流體力學(xué)第五章：旋渦理論ppt課件

1、 第五章：旋渦實(shí)際第五章：旋渦實(shí)際(vortex theory)本章僅討論旋渦運(yùn)動(dòng)，不涉及力，屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)容。本章僅討論旋渦運(yùn)動(dòng)，不涉及力，屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)容。 旋渦場的特性不同于普通流場，需求專門進(jìn)展旋渦場的特性不同于普通流場，需求專門進(jìn)展研討研討存在旋渦運(yùn)動(dòng)的流場存在旋渦運(yùn)動(dòng)的流場旋渦場旋渦場: :0即流場中即流場中課堂提問：為什么處于龍卷風(fēng)中心會(huì)是風(fēng)平浪靜？課堂提問：為什么處于龍卷風(fēng)中心會(huì)是風(fēng)平浪靜？ 為什么游泳時(shí)應(yīng)避開旋渦區(qū)？為什么游泳時(shí)應(yīng)避開旋渦區(qū)？ ;本章討論內(nèi)容：本章討論內(nèi)容：1.1.漩渦場的根本概念渦線，渦管，漩渦強(qiáng)漩渦場的根本概念渦線，渦管，漩渦強(qiáng) 度速度環(huán)量度速度環(huán)量2.2.司托克

2、斯定理司托克斯定理3.3.湯姆遜定理湯姆遜定理4.4.海姆霍茲定理海姆霍茲定理5.5.畢奧沙伐爾定理畢奧沙伐爾定理6.6.漩渦誘導(dǎo)速度的普通提法漩渦誘導(dǎo)速度的普通提法7.7.蘭金組合渦蘭金組合渦 ;- - 旋渦運(yùn)動(dòng)的根本概念旋渦運(yùn)動(dòng)的根本概念 普通，整個(gè)流場中某些區(qū)域?yàn)樾郎u區(qū)，其他的地方那么為無旋區(qū)域。 自然界中如龍卷風(fēng),橋墩后面規(guī)那么的雙排渦列等等是經(jīng)常能察看到的旋渦運(yùn)動(dòng)的例子。但在大多數(shù)情況下流動(dòng)中的旋渦肉眼難于覺察。有旋運(yùn)動(dòng)：有旋運(yùn)動(dòng)：x,y,zx,y,z在流場中不全為零的流在流場中不全為零的流動(dòng)動(dòng);園環(huán)繞流尾流場中的旋渦園環(huán)繞流尾流場中的旋渦;園球繞流尾流場中的旋渦園球繞流尾流場中的旋

3、渦;園柱繞流尾流場中的旋渦園柱繞流尾流場中的旋渦;有攻角機(jī)翼繞流尾流場中的旋渦有攻角機(jī)翼繞流尾流場中的旋渦;彎曲槽道內(nèi)的二次流彎曲槽道內(nèi)的二次流; 流體流過固體壁面時(shí)，除壁面附近粘性影響嚴(yán)流體流過固體壁面時(shí)，除壁面附近粘性影響嚴(yán)重的一薄層外，其他區(qū)域的流動(dòng)可視為理想流體重的一薄層外，其他區(qū)域的流動(dòng)可視為理想流體的無旋運(yùn)動(dòng)。的無旋運(yùn)動(dòng)。 旋渦運(yùn)動(dòng)實(shí)際廣泛地運(yùn)用于工程實(shí)踐: 機(jī)翼、螺旋槳實(shí)際等。旋渦與船體的阻力、振動(dòng)、噪聲等問題親密相關(guān)。與壓力差、質(zhì)量力和粘性力等與壓力差、質(zhì)量力和粘性力等要素有關(guān)。要素有關(guān)。旋渦的產(chǎn)生：旋渦的產(chǎn)生：;旋渦場的幾個(gè)根本概念：旋渦場的幾個(gè)根本概念： 渦線上一切流體質(zhì)點(diǎn)

