）Qu（0，v）PQPQ圖2-14 跨界連續(xù)由此可知： (2-25)    下面來研究滿足這個方程的兩種方法。（1）鑒于公式(3-4)，公式(3-5)

24、最簡單的取解（但更苛刻）是： (2-26)這相當(dāng)于要求合成曲面上為常數(shù)的所有曲線，在跨界時有切向的連續(xù)性。為了保證式(3-6)兩邊關(guān)于的多項式次數(shù)相同，必須?。ㄒ粋€正常數(shù)）。于是有： (2-27)即。如圖2-15所示為兩張三次Bezier曲面的拼接示意圖圖2-15 三次Bezier曲面的拼接（2）公式(3-6)使得兩張曲面片在邊界達到連續(xù)時，只涉及面和的兩列控制頂點，比較容易控制。用這種方法匹配合成的曲面的邊界，向和向是光滑連續(xù)的。實際上，該式的限制是苛刻的。為了構(gòu)造合成曲面時有更大的靈活性，Bezier在1972年放棄把(3-6)式作為連續(xù)的條件，而以 (2-28)要滿足(2-28)式，僅僅

25、要求位于和所在的同一個平面內(nèi)，也就是要求位于曲面片邊界上相應(yīng)點處的切平面，這樣就有了大得多的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的邊界時就不再連續(xù)了。其幾何意義可以用圖2-16解釋，如圖2-16所示的兩張三次Bezier曲面的拼接條件僅需相應(yīng)頂點滿足共面即可，顯然這一條件更為寬松。圖2-16 頂點滿足共面的三次Bezier曲面的拼接同樣，為了保證等式兩邊關(guān)于的多項式次數(shù)相同，須為任意正常數(shù)，是的任意線性函數(shù)。如果要實現(xiàn)多張曲面拼接，需要更多的自由度和更為寬松的條件才可能。為實現(xiàn)這一目標(biāo)往往需要更高階的曲面，常用的方法是對低階曲面升階來提高階次。3 B樣條曲線與曲面Bezier曲線具有很多優(yōu)越性，但有二

26、點不足：1) 特征多邊形頂點數(shù)決定了它的階次數(shù)，當(dāng)較大時，不僅計算量增大，穩(wěn)定性降低，且控制頂點對曲線的形狀控制減弱；2) 不具有局部性，即修改一控制點對曲線產(chǎn)生全局性影響的性質(zhì)。因此，1972年Gordon等用B樣條基函數(shù)代替Bernstein基函數(shù)，從而改進上述缺點。3.1 B樣條曲線3.1.1 均勻雙三次B樣條曲線定義1 一次均勻B樣條曲線的矩陣表示空間個頂點定義段一次(，二階)均勻B樣條曲線，即每相鄰兩個點可構(gòu)造一曲線段，其定義表達為： (3-1) PiP1P0Pn1Pn圖3-1 一次B樣條曲線由圖3-1所示可知，第i段曲線端點位置矢量：，且一次均勻B樣條曲線就是控制多邊形。2 二次均

27、勻B樣條曲線空間個頂點的位置矢量定義段二次（，三階）均勻B樣條曲線，每相鄰三個點可構(gòu)造一曲線段，其定義表達為： (3-2)圖3-2 二次B樣條曲線由圖3-2可知，二次B樣條曲線有如下矢量。a) 端點位置矢量：，即曲線的起點和終點分別位于控制多邊形和的中點。若、三個頂點位于同一條直線上，蛻化成直線邊上的一段直線。b) 端點一階導(dǎo)數(shù)矢量：，即曲線的起點切矢和終點切矢分別和二邊重合，且相鄰兩曲線段在節(jié)點處具有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。c) 二階導(dǎo)數(shù)矢量：，即曲線段內(nèi)任何點處二階導(dǎo)數(shù)相等，且相鄰兩曲線段在節(jié)點處二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。3 三次均勻B樣條曲線空間個頂點的位置矢量構(gòu)造段三次（，四階）均勻B樣條曲線段，每相鄰四

