圓錐曲線題型歸納經(jīng)典含答案

1、 橢圓題型總結(jié) (簡單) 一、 橢圓的定義和方程問題(一) 定義:1. 命題甲:動點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和命題乙: 的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，則命題甲是命題乙的 ( B )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2. 已知、是兩個(gè)定點(diǎn)，且,若動點(diǎn)滿足則動點(diǎn)的軌跡是（ D ）A.橢圓 B.圓 C.直線 D.線段3. 已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn), 是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn),如果延長到,使得,那么動點(diǎn)的軌跡是( B )A.橢圓 B.圓 C.直線 D.點(diǎn)4. 橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，是橢圓的中心，則的值是 4 。5. 選做：F1是橢圓的左焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動，定

2、點(diǎn)A（1，1），求的最小值。解：7. (1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為_(2)拋物線C: y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRl交于R，則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。解：（1）（2，）連PF，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)AF的方程為 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交點(diǎn)為()，它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去）（2）（）過Q作QR

3、l交于R，當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，Q()點(diǎn)評：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請仔細(xì)體會。8、F是橢圓的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)。（1）的最小值為 （2）的最小值為 分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑或準(zhǔn)線作出來考慮問題。解：（1）4- 設(shè)另一焦點(diǎn)為，則(-1,0)連A,P 當(dāng)P是A的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí), 取得最小值為4-。（2）作出右準(zhǔn)線l，作PHl交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為(二) 標(biāo)準(zhǔn)方程

4、求參數(shù)范圍1. 試討論k的取值范圍，使方程表示圓，橢圓，雙曲線。（略）2. ( C )A.充分而不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3. 若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所在的象限是（ A ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程所表示的曲線是 橢圓的右半部分 .5. 已知方程表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的范圍是 k>1 (三) 待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，5）和（0，5），橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為26；（2）長軸是短軸的2倍，且過點(diǎn)（2，6）；（

5、3）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn),求橢圓方程.2. 簡單幾何性質(zhì)1 求下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）； （2）過（3，0）點(diǎn)，離心率為。 （3）橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓的最近距離是。（4）橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（5）已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。3過橢圓的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為_（四）橢圓系共焦點(diǎn)，相同離心率1 橢圓與的關(guān)系為（ A ） A相同的焦點(diǎn) B

6、。有相同的準(zhǔn)線 C。有相等的長、短軸 D。有相等的焦距2、求與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。 （五）焦點(diǎn)三角形4a1. 已知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)。若，則 8 。2. 已知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且斜率不為0的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的周長是 20 。3. 已知的頂點(diǎn)、在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長為 。（六）焦點(diǎn)三角形的面積： 1. 已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，、為焦點(diǎn)，求點(diǎn)到軸的距離。解：設(shè)則解得，所以求點(diǎn)到軸的距離為2. 設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，、為焦點(diǎn)，求的面積。解：當(dāng)，S=3. 已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，、為焦點(diǎn)，若，則的面積為 。4.

7、 已知AB為經(jīng)過橢圓的中心的弦，F(xiàn)(c,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則AFB的面積的最大值為 cb 。（七）焦點(diǎn)三角形1. 設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為和，為橢圓上一點(diǎn)，求的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。2. 橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則 2 ； 120O 。3. 橢圓的焦點(diǎn)為、，為其上一動點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為 。4. P為橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。（1）若的中點(diǎn)是，求證：；（2）若，求的值。解：（1）MO為三角形PF1F2的中位線，（2）=（八）與橢圓相關(guān)的軌跡方程定義法：1. 點(diǎn)M(x,y)滿足，求點(diǎn)M的軌跡方程。（）2. 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，并且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓

