§3.7 算符的對易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件

1、3.7 算符的對易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件測不準(zhǔn)關(guān)系一、泊松括號 “ ”1定義： 2性質(zhì)： （1） 計(jì)算力學(xué)量算符對易式的基本方法有二：一是將對易式作用在任意函數(shù)上，進(jìn)行運(yùn)算，以求之。二、量子力學(xué)的基本對易式下面我們用第一種方法求出坐標(biāo)、動量算符之間的對易式。對于任意函數(shù)，有由的任意性，設(shè) （2）同理： 將以上式子寫成通式有： （3） （4）其中 由上可知：動量分量和它所對應(yīng)的坐標(biāo)是不對易的，而和它不對應(yīng)的坐標(biāo)是對易的；動量各分量之間也是對易的。力學(xué)量都是坐標(biāo)和動量的函數(shù)，知道了坐標(biāo)和動量之間的對易關(guān)系后，就可以得出其他力學(xué)之間的對易關(guān)系。三、角動量算符的對易式 （5）同理： （6）

2、（7）（5）、（6）和（7）三式可以合寫為一個(gè)矢量公式 （8）上式可看作是角動量算符的定義。（它具有普遍性）（5）、（6）、（7）寫成通式為： 可見，是不對易的其中，而 即在中任意掉換兩腳標(biāo)的位置要使之變號，且在中任意兩角標(biāo)相同時(shí)為零。即下面我們計(jì)算與之間的對易關(guān)系。同理：同理： 寫成通式： 可見，分別和 中的每一個(gè)都對易。例：求（1） （2）解：（1） （2）四、不同力學(xué)量算符有共同本征函數(shù)系的充要條件1定理：如果算符和有共同的完全的本征函數(shù)系，則算符和對易。證明：見書89頁，設(shè)2逆定理：如果兩算符對易，則這兩個(gè)算符有共同的完全的本征函數(shù)系。證明：為簡單起見，這里僅討論無簡并的狀況。設(shè)是的對

3、應(yīng)本征值為的本征函數(shù)，今和對易，故可見亦為的本征函數(shù)，且所對應(yīng)的本征值為，因?yàn)橐鸭俣o簡并，因而和描述的是同一態(tài)，二者只差一個(gè)常數(shù)因子，以表示該因子，則有說明也是的本征函數(shù)，即是的共同本征函數(shù)，因?yàn)榈谋菊骱瘮?shù)組成完全系故和有共同的完全的本征函數(shù)系。證畢！3推論：一組算符有完全的共同本征函數(shù)系的充要條件是：這組算符中的任意兩個(gè)算符都可對易。五、不同力學(xué)量同時(shí)確定值的必要條件1體系處于的本征態(tài)時(shí)，測量才有確定值；2.兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件是： 兩力學(xué)量算符具有共同的本征函數(shù)（或處于共同的本征態(tài)）或兩力學(xué)量算符和對易，即： 3.一組力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件是：這組力學(xué)量算符兩兩對易。（它們有共同

4、的完全的本征函數(shù)系）作業(yè)：書第101-102，3.6，3.7，3.8，3.9六.測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格證明1.測不準(zhǔn)關(guān)系的普遍表達(dá)式若 則 （1）或 （2）其中 2.證明：設(shè)，分別代表在態(tài)中的平均值令 ，考慮積分：注意到和都是厄密算符：所以： 又因?yàn)椋核裕阂股鲜胶愠闪?，必有：故：例如：這時(shí)：所以：或 這就是坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系注：同理有：又如：角動量各分量之間也有：在的本征態(tài)下，因而和的測不準(zhǔn)關(guān)系為：顯然只有m=0的態(tài)，才可能有，其他各態(tài)都不為零，可見m=0的態(tài)是例外。3.討論及應(yīng)用（1）勢壘內(nèi)部粒子動能為負(fù)值問題因?yàn)椋鹤鴺?biāo)與動量算符不對易，所以，勢能與動能算符不對易，即勢能與動能不能同時(shí)確定，所以說在某一點(diǎn)或某一區(qū)域內(nèi)粒子的能量等于動能與勢能之和是沒有意義的。只說明在一個(gè)態(tài)中平均總能量等于平均動能與平均勢能之和，而對一個(gè)態(tài)求平均時(shí)，要對變量的整個(gè)區(qū)域求積分。當(dāng)粒子在勢壘范圍內(nèi)被激