第十四屆五年級(jí)中環(huán)杯初賽真題(含詳解)

1、 若e = 7 ，則由 e abc 的個(gè)位為 7，可知 c = 1 ，此時(shí)由 f abc 的個(gè)位為 9 ，可知 f = 9 ，與 e f 矛盾，所以 e 7 所以 e = 9 ，則由 e abc 的個(gè)位為 7，可知 c = 3 ，由 d abc 的個(gè)位為 1，可知 d= 7 ，由 f abc 的個(gè)位為 9，可知 f = 3， 由7 abc 999 abc 142 ，由 9 abc 1000 abc 112 ， 所以 abc 為 113 或 123 而 113 793 = 89609 ，萬(wàn)位不為 9，所以 abc 113 所以 abc = 123 ，被除數(shù)為123 793 = 97539 15.

2、 A、B、 C 均為正整數(shù)。已知 A 有 7 個(gè)約數(shù)， B 有 6 個(gè)約數(shù)， C 有 3 個(gè)約數(shù)， A B有 24 個(gè)約數(shù)， B C 有 10 個(gè)約數(shù)。則 A +B + C 的最小值為_。 【分析】由 A 有 7 個(gè)約數(shù)，可知 A =p 6 ，其中 p 為質(zhì)數(shù)，由 C 有 7 個(gè)約數(shù)，可知 C = q2 ， 其中 q 為質(zhì)數(shù)， 若 B 不含有質(zhì)因子 p ，則 A B 中質(zhì)因子 p 的個(gè)數(shù)為 6，此時(shí) A B 的約數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng) 為6 + 1= 7 的倍數(shù)，不可能是 24 個(gè)，所以 B 含有質(zhì)因子 p 由于 24 大于 7 的約數(shù)有 8、 12、 24，所以 A B 中質(zhì)因子 p 的個(gè)數(shù)可能為 7 、

3、11、 23 若 A B 中質(zhì)因子 p 的個(gè)數(shù)為 11 ，則 B 中質(zhì)因子 p 的個(gè)數(shù)為 5，由于 B 有 6 個(gè)約 數(shù)，所以 B =p ，此時(shí) B C =p q ，若 p = q ，則 B C =p 有 8 個(gè)約數(shù)， 5 5 2 7 若p q ，則 B C 有 18 個(gè)約數(shù)，均不為 10 個(gè)約數(shù)，所以 A B 中質(zhì)因子 p 的個(gè) 數(shù)不為 11 若 A B 中質(zhì)因子 p 的個(gè)數(shù)為 23 ，則 B 中質(zhì)因子 p 的個(gè)數(shù)為 17，顯然不可能為 6 個(gè)約數(shù) 所以 A B 中質(zhì)因子 p 的個(gè)數(shù)為 7，則 B 中質(zhì)因子 p 的個(gè)數(shù)為 1 若 B 不含有質(zhì)因子 q ，則 B C 中質(zhì)因子 q 的個(gè)數(shù)為 2

4、，此時(shí) B C 的約數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng) 為2 + 1= 3 的倍數(shù)，不可能是 10 個(gè)，所以 B 含有質(zhì)因子 q 由于 10 大于 3 的約數(shù)有 5、 10，所以 B C 中質(zhì)因子 q 的個(gè)數(shù)可能為 4 、9 若 B C 中質(zhì)因子 q 的個(gè)數(shù)為 9 ，則 B 中質(zhì)因子 q 的個(gè)數(shù)為 7，顯然不可能為 6 個(gè) 約數(shù) 所以 B C 中質(zhì)因子 q 的個(gè)數(shù)為 4，則 B 中質(zhì)因子 q 的個(gè)數(shù)為 2 所以 B =p q ，且 p q 2 所以 A + B+ C =p6 +p q2 + q2 ，最小值為 2 + 2 3 + 3 = 91 6 2 2 16. 有這樣的正整數(shù) n ，使得均為完全平方數(shù) 8 n - 7、

5、 18 n - 35 均為完全平方數(shù)。則所有符合要 求的正整數(shù) n = _。 2 2 18n - 35 = a 72n - 140 = 4a 2 2 【分析】不妨設(shè) ( 3b)- ( 2 a )=77 2 2 8n - 7= b 72n - 63 = 9b 所以 (3b - 2a (3b + 2a = 77 = 1 77 = 7 11 a= 19 a= 1 解得 b= 13 或 b= 3 n= 22 n =2 17. 將 2013 1, 2013 2, 2013 3, 2013 4, 2013 5, 2013 6, 2013 7, 2013 8, 2013 9 2013 10, 2013 11