8、圓心的軌跡方程.3. 已知圓,圓，動圓與外切，與內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程.解：由題所以點(diǎn)的軌跡是：以，為焦點(diǎn)的距離之和為12的橢圓。，方程為4. 已知，是圓（為圓心）上一動點(diǎn),線段的垂直平分線交于,則動點(diǎn)的軌跡方程為 5. 已知A(0,-1),B(0,1),ABC的周長為6，則ABC 的頂點(diǎn)C的軌跡方程是 。直接法6. 若的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是和，另兩邊、的斜率的乘積是，頂點(diǎn)的軌跡方程為 。相關(guān)點(diǎn)法7. 已知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸引垂線段，垂足為，點(diǎn)在上，并且，求點(diǎn)M的軌跡。8. 已知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向X軸引垂線段PP，則線段PP的中點(diǎn)M的軌跡方程是 。9. 已知橢圓，A、B分別是

9、長軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)，P為橢圓上一個(gè)動點(diǎn)，求AP中點(diǎn)的軌跡方程。10. 一條線段的長為，兩端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動 ，點(diǎn)在線段上，且,求點(diǎn)的軌跡方程.二、 直線和橢圓的位置關(guān)系 (一)判斷位置關(guān)系1 當(dāng)為何值時(shí),直線和橢圓 (1)相交；(2)相切；(3)相離。解：由消去y得，判別式：所以，當(dāng)時(shí)直線與橢圓相交；當(dāng)時(shí)直線與橢圓相切；當(dāng)時(shí)直線與橢圓相離。2 若直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 。 (二)弦長問題1. 設(shè)橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為。（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），直線交橢圓C于另一點(diǎn)N，求的面

10、積。解：由（1）點(diǎn)B（0，），直線BF2的方程為：消去y得：，解得所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）所以(三)點(diǎn)差法1. 已知一直線與橢圓 相交于、兩點(diǎn),弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線AB的方程. 解：設(shè)交點(diǎn)，則有，（2）-（1）得即，又直線AB過點(diǎn)（1，1）所以直線AB的方程為：2. 橢圓C以坐標(biāo)軸為對稱軸，并與直線l:x+2y=7相交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2，5），若為等腰三角形，求橢圓C的方程。解：設(shè)橢圓，交點(diǎn)，為等腰三角形，則解得Q（1，3）。所以（1）又則當(dāng)，則有，則（2）由（1）（2）得，橢圓的方程為當(dāng)當(dāng)，則有，則（3）由（1）（3）得B=0（舍去） (四) 定值、定點(diǎn)問題1、已知?jiǎng)又本€與橢圓相

11、交于、兩點(diǎn),已知點(diǎn) ， 求證：為定值.證明：設(shè)交點(diǎn)由消去y得則有所以為定值(五) 取值范圍問題已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上.若右焦點(diǎn)到直線的距 離為3.（1）求橢圓的方程.（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求的 取值范圍解：設(shè)橢圓的方程為，右焦點(diǎn)（c>0），橢圓的下頂點(diǎn)A（0，-1），所以，又右焦點(diǎn)到直線的距離得所以，橢圓的方程為 橢圓題型總結(jié)（較難）一、焦點(diǎn)三角形1. 設(shè)F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，弦AB過F2，求的面積的最大值。（法一）解：如圖，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義，又，在AF2F1和BF2F1中應(yīng)用余弦定理，得，令，所以，在上是增函數(shù)當(dāng)，即時(shí)，故的面積的最大值為（法二）

12、解：設(shè)AB：x=my+1，與橢圓2x2+3y2=6聯(lián)立，消x得(2m2+3)y2+4my-4=0AB過橢圓內(nèi)定點(diǎn)F2，恒大于0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則=48(m2+1)=|y1-y2|=令t=m2+11，m2=t-1，則=，t1,+)f(t)=在t1,+)上單調(diào)遞增，且f(t)9,+)t=1即m=0時(shí)，ABF1的面積的最大值為。注意：上述AB的設(shè)法：x=my+1，方程中的m相當(dāng)于直線AB的斜率的倒數(shù)，但又包含斜率不存在的情況，即m=0的時(shí)候。在直線斜率不等于零時(shí)都可以這樣設(shè)，往往可使消元過程簡單化，而且避免了討論。2. 如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P

