考研數(shù)學二歷年真題及答案詳解

1、 2013年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設，當時， （ ）（A）比高階的無窮小 （B）比低階的無窮?。–）與同階但不等價無窮小 （D）與等價無窮小2已知是由方程確定，則（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2設，則（ ）（）為的跳躍間斷點 （）為的可去間斷點（）在連續(xù)但不可導 （）在可導設函數(shù)，且反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）設函數(shù)，其中可微，則（ ）（A） （B）（C） （D）6設是圓域的第象限的部分，記，則（ ）（A） （B） （C） （D）7設，均為階矩陣，若，且可逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組

2、等價（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價8矩陣與矩陣相似的充分必要條件是（A） （B），為任意常數(shù)（C） （D），為任意常數(shù)二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 10設函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導數(shù) 11設封閉曲線L的極坐標方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為 12曲線上對應于處的法線方程為 13已知是某個二階常系數(shù)線性微分方程三個解，則滿足方程的解為 14設是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，則= 三、解答題15（本題滿分10分）當時，

3、與是等價無窮小，求常數(shù)16（本題滿分10分）設D是由曲線，直線及軸所轉成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉一周所形成的立體的體積，若，求的值17（本題滿分10分）設平面區(qū)域D是由曲線所圍成，求18（本題滿分10分）設奇函數(shù)在上具有二階導數(shù)，且，證明：（1）存在，使得；（2）存在，使得19（本題滿分10分）求曲線上的點到坐標原點的最長距離和最短距離20（本題滿分11）設函數(shù)求的最小值；設數(shù)列滿足，證明極限存在，并求此極限21（本題滿分11）設曲線L的方程為（1）求L的弧長（2）設D是由曲線L，直線及軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標22本題滿分11分）設，問當為何值時，存在矩陣C，使得，并求出

4、所有矩陣C23（本題滿分11分）設二次型記（1）證明二次型對應的矩陣為 ；（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標準形為 2012年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、選擇題:1-8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)曲線的漸近線條數(shù) ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 設函數(shù)，其中為正整數(shù),則 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的 ( )(A) 充分必要條件 (B) 充分非必要條件 (C) 必要非充分條件 (D) 非充分也非必要(4

5、) 設則有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設函數(shù)為可微函數(shù)，且對任意的都有則使不等式成立的一個充分條件是 ( )(A) (B) (C) (D) (6) 設區(qū)域由曲線圍成，則 ( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 設, , , ,其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關的為 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且.若，則 ( )(A) (B) (C) (D)二、填空題：9-14小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9) 設是由方程所確定的隱函數(shù)，則 .(10) .(11) 設其中函數(shù)可微，則 .(12

6、) 微分方程滿足條件的解為 .(13) 曲線上曲率為的點的坐標是 .(14) 設為3階矩陣，為伴隨矩陣，若交換的第1行與第2行得矩陣，則 . 三、解答題：15-23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分 10 分)已知函數(shù)，記，(I)求的值;(II)若時，與是同階無窮小，求常數(shù)的值.(16)(本題滿分 10 分)求函數(shù)的極值.(17)(本題滿分12分)過點作曲線的切線,切點為,又與軸交于點,區(qū)域由與直線圍成,求區(qū)域的面積及繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積.(18)(本題滿分 10 分)計算二重積分，其中區(qū)域為曲線與極軸圍成.(19)

7、(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足方程及,(I) 求的表達式;(II) 求曲線的拐點.(20)(本題滿分10分) 證明,.(21)(本題滿分10 分)(I)證明方程，在區(qū)間內有且僅有一個實根；(II)記(I)中的實根為，證明存在，并求此極限.(22)(本題滿分11 分)設，(I) 計算行列式；(II) 當實數(shù)為何值時，方程組有無窮多解，并求其通解.(23)(本題滿分11 分)已知，二次型的秩為2，(I) 求實數(shù)的值；(II) 求正交變換將化為標準形.2011年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、 選擇題：18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請

