2 質點運動學習題

1、第二章 質點運動學（習題）質點的運動學方程為求質點軌跡并用圖表示。解，.軌跡方程為y=5消去時間參量t得：   質點運動學方程為，（1）. 求質點的軌跡；（2）.求自t=-1至t=1質點的位移。解，消去t得軌跡：xy=1,z=2,質點運動學方程為，（1）. 求質點的軌跡；（2）.求自t=0至t=1質點的位移。解，.消去t得軌跡方程雷達站于某瞬時測得飛機位置為，0.75s后測得均在鉛直平面內。求飛機瞬時速率的近似值和飛行方向（角）。解，代入數值得：利用正弦定理可解出一小圓柱體沿拋物線軌道運動，拋物線軌道為（長度mm）。第一次觀察到圓柱體在x=249mm處，經過時間2ms后圓柱

2、體移到x=234mm處。求圓柱體瞬時速度的近似值。解，一人在北京音樂廳內聽音樂，離演奏者17m。另一人在廣州聽同一演奏的轉播，廣州離北京2320km，收聽者離收音機2m，問誰先聽到聲音？聲速為340m/s,電磁波傳播的速度為。解，在廣州的人先聽到聲音。如果不允許你去航空公司問訊處，問你乘波音747飛機自北京不著陸飛行到巴黎，你能否估計大約用多少時間？如果能，試估計一下（自己找所需數據）。解，火車進入彎道時減速，最初列車向正北以90km/h速率行駛，3min后以70km/h速率向北偏西方向行駛。求列車的平均加速度。解，（1）R為正常數。求t=0,/2時的速度和加速度。（2）求t=0,1時的速度和

3、加速度（寫出正交分解式）。解：（1）當t=0時，當t=/2時，（2）當t=0時，當t=1時，圖中a、b和c表示質點沿直線運動三種不同情況下的x-t圖，試說明三種運動的特點（即速度，計時起點時質點的坐標，位于坐標原點的時刻）。 解，a 直線的斜率為速度b直線的斜率為速度c 直線的斜率為速度質點直線運動的運動學方程為x=acost, a為正常數。求質點速度和加速度并討論運動特點（有無周期性，運動范圍，速度變化情況等）。解，質點受力，是線性恢復力，質點做簡諧振動，振幅為a，運動范圍在，速度具有周期性。跳傘運動員的速度為v鉛直向下，、q為正常量。求其加速度。討論當時間足夠長時（即t），速度和

4、加速度的變化趨勢。解，直線運動的高速列車在電子計算機控制下減速進站。列車原行駛速度為，其速度變化規(guī)律如圖所示。求列車行駛至x=1.5km時加速度的大小。解，當x=1.5km時， 在水平桌面上放置A、B兩物體，用一不可伸長的繩索按圖示的裝置把它們連接起來。C點與桌面固定。已知物體A的加速度，求物體B的加速度。解，以C為坐標原點，建立一維坐標系o-x。設繩的總長度為，B的坐標為，A的坐標為，則得兩端對t求導質點沿直線的運動學方程為。（1）將坐標原點沿ox軸正方向移動2m，運動學方程如何？初速度有無變化？（2）將計時起點前移1s，運動學方程如何？初始坐標和初始速度都發(fā)生怎樣的變化？加速度變

5、不變？解，（1），代入上式得： 初速度不變。（2）代入上式得：初坐標由0變?yōu)?7m.,初速度由10m/s變?yōu)?m/s.加速度不變，都是.以下四題用積分質點由坐標原點出發(fā)時開始計時，沿x軸運動，其加速度，求在下列兩種情況下質點的運動學方程、出發(fā)后6s時質點的位置、在此期間所走過的位移及路程：（1）初速度；（2）初速度的大小為9cm/s,方向與加速度方向相反。解，（1），當t=6s時，,質點運動的路程：(2) ,當t=6s時，,質點運動的路程如圖，質點運動的路程：2.4.2質點直線運動瞬時速度的變化規(guī)律為求至時間內的位移。解，2.4.3一質點作直線運動，其瞬時加速度的變化規(guī)律為在t=0時，其中均為

6、正常數，求此質點的運動學方程。解，2.4.4飛機著陸時為盡快停止采用降落傘制動。剛著陸時，t=0時速度為且坐標為x=0.假設其加速度為，b=常量，求此質點的運動學方程。解，解以下四題中勻變速直線運動時應明確寫出所選的坐標系、計時起點和初始條件。在195m長的坡道上，一人騎自行車以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行車同時以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡。問（1）經過多長時間兩人相遇；（2）兩人相遇時，各走過多少路程。解，建立坐標系o-x,原點為質點1的初始位置。對上坡的質點1:t=0,v10=5m/s, x10=0, a1=-0.2m/s2,對下坡的質

7、點2:t=0,v20=-1.5m/s,x20=195m, a2=-0.2m/s2,相遇時，x1=x2,所需時間設為t，則質點1的速度表達式為：，所以質點1的路程為兩段路程之和，如圖所式。前25s的路程：后5s的路程：質點2的路程：195-62.5+2.5=135(m)站臺上送行的人，在火車開動時站在第一節(jié)車廂的最前面?；疖囬_動后經過t=24s，第一節(jié)車廂的末尾從此人的面前通過。問第七節(jié)車廂駛過他面前需要多長時間？火車作勻加速運動。解，設火車第六節(jié)末尾經過此人的時間為t6，火車第七節(jié)末尾經過此人的時間為t7，在同一鉛直線上相隔h的兩點以同樣的速率v0上拋二石子，但在高處的石子早t0秒被拋出。求此

