非線性振動(dòng)作業(yè)

1、一、非線性振動(dòng)介紹1. 意義人類生活在到處存在振動(dòng)（包括波動(dòng)）的物質(zhì)世界中。振動(dòng)不僅存在人的周圍環(huán)境中，而且也存在于人體自身的許多器官及循環(huán)中。一方面，人類總是設(shè)法預(yù)防和限制以至于消除振動(dòng)帶來(lái)的危害；另一方面，人類也設(shè)法利用有用的振動(dòng)來(lái)造福人類。振動(dòng)的種類繁多，各式各樣，存在于各個(gè)角落。例如建筑物和機(jī)器的振動(dòng)，無(wú)線電技術(shù)和電工學(xué)中的振動(dòng)，磁系中的振動(dòng)，控制系統(tǒng)的振動(dòng)，同步加速器與火箭發(fā)動(dòng)機(jī)中的振動(dòng)。此外，還有生物力學(xué)及生態(tài)學(xué)中的振動(dòng)，化學(xué)反應(yīng)中的振動(dòng)，以及社會(huì)領(lǐng)域中的振動(dòng)。自然界與工程技術(shù)部門中存在的振動(dòng)可以分為顯性振動(dòng)和非線性振動(dòng)。就機(jī)械振動(dòng)而言，線性振動(dòng)是指該系統(tǒng)中的恢復(fù)力、阻尼和慣性力分

2、別是位移、速度和加速度的線性函數(shù)，即直角坐標(biāo)系中它們之間的關(guān)系呈直線形式的變化，不具備上述關(guān)系的振動(dòng)則稱為非線性振動(dòng)，自然界與工程技術(shù)中的振動(dòng)絕大多數(shù)屬于非線性振動(dòng)這一類。隨著工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)與科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，在工程技術(shù)部門中遇到的大量非線性振動(dòng)問(wèn)題亟待深入研究和解決。對(duì)這類問(wèn)題的研究工作大致可分為以下三個(gè)方面的內(nèi)容（1）非線性振動(dòng)的機(jī)理；（2）非線性振動(dòng)的抑制和控制；（3）非線性振動(dòng)的利用。國(guó)內(nèi)外的科技工作者對(duì)非線性振動(dòng)的機(jī)理研究進(jìn)行了大量的卓有成效的研究。但在工程技術(shù)部門仍然有許多非線性振動(dòng)問(wèn)題的機(jī)理研究還不夠充分。在抑制與控制有害的非線性振動(dòng)的研究方面取得了許多重要的研究成果，但也有大量問(wèn)

3、題需要解決。例如，重大機(jī)械設(shè)備屢屢產(chǎn)生嚴(yán)重的破壞事故，每一個(gè)事故的發(fā)生都會(huì)造成重大的經(jīng)濟(jì)損失，目前雖然已經(jīng)研制出一些可進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)和診斷的設(shè)備，但在準(zhǔn)確性和可靠性上還沒(méi)有達(dá)到理想的地步。加強(qiáng)對(duì)非線性振動(dòng)抑制和控制的研究是一項(xiàng)很迫切的任務(wù)。2. 非線性振動(dòng)問(wèn)題的主要特點(diǎn)雖然線性振動(dòng)與非線性振動(dòng)均屬于往復(fù)運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)特性三要素：振幅、頻率、相位有類似的定義，但非線性系統(tǒng)有其與線性系統(tǒng)截然不同的特征：（1）非線性振動(dòng)系統(tǒng)的頻率與系統(tǒng)響應(yīng)的振幅和初始條件有關(guān) 對(duì)于裝有硬彈簧的硬式非線性系統(tǒng)，固有頻率隨著振幅的增大而增大；對(duì)于裝有軟彈簧的軟式非線性系統(tǒng)，固有頻率對(duì)振幅發(fā)增大而減小。（2）對(duì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)

4、，疊加原理不適用 疊加原理是線性振動(dòng)理論的重要組成部分與基礎(chǔ)之一，即線性系統(tǒng)的兩個(gè)解的和仍是該系統(tǒng)的解，如振型疊加法、模態(tài)分析與綜合等。但在非線性系統(tǒng)中疊加原理不再適用。非線性系統(tǒng)的解法因問(wèn)題而異，至今無(wú)統(tǒng)一的通用解法 （3）非線性振動(dòng)系統(tǒng)的共振曲線不同于線性振動(dòng)，存在跳躍和滯后的現(xiàn)象非線性振動(dòng)系統(tǒng)的共振曲線和線性振動(dòng)系統(tǒng)有本質(zhì)的區(qū)別。對(duì)線性系統(tǒng)幅頻關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系。而對(duì)于非線性系統(tǒng)，幅頻關(guān)系在接近共振的一定區(qū)域中不是一一對(duì)應(yīng)的，而是多值關(guān)系。 （4）某些有阻尼的非線性振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)自激振動(dòng)，振幅不衰減 （5）強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)有超諧波響應(yīng)和次諧波響應(yīng)成分 線性系統(tǒng)響應(yīng)頻率與干擾力頻率相同，