8、將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。（1）已知當時，函數(shù)與是等價無窮小，則（ ）（A） （B）（C） （D）（2）設函數(shù)在處可導，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）（3）函數(shù)的駐點個數(shù)為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（4）微分方程的特解形式為（ ）（A） （B）（C） （D）（5）設函數(shù)，均有二階連續(xù)導數(shù)，滿足，則函數(shù)在點處取得極小值的一個充分條件是（ ）（A）， （B），（C）， （D）， （6）設，則，的大小關系為（ ） （A） （B） （C） （D）（7）設為3階矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣。記，則=（ ） （A） （B） （

9、C） （D）（8）設是4階矩陣，為的伴隨矩陣。若是方程組的一個基礎解系，則的基礎解系可為（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空題：914小題，每小題4分，共24分。請將答案寫在答題紙指定位置上。（9） 。（10）微分方程滿足條件的解為 。（11）曲線 的弧長 。（12）設函數(shù) ，則 。（13）設平面區(qū)域由直線，圓及軸所圍成，則二重積分 。（14）二次型，則的正慣性指數(shù)為 。三、解答題：1523小題，共94分。請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分10分） 已知函數(shù)，設，試求的取值范圍。（16）（本題滿分11分） 設函數(shù)由參數(shù)方程 確定，求的極

10、值和曲線的凹凸區(qū)間及拐點。（17）（本題滿分9分） 設函數(shù)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)可導且在處取得極值，求。（18）（本題滿分10分） 設函數(shù)具有二階導數(shù)，且曲線與直線相切于原點，記為曲線在點處切線的傾角，若，求的表達式。（19）（本題滿分10分） （I）證明：對任意的正整數(shù)，都有成立。 （II）設，證明數(shù)列收斂。（20）（本題滿分11分） 一容器的內側是由圖中曲線繞軸旋轉一周而成的曲面，該曲線由與連接而成。 （I）求容器的容積； （II）若將容器內盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？（長度單位：，重力加速度為，水的密度為）（21）（本題滿分11分） 已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導

11、數(shù)，且，其中，計算二重積分。（22）（本題滿分11分） 設向量組，不能由向量組，線性表示。 （I）求的值； （II）將用線性表示。（23）（本題滿分11分） 設為3階實對稱矩陣，的秩為2，且。 （I）求的所有的特征值與特征向量； （II）求矩陣。2010年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一選擇題(1)A0 B1 C2 D32.設是一階線性非齊次微分方程的兩個特解，若常數(shù)使是該方程的解，是該方程對應的齊次方程的解，則A B C D(1)A4e B3e C2e De4.設為正整數(shù),則反常積分的收斂性A僅與取值有關 B僅與取值有關C與取值都有關 D與取值都無關5.設函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù)

12、,且則=AB C D 6.(4)= A B CD7.設向量組，下列命題正確的是：A若向量組I線性無關，則 B若向量組I線性相關，則rsC若向量組II線性無關，則 D若向量組II線性相關，則rs(A) 設為4階對稱矩陣,且若的秩為3,則相似于A B CD 二填空題9.3階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解y=_10. 曲線的漸近線方程為_11. 函數(shù)12.13. 已知一個長方形的長l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當l=12cm,w=5cm時，它的對角線增加的速率為_14. 設A，B為3階矩陣，且三解答題15.16.(1)比較與的大小,說明理由. (2)記求極限17. 設函數(shù)y=

13、f(x)由參數(shù)方程18. 一個高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a,短軸為2b的橢圓。現(xiàn)將貯油罐平放，當油罐中油面高度為時，計算油的質量。（長度單位為m，質量單位為kg，油的密度為）19.20.21. 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=,證明：存在22.23.設，正交矩陣Q使得為對角矩陣，若Q的第一列為，求a、Q.2009年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)，則（ ）1.2. 3.無