4、在渦線上一切流體質(zhì)點(diǎn)在同瞬時(shí)的旋轉(zhuǎn)角速度矢量同瞬時(shí)的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與此線相切。與此線相切。渦線渦線(vortex line)(vortex line)：一、渦線一、渦線, ,渦管渦管, ,旋渦強(qiáng)度旋渦強(qiáng)度渦線微分方程：渦線微分方程：dsdxidyjdzk取渦線上一段微弧長取渦線上一段微弧長xyzijk該處的旋轉(zhuǎn)角速度該處的旋轉(zhuǎn)角速度123ds; 由渦線的定義渦矢量與渦線相切，得由渦線的定義渦矢量與渦線相切，得渦線微分方程式：渦線微分方程式：( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzx y z tx y z tx y z t (5-1) (5-1) 假設(shè)知假設(shè)知 ，

5、積分上式可得渦線。，積分上式可得渦線。與流線的積分一樣，將看成參數(shù)。取定與流線的積分一樣，將看成參數(shù)。取定值就得到該瞬時(shí)的渦線。值就得到該瞬時(shí)的渦線。,xyz ;渦管渦管 vortex tube vortex tube ： 在旋渦場中任取一微小封鎖曲線在旋渦場中任取一微小封鎖曲線C C不是不是渦線，過渦線，過C C上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線構(gòu)成上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線構(gòu)成的管狀曲面稱渦管。的管狀曲面稱渦管。 渦管中充溢著作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的渦管中充溢著作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體，稱為渦束。截面積為無流體，稱為渦束。截面積為無限小的渦束稱為渦索渦絲。限小的渦束稱為渦索渦絲。渦絲渦絲vortex filamentvo

6、rtex filament：;那么那么 d dnd (5-2)nd (5-2)為為dd上的旋渦強(qiáng)度上的旋渦強(qiáng)度假設(shè)假設(shè)是渦管的截面，那么稱為渦管強(qiáng)是渦管的截面，那么稱為渦管強(qiáng)度。度。問題：式問題：式5-35-3與前面學(xué)過的什么公式類似？與前面學(xué)過的什么公式類似？任取微分面積任取微分面積dd， 法線分量為法線分量為沿沿面積分得旋渦強(qiáng)度：面積分得旋渦強(qiáng)度：nJd5 53 3表征流場中旋渦強(qiáng)弱和分布面積大小的物理量表征流場中旋渦強(qiáng)弱和分布面積大小的物理量nd;二、速度環(huán)量二、速度環(huán)量velocity circulationvelocity circulation某瞬時(shí)在流場中任取曲線某瞬時(shí)在流場中任

7、取曲線ABAB ：速度矢在積分途徑方向的分量沿該：速度矢在積分途徑方向的分量沿該 途徑的線積分。途徑的線積分。速度環(huán)量速度環(huán)量定義定義sABABV ds5 54 4sV:v在在 向的投影向的投影d sVsVds微元弧微元弧dsA B; 速度環(huán)量是標(biāo)量，速度方向與積分速度環(huán)量是標(biāo)量，速度方向與積分ABAB曲線方曲線方向一樣時(shí)成銳角為正向一樣時(shí)成銳角為正, ,反之為負(fù)。反之為負(fù)。 線積分方向相反的速度環(huán)量相差一負(fù)號(hào)，即線積分方向相反的速度環(huán)量相差一負(fù)號(hào)，即ABABBA BA 5 55)5)速度環(huán)量的其他表示方式：速度環(huán)量的其他表示方式：cos( ,)xyzABABABABV dsVV ds dsV

8、 dx V dy V dz;沿封鎖周線沿封鎖周線C C的速度環(huán)量的速度環(huán)量xyzcscccdxV dyV dzV dsVdsVC CdssVV;對(duì)于無旋流場對(duì)于無旋流場:對(duì)于有旋場對(duì)于有旋場:ABxyzABABBBAAV dxV dyV dzdxdydzxyzd速度環(huán)量的計(jì)算速度環(huán)量的計(jì)算1) 1) 知速度場，求沿一條開曲線的速度環(huán)量知速度場，求沿一條開曲線的速度環(huán)量由公式由公式 計(jì)算計(jì)算ABxyzABABV dsVdx Vdy Vdz;2. 2. 假設(shè)知速度場，求沿一條閉曲線的速度環(huán)量假設(shè)知速度場，求沿一條閉曲線的速度環(huán)量對(duì)于無旋場對(duì)于無旋場:對(duì)于有旋場對(duì)于有旋場:0cxyzcccV dxV