8、二石子何時何處相遇。解，解出t得：，將t代入，得電梯以1.0m/s的勻速率下降，小孩在電梯中跳離地板0.50m高，問當小孩再次落到地板上時，電梯下降了多長距離？解，建立基本坐標系o-x,原點固結在地面上，建立運動坐標系原點固結在電梯的地板。小孩相對運動參照系（電梯）跳起到落回地板所需時間設為t，則解出td得，這段時間電梯下降的距離為,質點在o-xy平面內運動，其加速度為位置和速度的初始條件為t=0時，求質點的運動學方程并畫出軌跡（本題用積分）。解，由得 初始條件：t=0時,v0x=0,v0y=1,x0=1,y0=0,軌道方程：在同豎直值面內的同一水平線上A、B兩點分別以300、600為發(fā)射角同

9、時拋出兩小球欲使兩小球相遇時都在自己的軌道的最高點，求A、B兩點的距離。已知小球在A點的發(fā)射速率解，迫擊炮彈的發(fā)射角為600,發(fā)射速率150m/s.炮彈擊中傾角300的山坡上的目標，發(fā)射點正在山腳。求彈著點到發(fā)射點的距離OA.解，由幾何關系：將(2)、(3)式代入(1)式轟炸機沿與鉛直方向成俯沖時，在763m高度投放炸彈，炸彈離開飛機5.0s時擊中目標。不計空氣阻力。（1）轟炸機的速率是多少？（2）炸彈在飛行中經過的水平距離是多少？（3）炸彈擊中目標前一瞬間的速度沿水平和鉛直方向的分量是多少？解，以投放炸彈處為坐標原點（1）（2）（3）雷達觀測員正在監(jiān)視一越來越近的拋射體，在某一時刻，靠他得到

10、這樣的信息：（1）拋射體達到最大高度且以速率v沿水平方向運動；（2）觀察者到拋射體的直線距離為；（3）觀測員觀察拋體的視線與水平方向成角。問：（1）拋射體命中點到觀察者的距離D等于多少？（2）何種情況下拋體飛越觀察者的頭頂以后才擊中目標？何種情況下拋體在未達到觀測員以前就命中目標？ 解，（1），命中點，觀測者拋射體命中點到觀察者的距離（2）當，飛越觀察者的頭頂擊中目標，即當，拋體在未達到觀測員以前就命中目標，即列車在圓弧形軌道上自東轉向北行駛，在我們所討論的時間范圍內，其運動學方程為（長度：m時間：s）。t=0時，列車在圖中o點，此圓弧形軌道的半徑r=1500m.求列車駛過o點以后前

11、進至1200m處的速率及加速度。 解，采用自然坐標系，o為自然坐標系的原點。由得，當s=1200m時，由得（舍去）因為當t=60時，當，即列車駛過o點以后前進至1200m處的速率為40m/s.過o點以后前進至1200m處的加速度：可以算出與的夾角為1520。火車以200km/h的速度駛入圓弧形軌道，其半徑為300m。司機一進入圓弧形軌道立即減速，減速度為2g。求火車在何處的加速度最大？最大加速度是多少？解，由上式可見t=0時（剛進入圓弧形軌道時），a最大。代入數值得斗車在位于鉛直平面內上下起伏的軌道運動。當斗車達到圖中所示位置時，軌道曲率半徑為150m，斗車速率為50km/h,切向加

12、速度a=0.4g.求斗車的加速度。 解，加速度與水平方向的夾角飛機在某高度的水平面上飛行。機身的方向是自東北向西南，與正西夾150角，風以100km/h的速率自西南向東北方向吹來，與正南夾450角，結果飛機向正西方向運動。求飛機相對于風的速度及相對地面的速度。解，基本參照系：地面運動參照系：風研究對象：飛機絕對速度：，相對速度：，牽連速度：=+（1）（2）飛機在靜止空氣中的飛行速率是235km/h，它朝正北的方向飛行，使整個飛行的時間內都保持在一條南北向的公路上空。地面觀察者利用通訊設備告訴駕駛員正在刮著速率等于70km/h的風，但飛機仍能以235km/h的速率沿公路方向飛行。（1）

13、風的方向是怎樣的？（2）飛機的頭部指向哪個方向？也就是說，飛機的軸線和公路成怎樣的角度？解，基本參照系：地面運動參照系：風研究對象：飛機絕對速度：，相對速度：，牽連速度：=+一輛卡車在平直路面上以恒定速率30m/s行駛，在此車上射出一拋體，要求在車前進60m時，拋體仍落回到車上原拋出點，問拋體射出時相對于卡車的初速度的大小和方向，空氣阻力不計。解，以卡車為參照系，以起拋點為坐標原點，建立直角坐標系o-xy,如圖所示。以拋出時刻為計時起點。得：由已知，代入表明：拋射體相對卡車以9.8m/s的速率豎直上拋時，當卡車前進了60m，拋體落回拋射點。2.8.4河的兩岸互相平行，一船由A點朝與岸垂直的方向勻速行駛，經10min到達對岸的C點。若船從A點出發(fā)仍按第一次渡河速率不變但垂直地到達彼岸B點，