5、但在非線性強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)中，除了含干擾力頻率外，還包含整倍數(shù)或分倍數(shù)于干擾力頻率的頻率成分及組合振動(dòng)。（6）多個(gè)簡(jiǎn)諧激振力作用下的組合振動(dòng) 對(duì)于非線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)作用有多個(gè)具有不同頻率的激振力，例如兩個(gè)激振力F1cos1t和F2cos2t，則該系統(tǒng)不僅會(huì)出現(xiàn)頻率為1，2，21，22，31，32，的響應(yīng)，而且會(huì)出現(xiàn)頻率等于兩個(gè)激振頻率之和或者之差的組合頻率的振動(dòng)響應(yīng)。 （7）存在頻率俘獲現(xiàn)象（8）非線性振動(dòng)系統(tǒng)在一定條件會(huì)出現(xiàn)分叉現(xiàn)象與混沌運(yùn)動(dòng)3. 非線性振動(dòng)問(wèn)題的研究方法線性系統(tǒng)通常存在封閉形式的解析表達(dá)式，通常稱為精確解。而非線性系統(tǒng)一般不存在封閉形式的精確解，只能求得“近似解”。非線性振動(dòng)

6、問(wèn)題的研究方法大致可分為以下幾種：此外，由于近二十年來(lái)計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，許多非線性振動(dòng)問(wèn)題可以借助數(shù)值計(jì)算與數(shù)值模擬方法予以解決，這就使得非線性振動(dòng)問(wèn)題的解法向前推進(jìn)了一大步。但是由于非線性振動(dòng)問(wèn)題的復(fù)雜性，徹底解決非線性問(wèn)題，在數(shù)學(xué)和力學(xué)上仍存在一定的難度，因而直到現(xiàn)在仍然有很多問(wèn)題亟待進(jìn)行深入研究和解決。這些問(wèn)題包括：（） 復(fù)雜非線性振動(dòng)系統(tǒng)的建模、系統(tǒng)參數(shù)的識(shí)別方法與試驗(yàn)； （） 由流體或其他非線性因素激發(fā)的復(fù)雜非線性系統(tǒng)振動(dòng)的機(jī)理；（） 多自由度強(qiáng)非線性振動(dòng)問(wèn)題的精確求解方法；（） 多自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)的各種類型的分岔；（） 復(fù)雜非線性振動(dòng)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)；（） 非線性振動(dòng)系統(tǒng)失穩(wěn)

7、機(jī)理及系統(tǒng)的局部和全局穩(wěn)定性；（） 時(shí)變（包括參變、慢變、時(shí)滯及瞬態(tài)過(guò)程）非線性振動(dòng)系統(tǒng)的特性；（） 復(fù)雜非線性振動(dòng)系統(tǒng)的自激振動(dòng)；（） 帶有沖擊的非線性振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)機(jī)理與振動(dòng)特性；（） 非線性系統(tǒng)振動(dòng)的不穩(wěn)定性振動(dòng)及其控制；（） 有關(guān)非線性振動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程及其利用；（） 與非線性振動(dòng)有關(guān)的設(shè)備或結(jié)構(gòu)破壞的機(jī)理及故障的診斷方法；（） 在復(fù)雜因素影響下的非線性波的機(jī)理及其控制與利用；（） 板殼及復(fù)雜結(jié)構(gòu)在大變形情況下的非線性振動(dòng)的研究；（） 復(fù)雜建筑結(jié)構(gòu)和大跨度橋梁在特殊載荷下的顫振與弛振；（） 復(fù)雜非線性結(jié)構(gòu)的解耦和數(shù)值計(jì)算及優(yōu)化方法。二、工程研究背景 許多工程結(jié)構(gòu)在重載作用下會(huì)產(chǎn)生大幅變形進(jìn)