9、 dyV dzdxdydzxyzd 2csncV dsd 5 51111此式稱為斯托克斯定理此式稱為斯托克斯定理 ;三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理沿恣意閉曲線的速度環(huán)等于該沿恣意閉曲線的速度環(huán)等于該曲線為邊境的曲面內(nèi)的旋渦強(qiáng)曲線為邊境的曲面內(nèi)的旋渦強(qiáng)度的兩倍度的兩倍, ,即即 J J2csncV dsd 5 51111或或斯托克斯定理：斯托克斯定理：環(huán)量與旋渦強(qiáng)度經(jīng)過線積分環(huán)量與旋渦強(qiáng)度經(jīng)過線積分與面積分聯(lián)絡(luò)起來了。與面積分聯(lián)絡(luò)起來了。Cnd;0 0c cd da ab bdxdxxvyvx xy ydydyyyvvdxxxxvvdyy 證 明:流場中取微元矩形流場中取微元矩形abcdabc

10、d()()yxabcdaxyxyvvdv dxvdx dyvdy dxv dyxy()yxvvdxdyxy()2yxzvvxy而而微矩形面積微矩形面積dsds上的環(huán)量：上的環(huán)量：222znddSdSdJ;將將C域分為假設(shè)干微矩形域分為假設(shè)干微矩形, 對(duì)各微分面積求對(duì)各微分面積求d 推行到有限大平面推行到有限大平面 兩鄰矩形公共邊積分兩鄰矩形公共邊積分反向反向, ,速度環(huán)量其和為零。速度環(huán)量其和為零。內(nèi)部線段環(huán)量相互抵消，內(nèi)部線段環(huán)量相互抵消，只剩外部邊境的環(huán)量。只剩外部邊境的環(huán)量。22CndJ 5 51212證畢證畢上述斯托克斯定理只適用于上述斯托克斯定理只適用于“單連通區(qū)域單連通區(qū)域 C C

11、 所包圍的區(qū)域所包圍的區(qū)域內(nèi)全部是流內(nèi)全部是流體，沒有固體或空洞。體，沒有固體或空洞。單連通區(qū)域：單連通區(qū)域：;C C的內(nèi)部有空洞或者包的內(nèi)部有空洞或者包含其他的物體。含其他的物體。復(fù)連通域復(fù)連通域( (多連通域多連通域) )：ABAB線將線將切開，那么沿周線切開，那么沿周線ABBABB，A A，EAEA前進(jìn)所圍的區(qū)域前進(jìn)所圍的區(qū)域?yàn)閱芜B通域。為單連通域。2ABB A EAnd用斯托克斯定理有用斯托克斯定理有: :CC ABDBAEAABCBAL 區(qū)域在走向的左側(cè)區(qū)域在走向的左側(cè);C積分道路相反，抵消掉了。積分道路相反，抵消掉了。：沿外邊境逆時(shí)針的環(huán)量：沿外邊境逆時(shí)針的環(huán)量L L ：沿內(nèi)邊境順

12、時(shí)針的環(huán)量：沿內(nèi)邊境順時(shí)針的環(huán)量ABBA 2CLnd 最后有最后有(5-13)(5-13)這就是雙連通域的斯托克斯定理。這就是雙連通域的斯托克斯定理。; 反之，假設(shè)沿恣意封鎖周線的速度環(huán)量等反之，假設(shè)沿恣意封鎖周線的速度環(huán)量等于零，可得處處為零的結(jié)論。于零，可得處處為零的結(jié)論。推論一推論一單連域內(nèi)的無旋運(yùn)動(dòng)，流場中處處單連域內(nèi)的無旋運(yùn)動(dòng)，流場中處處 為為零，那么沿恣意封鎖周線的速度環(huán)量為零，那么沿恣意封鎖周線的速度環(huán)量為零零 但沿某閉周線的速度環(huán)量為零，并不一定無但沿某閉周線的速度環(huán)量為零，并不一定無旋能夠包圍強(qiáng)度一樣轉(zhuǎn)向相反的旋渦。旋能夠包圍強(qiáng)度一樣轉(zhuǎn)向相反的旋渦。2200cndd ;推論二

