高中數(shù)學幾類不同增長的函數(shù)模型

1、3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型教學目標：1借助計算器或計算機制作數(shù)據(jù)表格和函數(shù)圖像，對幾種常見的函數(shù)類型的增長情況進行比較，在實際應(yīng)用的背景中理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的差異。2通過對投資方案的選擇，學會利用數(shù)據(jù)表格和函數(shù)圖像分析問題和解決問題；引導(dǎo)學生充分體驗將實際問題“數(shù)學化”解決的過程， 從而理解“數(shù)學建?！钡乃枷敕椒ń鉀Q問題的有效性。3鼓勵學生收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等），體驗函數(shù)是描述宏觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，從而培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣。教學重點：將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、

2、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義 教學難點：如何選擇和利用不同函數(shù)模型增長差異性分析解決實際問題。技術(shù)手段：計算機輔助教學。教學方法：啟發(fā)探究式。教學過程一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題（1）先看一張圖片，這是什么動物？（2）關(guān)于兔子有這樣一段故事：1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個澳大利亞，數(shù)量達到75億只（3）請看畫面。（4）可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大

3、利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀五十年代，科學家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣（5）一般而言，在理想條件（食物或養(yǎng)料充足，空間條件充裕，氣候適宜，沒有敵害等）下，種群在一定時期內(nèi)的增長大致符合“J”型曲線；在有限環(huán)境（空間有限，食物有限，有捕食者存在等）中，種群增長到一定程度后不增長，曲線呈“S”型可用指數(shù)函數(shù)描述一個種群的前期增長，用對數(shù)函數(shù)描述后期的增長.（6）生活中的增長現(xiàn)象比比皆是，在我們學過的函數(shù)中也有許多成增長形態(tài)發(fā)展的。因此研究不同增長函數(shù)模型是非常必要的。二、組織引導(dǎo)，合作探究例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案

4、供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0 .4元，以后每天的回報比前一天翻一番請問，你會選擇哪種投資方案？【問題1】選擇最佳投資方案的原則是什么？預(yù)案一：誰的回報多。（有條件限制嗎？回報指的是什么是每天回報還是總回報）預(yù)案二：相同條件下，誰的回報多。（相同條件指的是什么？）答案：從第一天起，相同時間內(nèi)哪一個方案的累計回報數(shù)（總回報數(shù)）多，就選哪一個方案?！締栴}2】本題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系? 如何利用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系?預(yù)案一：總回報數(shù)與天數(shù)的關(guān)系。設(shè)總回報數(shù)為y元，投資天數(shù)為x則方案一：y=40x(xN

5、*)；方案二：；方案三：。 請學生課下進一步探究。預(yù)案二：每天回報數(shù)與投資天數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)第x天所得回報是y元,則 方案一可用函數(shù)y=40(xN*)進行描述;方案二可以用函數(shù)y=10x(xN*)進行描述;方案三可以用函數(shù)進行描述。【問題3】你能認識一下方案中的三個函數(shù)嗎？方案一是常數(shù)函數(shù)；方案二是一次函數(shù)；方案三是指數(shù)型函數(shù)，方案二、三中的函數(shù)都是增函數(shù)?！締栴}4】下面利用這三個函數(shù)關(guān)系式,算出每天的回報數(shù)，請?zhí)顚懺诒硪恢小/天方案一方案二方案三 每天回報數(shù)y/元每天回報數(shù)y/元每天回報數(shù)y/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.