13、滿足：(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；(2) 若，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1) 由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸 b=， 所以橢圓的方程為(2) 由得 因?yàn)椴粸闄E圓長軸頂點(diǎn)，故P、M、N構(gòu)成三角形.在PMN中， 將代入，得故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線上.由()知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足，所以由方程組 解得即P點(diǎn)坐標(biāo)為二、點(diǎn)差法定理 在橢圓（0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則.3. 直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，交橢圓于兩點(diǎn)P1、P2，（1）若A是線段P1P2的中點(diǎn)，求l的方程；

14、（2）求P1P2的中點(diǎn)的軌跡解：（1）設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，則*A(1，2)是線段P1P2的中點(diǎn)，x1+x2=2，y1+y2=4，即。l的方程為，即2x+9y-20=0（2）設(shè)P1P2的中點(diǎn)M(x，y)，則x1+x2=2x，y1+y2=2y，代入*式，得，又直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，整理，得4x(x-1)+9y(y-2)=0，P1P2的中點(diǎn)的軌跡：。4. 在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求的取值范圍；如果不存在，請說明理由.解：（

15、1）直線的方程為由得：直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，0.解之得：或.的取值范圍是.（2）在橢圓中，焦點(diǎn)在軸上，設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為，則由平行四邊形法則可知：與共線，與共線.，從而由得：，由（1）可知時(shí)，直線與橢圓沒有兩個(gè)公共點(diǎn)，不存在符合題意的常數(shù).三、最值問題5. 已知P為橢圓上任意一點(diǎn)，M（m，0）（mR），求PM的最小值。目標(biāo)：復(fù)習(xí)鞏固定點(diǎn)與圓錐曲線上的點(diǎn)的連線段的最值問題。提示：設(shè)P(x,y)，用距離公式表示出PM，利用二次函數(shù)思想求最小值。解：設(shè)P(x,y)，PM=，x-2,2，結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)圖像可得（1）<-2，即m<時(shí)，(PM)min=|m+2|；（2）-22,即m時(shí)，

16、(PM)min=；（3）>2，即m>時(shí)，(PM)min=|m-2|.說明：（1）類似的，亦可求出最大值；（2）橢圓上到橢圓中心最近的點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，最小值為b，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是長軸端點(diǎn)，最大值為a；（3）橢圓上到左焦點(diǎn)最近的點(diǎn)是長軸左端點(diǎn)，最小值為a-c，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是長軸右端點(diǎn)，最大值為a+c；6. 在橢圓求一點(diǎn)P，是它到直線l：x+2y+10=0的距離最小，并求最大最小值。目標(biāo)：復(fù)習(xí)研究圓錐曲線上的點(diǎn)與直線的距離問題的一般處理方法。提示：（1）可等價(jià)轉(zhuǎn)化為與直線l平行的橢圓的切線與直線l之間的距離；（1）也可以用橢圓的參數(shù)方程。解法一：設(shè)直線m：x+2y+m=0與橢圓相切，則，消去x，得8

17、y2+4my+m2-4=0,=0,解得m=.當(dāng)m=時(shí)，直線與橢圓的切點(diǎn)P與直線l的距離最近，最近為=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,)；當(dāng)m=-時(shí)，直線與橢圓的切點(diǎn)P與直線l的距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)為=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,)。解法二：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(2cos,sin),0,2)則P到直線l的距離為=當(dāng)=時(shí)，P到直線l的距離最大，最大為此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,)； 當(dāng)=時(shí)，P到直線l的距離最小，最小為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,)。說明：在上述解法一中體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想，利用數(shù)形結(jié)合順利把點(diǎn)與直線的距離問題迅速轉(zhuǎn)化成兩平行線間的距離。在解法二中，利用橢圓的參數(shù)方程可迅速達(dá)到消元的目的，而且三角形式轉(zhuǎn)換靈活多變，