28、個點可定義一曲線段，其定義表達為： (3-3)Pi-1PiPi+1Pi+2圖3-3 三次B樣條曲線由圖3-2可知，二次B樣條曲線有如下矢量。a) 端點位置矢量：，即起點位于三角形中線的1/3處，終點位于三角形中線的1/3處?？梢夿樣條曲線的端點并不通過控制點。b) 端點一階導(dǎo)數(shù)矢量：，即曲線起點的切矢平行于的底邊，其模長為底邊長的1/2，同樣曲線終點的切矢平行于的底邊，其模長也為底邊長的1/2。且相鄰兩曲線段具有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)（因）。c) 二階導(dǎo)數(shù)矢量：，即曲線段在端點處的二階導(dǎo)數(shù)矢量等于相鄰兩直線邊所形成的平行四邊形的對角線，且兩曲線段在節(jié)點處具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)（因）。若、三個頂點位于同一條直線

29、上，三次均勻B樣條曲線將產(chǎn)生拐點；若、四點共線，則變成一段直線；若、三點重合，則過點。圖3-4 三次B樣條曲線的一些特例3.1.2 均勻雙三次B樣條曲線性質(zhì)(1) 局部性空間個控制頂點構(gòu)造段次(階)B樣條曲線段，且每一曲線段由、等個控制頂點確定，與其它控制點無關(guān)。(2) 整體性和連續(xù)性一般情況下（即無重節(jié)點、重頂點），個控制頂點所構(gòu)造的段次(階)B樣條曲線段組成一完整的B樣條曲線，曲線段與段之間具有階函數(shù)連續(xù)性（或階幾何連續(xù)性），當(dāng)有K重頂點時，將可能產(chǎn)生尖點（前面已介紹），雖然仍滿足函數(shù)連續(xù)，但不滿足幾何連續(xù)。(3) 幾何不變性 改變坐標(biāo)系不改變曲線形狀。(4) 變差縮減性 與Bezier曲

30、線性質(zhì)相同。(5) 造型的靈活性由于其良好的局部特性，可以方便構(gòu)造低次的復(fù)雜曲線，且編輯頂點對曲線形狀的改變是局部的；(6) 整體光滑性由于其整體性和連續(xù)性，曲線具有整體的光滑性。但是B樣條首末兩端點不通過控制頂點，不過此缺點與其優(yōu)點比較微不足道。正由于上述優(yōu)點，B樣條曲線比Bezier應(yīng)用更為廣泛，為商用系統(tǒng)普遍采用。3.1.3 均勻三次B樣條曲線幾何作圖思考：用作圖法繪制如圖3-5所示均勻三次B樣條曲線。P0P3P1 ,P2P4P5, P6 ,P7P8圖3-5 繪制實例由本章節(jié)的圖和上一章節(jié)的圖比較可知，B樣條曲線段與段之間具有天然的連續(xù)性，具有整體的光滑特性，而Bezier曲線段與段之間

31、必須光滑拼接。因此在商用系統(tǒng)中B樣條方法應(yīng)用更為廣泛。3.2 均勻雙三次B樣條曲面3.2.1 均勻雙三次B樣條曲面定義已知曲面的控制點，參數(shù)，且，構(gòu)造雙三次B樣條曲面的步驟同上述。1) 沿向構(gòu)造均勻三次B樣條曲線，有： (3-4)2) 再沿向構(gòu)造均勻三次B樣條曲線，此時可認(rèn)為頂點沿滑動，每組頂點對應(yīng)相同的，當(dāng)值由0到1連續(xù)變化，即形成均勻雙三次B樣條曲面(如圖3-6所示)。此時表達式為： (3-5)w=1v=0u=1wu 其中 ， 。u=0圖3-6 雙三次B樣條曲面片上式(3-5)也可表達為：Pi, j3Pi+1, j3Pi+2, j3Pi+3, j3Pi, j2Pi+1, j2Pi+2, j

