C語言中浮點數(shù)的存儲格式及其有效數(shù)字位數(shù)

1、C 語言中浮點數(shù)的存儲格式及其有效數(shù)字位數(shù)!張宗杰張明亮(蘇州科技學院電子與信息工程系蘇州215011摘要:總結(jié)了C 語言中的單精度型(fioat 、雙精度型(doubie 和長雙精度型(iong doubie 浮點數(shù)的存儲格式,并用簡潔的C 程序給出了驗證;對其表示的十進制數(shù)的有效數(shù)字位數(shù),從相對誤差的角度,給出了判定方法及結(jié)論。關(guān)鍵詞:浮點數(shù)單精度雙精度長雙精度階碼尾數(shù)有效數(shù)字位數(shù)中圖分類號:TP31Storage Format of A Binary Floating -Point Number and its Bits of Decimal Significant DigitsZhan

2、g ZongjieZhang Mingliang(Dept.of Eiectronics &Information Engineering ,Suzhou Coiiege of Science and Technoiogy ,Suzhou215011Abstract :It describes how fioating -point data (fioat ,doubie ,iong doubie stored in memory ,the range and precision of storage for-mats ,and how to vaiidate it in simpie

3、 C program.It discusses the number of decimai significant digits from the viewpoint of reiative error.Key words :fioating -point number ,fioat ,doubie ,iong doubie ,exponent ,mantissa ,significant digits Class number :TP310前言實數(shù)在計算機中一般以二進制浮點數(shù)的形式存放。可是,其具體的存儲格式等在有關(guān)的書籍中很難查到,多是泛泛地給出不同類型的浮點數(shù)(單精度型、雙精度型、長雙精

4、度型的十進制數(shù)的數(shù)值范圍,及其大致能提供的有效數(shù)字位數(shù)。而用計算機進行數(shù)值運算時,經(jīng)常需要關(guān)注有效數(shù)字的位數(shù),即數(shù)據(jù)的精確度問題。為此查閱了美國電氣電子工程師學會(IEEE 的IEEE 754-1985標準,該標準給出了有關(guān)浮點數(shù)在計算機中的存儲格式(多數(shù)計算機語言中浮點數(shù)的實現(xiàn)均參照或遵循此標準。本文在此基礎(chǔ)上通過C 程序驗證等總結(jié)了C 語言中浮點數(shù)的實現(xiàn)機制、準確的表示范圍等;并進一步討論了浮點數(shù)的十進制數(shù)有效數(shù)字位數(shù);論證了二進制數(shù)的位數(shù)與十進制數(shù)有效數(shù)字位數(shù)的關(guān)系。1有關(guān)科學記數(shù)法十進制的實數(shù)R 的二進制數(shù)的科學記數(shù)法可表示為:R I (-1S X M X 2E其中S 表示符號,S I

5、 1表示負數(shù),S I 0表示正數(shù)。M 為二進制數(shù)的系數(shù),規(guī)范化二進制數(shù)的M 形式為1.b 1b 2b n 。整數(shù)E 為二進制數(shù)的指數(shù)。2IEEE 754-1985標準簡介IEEE 754-1985標準規(guī)定了fioat(單精度型、doubie (雙精度型浮點數(shù)R 的二進制存儲的編碼格式如下:最高位最低位符號S階碼E尾數(shù)M對于fioat 型,IEEE 754-1985標準規(guī)定用32位二進制編碼表示,具體如下:最高位31位,保存符號位S ,“0”表示正數(shù),“1”表示負數(shù)。30位23位,共8位,移碼方式(指數(shù)值加上偏移量127保存指數(shù)部分,稱為階碼。22位0位,共23位,保存系數(shù)部分,稱為尾數(shù),對于規(guī)

6、范化二進制數(shù),整數(shù)位的前導“1”不保存(隱含,直接保存小數(shù)部分b 1b 2b 23。48計算機與數(shù)字工程第34"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

7、;""""""""""""""""""""""""卷!收到本文時間:2005年4月8日并有以下規(guī)定:若1!E !254,R =(-1SX (1+0.M X 2E -127此時R 為規(guī)范化數(shù);若E =0且M =0,R =0;若E =0且M "0,R =(-1SX (0.M X 2-126此時R 為非規(guī)范化數(shù);若E =255且M "0,非數(shù)值