18、利用正余弦的有界性求最值或取值范圍問題是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。7. 設(shè)AB是過橢圓中心的弦，F(xiàn)1是橢圓的上焦點(diǎn)，（1）若ABF1面積為4，求直線AB的方程；（2）求ABF1面積的最大值。解：（1）設(shè)AB：y=kx，代入橢圓，得x2=，x1=-x2=，又，SABF1=|OF1|·|x1-x2|=2|x1-x2|=4，|x1-x2|=2，=5，k=，直線AB的方程為y=x。（2）SABF1=|OF1|·|x1-x2|=4·，當(dāng)k=0時(shí)，(SABF1)Max=12。8. （2014金山區(qū)一模23題）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為. 記曲線是以曲線與坐標(biāo)軸

19、的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓. 設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線，是上異于橢圓中心的點(diǎn). （1） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（3） 若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小值. 【解答】：(1)C1是以(a，0)、(0，b)、(a，0)、(0，b)為頂點(diǎn)的菱形，故，2分又a>b>0，解得：a2=5，b2=4，因此所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；4分(2)假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為y=kx(k0)，A(xA，yA)，令，得，|OA|2=，6分設(shè)M(x，y)，由題意得：|MO|2=m2|OA|2，(m>0)，即：

20、，因?yàn)閘是AB的垂直平分線，所以直線l的方程為，代入上式消去k得：，又x2+y20，整理得：(m>0)，9分當(dāng)k=0或斜率不存在時(shí)，上式仍然成立，綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程為(m>0)10分(3) 當(dāng)k存在且不為零時(shí)，由(2)得：，|OA|2=，由，得：，|OM|213分|AB|2=4|OA|2=，故=14分=，當(dāng)且僅當(dāng)4+5k2=5+4k2時(shí)，即k=±1時(shí)，等號成立，此時(shí)ABM的面積的最小值為16分當(dāng)k=0時(shí)，=>，當(dāng)k不存在時(shí)，=>，綜上所述，ABM的面積的最小值為18分9. 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)，與橢圓相交于、兩點(diǎn)（1）

21、若，求的值；（2）求四邊形面積的最大值（1）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為， 如圖，設(shè)，其中，且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡得，解得或 （2）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為， 又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號所以的最大值為 解法二：由題設(shè)，設(shè)，由得，故四邊形的面積為 ，當(dāng)時(shí)，上式取等號所以的最大值為 四、垂直關(guān)系10.（上海春季）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、。(1) 若為等邊三角形，求橢圓的方程；(2) 若橢圓的短軸長為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。解：（1）設(shè)橢圓的方程為（）。根據(jù)題意知

22、，解得，故橢圓的方程為。（2）容易求得橢圓的方程為。當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為。由，得。設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，解得，即。故直線的方程為或。11. 如圖，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，問是否存在直線l使得F為的垂心。若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。解：由已知可得，B(0，1)，F(xiàn)(1，0)，kBF=-1。BFl，可設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程整理，得。設(shè)，則，。BNMF，即。，。即，或。由，得又時(shí)，直線l過B點(diǎn)，不合要求，故存在直線l：滿足題設(shè)條件。12. （2012年高考（湖北理）設(shè)是

23、單位圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足。當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線。（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（）過原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn)。是否存在，使得對任意的，都有?若存在，求的值；若不存在，請說明理由。解析：（）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，。因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動，所以。將式代入式即得所求曲線的方程為。因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，。（）解法1：如圖2、3，設(shè)，則，直線的方程為，將

24、其代入橢圓的方程并整理可得。依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達(dá)定理可得，即。因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以。于是，。而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有。圖2 圖3 圖1O D xyAM解法2：如圖2、3，設(shè)，則，因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)在橢圓上，所以兩式相減可得。依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，故。于是由式可得。又，三點(diǎn)共線，所以，即。于是由式可得。而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有13. （10浙江/21）已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn). (1) 當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(2) 設(shè)直線與橢圓C交于A

25、、B兩點(diǎn)，的重心分別為.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解】（）因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以，得，又因?yàn)椋?，故直線的方程為.（）設(shè) 由，消去x得：則由，知，且有由于，由重心坐標(biāo)公式可知.設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則，由題意可知即，即而，所以，即又因?yàn)榍遥?，所以m的取值范圍是.14. （09山東/22）設(shè)橢圓E：（a，b>0）過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1) 求橢圓E的方程；(2) 是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由. 【解】（）因?yàn)闄E圓E：（a，