32、2Pi+3, j2Pi, j1Pi+1, j1Pi+2, j1Pi+3, j1Pi+2, jPi+3, jPi+1, jPi, j對于由控制點組成的均勻雙三次B樣條曲面(如圖3-7所示)，其定義如下：圖3-7 由控制點組成的均勻雙三次B樣條曲面即任意單張均勻雙三次B樣條曲面片是由等16個控制點定義而成。圖3-8為一均勻雙三次B樣條曲面的示意圖。圖3-8 均勻雙三次B樣條曲面示意圖3.2.2 均勻雙三次B樣條曲面性質(zhì)B樣條曲面具有B樣條曲線的多種性質(zhì)，曲面的片與片之間具有天然的連續(xù)性。下面仍以均勻雙三次曲面為例說明B樣條曲面的性質(zhì)。1）均勻雙三次B樣條曲面的頂點不經(jīng)過任何特征網(wǎng)格頂點，且僅與各角

33、點對應(yīng)的9個特征網(wǎng)格頂點有關(guān)，如：，同理可得、。2）均勻雙三次B樣條曲面的邊界曲線仍為B樣條曲線，該邊界B樣條曲線由對應(yīng)的三條邊界特征網(wǎng)格頂點確定，由B樣條曲面得定義可得：同理可得、。推廣之：沿B樣條曲面任何等參數(shù)的截線均為一B樣條曲線（讀者證明）。3）均勻雙三次B樣條曲面邊界的跨界一階切矢只與定義該邊界的頂點及相鄰二排頂點（共三排頂點）有關(guān)， 依次可得?？梢娋鶆蛉蜝樣條曲面具有一階函數(shù)連續(xù)性。同理可得，其跨界二階導(dǎo)矢只與定義該邊界的及相鄰兩排頂點（共三排頂點）有關(guān)，且均勻三次B樣條曲面具有二階函數(shù)連續(xù)性。4）幾何不變性。5）對稱性。6）凸包性。B樣條曲面的線框圖的繪制需先沿等參數(shù)方向離散成

34、網(wǎng)格點，然后依次連線繪制，如圖3-9為一B樣條曲面的線框圖。圖3-9 B樣條曲面線框圖由上圖3-9可知，B樣條方法能夠很方便繪制復(fù)雜曲面，顯然比Bezier方法更靈活，因此應(yīng)用更廣泛。3.3 一般B樣條曲線曲面3.3.1 一般B樣條曲線及性質(zhì)1. 定義：由前面的內(nèi)容得知，三次均勻B樣條曲線的基函數(shù)為： 上述基函數(shù)圖形如圖3-40所示。N1，3（u）N0，3（u）N2，3（u）N3，3（u）N0，3（u）N3，3（u）N1，3（u）N2，3（u）N3，3（u）N0，3（u）N1，3（u）N2，3（u）01u圖3-10 B樣條曲線基函數(shù)已知個控制點，也稱為特征多邊形的頂點，次(階) B樣條曲線的表

35、達式是： (3-6)其中是調(diào)和函數(shù)，也稱為基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為： (3-7)式中是節(jié)點值，且為非減序列，構(gòu)成了次(階)B樣條基函數(shù)的節(jié)點矢量，每一基函數(shù)由對應(yīng)的個節(jié)點決定；公式(3-7)也表明，高次B樣條函數(shù)可用低次的B樣條函數(shù)來表示，且可得其遞推計算方法。由圖3-10所示基函數(shù)的示意圖可知B樣條基函數(shù)具有局部支撐特性，即 (3-8)節(jié)點矢量所含節(jié)點數(shù)目由控制頂點和曲線次數(shù)所確定（節(jié)點數(shù)控制點數(shù)），顯然，基函數(shù)個數(shù) 控制點數(shù)。以 (3次4階)B樣條曲線的基函數(shù)為例，說明其基函數(shù)的計算方法，其中數(shù)據(jù)輸入點（也稱型值點）數(shù)目為（即曲線線段為2），則控制點數(shù)目3315，其節(jié)點數(shù)4329，不妨