13、推論二 對(duì)于包含一固體在內(nèi)的雙連通域，假設(shè)對(duì)于包含一固體在內(nèi)的雙連通域，假設(shè)流流動(dòng)無旋，那么沿包含固體在內(nèi)的恣意兩動(dòng)無旋，那么沿包含固體在內(nèi)的恣意兩個(gè)封鎖周線的環(huán)量彼此相等。個(gè)封鎖周線的環(huán)量彼此相等。那么那么 有：有：2CLnd 即即即即 (與積分途徑方向一致時(shí)與積分途徑方向一致時(shí))C;3 3正壓流體流體密度僅為壓力的數(shù)正壓流體流體密度僅為壓力的數(shù)假設(shè)：假設(shè)：1理想流體；理想流體；2質(zhì)量力有勢；質(zhì)量力有勢；沿流體質(zhì)點(diǎn)組成的任一封鎖流體沿流體質(zhì)點(diǎn)組成的任一封鎖流體周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變. . 湯姆遜定理湯姆遜定理: :5 51414即即0ddt5-2 湯姆遜定理湯姆

14、遜定理;證明證明: :dsC上微分長上微分長 經(jīng)經(jīng)dt時(shí)間后移到時(shí)間后移到C，v挪動(dòng)速度挪動(dòng)速度導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)：第二項(xiàng)積分可寫成第二項(xiàng)積分可寫成 cccdvdsdddvdsdtdvdsdttdt ()ccdsdsddtdvdsvt21dsdsvvdtdv2)02(ccccdsdsvdtdvdsvvdddtv因此因此1r2r2r1rCds1v2vCds2v1v;由歐拉方程由歐拉方程而積分式而積分式cccdvdsdddvdsdtdvdsdttdt 第一項(xiàng)積分可寫成第一項(xiàng)積分可寫成 1()ccdvdsFp dsdt假設(shè)質(zhì)量力有勢那么假設(shè)質(zhì)量力有勢那么假設(shè)流體正壓那么假設(shè)流體正壓那么Ppp 證畢證畢(P)

15、(P)0cccdvdsUdsdUdt所以所以0ddt;1)1)在理想流體中在理想流體中, ,速度環(huán)量和旋渦不生不滅。速度環(huán)量和旋渦不生不滅。2)2) 由于不存在切向應(yīng)力，不能傳送旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。由于不存在切向應(yīng)力，不能傳送旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。湯姆遜定理和斯托克斯定理闡明：湯姆遜定理和斯托克斯定理闡明： 2) 推論推論: 流場中原來有旋渦和速度環(huán)量的，永流場中原來有旋渦和速度環(huán)量的，永 遠(yuǎn)有旋渦并堅(jiān)持環(huán)量不變，原來沒有旋渦和遠(yuǎn)有旋渦并堅(jiān)持環(huán)量不變，原來沒有旋渦和 速度環(huán)量的速度環(huán)量的, 就永遠(yuǎn)無旋渦和速度環(huán)量。就永遠(yuǎn)無旋渦和速度環(huán)量。 例如，從靜止開場的波浪運(yùn)動(dòng)，由于流例如，從靜止開場的波浪運(yùn)動(dòng)，由于流體靜止時(shí)

16、是無旋的，因此產(chǎn)生波浪以后，波體靜止時(shí)是無旋的，因此產(chǎn)生波浪以后，波浪運(yùn)動(dòng)是無旋運(yùn)動(dòng)。浪運(yùn)動(dòng)是無旋運(yùn)動(dòng)。;留意留意: 貼近物體外表極薄一層要除外，由于粘性貼近物體外表極薄一層要除外，由于粘性的存在，這極薄一層為有旋運(yùn)動(dòng)。的存在，這極薄一層為有旋運(yùn)動(dòng)。 又如繞流物體的流動(dòng)，遠(yuǎn)前方流動(dòng)對(duì)物體又如繞流物體的流動(dòng)，遠(yuǎn)前方流動(dòng)對(duì)物體無擾動(dòng)，該處流動(dòng)無旋，接近物體時(shí)流動(dòng)不再無擾動(dòng)，該處流動(dòng)無旋，接近物體時(shí)流動(dòng)不再是均勻流，根據(jù)湯姆遜定理和斯托克斯定理，是均勻流，根據(jù)湯姆遜定理和斯托克斯定理，流動(dòng)仍堅(jiān)持為無旋運(yùn)動(dòng)。流動(dòng)仍堅(jiān)持為無旋運(yùn)動(dòng)。;- 海姆霍茲定理海姆霍茲定理海姆霍茲第一定理海姆霍茲第一定理 渦管強(qiáng)度