8、的編碼組合(用NAN 表示;若E =255且M =0,R 溢出(用+INF 、-INF 分別表示正、負無窮大;對于doubIe 型,IEEE 754-1985標準規(guī)定用64位表示,具體如下:最高位63位,保存S ,“0”正數(shù),“1”負數(shù);62位52位,共11位,移碼方式(指數(shù)值加1023保存指數(shù),稱為階碼;51位0位,共52位,保存系數(shù)部分,稱為尾數(shù),對于規(guī)范化二進制數(shù),整數(shù)位的“1”不保存(隱含,直接保存小數(shù)部分b 1b 2b 52。并有以下規(guī)定:若1!E !2046,R =(-1SX (1+0.M X 2E -1023此時R 為規(guī)范化數(shù);若E =0且M =0,R =0;若E =0且M &q

9、uot;0,R =(-1SX (0.M X 2-1022此時R 為非規(guī)范化數(shù);若E =2047且M "0,R 非數(shù)值;若E =2047且M =0,R 溢出(無窮大;對于Iong doubIe 型,IEEE 754-1985標準中沒有給出具體規(guī)定。3浮點數(shù)的驗證通過直接輸入十進制實數(shù)的方法,來驗證浮點數(shù)在計算機中的存儲格式將非常麻煩和不準確,如能直接輸入和查看十進制數(shù)對應(yīng)的二進制編碼將非常方便和有效。利用C 語言的union(共用體/聯(lián)合體類型,就可以很容易地實現(xiàn)。例如以下的公用體定義:union fIoat r ;/長整型與單精度型長度都是32bitunsigned Iong n ;

10、X ;可用來驗證fIoat 型數(shù)據(jù)。給X.r 賦一實數(shù)值后,查看X.n 的十六進制值,可知其存儲格式;反之,給X.n 一個十六進制編碼,可查看其代表的浮點數(shù)值。以下的公用體定義:union doubIe r ;/int64與雙精度型都是64bitunsignedint64n ;X ;可用來驗證doubIe 型數(shù)據(jù)。以下的公用體定義:union Iong doubIe r ;/Iong doubIe 型為80bit.unsigned short n 5;/用n 4,n 3,n 2,n 1,n0聯(lián)合輸出X ;可用來驗證Iong doubIe 型數(shù)據(jù)。以下是fIoat 型的部分結(jié)果:編碼對應(yīng)的十進制

11、數(shù)近似值7f7fffff 3.4028235e +38(正的規(guī)范化二進制數(shù)的最大數(shù)00800000 1.1754944e -38(正的規(guī)范化的二進制數(shù)的最小數(shù)007fffff 1.1754942e -38(正的非規(guī)范化的二進制數(shù)的最大數(shù)00000001 1.4012985e -45(正的非規(guī)范化的二進制數(shù)的最小數(shù),有效數(shù)字不足1位000000000.0000000e +00(正零的編碼7f800000+INF (正無窮大的編碼,用來表示溢出7fffffff +NAN(正的非數(shù)值的編碼組合之一,正常使用不會出現(xiàn)ff7fffff -3.4028235e +38(負的規(guī)范化的二進制數(shù)的絕對值最大的數(shù)

12、80800000-1.1754944e -38(負的規(guī)范化的二進制數(shù)的絕對值最小的數(shù)807fffff -1.1754942e -38(負的非規(guī)范化的二進制數(shù)的絕對值最大數(shù)80000001-1.4012985e -45(負的非規(guī)范化的二進制數(shù)絕對值最小的數(shù)80000000-0.0000000e +00(負零的編碼ff800000-INF (負的無窮大的編碼,用來表示溢出ffffffff-NAN(負的非數(shù)值的編碼組合之一,正常使用不會出現(xiàn)doubIe 型數(shù)據(jù)的部分結(jié)果十六進制編碼對應(yīng)的十進制數(shù)近似值7fefffffffffffff 1.7976931348623157e +308(正的規(guī)范化的二進

13、制數(shù)的最大數(shù)00100000000000002.2250738585072014e -308(正的規(guī)范化的二進制數(shù)的最小數(shù)58第34卷(2006第1#期計算機與數(shù)字工程OOOfffffffffffff 2.225O738585O72OO9e -3O8(正的非規(guī)范化的二進制數(shù)的最大數(shù)OOOOOOOOOOOOOOOl 4.94O6564584l24654e -324(正的非規(guī)范化的二進制數(shù)的最小數(shù)OOOOOOOOOOOOOOOO O.OOOOOOOOOOOOOOOe +OO (正零的編碼7ffOOOOOOOOOOOOO +INF (正無窮大的編碼7fffffffffffffff+NAN(正的非數(shù)值