14、窮多個.（2）當時，與是等價無窮小，則（ ）. .（3）設函數(shù)的全微分為，則點（ ）不是的連續(xù)點.不是的極值點. 是的極大值點. 是的極小值點.（4）設函數(shù)連續(xù)，則（ ）. . .（5）若不變號，且曲線在點上的曲率圓為，則在區(qū)間內（ ）有極值點，無零點.無極值點，有零點. 有極值點，有零點.無極值點，無零點.（6）設函數(shù)在區(qū)間上的圖形為：1-2023-1O則函數(shù)的圖形為（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11（7）設、均為2階矩陣，分別為、的伴隨矩陣。若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（ ）. .（8）設均為3階矩陣，為的轉置矩陣，且，若，則為（ ）. .二

15、、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）曲線在處的切線方程為 （10）已知,則 （11） （12）設是由方程確定的隱函數(shù)，則 （13）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 (14)設為3維列向量，為的轉置，若矩陣相似于，則 三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求極限（16）（本題滿分10 分）計算不定積分 （17）（本題滿分10分）設，其中具有2階連續(xù)偏導數(shù)，求與（18）（本題滿分10分）設非負函數(shù)滿足微分方程，當曲線過原點時，其與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，求繞軸旋轉

16、所得旋轉體體積。（19）（本題滿分10分）求二重積分，其中（20）（本題滿分12分）設是區(qū)間內過的光滑曲線，當時，曲線上任一點處的法線都過原點，當時，函數(shù)滿足。求的表達式（21）（本題滿分11分）（）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，在可導，則存在，使得（）證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內可導，且，則存在，且。（22）（本題滿分11分）設，（）求滿足的所有向量（）對（）中的任一向量，證明：線性無關。（23）（本題滿分11分）設二次型（）求二次型的矩陣的所有特征值；（）若二次型的規(guī)范形為，求的值。2008年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給

17、出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）設，則的零點個數(shù)為（ ）0 1. 2 3（2）曲線方程為函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導數(shù)，則定積分（ ）曲邊梯形ABOD面積.梯形ABOD面積.曲邊三角形面積.三角形面積.（3）在下列微分方程中，以（為任意常數(shù)）為通解的是（ ） （5）設函數(shù)在內單調有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（ ）若收斂，則收斂. 若單調，則收斂.若收斂，則收斂.若單調，則收斂.（6）設函數(shù)連續(xù)，若，其中區(qū)域為圖中陰影部分，則 （7）設為階非零矩陣，為階單位矩陣. 若，則（ ）不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. （8）設，則在實數(shù)

18、域上與合同的矩陣為（ ）. . 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9） 已知函數(shù)連續(xù)，且，則.（10）微分方程的通解是.（11）曲線在點處的切線方程為.（12）曲線的拐點坐標為_.（13）設，則.（14）設3階矩陣的特征值為.若行列式，則.三、解答題：1523題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)（本題滿分9分）求極限.(16)（本題滿分10分）設函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問題的解.求.(17)（本題滿分9分）求積分 .(18)（本題滿分11分）求二重積分其中(19)（本題滿分11分）設是區(qū)

19、間上具有連續(xù)導數(shù)的單調增加函數(shù)，且.對任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周生成一旋轉體.若該旋轉體的側面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達式.(20)（本題滿分11分）(1) 證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點，使得 (2)若函數(shù)具有二階導數(shù)，且滿足，證明至少存在一點（21）（本題滿分11分）求函數(shù)在約束條件和下的最大值與最小值.（22）（本題滿分12分） 設矩陣，現(xiàn)矩陣滿足方程，其中，（1）求證；（2）為何值，方程組有唯一解，并求；（3）為何值，方程組有無窮多解，并求通解.（23）（本題滿分10分）設為3階矩陣，為的分別屬于特征值特征向量，向量滿足，

