3[1].5+撓度與轉(zhuǎn)動(dòng)分別插值的曲邊板單元

1、第五節(jié) 撓度與轉(zhuǎn)動(dòng)分別插值的曲邊板單元以上幾節(jié)的薄板單元是建立在克希霍夫(Kirchhoff 薄板理論的基礎(chǔ)上,在計(jì)算撓度時(shí)忽略了剪切變形的影響。按照克希霍夫理論,在相鄰單元之間,本來撓度w 和它的導(dǎo)數(shù)都應(yīng)該是連續(xù)的,但實(shí)際上只有撓度w 是連續(xù)的,而撓度的導(dǎo)數(shù)并不是完全連續(xù)的。為了解決這個(gè)矛盾,人們?cè)?jīng)沿2種途徑進(jìn)行研究,第1種途徑是采用雜交單元,第2種途徑是采用考慮剪切變形的Mindlin 板理論,撓度和轉(zhuǎn)動(dòng)分別獨(dú)立插值?，F(xiàn)在看來,用第2種方法建立的板單元計(jì)算比較簡單、精度較好,并能利用坐標(biāo)變換以適應(yīng)不規(guī)則外形,因而實(shí)用價(jià)值較大。根據(jù)Mindlin 板理論,計(jì)算板的撓度時(shí)考慮剪切變形的影響。

2、這時(shí)板的撓度與中面法線的轉(zhuǎn)角是相互獨(dú)立的,可分別插值,從而保證了相鄰單元邊界上撓度和轉(zhuǎn)角的連續(xù)性。為了循序漸進(jìn),便于理解,下面先介紹考慮剪切變形影響的梁單元。一、考慮剪切變形的梁單元首先分析剪切變形的影響、設(shè)為剪力產(chǎn)生的撓度,對(duì)梁的任一截面,有1w 1dw kVdx AG=(a 式中: V 為剪力;A 為斷面積;G 為剪切模量;k 為考慮剪應(yīng)力分布不均勻的系數(shù)。由上式求導(dǎo)數(shù)、得到212d w k dVdx AG dx= (b 設(shè)為彎矩引起的撓度,由材料力學(xué)可知2w 222d w Mdx EI= (c 式中: M 為彎矩;I 為斷面慣性矩。把式(b 、式(c 合并,可知綜合考慮彎矩和剪力影響后,

3、梁的撓度w 應(yīng)滿足下列方程:22d w M k dVdx EI AG dx=+ (d 由此可見,梁的撓度w 是由兩部分組成的,一部分是由彎矩引起的,另一部分是由剪力引起的。156圖5.1如圖5.1(a ,剪力只引起相鄰兩截面之間的平行錯(cuò)動(dòng),并不引起截面的轉(zhuǎn)動(dòng)。剪力引起的撓度是由于截面的錯(cuò)動(dòng)而產(chǎn)生的,并不是由于截面的轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的。如圖5.1(b 所示,簡支梁在集中荷載作用下單獨(dú)由剪切變形產(chǎn)生的撓度是兩段直線。在荷載作用點(diǎn),是不連續(xù)的。/dw dx圖5.2彎矩引起梁截面的轉(zhuǎn)動(dòng),如圖5.2所示,考慮剪切變形影響后,原來垂直于梁中性軸的截面,在受力后不再垂直于中性軸,它的轉(zhuǎn)角為dwdx= (5.1 因

4、此,把梁劃分單元后,在相鄰兩單元的接觸面上,只要求w 和連續(xù),并不要求連續(xù)。事實(shí)上,如果結(jié)點(diǎn)上作用有集中荷載,接觸面兩邊的剪應(yīng)變是不同的,所以在接觸面上是不連續(xù)的。/dw dx /dw dx 總之,考慮剪切變形影響后,梁的撓度w 和梁截面的轉(zhuǎn)角是互相獨(dú)立的。 考慮剪切變形的影響后,梁的勢能為2200122LLd k dw EI dx GA dx qwdx dx dx =+0L (5.2 式中:q 為作用于梁上的分布荷載。式(5.2右邊前2項(xiàng)分別代表彎曲和剪切變形產(chǎn)生的應(yīng)變能,第3項(xiàng)代表外荷載的勢能。對(duì)于等截面梁,由駐值條件0=,得到1570000L L Ld d dw dw EI dx kGA