17、守恒定理渦管強(qiáng)度守恒定理同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度都一樣同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度都一樣渦管上任取截面渦管上任取截面和和，并將渦管外表在，并將渦管外表在處切開。處切開。由斯托克斯定理由斯托克斯定理0由于由于 內(nèi)內(nèi)所以所以2abdb a eand ;abb a 由于由于0 故得故得 即海姆霍茲第一定理，闡明渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度都一樣。假設(shè)渦管很小，假設(shè)渦管很小， 垂直于垂直于 d ，那么上式可寫，那么上式可寫成成d const.由斯托克斯定理上式寫成由斯托克斯定理上式寫成: :12nndd或.ndconst 0abb a 而而;結(jié)論：結(jié)論： 渦管不能在流體中以尖端方式終止或開場，否那么時(shí)有。不

18、能夠的情況由于由于渦管存在的方式：要么終止渦管存在的方式：要么終止于流體邊境或固體邊境，要于流體邊境或固體邊境，要么自行封鎖構(gòu)成渦環(huán)。么自行封鎖構(gòu)成渦環(huán)。;海姆霍茲第二定理海姆霍茲第二定理渦管堅(jiān)持定理渦管堅(jiān)持定理 正壓、理想流體在有勢質(zhì)量力作用下，正壓、理想流體在有勢質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)由一樣的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。渦管永遠(yuǎn)由一樣的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。證明：證明：渦管外表上取封鎖流體周線渦管外表上取封鎖流體周線C由斯托克斯定理知沿周線由斯托克斯定理知沿周線C C的的=0=0渦管渦管由湯姆遜定理該速度環(huán)量永遠(yuǎn)為零由湯姆遜定理該速度環(huán)量永遠(yuǎn)為零即即C C所圍的區(qū)域永遠(yuǎn)沒有渦線經(jīng)過。所圍的區(qū)域永遠(yuǎn)沒有渦線經(jīng)

19、過。 即渦管永遠(yuǎn)由一樣的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。但渦管的外形和位置能夠隨時(shí)間變化。;海姆霍茲第三定理海姆霍茲第三定理渦管旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變渦管旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變 正壓、理想流體在有勢質(zhì)量力作用下，渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變。 由斯托克斯定理知繞渦管的速度環(huán)量等于渦由斯托克斯定理知繞渦管的速度環(huán)量等于渦管的旋渦強(qiáng)度，又湯姆遜定理知該速度環(huán)量不隨管的旋渦強(qiáng)度，又湯姆遜定理知該速度環(huán)量不隨時(shí)間變，因此渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變。時(shí)間變，因此渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間而變。;海姆霍茲第一定理既適用于理想流體又適用于海姆霍茲第一定理既適用于理想流體又適用于粘性流體。粘性流體。海姆霍茲第二、三定理只適用于理想流體

20、。海姆霍茲第二、三定理只適用于理想流體。由于流體的粘性將導(dǎo)致剪切、速度等由于流體的粘性將導(dǎo)致剪切、速度等參數(shù)脈動(dòng)以及能量耗散，旋渦強(qiáng)度將隨時(shí)參數(shù)脈動(dòng)以及能量耗散，旋渦強(qiáng)度將隨時(shí)間衰減。間衰減。;問題問題 知速度場可由式3-39和3-40求偏導(dǎo)來確定旋渦場。- 畢奧一沙伐爾定理畢奧一沙伐爾定理知旋渦場，能否確定速度場？這是本節(jié)要知旋渦場，能否確定速度場？這是本節(jié)要討論的問題討論的問題問題的前提：問題的前提： 流場中只存在一部分旋渦，其流場中只存在一部分旋渦，其 它區(qū)域全為無旋區(qū)。它區(qū)域全為無旋區(qū)。例如流場中有假設(shè)干弧立渦絲，必然影響周例如流場中有假設(shè)干弧立渦絲，必然影響周圍無旋區(qū)的速度分布。由渦