26、b>0）過M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，所以，解得，所以. 橢圓E的方程為. （）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為，解方程組，得，即，設(shè)，要使，需使，即，所以因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為，此時(shí)圓都在橢圓的內(nèi)部，所以圓的切線與橢圓必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且. 而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為(，)或(，)，滿足. 綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且. ，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗?，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”. 當(dāng)時(shí)，. 而當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)為(，)或(

27、，)，所以此時(shí)，綜上，|AB|的取值范圍為，即：，. 【另解】對于求，有個(gè)更簡單的方法：如圖，設(shè)，則，而 ，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 五、存在性問題15. 以橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，問這樣的直角三角形是否存在？如果存在，請說明理由，并判斷最多能作出幾個(gè)這樣的三角形；如果不存在，請說明理由. 解：過點(diǎn)分別作斜率為的直線，必與橢圓各另有一交點(diǎn)，則即為所求的等腰直角三角形，故這樣的內(nèi)接等腰直角三角形至少有一個(gè)；如除了(1)給出的內(nèi)接等腰直角三角形外，還存在其他的內(nèi)接等腰直角三角形，那么設(shè)直線，則與均過點(diǎn)，且互相垂直，與與橢圓分別交于，. 用代，得，. 由得，由于橢圓關(guān)于

28、軸對稱，故當(dāng)時(shí)，還存在斜率的內(nèi)接等腰直角三角形兩個(gè). 綜合：當(dāng)時(shí)，可作出一個(gè)橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形（圖1），當(dāng)時(shí)，可作出三個(gè)橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形（圖2）. 16. （2015虹口二模）已知圓：，點(diǎn)(1,0)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，的垂直平分線交于點(diǎn).(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)分別是曲線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第三象限，若,為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率；(3)過點(diǎn)的動直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1) 因?yàn)榈拇怪逼椒志€交于點(diǎn). 所以，從而 所以，動點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓. 3分設(shè)橢圓的方程為，則

29、，故動點(diǎn)的軌跡的方程為 5分(2) 設(shè)，則 因?yàn)?，則 由、 解得 8分所以直線的斜率 . 10分 (3)設(shè)直線的方程為則由，得由題意知，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以直線與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè) ，則 12分假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)滿足題設(shè)，則因?yàn)橐詾橹睆降膱A恒過點(diǎn), 所以即 14分因?yàn)楣士苫癁?由于對于任意的,恒成立，故 解得 . 因此，在軸上存在滿足條件的定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 16分17. （2015嘉定二模）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且。（1）求證：是等邊三角形；（2）若過、三點(diǎn)的圓恰好與直線：相切，求橢圓的方程；（3）設(shè)過（2）中橢圓的右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的

30、直線與交于、兩點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)。在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。（1）設(shè)（），由，故，因?yàn)?，所以，?分），故，（2分）又，故由得，所以，。（3分）所以，即是等邊三角形。（4分）（2）由（1）知，故，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，（1分）又是直角三角形，故其外接圓圓心為，半徑為，（3分）所以，（5分）所求橢圓的方程為。（6分）（3）由（2）得，因?yàn)橹本€過且不與坐標(biāo)軸垂直，故可設(shè)直線的方程為：，。（1分）由，得，（2分）設(shè)，則有，（3分）由題意，故直線的方向向量為，所以直線的方程為，（4分）令，得。（5分）即直線與軸交于定點(diǎn)。所以，存在點(diǎn)，使得、三點(diǎn)

31、共線。（6分）（注：若設(shè)，由、三點(diǎn)共線，得，得。）六、定點(diǎn)或定直線問題18. 已知橢圓方程為，當(dāng)過點(diǎn)的動直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上解：設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記，則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而，于是，。從而，（1），（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即（1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得4x+2y=4，即點(diǎn)總在定直線上。19. 已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，短軸長為(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（不是橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn)，并求