6、87407025.68408051.294090102.41040100204.83040300214748364.8【問題5】這三個函數(shù)增長速度怎樣，通過哪個量來判斷這三個函數(shù)的增長速度？ （通過增加量（增長量）來判斷，也就是從第二天起，每一天與前一天的變化量）下面請同學再算一下每一種方案的增加量。x/天方案一方案二方案三每天回報數(shù)y/元增加量每天回報數(shù)y/元增加量每天回報數(shù)y/元增加量140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.8840080105

7、1.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010214748364.8107374182.4【問題6】這三種方案的增加量有何特點？可以看到，方案一、方案二增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的。下面再從圖象的角度來認識一下：（函數(shù)圖象是分析問題的好幫手，為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點）我們看到：底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多。因此，把指數(shù)增長也稱為指數(shù)爆炸。 【問題7】從這三種方案每天所得回報看

8、，你能得到什么結(jié)論？第13天，方案一最多；在第四天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天以后，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元。【問題8】根據(jù)這里的分析，是否應(yīng)作這樣的選擇：投資5天以下選方案一，投資58天選方案二，投資8天以上選方案三？【問題9】下面再算一下三種方案的累計回報，填寫在表格中?！締栴}10】從累計的回報數(shù)看，你會選擇哪種方案？結(jié)論：投資16天，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資7天，應(yīng)選擇第一或二種投資方案；投資810天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案。 【問題11】從上面問題可以看出

9、，幾種常見函數(shù)的增長情況如下：常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)型函數(shù)保持不變直線上升指數(shù)爆炸【問題12】解決實際問題的一般步驟是什么？實際問題數(shù)學問題(轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題)數(shù)學化問題解決數(shù)學解答符合實際回到實際問題數(shù)學問題結(jié)論實際問題結(jié)論例2某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加但獎金不超過5萬元現(xiàn)有三個獎勵模型：，問：其中哪個模型能符合公司的要求？【問題1】本題涉及到的三個函數(shù)都是什么函數(shù)？【問題2】的取值范圍，即函數(shù)的定義域是什么？由于公司總的利潤目標為1000萬元，所

10、以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤。于是， 10,1000?！締栴}3】某個獎勵模型符合公司要求，要滿足哪些條件？獎金總數(shù)不超過5萬元，即。 【問題4】結(jié)合圖象，并通過計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬？（1）對于模型y=0.25x,它在區(qū)間10,1000上遞增,當x=20時，y=5，因此，當x(20,1000)時,y>5,因此該模型不符合要求。（2）對于模型,由函數(shù)圖象,并利用計算器,可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個點滿足 ,由于它在10,1000上遞增,因此當時,y>5,因此該模型也不符合要求。（3）對于模型,它在區(qū)間10,1000上遞增,而且當x=1000時, ,所以它符

11、合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求?！締栴}5】你對對數(shù)型函數(shù)模型增長有怎樣的認識？結(jié)論：對數(shù)增長模型比較適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律?！締栴}6】請你研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的增長差異。三、課堂練習1、四個變量隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是 。四、小結(jié)與反思五、作業(yè)收集一些社會生活中遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例，對它們的增長速度進行比較，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用. 教學設(shè)計說明本節(jié)課的內(nèi)容是人教社普通高中課程標準實驗教科書A版數(shù)學必修1第三章幾種不同增長的函數(shù)模型（第一課時），本節(jié)課的重點是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，結(jié)合實例體會直線直線上升、指數(shù)爆炸

12、、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。難點在于如何選擇和利用不同函數(shù)模型增長差異性分析解決實際問題本課設(shè)計的思路是通過“澳大利亞兔災(zāi)”的故事引入，一則激發(fā)學生興趣，二則讓學生初步感知指數(shù)增長即“指數(shù)爆炸”的含義。然后組織學生探究投資決策和獎勵模型兩個實際問題，通過選擇變量、建立模型，利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象討論模型，體會不同函數(shù)模型增長的含義及其差異。結(jié)合計算機輔助教學在培養(yǎng)學生能力方面體現(xiàn)如下 1.設(shè)立“數(shù)學探究”、“數(shù)學建模”等學習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，培養(yǎng)獨立思考、積極探索的習慣。 2.引導(dǎo)學生自主探索函數(shù)模型的差異性、動手制作表格和作圖、合作交流討論、閱讀自學等學習數(shù)學的方式。發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程