8、入非彈性狀態(tài)，由于屈服的存在而呈現(xiàn)滯回特性。在周期運(yùn)動(dòng)中導(dǎo)致正向和反向運(yùn)動(dòng)時(shí)的恢復(fù)力-位移曲線形成滯回環(huán)。其效應(yīng)表現(xiàn)為剛度的減小和能量耗散的增加。當(dāng)外載荷對(duì)結(jié)構(gòu)在拉壓方向的作用性質(zhì)一致時(shí)，兩個(gè)方向上彈塑性變形過(guò)程相似，結(jié)構(gòu)存在對(duì)稱的滯回力，如受到對(duì)稱反彎的金屬梁，地震作用下的建筑結(jié)構(gòu)等。相應(yīng)的滯回模型也都是基于這種拉壓對(duì)稱性假設(shè)，如雙線性模型、分布彈塑性元件模型、輔助微分方程模型等。 基于以上認(rèn)識(shí)，可以認(rèn)為在振動(dòng)壓實(shí)過(guò)程中，壓實(shí)機(jī)構(gòu)與物料相互作用的振動(dòng)壓實(shí)系統(tǒng)存在不對(duì)稱的滯回恢復(fù)力。類似與雙線性模型，對(duì)于不對(duì)稱滯回力，也可以用分段線性的近似模型來(lái)描述。在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)如果滯回過(guò)程耗散的能量近似

9、不變，可知模型參數(shù)之間存在確定性關(guān)系。根據(jù)屈服點(diǎn)和正反峰值點(diǎn)的坐標(biāo)可以容易的確定不對(duì)稱模型中的有關(guān)參數(shù)。基于擬線性假設(shè)，不對(duì)稱滯回力可以等效為線性彈復(fù)力和線性阻尼力兩部分，方便工程應(yīng)用。從本質(zhì)上講，我們這里所討論的受壓實(shí)物料的固有滯回性質(zhì)與其它材料是一致的，只是由于振動(dòng)壓實(shí)過(guò)程中機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的特殊性，物料變形性質(zhì)存在差異才引起了滯回性質(zhì)的改變。事實(shí)上，對(duì)于某些特殊的各項(xiàng)異性材料，材料本身拉壓變形性質(zhì)不同，即使載荷對(duì)稱，也可以形成不對(duì)稱滯回環(huán)，如一些壓電晶體材料。另一種典型情況則是盡管材料變形對(duì)稱，但系統(tǒng)存在不對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)約束，如有間隙單側(cè)支承下的梁。因此，對(duì)不對(duì)稱滯回特性進(jìn)行分析具有廣泛的實(shí)際意義。

10、三、問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型及要求具有不對(duì)稱滯回分段線性剛度的振動(dòng)系統(tǒng)(1)其中表示不對(duì)稱滯回分段線性恢復(fù)力，其與位移的關(guān)系為：FxABC圖1 不對(duì)稱滯回分段線性力 模型中m為質(zhì)量，c為阻尼系數(shù)，為激勵(lì)幅值，為激勵(lì)頻率。求：(1) 滯回模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，重新畫出滯回模型圖，標(biāo)出圖中各段直線/曲線交接點(diǎn)的值(2) 系統(tǒng)響應(yīng)，并作位移時(shí)間歷程(3) 系統(tǒng)幅頻特性，并作特性曲線(4) 幅值譜圖1. 解析解法模型中m為質(zhì)量，c為阻尼系數(shù)，k為剛度系數(shù)，為激勵(lì)幅值，為激勵(lì)頻率?？捎孟旅娴姆匠瘫硎荆?（2）變形為：（3）其中： （4）則原方程化為：（5）將方程寫為如下形式：（6）其中：，令：，則方程可化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

11、 （7）采用平均法求解 對(duì)于式（7），當(dāng)時(shí)，方程（7）的派生系統(tǒng)為線性保守系統(tǒng) （8） 此派生系統(tǒng)的自由振動(dòng)解為 （9） 其中任意常數(shù)和取決于初始條件，將上式對(duì)微分一次，得到 （10）其中的和作為時(shí)間的函數(shù)，式（9）對(duì)時(shí)間微分，令；將式（10）對(duì)微分，代入方程（7）可以得出（11）其中： 把積分變量從x變?yōu)?。因?yàn)椋詾樽兞繒r(shí)周期為2，而且運(yùn)動(dòng)是周期的，所以令A(yù)點(diǎn)為0，則B點(diǎn)為，C點(diǎn)為。 （12）由式（11）導(dǎo)出微分方程：（13）得到平均化方程：（14）求得：（15）（16）其中：（17）得到： （18）消去下式中變量，導(dǎo)出受迫振動(dòng)的幅值與頻率之間的關(guān)系式，即系統(tǒng)的幅頻特性。 （19）系統(tǒng)的幅頻