32、出定點(diǎn)的坐標(biāo)解: （）設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸長為，半焦距為，則 解得 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4分（）由方程組 消去，得 6分由題意，整理得： 7分設(shè)，則， 8分由已知， 且橢圓的右頂點(diǎn)為， 10分即，也即 ，整理得解得 或 ，均滿足 11分當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過定點(diǎn)，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過定點(diǎn)， 故直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為 13分20. 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到F1、F2的距離之和是4，點(diǎn)的軌跡與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過點(diǎn)的直線：與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和(1) 求軌跡的方程；(2) 當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn)解：（1）點(diǎn)到，的距離之和是4，M的軌跡是長軸長為4，焦點(diǎn)在x軸

33、上焦距為的橢圓，其方程為 3分（2）將，代入曲線的方程，整理得5分因?yàn)橹本€與曲線交于不同的兩點(diǎn)和， 所以 設(shè)，則， 7分且 顯然，曲線與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，所以，由，得將、代入上式，整理得，10分所以，即或經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件當(dāng)時(shí)，直線的方程為顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)即直線經(jīng)過點(diǎn)，與題意不符當(dāng)時(shí)，直線的方程為顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)，且不過點(diǎn)綜上，與的關(guān)系是：，且直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)13分雙曲線題型總結(jié)一. 定義的應(yīng)用1動點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_2已知點(diǎn)和，曲線上的動點(diǎn)P到、的距離之差為6，則曲線方程為（）A B C或 D 3.已知平面上兩定點(diǎn)及動點(diǎn)M，命題甲：（為常數(shù)），命題乙：“點(diǎn)M軌跡是

34、以為焦點(diǎn)的雙曲線”，則命題甲是命題乙的 （ ）充分不必要條件 必要不充分條件 充要條件 既不充分也不必要條件4雙曲線上一點(diǎn)到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于 .5設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則的值為6已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在雙曲線上且，且的面積為1，則雙曲線的方程為_7.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則該雙曲線的方程是 （ ） 8. 已知為雙曲線的焦點(diǎn)，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且；則9雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到 軸的距離為 10.雙曲線16x2-9y2=144上一

35、點(diǎn)P(x0,y0)(x00)到左焦點(diǎn)距離為4，則x0= .11若橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的值為12動圓與兩圓和都相切，則動圓圓心的軌跡為（）A拋物線B圓 C雙曲線的一支 D橢圓13是雙曲線左支上的一點(diǎn)，為其左、右焦點(diǎn)，且焦距為，則的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為二. 雙曲線的幾何性質(zhì)1“ab<0”是“方程表示雙曲線”的（）A必要不充分條件 B充分不必要條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件2雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則m的值是_。3如果雙曲線的漸近線方程為，則離心率為_4雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則 （ ） 5雙曲線的兩條漸進(jìn)線互相垂直，那么該雙曲線的離心率為( ） 6

36、雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、焦距成等比數(shù)列，則其離心率為 ( ) 7是雙曲線上一點(diǎn)，則到兩條漸近線的距離的積為 8雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為9已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為 10已知雙曲線的離心率為，則的范圍為_11若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，其離心率為12.方程表示雙曲線，則的取值范圍 （ ） 13.橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是 （ ） 25 914曲線與曲線的 （ ）焦距相等 離心率相等 焦點(diǎn)相同 準(zhǔn)線相同15已知橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程為_16.已知方程，則此曲線是 （ ）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 焦點(diǎn)

37、在軸上的橢圓 焦點(diǎn)在軸上的橢圓三. 求雙曲線方程1.已知圓與圓，圓與圓，圓均外切；則圓的圓心的軌跡方程是 2若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為3與曲線共焦點(diǎn)，而與共漸近線的雙曲線方程為( ) 4已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.5.已知雙曲線通過兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.6.（1）設(shè)是雙曲線上的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.四. 直線與雙曲線1直線與的右支交于兩點(diǎn)；求實(shí)數(shù)的取值范圍。 2過原點(diǎn)的直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為_一.定義的應(yīng)用1. 2D 3. 4 5.7 6. 7 8 9