6、 填入下表，使得填入的數(shù)能被其所在列的位置號(hào)整除，那么有 _ 種不同的填寫方法。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 位置號(hào) 填入的數(shù) 【分析】由于 2013 = 3 11 61 所以 1 至 11 中，3 的約數(shù)有 1、 3、11 這三個(gè) 所以除了 2013 1, 2013 2, 2013 3, 2013 6, 2013 9, 2013 11 這六個(gè)數(shù)可以 互相交換位置 其余的 2013 4, 2013 5, 2013 7, 2013 8, 2013 10 必須填在 4、 5、7 、8 、10 號(hào)下面 2013 2, 2013 6 可以填在 2、 6 下面，有 2 種填法 9 下

7、面可以填 2013 3, 2013 9 ，有 2 種填法 剩下 3 個(gè)數(shù)可以隨意填在 1、 3、 11 下面，有 6 種填法 綜上共有 2 2 6= 24 種填法 18. 如圖， ABCD 是邊長(zhǎng)為 6 的正方形， ADGH 是一個(gè)梯形，點(diǎn) E、F 分別是 AD、GH 的 中 點(diǎn) ， HF = 6，EF = 4，EF GH 。 聯(lián) 結(jié) HE 并 延 長(zhǎng) 交 CD 于 點(diǎn) I ， 作 IJ HA ， 則 IJ = _。 【分析】如下圖，連接 AI，延長(zhǎng) CD 較 GH 于 K 易知 KD = 4, GK = 3 ，所以 GD = 5 ，同理 AH = 5 又由 HK = 9, DE = 3, K

8、D =4 ， ID : IK =DE : HK ，可知 ID =2 設(shè) IJ = a, JA = b ，由勾股定理 有 2 a2 + b2 =AJ 2 a + (b + 5 =HI 2 2 AJ 2 =ID 2 + DA 2 =40 又由勾股定理 2 2 2 HI = IK + KH = 117 40 a2 + b2 = 25 = 77 b = 5.2 10b + 2 所以 (b + 5 2 = 117 a + a + 27.04 = 40 a = 12.96 a = 3.6 2 2 a + 27.04 = 40 a = 12.96 a = 3.6 2 2 H F K G A b E D I

9、a J B C 19. 如圖所示，甲、乙兩只螞蟻在下列圓周上運(yùn)動(dòng)。 AC 為大圓的直徑，點(diǎn) B 在 AC 上， AB、BC 分別為兩個(gè)小圓的直徑。 甲螞蟻在大圓上順時(shí)針爬行， 乙螞蟻在兩個(gè)小圓上沿著箭 頭所指方向繞“8”字爬行（ A B C B A ） 。甲螞蟻與乙螞蟻在某一時(shí)刻同時(shí)從 A 點(diǎn)出發(fā)，然后不斷地爬行，速度比為 v甲：v乙 =3 : 2 。經(jīng)過 T1 分鐘，兩只螞蟻相遇。接下來， 1 甲螞蟻將自己的速度提高了 ，乙螞蟻的速度不變，繼續(xù)在原來的軌道上爬行。經(jīng)過 T2 分 3 鐘，兩只螞蟻再一次相遇。已知 T1 +T2 =1003 -993 +983 -973 + L+ 23 - 13

10、 ，則甲螞蟻按原來的速 度繞大圓爬行一周需要_分鐘（本題答案寫為假分?jǐn)?shù)） 。 A 乙 B 甲 C 【分析 】乙爬行一個(gè) 8 字的路程為 p AB + p BC = p AC ，甲爬行一圈的路程為 p AC ，所以甲乙爬行的路程相等，所以甲從 A 到 C 的路程與乙從 A 到 C 的路 程相等 由于一開始 V甲 : V乙 = 3 : 2 ，所以第一次相遇時(shí)，甲爬了 3 圈，乙爬了 2 個(gè) 8 字， 在 A 點(diǎn)相遇 甲將速度提高 1個(gè)8字 1 * 后， V甲 : V乙 = 4 : 2 ，所以第二次相遇時(shí)，甲爬行了 2 圈，乙爬了 3 T1 + T2 = (100 - 99(1002 + 100 9

11、9 + 992 + L+ (2 - 1(22 + 2 1+ 12 = 1002 + 992 + L+ 22 + 12 + 100 99 + L+ 2 1 = 338350 + 171700 - 2550 = 507500 所以，在 507500 分鐘當(dāng)中，乙爬了 3 個(gè) 8 字，所以乙爬一個(gè) 8 字用時(shí) 鐘， 由于一開始 V甲 : V乙 = 3: 2 ， 所以甲以初始速度爬行一周需要 507500 分 3 507500 2 1015000 = 3 3 9 將 09 填入下圖圓圈中，每個(gè)數(shù)字智能使用一次，使得每條線段上的數(shù)字和都是 13。 【分析】如下圖， a - h 被算了 3 次， x 被算了 4 次， y 被算了 2 次 則 10 13 = 3 (0 + 1+ 2+ L+ 9 +x -y y - x= 5 由于 a + g+ b =c + x +y =h + e+ d= 13 f = 6 所以 c + d= a+ h= b+ x= 7 f = 6 所以， a , b , c , d , x , h 分別為 0、 2、 3、4 、5、 7 所以