14、的編碼組合之一負數(shù)的結(jié)果可比照正數(shù)部分得出,此處從略。通過程序驗證發(fā)現(xiàn),BorIand 公司的Turbo C 、BorIand C +及C +BuiIder 提供的Iong doubIe 型數(shù)據(jù)是采用8O 位二進制表示的,其中階碼位擴展為l5位,并且:與fIoat 和doubIe 型不同,其保存尾數(shù)的63位O 位直接保存全部尾數(shù),不采用隱去首位整數(shù)l 的方法。Iong doubIe 型數(shù)據(jù)的實現(xiàn)不夠完整,包括:尾數(shù)的最后ll 位在轉(zhuǎn)換到十進制數(shù)顯示時沒有進行完整的轉(zhuǎn)換運算,似乎未充分使用;對階碼小于OXOO38的數(shù)(很接近O 不完全支持;甚至有些合法的二進制編碼組合轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)值時為亂碼等。

15、微軟的VisuaI C +的Iong doubIe 型數(shù)據(jù)大概是出于兼容性考慮而提供的,內(nèi)部實現(xiàn)完全等同于doubIe 型。因此,建議用戶不使用C 語言的Iong doubIe 數(shù)據(jù)類型。4有效數(shù)字位數(shù)對于機內(nèi)浮點數(shù)的保存和運算,IEEE 754-l985標準要求浮點數(shù)的運算過程中使用附加位保存中間結(jié)果,最后結(jié)果的保存可以按照某種“舍入方式”進行,以確保運算過程中不降低數(shù)據(jù)精度。該標準定義了多種“舍入方式”,其中最常用的是“最接近舍入(Round to Nearest 方式”(對于誤差相同時,可以向零舍入。實驗表明,BorIand C (包括BorIand C +BuiIder 和VisuaI

16、 C +對于不超出規(guī)范化數(shù)表示范圍的數(shù)據(jù),在內(nèi)部運算和轉(zhuǎn)換時均采用了“最接近舍入方式”。理論上,有限位數(shù)的二進制浮點數(shù)必能轉(zhuǎn)換為有限位數(shù)的十進制數(shù);但對于有限位數(shù)的十進制浮點數(shù),轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)不能保證是有限位數(shù),且多數(shù)情況下不是有限位數(shù)。因此,如果提供足夠的輸出位數(shù),二進制浮點數(shù)可以精確轉(zhuǎn)換為十進制數(shù),不產(chǎn)生轉(zhuǎn)換誤差。但是,由于沒有一個2n 與lO m (n ,m 為整數(shù)相等,二進制和十進制相互轉(zhuǎn)換的位數(shù)沒有簡單的若干位對應(yīng)若干位的對應(yīng)關(guān)系。一般地,二進制浮點數(shù)向十進制轉(zhuǎn)換都只提供若干位的近似值,并不提供全部的數(shù)字位數(shù)。事實上更主要的原因是:計算機中表示的二進制浮點數(shù)絕大多數(shù)本身就是實際數(shù)值的

17、近似值,從有效數(shù)字的角度看,轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)時提供更多位數(shù)字并無使用價值。這里自然就有一個如何看待和精確使用數(shù)值的問題,即有效數(shù)字位數(shù)的問題。尤其對于各種數(shù)值計算,必須掌握其有效數(shù)字位數(shù)。但查閱有關(guān)資料,沒有看到對計算機中浮點數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)的準確敘述,一般僅指出fIoat 和doubIe 型大致的有效數(shù)字位數(shù),且說法不一,沒有給出依據(jù)。在此,從相對誤差(誤差絕對值與數(shù)值絕對值的比值的角度給出一般性的結(jié)論。對于能轉(zhuǎn)換為fIoat 型規(guī)范化二進制編碼的十進制數(shù)值,其二進制編碼的尾數(shù)為24位(包括一位隱含“l(fā) ”,按“最近舍入方式”,則其保存的二進制浮點數(shù)的最大絕對誤差為O.5X 2-23X 2E