36、假設(shè)節(jié)點參數(shù)： ，即節(jié)點值為0，1，2，且，節(jié)點向量為 0 0 0 0 1 2 2 2 2 用來決定B樣條曲線的基函數(shù)；這種節(jié)點向量相鄰節(jié)點跨距并不相等，則此曲線稱為非均勻B樣條曲線。由于基函數(shù)迭代的遞推特性，必需從較低階數(shù)的基函數(shù)算起。根據(jù)前面的基函數(shù)的定義，則第一階基函數(shù)的計算如下： 第二階基函數(shù)的計算如下：第三階基函數(shù)的計算如下：第四階基函數(shù)的計算如下：其中，為基函數(shù)，如圖3-11所示。圖3-11 非均勻B樣條基函數(shù)因此定義B樣條曲線方程為： (3-9)對于B樣條基函數(shù)，當(dāng)節(jié)點矢量沿參數(shù)軸是均勻等距分布時，則稱為均勻B樣條函數(shù)，其節(jié)點值；例如：當(dāng)，則上述基函數(shù)可表示為均勻三次B樣條函數(shù)，

37、并通過變換可得如下表達： u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）titi3ti1ti2ti4ti5ti6ti7圖3-12 三次B樣條函數(shù)當(dāng)節(jié)點沿參數(shù)軸的分布是不等距的，則表示非均勻B樣條函數(shù)，即節(jié)點值。均勻B樣條和非均勻B樣條曲線一般不通過控制多邊形首末兩點。若需B樣條曲線具有較好的端點性質(zhì)（即通過端點），實際應(yīng)用中常引入準(zhǔn)均勻B樣條，即在節(jié)點矢量中兩端節(jié)點具有個重復(fù)度：這樣構(gòu)造的準(zhǔn)均勻B樣條曲線將通過控制多邊形首末兩點。以圖3-13為例：當(dāng)控制點數(shù)，次數(shù)的準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線的節(jié)點矢量可定義為。圖3-13 準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線若準(zhǔn)均

38、勻B樣條曲線控制點數(shù)，次數(shù)，且節(jié)點矢量，此時三次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為三次Bezier曲線。推而廣之，若次B樣條曲線的控制點數(shù)，且節(jié)點矢量為，此時次B樣條曲線即為次Bezier曲線。2. 性質(zhì)：) 局部性：次B樣條曲線僅在個區(qū)間內(nèi)非0。換句話說，每段次B樣條曲線只涉及個基函數(shù)，并由個頂點所定義。第段次B樣條曲線僅由共個頂點所控制，與其它點無關(guān)；反之，修改一個控制頂點，其影響范圍為與該頂點有關(guān)的段。) 凸組合性質(zhì)（凸包性）即，B樣條的凸組合性和B樣條基函數(shù)的數(shù)值均大于或等于0保證了B樣條曲線的凸包性，即B樣條曲線必處在控制多邊形所形成的凸包之內(nèi)。) 連續(xù)性：在無重節(jié)點的情況下，次B樣條在節(jié)點處具有次連

39、續(xù)性，如三次B樣條具有二階連續(xù)；若在某節(jié)點處具有重節(jié)點，則次B樣條在該節(jié)點處連續(xù)性階。利用重節(jié)點技巧，可獲得一些特殊的幾何特性。) 遞推特性3.3.2 一般B樣條曲面及性質(zhì)1. 定義基于B樣條曲線的定義和性質(zhì)，可以得到B樣條曲面的定義。給定個空間點列，則 (3-10)定義了次（k1）x（l1）階）B樣條曲面，和是次（階）和次（階）的B樣條基函數(shù)，和為B樣條基函數(shù)和的節(jié)點參數(shù)，由組成的空間網(wǎng)格稱為B樣條曲面的特征網(wǎng)格。上式也可以寫成如下的矩陣形式： (3-11)上式中和分別表示在和參數(shù)方向上曲面片的個數(shù)。 (3-12)式中是某一個B樣條曲面片的控制點編號。2. 性質(zhì)1）次B樣條曲面片的四個角點不