12、特性為： （20）相平面內(nèi)的奇點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，為以下方程組的解：其中：（21）（22）消去上式中變量，導(dǎo)出受迫振動(dòng)的幅值與頻率之間的關(guān)系式，即系統(tǒng)的幅頻特性：（23）即：（24）其中： （25）由式（21）導(dǎo)出系統(tǒng)的相頻特性：（26）取，代入式（24）和（26）求得和，再將之代入式（9），得此時(shí)系統(tǒng)時(shí)間歷程如圖2所示。圖2 ，時(shí)時(shí)間歷程曲線圖3 ，時(shí)幅頻特性曲線由圖2可以看出，系統(tǒng)雖然為非線性系統(tǒng)，但系統(tǒng)的時(shí)間歷程與線性系統(tǒng)的時(shí)間歷程差別很小，仍為正弦曲線。圖3為系統(tǒng)的幅頻特性曲線，在共振峰處發(fā)生彎曲，體現(xiàn)了系統(tǒng)的非線性。圖4為D=0.03，0=1，F(xiàn)0=1時(shí)系統(tǒng)幅頻特性曲線隨C變化

13、情況，從圖中可以看出在其他參數(shù)不變的情況下，系統(tǒng)幅頻特性曲線的峰值隨C的增大變大，在變化的過(guò)程中幅頻特性曲線的骨架線保持不變。圖4 D=0.03，0=1，F(xiàn)0=1時(shí)系統(tǒng)幅頻特性曲線隨C變化情況圖5為C=0.1，0=1，F(xiàn)0=1時(shí)系統(tǒng)幅頻特性曲線隨D變化情況，從圖中可以看出在其他參數(shù)不變的情況下，系統(tǒng)幅頻特性曲線的峰值雖D的增大而減小，同時(shí)幅頻曲線的骨架線朝著頻率增大方向彎曲。圖6為C=0.1, 0=1, D=0.03, 時(shí)幅頻特性曲線隨變化情況，系統(tǒng)幅頻特性曲線的峰值隨的增大而增大，幅頻曲線的骨架線向頻率增大方向偏移。圖5 C=0.1，0=1，F(xiàn)0=1時(shí)系統(tǒng)幅頻特性曲線隨D變化情況圖6 C=0

14、.1，0=1，D=0.03，時(shí)系統(tǒng)幅頻特性曲線隨變化情況圖7為C=0.1,D=0.03,0=1,時(shí)系統(tǒng)幅頻特性曲線隨e變化情況，系統(tǒng)幅頻特性曲線的峰值隨e的增大而減小，幅頻曲線的骨架線向頻率增大方向偏移。圖7為C=0.1，D=0.03，0=1，時(shí)系統(tǒng)幅頻特性曲線隨e變化情況圖8為C=0.1, D=0.03, 0=1, F0=1時(shí)系統(tǒng)幅值譜圖2. 數(shù)值法求解采用龍格庫(kù)塔法解此非線性系統(tǒng)的方程，為了和解析解保持一致，方程中參數(shù)取值如下：c=0.1，0=1，d=0.03，m=1，k=1，F(xiàn)=1。圖9為c=0.1，0=1，d=0.03，m=1，k=1，F(xiàn)=1時(shí)系統(tǒng)幅頻特性曲數(shù)值解系統(tǒng)幅頻特性曲線，從圖

15、中可得系統(tǒng)的數(shù)值解雖然可以在一定頻率范圍內(nèi)體現(xiàn)系統(tǒng)的幅頻特性，但是在一定頻率范圍內(nèi)解出現(xiàn)間斷跳躍，不穩(wěn)定，不能連成曲線，因此，雖然隨著計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度的發(fā)展，數(shù)值解迅速發(fā)展，應(yīng)用越來(lái)越廣泛，但是仍有其弱點(diǎn)，解析法有它不可替代的地方。圖9 c=0.1，0=1，d=0.03，m=1，k=1，F(xiàn)=1時(shí)系統(tǒng)幅頻特性曲線五、結(jié)論 在許多工程實(shí)際中，滯回環(huán)可以具有不對(duì)稱的形狀。分段線性不對(duì)稱滯回模型中參數(shù)取決于屈服點(diǎn)、正向和反向峰值點(diǎn)的位置。在滯回耗散能量一定的情況下，加、卸載彈性剛度及塑性剛度存在著確定性的關(guān)系。四、附錄1. 解析法畫幅頻特性曲線Maple程序restart; #msub(mi(&quo