38、10. 11. 12C 13. 二雙曲線的幾何性質(zhì)1A 2-23. 或 4 5 6 7 8. 9 10. 11. 12 13 14 15. 16. 三.求雙曲線方程1 2. 3 4 5設(shè)雙曲線方程為 由題意得 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為6解：設(shè)及 則 （1） 為線段中點(diǎn) 代入（1）得 ， 點(diǎn)的軌跡方程為四.直線與雙曲線1解兩不同根為 2. 3B 利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合漸近線可求得.4解:（1）由已知得,所以,所以雙曲線方程為,所以雙曲線的漸近線方程分別 ,（2）由（1）知,因?yàn)?所以, 設(shè),中點(diǎn)則,消去并整理得:點(diǎn)M的軌跡方程為,所以點(diǎn)軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓.拋物線一.拋物線的定義1若 是定直線 外的一定

39、點(diǎn)，則過 與 相切圓的圓心軌跡是（）A圓       B橢圓     C雙曲線一支       D拋物線1若點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離比它到直線 的距離小1，則 點(diǎn)的軌跡方程是（）A        B C         D 3若點(diǎn)到直線y=-1的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小2，則點(diǎn)的軌跡方程為 （ ）A.x2=12

40、y B.y2=12x C.x2=4y D. x2=6y 4已知點(diǎn) ， 是拋物線 的焦點(diǎn)，點(diǎn) 在拋物線上移動時(shí)， 取得最小值時(shí) 點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A（0，0）B CD（2，2）5已知點(diǎn)（2，3）與拋物線 （ ）的焦點(diǎn)的距離是5，則 =_6在拋物線 上有一點(diǎn) ，它到焦點(diǎn)的距離是20，則 點(diǎn)的坐標(biāo)是_7已知拋物線 （ ）上一點(diǎn) 到焦點(diǎn) 的距離等于 ，則 =_， =_8拋物線 的焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)為 ， ，且 ，則 =_9過拋物線y 2=4x的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)兩點(diǎn)，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ）A8B10C6 D410在拋物線 上有一點(diǎn) ，它到焦點(diǎn)的

41、距離是20，則 點(diǎn)的坐標(biāo)是_二.拋物線的幾何性質(zhì)2焦點(diǎn)在直線 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_3拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A        B C      D 4拋物線 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）A2.5      B5        C7.5      D105拋物線 的焦點(diǎn)位于（）A 軸的負(fù)半軸上   &#

42、160;   B 軸的正半軸上 C 軸的負(fù)半軸上       D 軸的正半軸上6拋物線 （ ）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A        B C       D 時(shí)為 ， 時(shí)為 7拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）ABCD 三.求拋物線方程1已知原點(diǎn)為頂點(diǎn)， 軸為對稱軸的拋物線的焦點(diǎn)在直線 上，則此拋物線的方程是（）ABCD 2拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上點(diǎn)（-5，m）到焦點(diǎn)距離是6，則拋物線的方程是（ ）A y

43、 2=-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x3與橢圓 有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線方程是（）ABCD 4已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M（3，m）到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值 5求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以 軸為對稱軸，其上各點(diǎn)與直線 的最短距離為1的拋物線方程6平面內(nèi)過點(diǎn)A（-2，0），且與直線x=2相切的動圓圓心的軌跡方程是（ ）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x7已知?jiǎng)訄AM與直線y =2相切，且與定圓C：外切，求動圓圓心M的軌跡方程 8動直線y =a，與拋物線相交于A點(diǎn)，動點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求線段

44、AB中點(diǎn)M的軌跡的方程9已知點(diǎn) 和拋物線 上的動點(diǎn) ，點(diǎn) 分線段 為 ，求點(diǎn) 的軌跡方程 四.直線與拋物線的關(guān)系1過（0，1）作直線，使它與拋物線 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（）條A1        B2        C3        D42設(shè)拋物線 （ ）與直線 （ ）有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別是 、 ，而 是直線與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則 、 、 關(guān)系是（）AB CD3拋物線上一點(diǎn)到直線的距離