20、（1）證明線性無關；（2）令，求.2007年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、選擇題：110小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）當時，與等價的無窮小量是 （A） （B） （C） （D） （2）函數(shù)在上的第一類間斷點是 （A）0 （B）1 （C） （D）（3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設，則下列結論正確的是： （A） (B) （C） （D） （4）設函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （C）若存在，

21、則 （D）若存在，則. （5）曲線的漸近線的條數(shù)為（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （6）設函數(shù)在上具有二階導數(shù)，且，令，則下列結論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若 ，則必發(fā)散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發(fā)散. （7）二元函數(shù)在點處可微的一個充要條件是 （A）.（B）.（C）.（D）.（8）設函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（A） （B）（C） （D）（9）設向量組線性無關，則下列向量組線性相關的是線性相關，則(A) (B) (C) .(D) . （10）設矩陣，則與 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同

22、也不相似 二、填空題：1116小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（11） _.（12）曲線上對應于的點處的法線斜率為_.（13）設函數(shù)，則_.（14） 二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為_.（15） 設是二元可微函數(shù)，則 _.（16）設矩陣，則的秩為 . 三、解答題：1724小題，共86分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17） (本題滿分10分)設是區(qū)間上單調、可導的函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求.（18）（本題滿分11分） 設是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域. （）求區(qū)域繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積；（）當為何值時，最??？并求此最小值.（19）（本題滿分10分

23、）求微分方程滿足初始條件的特解.（20）（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階導數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，設，求.（21） (本題滿分11分)設函數(shù)在上連續(xù)，在內具有二階導數(shù)且存在相等的最大值，證明：存在，使得.（22） (本題滿分11分) 設二元函數(shù)，計算二重積分，其中.（23） (本題滿分11分) 設線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.（24） (本題滿分11分)設三階對稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（II）求矩陣. 2006年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、 填空題：16小題，每

24、小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1）曲線 的水平漸近線方程為 （2）設函數(shù)在處連續(xù)，則 .（3）廣義積分 .（4）微分方程的通解是 （5）設函數(shù)由方程確定，則 （6）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 .二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（7）設函數(shù)具有二階導數(shù)，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應的增量與微分，若，則 (A) . (B) .(C) . (D) . （8）設是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點，則是（A）連續(xù)的奇函數(shù).（B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在間斷的奇函數(shù)（D

25、）在間斷的偶函數(shù). （9）設函數(shù)可微，則等于（A）.（B）（C）（D） （10）函數(shù)滿足的一個微分方程是（A）（B）（C）（D） （11）設為連續(xù)函數(shù)，則等于（）. （B）.(C).(D) . （12）設均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是 (A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. （13）設均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是 (B) 若線性相關，則線性相關. (C) 若線性相關，則線性無關. (C) 若線性無關，則線性相關. (D) 若線性無關，則線性無關. （14）設為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2

26、列得，記，則（）.（）.（）.（）.三 、解答題：1523小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分） 試確定的值，使得，其中是當時比高階的無窮小.（16）（本題滿分10分）求 .（17）（本題滿分10分）設區(qū)域， 計算二重積分（18）（本題滿分12分）設數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計算.（19）（本題滿分10分） 證明：當時，. （20）（本題滿分12分）設函數(shù)在內具有二階導數(shù)，且滿足等式.（I）驗證；（II）若，求函數(shù)的表達式. （21）（本題滿分12分）已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（II）過點引L的切線，求切點，并寫出切線的方程；

27、（III）求此切線與L（對應于的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.（22）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解.（）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；（）求的值及方程組的通解.（23）（本題滿分9分）設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對角矩陣,使得.2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題二、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）設，則 = .（2）曲線的斜漸近線方程為 .（3） .（4）微分方程滿足的解為 .（5）當時，與是等價無窮小，則k= .（6）設均為3維列向