16、t;&omega;",fontstyle = "normal"),mn("0") := 1; c := .1; d := 0.3e-1; e := .5; F := 1; G(as) := piecewise(as < 1, 0, 2*12*sqrt(1-1/as2)/as+12*Pi-2*12*arccos(1/as); afeq := (-c*as*w+(3/4)*d*as3*e2*w3)2+(w2-#msub(mi("&omega;",fontstyle = "normal")

17、,mn("0")2)*as+#msub(mi("&omega;",fontstyle = "normal"),mn("0")2*as*G(as)/Pi)2-(F/e)2 = 0; with(plots, implicitplot); implicitplot(afeq, w = 0 . 2, as = 0 . 15, numpoints = 10000);2. 數(shù)值法畫幅頻特性曲線Matlab程序clearw0=0.8;e=0.1;m=1; c=0.1; d=0.03;k=0.64; P=1; for j=

18、1:200w=w0*j*0.03;x=zeros(1,10000*w);y=zeros(1,10000*w);t=zeros(1,10000*w);x(1)=0;y(1)=0;t(1)=0;h=0.1/w;for i=1:length(x)-1 if x(i)>e K1=y(i); l1=(P*cos(w*t(i)+c*y(i)-d*y(i)3-k*x(i)+k*e)/m; K2=y(i)+h*l1/2; l2=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l1/2)-d*(y(i)+h*l1/2)3-k*(x(i)+h*K1/2)+k*e)/m; K3=y(i)+h*l2

19、/2; l3=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l2/2)-d*(y(i)+h*l2/2)3-k*(x(i)+h*K2/2)+k*e)/m; K4=y(i)+h*l3; l4=(P*cos(w*(t(i)+h)+c*(y(i)+h*l3)-d*(y(i)+h*l3)3-k*(x(i)+h*K3)+k*e)/m; elseif x(i)<-e K1=y(i); l1=(P*cos(w*t(i)+c*y(i)-d*y(i)3-k*x(i)-k*e)/m; K2=y(i)+h*l1/2; l2=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l1/2)-d

20、*(y(i)+h*l1/2)3-k*(x(i)+h*K1/2)-k*e)/m; K3=y(i)+h*l2/2; l3=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l2/2)-d*(y(i)+h*l2/2)3-k*(x(i)+h*K2/2)-k*e)/m; K4=y(i)+h*l3; l4=(P*cos(w*(t(i)+h)+c*(y(i)+h*l3)-d*(y(i)+h*l3)3-k*(x(i)+h*K3)-k*e)/m; else K1=y(i); l1=(P*cos(w*t(i)+c*y(i)-d*y(i)3)/m; K2=y(i)+h*l1/2; l2=(P*cos(w*

21、(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l1/2)-d*(y(i)+h*l1/2)3)/m; K3=y(i)+h*l2/2; l3=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l2/2)-d*(y(i)+h*l2/2)3)/m; K4=y(i)+h*l3; l4=(P*cos(w*(t(i)+h)+c*(y(i)+h*l3)-d*(y(i)+h*l3)3)/m; end x(i+1)=x(i)+(K1+2*K2+2*K3+K4)*h/6; y(i+1)=y(i)+(l1+2*l2+2*l3+l4)*h/6; t(i+1)=t(i)+h;endf=max(x(9900*w:10

22、000*w);plot(w,f/e,'kx');hold onend 3. 數(shù)值法畫時(shí)間歷程曲線Matlab程序clearw0=0.8;e=0.1;m=1; c=0.1; d=0.03;k=0.64; P=1; for j=1:200w=w0*j*0.03;x=zeros(1,10000*w);y=zeros(1,10000*w);t=zeros(1,10000*w);x(1)=0;y(1)=0;t(1)=0;h=0.1/w;for i=1:length(x)-1 if x(i)>e K1=y(i); l1=(P*cos(w*t(i)+c*y(i)-d*y(i)3-k*x(i)+k*e)/m; K2=y(i)+h*l1/2; l2=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l1/2)-d*(y(i)+h*l1/2)3-k*(x(i)+h*K1/2)+k*e)/m; K3=y(i)+h*l2/2; l3=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l2/2)-d*(y(i)+h*l2/2)3-k*(x(i)+h*K2/2)+k*e)/m; K4=y(i)+h*l3; l4=(P*cos(w*(t(i)+h)+c*(y(i)+h*l3)-d*(y(i)+h*l3)3-k*(x(i)+h*K3)+k*e