5、 dx q wdx dx dx dx dx += (5.3 下面推導(dǎo)考慮剪切變形的梁單元的有關(guān)公式。梁單元內(nèi)任一點(diǎn)的撓度w 和轉(zhuǎn)角用形函數(shù)表示如下:1n i i i w N =w , 1ni i i N = (5.4a 式中:為單元結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。n (5.4a 也可用矩陣表示為e w w N =, eN = (5.4b 11110000w ss T es s N N N N N w w =N ="""""" (5.5由式(5.4對(duì)x 求微商,得e w w B x =, eB x = (5.6 其中1100sw N N B J ="

6、;"1100s N N B J =""xJ = (5.7 由式(5.3,得到單元?jiǎng)偠染仃?和結(jié)點(diǎn)荷載 如下:1111T Tew w k B EJ B J d k B N GA B N J d =+ (5.811Tw P N q J d = (5.9158圖5.3例如,圖5.3所示3結(jié)點(diǎn)梁單元,坐標(biāo)變換公式為31i i i x N x =3個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)是1230,/2x x L x L =,代入上式得到(12Lx =+ 因此,用x 表示的形函數(shù)為212231x x N L L =+, 2222x x N L L =, 23244x x N L L=形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為124

7、3N x x L L =, 2241N x x L L =, 3248N x x L L= 由此得到312000N N N B x x x = 31212w N N N 3B N N xxx=N N代入式(5.8,即可得到單元?jiǎng)偠染仃?。?jì)算經(jīng)驗(yàn)表明,如采用3結(jié)點(diǎn)或4結(jié)點(diǎn)等高次單元,不論是中等高度的梁,或高度很小的梁,計(jì)算結(jié)果都是滿意的。但如采用2結(jié)點(diǎn)低階梁單元,當(dāng)梁的高度很小時(shí),梁單元?jiǎng)偠染仃噷⑦^大,從而產(chǎn)生較大的計(jì)算誤差,這種現(xiàn)象稱為“單元鎖定”(element locking 。為了解決單元鎖定問題,可采用兩種辦法。一種辦法是降階積分或有選擇的積分。另一種更有效的辦法是離散克?；舴蚶碚?即

8、在單元的幾個(gè)離散點(diǎn)上,令0=,即令dwdx= (5.10 經(jīng)過這樣處理,單元特性將得到改善。二、撓度和轉(zhuǎn)動(dòng)分別插值的曲邊板單元按照Mindlin 彈性板理論,計(jì)算中采用以下假定: (1 板的撓度是小的。w (2 變形前板中面的法線在變形后仍為直線,但不再垂直變形后的中曲面。 (3 垂直于中面的正應(yīng)力可以忽略.159由此確定了板的獨(dú)立位移分量為Tx y u w =式中,為橫向撓度,w x 為中性面法線繞中性面內(nèi)的坐標(biāo)x 的轉(zhuǎn)角,x x wy=+;y 為中性面法線繞中性面內(nèi)的坐標(biāo)y 的轉(zhuǎn)角,y y wx=。 顯然,w x 、w y表示中性面法線由于板的撓度w 引起的轉(zhuǎn)角,x 、y 表示橫向剪切變形

9、引起的剪切角(剪切應(yīng)變。轉(zhuǎn)角由兩部分構(gòu)成其物理意義見下圖。圖5.3根據(jù)上述假定,板內(nèi)任一點(diǎn)(x , y , z 的位移可計(jì)算如下(圖5.3:(,(,(,y x u z x y v z x y w w x y = (5.11圖5.4考慮剪切變形的板單元板平面內(nèi)的應(yīng)變?yōu)?60 y x x x = y = z = z k y xy y x y x 其中 （5.12） = y , x , y x y x y x T （5.13） 板內(nèi)橫向剪切應(yīng)變（由于剪切而產(chǎn)生的應(yīng)變）假定沿厚度為常數(shù)，并按下式計(jì)算： w x x yz y = = = y zx w +y x 對(duì)于彈性各向同性板，其應(yīng)力按下式計(jì)算： （

