第1節(jié)平面向量概念、線性運算、基本定理及坐標表示 知識點

1、平面向量第一節(jié) 平面向量的概念、線性運算、基本定理及坐標表示一、向量的概念1.向量：既有大小有方向的量叫做向量. 只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.2.幾何表示: 向量可以用有向線段表示.長度：向量的大小,也就是向量的長度(或稱模,記做.向量也可用字母（印刷用黑體，手寫用）或用表示向量的有向線段的起點和終點表示.例如，.零向量：長度為0的向量.記做.單位向量: 長度為1的向量.平行向量: 方向相同或相反的向量.記作.規(guī)定: 零向量與任一向量平行.3.相等向量:長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 記做.注意: 向量相等與有向線段的起點無關(guān).共線向量:任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平

2、行向量也叫共線向量.二、平面向量的線性運算(向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算1.向量加法的三角形法則已知非零向量、，在平面內(nèi)任取一點，作，則向量叫做 和的和，記做，即求兩個向量和的運算，叫做向量的加法. 這種方法稱為向量加法的三角形法則.2.向量加法的平行四邊形法則以同一個點為起點的兩個已知向量、為鄰邊作,則以為起點的對角線是與的和,即.此法叫做向量加法的平行四邊形法則.規(guī)定：對零向量與任一向量，3.小結(jié)論對任意向量、，有；當、同向時，；當、反向是，（或）4.向量加法交換律：；向量加法結(jié)合律：5.與長度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.規(guī)定：零向量的相反向量是零向量.6.向量減法的

3、幾何意義：可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.7.向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：(1 ； (2 當時,的方向與的方向相同；當時,的方向與的方向相同.8.數(shù)乘的運算律：(1 ; (2 ; (3 .9.向量共線充要條件:向量與共線,當且僅當有唯一一個實數(shù),使.三、平面向量的基本定理及坐標表示1.平面向量基本定理 如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一個實數(shù)、，使得把不共線的向量、叫做這一平面內(nèi)所有向量的基底.2.向量的夾角 已知兩個非零向量，作，則 叫做向量與的夾角. 如果與

4、的夾角是，稱與垂直，記作.當時，同向；當時，反向.3.正交分解 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.4.向量的坐標表示 在平面直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量，由平面基本定理可知，有且只有一對實數(shù)、，使得這樣，平面內(nèi)的任一向量都可以由、唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標，記作.其中，分別叫做在軸上，在軸上的坐標.在平面直角坐標系內(nèi)，每個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對唯一表示.5.平面向量的坐標運算(1 若，則；(2 若,則；(3 若,，則.6.平面向量共線的坐標表示設(shè),則向量共線的充要條件為.7.設(shè),.(1 若是的中點，則；(2 若，則.前三部分總結(jié)1.向量相等(長度和方向.2.加法的三角形法則(首尾相連、四邊形法則(起點相同及其幾何意義.