40、經(jīng)過任何特征網(wǎng)格頂點，且僅與該角點對應(yīng)的個特征網(wǎng)格頂點有關(guān)，如均勻雙三次B樣條曲面與對應(yīng)的9個頂點有關(guān)。2）B樣條曲面的邊界曲線仍為B樣條曲線，該邊界B樣條曲線由對應(yīng)的條（或條）邊界特征網(wǎng)格頂點確定。如均勻雙三次B樣條曲面邊界曲線僅與三排頂點有關(guān)。推廣：沿B樣條曲面任何等參數(shù)的截線均為一B樣條曲線。3）B樣條曲面邊界的跨界導(dǎo)數(shù)只與定義該邊界的頂點及相鄰排（或排）頂點有關(guān)，具有階函數(shù)連續(xù)性。4）幾何不變性。5）對稱性。6）凸包性。4 NURBS曲線與曲面4.1 NURBS曲線一條次NURBS曲線定義為： (4-1)其中稱為權(quán),與控制頂點相聯(lián)，其作用類似基函數(shù)，但比基函數(shù)更直接。令,，可防止分母為

41、零、保留凸包性及曲線不退化性。為控制頂點。是由節(jié)點決定的次(階) B樣條基函數(shù)。對于非周期NURBS曲線，兩端點的重復(fù)度可取為，即，,且在大多數(shù)實際應(yīng)用里，節(jié)點值分別取為0與1，因此，其曲線定義域為。由于NURBS曲線與B樣條曲線采用相同的基函數(shù)，因此NURBS曲線具有和B樣條曲線相同的性質(zhì)。除此之外，由于權(quán)因子的作用，使NURBS曲線具有更大的靈活性，且表達能力大大增強，NURBS曲線能統(tǒng)一表達圓錐曲線，B樣條曲線和Bezier曲線。 若固定所有控制頂點及除外的所有其它權(quán)因子不變，當(dāng)變化時，點隨之移動，它在空間掃描出一條過控制頂點的一條直線。當(dāng)時，趨近與控制頂點重合。 若增加，則曲線被拉向控

42、制頂點；若減小，則曲線被推離控制頂點。 若增加，則一般地曲線在受影響的范圍內(nèi)被推離除頂點外的其它相應(yīng)控制頂點；若減小，則相反。圖5-1給出了權(quán)因子對NURBS曲線的影響示意圖。 圖5-1 權(quán)因子對曲線的影響 圖5-2 二次NURBS曲線定義圓圖5-2給出了二次NURBS曲線表達圓的一種方法，圖5-2中各頂點的權(quán)因子的取值分別為（1，0.7071，1，0.7071，1，0.7071，1，0.7071，1），其節(jié)點矢量。4.2 NURBS曲面由雙參數(shù)變量分段有理多項式定義的NURBS曲面是： (4-2)公式(4-2)中控制頂點呈拓撲矩形陣列，形成一個控制網(wǎng)格。是與頂點聯(lián)系的權(quán)因子，規(guī)定四角頂點處用正權(quán)因子即,其余；和分別為向次和向l次的規(guī)范B樣條基。它們分別由向與向的節(jié)點矢量決定。由于NURBS曲面與B樣條曲面采用相同的基函數(shù)，因此NURBS曲面具有和B樣條曲面相同的性質(zhì)。除此之外，由于權(quán)因子的作用，使NURBS曲面具有更大的靈活性，且表達能力大大增強，NURBS曲面能統(tǒng)一表達二次曲面(如球面，柱面，圓環(huán)面等)、B樣條曲面和Bezier曲面等。5 曲線曲面造型方法5.1 CAD系統(tǒng)中常見曲線生成手段CAD系統(tǒng)中常見曲線生成手段主要有：a、 直接公式定義：直線、圓弧，ACIS 中的law等；b、 輸入控制點(如圖5-1(a)所示