28、量，記矩陣 ， 如果，那么 .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（7）設函數(shù)，則f(x)在內(A) 處處可導. (B) 恰有一個不可導點.(C) 恰有兩個不可導點. (D) 至少有三個不可導點. （8）設F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)是單調函數(shù)f(x)是單調函數(shù). （9）設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，

29、則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫坐標是 (A) . (B) . (C) . (D) . （10）設區(qū)域，f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則(A) . (B) . (C) . (D) . （11）設函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導數(shù)， 具有一階導數(shù)，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . （12）設函數(shù)則(A) x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點.(C) x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點.(D) x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點. （13）設是

30、矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . （14）設A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則 (D) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D) 交換的第1行與第2行得. 三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限（16）（本題滿分11分）如圖，和分別是和的圖象，過點(0,1)的曲線是一單調增函數(shù)的圖象. 過上任一點M(

31、x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和. 記與所圍圖形的面積為；與所圍圖形的面積為如果總有，求曲線的方程（17）（本題滿分11分）如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線與分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4). 設函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導數(shù)，計算定積分（18）（本題滿分12分） 用變量代換化簡微分方程，并求其滿足的特解.（19）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=1. 證明：（I）存在 使得；（II）存在兩個不同的點，使得（20）（本題滿分10分）已知函數(shù)z=f(x,y) 的全

32、微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值.（21）（本題滿分9分）計算二重積分，其中.（22）（本題滿分9分）確定常數(shù)a,使向量組可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示.（23）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.2004年考碩數(shù)學（二）真題一. 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上. ）（1）設, 則的間斷點為 .（2）設函數(shù)由參數(shù)方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為_.（3）_.（4）設函數(shù)由方程確定, 則_.（5）微分方程滿足的特解為_.（

33、6）設矩陣, 矩陣滿足, 其中為的伴隨矩陣, 是單位矩陣, 則_-.二. 選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求, 把所選項前的字母填在題后的括號內. ）（7）把時的無窮小量, , 排列起來, 使排在后面的是前一個的高階無窮小, 則正確的排列次序是（A） （B）（C） （D） （8）設, 則（A）是的極值點, 但不是曲線的拐點.（B）不是的極值點, 但是曲線的拐點.（C）是的極值點, 且是曲線的拐點.（D）不是的極值點, 也不是曲線的拐點. （9）等于（A）. （B）.（C）. （D） （10）設函數(shù)連續(xù), 且, 則存在, 使得（A）在內單

34、調增加.（B）在內單調減小.（C）對任意的有.（D）對任意的有. （11）微分方程的特解形式可設為（A）.（B）.（C）.（D） （12）設函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于（A）.（B）.（C）.（D） （13）設是3階方陣, 將的第1列與第2列交換得, 再把的第2列加到第3列得, 則滿足的可逆矩陣為（A）. （B）. （C）. （D）. （14）設,為滿足的任意兩個非零矩陣, 則必有（A）的列向量組線性相關,的行向量組線性相關.（B）的列向量組線性相關,的列向量組線性相關.（C）的行向量組線性相關,的行向量組線性相關.（D）的行向量組線性相關,的列向量組線性相關. 三. 解答題（本題共9小題，滿分

35、94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. ）（15）（本題滿分10分）求極限.（16）（本題滿分10分）設函數(shù)在（）上有定義, 在區(qū)間上, , 若對任意的都滿足, 其中為常數(shù).()寫出在上的表達式; ()問為何值時, 在處可導.（17）（本題滿分11分）設,()證明是以為周期的周期函數(shù);()求的值域.（18）（本題滿分12分）曲線與直線及圍成一曲邊梯形. 該曲邊梯形繞軸旋轉一周得一旋轉體, 其體積為, 側面積為, 在處的底面積為.()求的值; ()計算極限.（19）（本題滿分12分）設, 證明.（20）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時,為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張

