65二項式定理的結合

1、 高考數(shù)學母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數(shù)學叢書,給您一個智慧的人生！高考數(shù)學母題 母題(20-65):二項式定理的結合(587) 1479 二項式定理的結合 母題(20-65):(2006年安徽高考試題)設常數(shù)a>0,(ax2+)4展開式中x3的系數(shù)為,則(a+a2+an)= .解析:由Tk+1=C4k(ax2)4-k(x)k=a4-kC4kxx3的系數(shù)=a2C42=a=a+a2+an=1-()n(a+a2+an)=1.點評:二項式定理可與許多學科知識結合,以客觀題形式出現(xiàn)的主要有三種題型:以系數(shù)成等差(等比)數(shù)列,求參數(shù)或指數(shù);以二項式中的參數(shù)所滿

2、足的條件為條件,構成的問題;以二項式中的參數(shù)值為條件,構成的問題. 子題(1):(人教版選修2-3復習參考題(P40)A組第8題)已知(1+)n的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列,則n= .解析:由展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)分別為Cn8、Cn9、Cn10Cn8+Cn10=2Cn9+=2+=n=14或n=23. 注:關于系數(shù)要區(qū)別:二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù);二項式(a+bx)n的展開式中,an-kbkCnk與第k項的系數(shù). 子題(2):(2014年山東高考試題)若(ax2+)6的展開式中x3項的系數(shù)為20,則a2+b2的最小值為 .解析:()由(a

3、x2+)6展開式的通項Tk+1=C6k(ax2)6-k(bx-1)kx3項的系數(shù)a3b3C63=20ab=1a2+b22ab=2. 注:在二項式中設置兩參數(shù),并給定這以兩參數(shù)所滿足的條件,以此可構成許多問題;如以ab=1為條件,可構成:當a>0時,logab= ;a+b的取值范圍等. 子題(3):(2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽黑龍江初賽試題)若二項式(a-)6的展開式中的常數(shù)項為-160,則= .解析:由通項Tk+1=C6k(ax)6-k(-x)k常數(shù)項=(-1)3a3C63=-160a=2=(x3-x)|=6. 注:以二項式中的參數(shù)值為條件,構成極限或定積分的問題,曾是考試的熱點題型.

4、子題系列:1.(1991年全國高考試題)在(ax+1)7的展開式中,x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項,若實數(shù)a>1,那么a= .2.(2008年重慶高考試題)若(x+)n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,則展開式中x4的系數(shù)為 .3.(2006年山東高考試題)已知(x2-)n的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為-,其中i2=-1,則展開式中常數(shù)項是 4.(2004年福建高考試題)若(1-2x)9展開式的第3項為288，則(+)的值是( ) (A)2 (B)1 (C) (D)5.(1998年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖南初賽試題)若(x-)6展開式中第5項的值為,則(x-1+x-2+x-

5、n)= . 1480 母題(20-65):二項式定理的結合(587) 6(2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖南初賽試題)若(x-)6展開式中第5項的值為5,則(x-1+x-3+x-1-2n)= .7.(2002年上海高考試題)在二項式(1+3x)n和(2x+5)n的展開式中,各項系數(shù)之和分別記為an、bn,n是正整數(shù),則= .8.(2007年福建高考試題)把1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)n展開成關于x的多項式,其各項系數(shù)和為an,則等于 .9.(2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川初賽試題)設二項式(3x-1)2n=a2nx2n+a2n-1x2n-1+a2x2+a1x+a0,記Tn=a0+a2+

6、a2n,Rn=a1+a3+a2n-1,則= .10.(2009年湖北高考試題)設(+x)2n=a0+a1x+a2x2+a2n-1x2n-1+a2nx2n,則(a0+a2+a4+a2n)2-(a1+a3+a5+a2n-1)2= .11.(2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)設an是(3-)n的展開式中x項的系數(shù)(n=2,3,4,),則(+)= .12.(中等數(shù)學.2011年第12期.數(shù)學奧林匹克高中訓練題(148)整數(shù)列an定義如下:a0=0,a1=1,an=2an-1+an-2(n>1).則滿足22012|an的最小正整數(shù)n為 . 子題詳解:1.解:由(ax+1)7展開式的通項Tk+1=ak

7、C7kxka2C72+a4C74=2a3C73a=1+.2.解:由通項Tk+1=()kCnkxn-2k()0Cn0+()2Cn2=2()1Cn14+Cn2=4Cn1n=8x4的系數(shù)()2C82=7.3.解:由通項Tk+1=(-i)kCnkx(-i)2Cn2:(-i)4Cn4=-n=10常數(shù)項=(-i)8C108=45.故選(D).4.解:由通項Tk+1=C9k(-2x)k第3項=C92(-2x)2=288x=(+)=2.故選(A).5.解:由通項Tk+1=(-1)kC6kx第5項=C64x-1=x-1=(x-1+x-2+x-n)=1.6.解:由通項Tk+1=(-1)kC6kx第5項=C64x-

8、1=5x-1=(x-1+x-3+x-1-2n)=.7.解:由an=4n,bn=7n=.8.解:由an=1+2+22+2n=2n+1-1=2. 9.解:由Tn=(22n+42n),Rn=(22n-42n)=-1.10.解:由(a0+a2+a4+a2n)2-(a1+a3+a5+a2n-1)2=(+1)2n(-1)2n=()2n()2n=0.11.解:由通項Tk+1=(-1)k3n-kCnk()kan=3n-2Cn2=18(-)(+)=18.12.解:由a0=0,a1=1,an=2an-1+an-2a2=2,a3=5,a4=12,a5=29,a6=70,a7=169,a8=408,猜測2k|.用數(shù)學歸納法證明:2|a2,即n