21、絲引起的速度稱為圍無旋區(qū)的速度分布。由渦絲引起的速度稱為旋渦誘導(dǎo)速度場。旋渦誘導(dǎo)速度場。;渦絲誘導(dǎo)的速度場的計(jì)算渦絲誘導(dǎo)的速度場的計(jì)算: 為了求渦絲誘導(dǎo)速度場，現(xiàn)將電磁場中為了求渦絲誘導(dǎo)速度場，現(xiàn)將電磁場中的畢奧的畢奧沙伐爾定理援用過來。沙伐爾定理援用過來。誘導(dǎo)速度場與電磁場的類比誘導(dǎo)速度場與電磁場的類比帶電導(dǎo)線帶電導(dǎo)線 渦絲渦絲(線線)電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度 旋渦強(qiáng)度旋渦強(qiáng)度誘導(dǎo)磁場強(qiáng)度誘導(dǎo)磁場強(qiáng)度 誘導(dǎo)速度場誘導(dǎo)速度場磁磁 場場誘導(dǎo)速度場誘導(dǎo)速度場dHdV;電磁場與誘導(dǎo)速度場的類比電磁場與誘導(dǎo)速度場的類比場點(diǎn)場點(diǎn); 電磁學(xué)中，電流強(qiáng)度為的導(dǎo)線，微元導(dǎo)電磁學(xué)中，電流強(qiáng)度為的導(dǎo)線，微元導(dǎo)線線dsds

22、對(duì)場點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度由畢奧對(duì)場點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度由畢奧沙沙伐爾公式得伐爾公式得: :垂直于垂直于dsds和所在的平面，按右手法那么確定。和所在的平面，按右手法那么確定。: ds離場點(diǎn)離場點(diǎn)P的矢的矢徑徑式中：式中：: : 是是dsds與的夾角與的夾角dH的方向的方向:;流膂力學(xué)中畢奧流膂力學(xué)中畢奧沙伐爾公式的方式沙伐爾公式的方式 旋渦強(qiáng)度為環(huán)量旋渦強(qiáng)度為環(huán)量2 2的的dsds段渦絲段渦絲對(duì)于點(diǎn)所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度：對(duì)于點(diǎn)所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度： 流場中單一有限長渦絲在流場中單一有限長渦絲在P P點(diǎn)的誘導(dǎo)速度沿點(diǎn)的誘導(dǎo)速度沿整個(gè)渦絲積分：整個(gè)渦絲積分：該式可算出恣意單一渦絲所引起的誘導(dǎo)速度場該式可算出恣

23、意單一渦絲所引起的誘導(dǎo)速度場; 流場中多條渦絲可組成一渦面流場中多條渦絲可組成一渦面, , 每條每條渦絲的誘導(dǎo)速度求得后，沿渦面積分就可渦絲的誘導(dǎo)速度求得后，沿渦面積分就可求得整個(gè)渦面上的誘導(dǎo)速度。流膂力學(xué)中求得整個(gè)渦面上的誘導(dǎo)速度。流膂力學(xué)中速度場可以看成是渦絲誘導(dǎo)出來的。速度場可以看成是渦絲誘導(dǎo)出來的。;典型實(shí)例：無限長直渦絲典型實(shí)例：無限長直渦絲dxdx段對(duì)點(diǎn)的誘段對(duì)點(diǎn)的誘導(dǎo)速度是：導(dǎo)速度是：直渦絲直渦絲段對(duì)點(diǎn)的段對(duì)點(diǎn)的誘導(dǎo)速度：誘導(dǎo)速度：方向垂直于紙面向外方向垂直于紙面向外2112sin(coscos)44vdRR;= =1801.1.對(duì)于無限長直渦絲：對(duì)于無限長直渦絲：2.2.對(duì)于半

24、無限長直渦絲：對(duì)于半無限長直渦絲：=90 =18012(coscos)1 ( 1)442vRRR 12(coscos)0 ( 1)444vRRR ; 在垂直于無限長直渦絲的任何平面內(nèi)在垂直于無限長直渦絲的任何平面內(nèi), 流動(dòng)流動(dòng)都是一樣的，可視為二維流動(dòng)都是一樣的，可視為二維流動(dòng), 相當(dāng)于一個(gè)平面相當(dāng)于一個(gè)平面點(diǎn)渦。如環(huán)量為點(diǎn)渦。如環(huán)量為，那么在平面極坐標(biāo)內(nèi)的誘導(dǎo)速，那么在平面極坐標(biāo)內(nèi)的誘導(dǎo)速度為度為:02rvvRR R為場點(diǎn)至點(diǎn)渦的間隔為場點(diǎn)至點(diǎn)渦的間隔例例3.4中已證明這種速度場是無旋的。中已證明這種速度場是無旋的。;例例5.15.1如圖強(qiáng)度相等的兩點(diǎn)渦的初始位置，試如圖強(qiáng)度相等的兩點(diǎn)渦的初