10、5.14） x 1 E = y = z 1 2 xy 0 y x 0 x 1 0 y 1 0 2 y + x x y （e） w y x yz kE = = zx 2(1 + w +y x 板內(nèi)的力矩為 （f） M x t /2 M = M y = t /2 z dz M xy 板內(nèi)的橫向剪力為 （g） Qyz t /2 Q = = dz Qzx t /2 把式（e） 、式（f）代入式（g） 、式（h） ，得到 （h） M = Db （5.15） 161 Q = Ds 其中 （5.16） 1 Et 3 Db = 2 12(1 0 1 0 0 0 ， 1 2 Ds = kEt 1 0 2(1 +

11、 0 1 （5.17） 當(dāng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)是各自獨(dú)立的場函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的總位能可以表示為 w w = + 1 + y dxdy + 2 x dxdy x y 2 2 （5.18） 其中 就是系統(tǒng)總位能。如果沒有給定的邊界外力作用，則 = 1 T Db dxdy qwdxdy 2 故板單元的勢能為 = 1 T T M + Q dA qwdA 2A A ( 1 T T = Db + Ds dA qwdA 2A A 板中面任一點(diǎn)的坐標(biāo)用形函數(shù)表示如下： ( （5.19） x = N i xi ， i =1 n y = N i yi i =1 n （5.20） 式中：n 為單元結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。 板單元內(nèi)任一點(diǎn)的撓度

12、和轉(zhuǎn)角用結(jié)點(diǎn)撓度 wi 和結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角 xi 、 yi 表示如下： w = N i wi ， x = N i xi ， y = N i yi i =1 i =1 i =1 n n n （5.21） 把式（5.21）代入式（5.12） 、式（5.13） ，得到 = Bb 其中 e , = Bs N1 x 0 N1 y e （5.22） 0 0 N Bb = 0 1 y N1 0 x 0 0 0 N n y N 0 n x N n x 0 N n y （5.23） 162 N1 y Bs = N1 x N1 0 0 N1 N n y N n x Nn 0 0 Nn T （5.24） e = w1 x1

13、 y1 wn xn yn （5.24） 由此得到單元?jiǎng)偠染仃嚍?k = e 1 1 ( B D B + B D B J d d 1 1 T T b b b s s s （5.26） 單元結(jié)點(diǎn)載荷為 R 其中 e = 1 1 N 1 1 T q J d d （5.27） N = N1 0 0 N2 0 0 （5.28） 這種板單元，由于撓度和轉(zhuǎn)角是互相獨(dú)立的，所以變形連續(xù)條件很容易就得到了滿足。 又由于利用形函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)變換，所以可以適應(yīng)不規(guī)則的幾何形狀。經(jīng)驗(yàn)表明，如果采用 9 結(jié)點(diǎn)的高次單元，計(jì)算精度和效率都是不錯(cuò)的。但如果采用 4 結(jié)點(diǎn)的低階單元，在計(jì)算很薄 的板時(shí)，板的剛度太大，使計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。在這種情況下，可采用離散克?；舴蚶碚?，即 在選定的一些離散點(diǎn)上，令剪切變形等于零，使單元特性有所改善。 在中厚板理論中，應(yīng)變是位移的一階導(dǎo)數(shù)，因此基于這種理論構(gòu)造單元只要求位移C。 連續(xù)。我們已經(jīng)看到這種C0型單元的表達(dá)格式簡單、便于應(yīng)用，故很受工程界歡迎。然而， 與C0型梁單元相似，當(dāng)板逐漸變薄時(shí)，Gauss點(diǎn)處的橫向剪應(yīng)變太大，而板的彎曲變形則遠(yuǎn) 小于實(shí)際