36、開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現(xiàn)有一質量為的飛機,著陸時的水平速度為.經(jīng)測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數(shù)為).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少? 注 表示千克,表示千米/小時.（21）（本題滿分10分）設,其中具有連續(xù)二階偏導數(shù),求.（22）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組試問取何值時, 該方程組有非零解, 并求出其通解.（23）（本題滿分9分）設矩陣的特征方程有一個二重根, 求的值, 并討論是否可相似對角化.2003年考研數(shù)學（二）真題三、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） 若時， 與是等價

37、無窮小，則a= .（2） 設函數(shù)y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是 .（3） 的麥克勞林公式中項的系數(shù)是_.（4） 設曲線的極坐標方程為 ，則該曲線上相應于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為_.（5） 設為3維列向量，是的轉置. 若，則= .（6） 設三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則_.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（1）設均為非負數(shù)列，且,則必有(A) 對任意n成立. (B) 對任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在

38、. （2）設, 則極限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . （3）已知是微分方程的解，則的表達式為 （A） (B) (C) (D) （4）設函數(shù)f(x)在內連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 一個極小值點和兩個極大值點. (B) 兩個極小值點和一個極大值點. (C) 兩個極小值點和兩個極大值點.(D) 三個極小值點和一個極大值點. y O x（5）設, 則 (A) (B) (C) (D) （6）設向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當時，向量組II必線性相關. (B) 當時，向量組II必線性相關. (C) 當時，向量組I必線性相關. (D) 當時，向量

39、組I必線性相關. 三 、（本題滿分10分）設函數(shù) 問a為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時，x=0是f(x)的可去間斷點？四 、（本題滿分9分） 設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，求五 、（本題滿分9分）計算不定積分 六 、（本題滿分12分） 設函數(shù)y=y(x)在內具有二階導數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.七 、（本題滿分12分）討論曲線與的交點個數(shù).八 、（本題滿分12分） 設位于第一象限的曲線y=f(x)過點，其上任一點P(x,y)處的法線與y軸的交點為Q，且線段P

40、Q被x軸平分.(2) 求曲線 y=f(x)的方程；(3) 已知曲線y=sinx在上的弧長為，試用表示曲線y=f(x)的弧長s.九 、（本題滿分10分）有一平底容器，其內側壁是由曲線繞y軸旋轉而成的旋轉曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2 m.根據(jù)設計要求，當以的速率向容器內注入液體時，液面的面積將以的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內無液體）.(2) 根據(jù)t時刻液面的面積，寫出t與之間的關系式；(3) 求曲線的方程.(注：m表示長度單位米，min表示時間單位分.)十 、（本題滿分10分）設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且 若極限存在，證明：(1) 在(a,b)內

41、f(x)0; (2)在(a,b)內存在點，使；(3) 在(a,b) 內存在與(2)中相異的點，使十 一、（本題滿分10分）若矩陣相似于對角陣，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使十二 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為2014年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題答案一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）B（2）B（3）D（4）C（5）D（6）A（7）B（8）A二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙

42、指定位置上.（9） （10） （11） （12） （13） （14）-2,2三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）【答案】（16） 【答案】因為 ，得到，。所以時，取極大值。時，取極小值。由可知，因為，所以，。所以時，取極大值。時，取極小值。（17） 【答案】（18） 【答案】令，則，故由得（19） 【答案】證明：1）因為，所以有定積分比較定理可知，即。2）令由1）可知，所以。由是單調遞增，可知由因為，所以，單調遞增，所以，得證。（20） 【答案】因為所以所以（21）【答案】（22）【答案】 （23）【答案】利用相似對角化的充要條件證明。2013年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分【詳解】顯然當時，故應該選（C）2【分析】本題考查的隱函數(shù)的求導法則信函數(shù)在一點導數(shù)的定義【詳解】將代入方程得，在方程兩邊求導，得，代入，知，故應該選（A）【詳解】只要注意是函數(shù)的跳躍間斷點，則應該是連續(xù)點，但不可導應選（）【詳解】，其中當且僅當時才收斂；而第二個反常積分，當且僅當才收