LL用向前差分格式計(jì)算初邊值問題

1、偏 微 分 方 程課 程 設(shè) 計(jì)學(xué)號：0683110姓名：陸莉指導(dǎo)老師：翟方曼2010.01一題目用向前差分格式計(jì)算如下熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題已知其精確解為二理論作為模型，考慮一維熱傳導(dǎo)方程：（1.1）其中是正常數(shù)，是給定的連續(xù)函數(shù)?，F(xiàn)在考慮第二類初邊值問題的差分逼近：初始條件：（1.2）邊值條件：，（1.3）假設(shè)和在相應(yīng)區(qū)域光滑，并且在滿足相容條件，使上述問題有惟一充分光滑的解。1.建立差分格式（1）.區(qū)域剖分 取空間步長和時間步長，其中都是正整數(shù)。用兩族平行直線和將矩形域分割成矩形網(wǎng)格，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為。以表示網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)集合，即位于開矩形的網(wǎng)點(diǎn)集合；表示所有位于閉矩形的網(wǎng)點(diǎn)集合；是網(wǎng)格界點(diǎn)集合。

2、其次，用表示定義在網(wǎng)點(diǎn)的函數(shù)，（2）.微分方程的離散，建立相應(yīng)差分格式將方程在節(jié)點(diǎn)離散化， （1.4）對充分光滑的解，由Taylor展式：（1.5）（1.6）（1.7）（1.5）移項(xiàng)得：（1.8）（1.6）（1.7）相加得：（1.9）將（1.8）（1.9）代入（1.4）得：（1.10）其中，舍去，得到逼近（1.1）的向前格式差分方程：， （1.11）其中，記則由（1.4） 由（1.11） 顯然，截?cái)嗾`差（3）.邊界條件在本題中，2.穩(wěn)定性分析用傅里葉方法對差分格式進(jìn)行穩(wěn)定性分析以表示網(wǎng)比，將（1.11）改寫成便于計(jì)算的形式： （本題中）以代入，得消去，則知增長因子 由，得即 只需 解得 所以向

3、前差分格式的穩(wěn)定性條件是3 MATLAB程序取，則，滿足穩(wěn)定性條件另取，則，亦滿足穩(wěn)定性條件另取，則，亦滿足穩(wěn)定性條件format longa=2;l=1;T=1;N=10;M=400;h=l/N;to=T/M;r=(a*to)/h2;for j=1:N+1 x(j)=(j-1)*h; for k=1:M+1 t(k)=(k-1)*to; u(j,k)=exp(x(j)+2*t(k); endendu %求解精確解for j=1:N+1 x(j)=(j-1)*h; us(j,1)=exp(x(j);endfor k=1:M+1 t(k)=(k-1)*to; us(1,k)=exp(2*t(k)

4、; us(N+1,k)=exp(1+2*t(k);endfor k=2:M+1 for j=2:N us(j,k)=r*us(j-1,k-1)+(1-2*r)*u(j,k-1)+r*us(j+1,k-1); endendus %求解數(shù)值解for k=1:M+1 for j=1:N+1 R(j,k)=abs(u(j,k)-us(j,k); endendR %計(jì)算誤差Rmax=max(max(R) %求誤差的最大值圖-精確解與數(shù)值解的比較：x=0:0.1:1;hold onplot(x,u(:,M+1),'b');plot(x,us(:,M+1),'y');titl

5、e('t=1，h=1/10，=1/400時精確解和數(shù)值解的比較')text(0.05,21,'藍(lán)：精確解');text(0.05,20,'黃：數(shù)值解');hold off圖-取不同步長時的誤差比較：x=0:1/10:1;y=0:1/20:1;z=0:1/40:1;hold onplot(x,R(:,M+1),'b');hold offM分別取10，20，40四表格及圖表部分結(jié)點(diǎn)處的精確解、數(shù)值解和誤差絕對值（取，）精確解數(shù)值解（3，1）（0.2，0）1.2214031.2214030（3，41）（0.2，0.1）1.4918251

6、.4916251.994660e-004（3，81）（0.2，0.2）1.8221191.8218472.719067e-004（3，121）（0.2，0.3）2.2255412.2252053.359077e-004（3，161）（0.2，0.4）2.7182822.7190674.107891e-004（3，201）（0.2，0.5）3.3201173.3196155.018075e-004（3，241）（0.2，0.6）4.0552004.0545886.129183e-004（3，281）（0.2，0.7）4.9530324.9522847.486214e-004（3，321）（0.2

7、，0.8）6.0496476.0487339.143683e-004（3，361）（0.2，0.9）7.3890567.38793911.168120e-004（3，401）（0.2，1）9.0250139.02364913.640773e-004部分結(jié)點(diǎn)處的精確解、數(shù)值解和誤差絕對值（取，）精確解數(shù)值解（5，1）（0.2，0）1.2214031.2214030（5，161）（0.2，0.1）1.4918251.4917754.967727e-005（5，321）（0.2，0.2）1.8221191.8220516.790495e-005（5，481）（0.2，0.3）2.2255412.22

8、54578.393560e-005（5，641）（0.2，0.4）2.7182822.71818010.265644e-005（5，801）（0.2，0.5）3.3201173.31999212.540377e-005（5，961）（0.2，0.6）4.0552004.05504715.317112e-005（5，1121）（0.2，0.7）4.9530324.95284518.708399e-005（5，1281）（0.2，0.8）6.0496476.04941922.850495e-005（5，1441）（0.2，0.9）7.3890567.38877727.909658e-005（5，1601）（0.2，1）9.0250139.02467334.088933e-005取不同步長時數(shù)值解的最大誤差（）23.469161e-0045.911936e-0041.477843e-004圖（a）：時精確解和數(shù)值解的比較由此圖可以看出，精確解和數(shù)值解幾乎重合。局部的放大圖：由此圖可以明顯看出數(shù)值解和精確解存在的誤差圖（b）：，取不同步長時精確解與數(shù)值解的誤差比較藍(lán)色： 綠色 紅色由此圖可以看出，步長越小，誤差越小5 結(jié)論拋物型方程的有限差分法的步