18、-l27,尾數(shù)值為最小值l 時的相對誤差可取得最大值,為O.5X 2-23=2-24,尾數(shù)值為全l 時(對應(yīng)的尾數(shù)為2-2-23,約為2的相對誤差可取得最小值,約為2-25;即其保存的二進制浮點數(shù)的相對誤差!2-24成立。在不考慮數(shù)據(jù)參與運算導致的誤差傳遞等情況下(浮點數(shù)的機內(nèi)運算采取了增加附加位的做法,見前述,一般能保證運算過程不降低數(shù)據(jù)精度,將保存的fIoat 型二進制數(shù)完整轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)(必定是有限位數(shù)時,其帶來的十進制數(shù)的相對誤差!2-24(約O.596X lO -7。對于具有嚴格的n 位有效數(shù)字的十進制數(shù)D 的最大絕對誤差(用"maX 表示為末位數(shù)字的半個單位,其最大相對誤

19、差為"maX /D ,顯然該值>O.5X lO -n 。由此顯然可得出相對誤差!O.5X lO -n 的十進制數(shù)必能提供至少n 位有效數(shù)字。因此,從相對誤差的大小就可確定:二進制數(shù)與其能提供的十進制數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)的關(guān)系。我們還可以從另一個角度來理解浮點數(shù):計算機中的二進制浮點數(shù)是一種用一個二進制編碼組合(所代表的準確數(shù)值記為D ,尾數(shù)的位數(shù)用m 表示代表數(shù)學上一個區(qū)間范圍(D -"maX (D +"maX 的實數(shù),這個區(qū)間的大小2"maX 對于不同的階碼并不一致,但區(qū)間的半寬度"maX 與數(shù)值D 的比值介于2-m -l 2-m 之間,這

20、與最大相對誤差的大小介于2-m 2-m +l 之間的說法是一致的。(下轉(zhuǎn)第9O 頁68C 語言中浮點數(shù)的存儲格式及其有效數(shù)字位數(shù)第34#卷帶寬。4行切換技術(shù)行切換技術(shù)主要用于DSP 運算速度高于視頻DMA 輸出速度的場合。如下圖所示,行切換使得DMA 在兩個或者兩個以上的幀之間穿插,動態(tài)重組為一個正確大小的幀。圖中灰色背景的象素行塊被真正輸出, 而白色背景的行塊則被丟棄。圖8行切換示例采用行切換技術(shù),使得低速輸出的時候畫面能保持穩(wěn)定,而在高速的每秒30-120fps 的速度輸出時,又體現(xiàn)了他的自適應(yīng)性以及切換位置無關(guān)性。5結(jié)束語本文根據(jù)視頻輸出系統(tǒng)的特點,提出了基于AD 公司Biackfin

21、533DSP 視頻輸出系統(tǒng)的兩種系統(tǒng)解決方案,并對這些方案進行了比較測試和分析。從這些實驗結(jié)果可以看到,方案2以L1為高速緩存,大大提高了系統(tǒng)總線利用率,并且在幀率等環(huán)境變化的情況下,視頻輸出占用帶寬一直固定為16%,說明該方案所描述的系統(tǒng)具備非常強的穩(wěn)定性。在本文末尾還提出了自定義的行切換技術(shù),該技術(shù)使得低帶寬高幀頻的視頻輸出系統(tǒng)成為可能。參考文獻1張雄偉,陳亮等.DSP 芯片的原理與開發(fā)應(yīng)用M .北京:電子工業(yè)出版社,20032黎洪松.數(shù)字視頻技術(shù)及其應(yīng)用M .北京:清華大學出版社,19973程佩青.數(shù)字信號處理教程M .北京:清華大學出版社,19954ADSP -BF533Biackfi

22、n Processor Hardware Reference.Ana-iog Devices ,Inc.,20035ADSP -BF533Biackfin Biackfin Processor Instruction Set Ref-erence ,Anaiog Devices ,Inc.,!2003(上接第86頁對于fioat 型數(shù)據(jù)能提供相對誤差"2-24(約0.596X 10-7的十進制數(shù),由前述的推論可得到保守的結(jié)論:其十進制數(shù)的有效數(shù)字不少于6位;當首位有效數(shù)字的數(shù)值小于8時,有效數(shù)字位數(shù)不少于7位。另外,為了充分使用fioat 型的有效數(shù)字,向計算機提供的十進制實數(shù)盡量為9位有效數(shù)字(超出9位的數(shù)字在轉(zhuǎn)換時不起作用,以使計算機能更精確地轉(zhuǎn)換,使誤差最小。對于doubie 型浮點數(shù),其二進制編碼的尾數(shù)為53位(包括一位隱含“1”,保存的二進制相對誤差"2-53(約1.11X 10-16。十進制數(shù)的16位有效數(shù)字的最大相對誤差>0.5X 10-16,因此,doubie 型