25、始位置，試就就(a)(a)和和(b)(b)兩種情況決議此兩點(diǎn)渦的運(yùn)動(dòng)。兩種情況決議此兩點(diǎn)渦的運(yùn)動(dòng)。解解: (a)：0AxAdxvdt點(diǎn)：點(diǎn)：1224AyAdyvdtaa 由由BS定律定律;0BxBdxvdtB點(diǎn)：點(diǎn)：1224ByBdyvdtaa 34,4BBxcytca 12,4AAxcytca 積分得積分得:,0,0,AABBxayxay 令時(shí)令時(shí)代入方程得代入方程得: 1= 2= 3=- 4=;故，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為故，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為: :點(diǎn)：點(diǎn)：,4BBxayta 在在(a)(a)中，兩點(diǎn)渦大小相等，中，兩點(diǎn)渦大小相等，方向相反。方向相反。,4AAxayta 點(diǎn)：點(diǎn)： 兩點(diǎn)渦相對(duì)位置堅(jiān)持

26、不變，它們同時(shí)沿兩點(diǎn)渦相對(duì)位置堅(jiān)持不變，它們同時(shí)沿方向等速向下挪動(dòng)。方向等速向下挪動(dòng)。;0AxAdxvdt點(diǎn)：點(diǎn)：4AyAdyvdta0BxBdxvdt4ByBdyvdtaB點(diǎn)：點(diǎn)： 開場點(diǎn)向上，點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成圍繞開場點(diǎn)向上，點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)，沿半徑為的圓周的等速轉(zhuǎn)動(dòng)。坐標(biāo)原點(diǎn)，沿半徑為的圓周的等速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為:24 a情況情況 ( b );旋渦中心點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：旋渦中心點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：2,4BBrata 對(duì)于：對(duì)于：2,4AArata對(duì)于：對(duì)于：;- 蘭金組合渦蘭金組合渦 設(shè)流場中有一半徑為的無限長圓柱形設(shè)流場中有一半徑為的無限長圓柱形流體象剛體

27、一樣繞其軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為流體象剛體一樣繞其軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為。 例3.3已證明，圓柱內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)有旋，且旋渦角速度就是。 這樣的旋渦以及它的誘導(dǎo)速度場可作為平這樣的旋渦以及它的誘導(dǎo)速度場可作為平面渦處置。由于旋渦誘導(dǎo)的速度場是無旋的，面渦處置。由于旋渦誘導(dǎo)的速度場是無旋的，在討論整個(gè)流場的速度和壓力分布時(shí)，亦須將在討論整個(gè)流場的速度和壓力分布時(shí)，亦須將旋渦內(nèi)部和外部分開。旋渦內(nèi)部和外部分開。;一、速度分布一、速度分布1 1旋渦內(nèi)部：流體象剛體一樣繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)旋渦內(nèi)部：流體象剛體一樣繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)0,rVVrr R;式中：式中：2222.RRconst 外部流速與成反比。外部流速與成反比。;二、壓力

28、分布二、壓力分布1 1旋渦外部：流動(dòng)定常且無旋旋渦外部：流動(dòng)定常且無旋NoImage由拉格朗日積分式確定速度和壓力的關(guān)由拉格朗日積分式確定速度和壓力的關(guān)系。略去質(zhì)量力有：系。略去質(zhì)量力有：212pVC由邊境條件由邊境條件，02Vr該處該處0 0，那么有，那么有0 0 壓力分布為：壓力分布為：2012ppVrR;結(jié)論：結(jié)論：1.1.愈接近中心，速度值愈大，壓力愈小。愈接近中心，速度值愈大，壓力愈小。2.在旋渦邊境上，r=R，VVR，如相應(yīng) 的壓力為P 那么那么2012RRppV即在邊緣即在邊緣R R上，壓力較無窮遠(yuǎn)處下降了上，壓力較無窮遠(yuǎn)處下降了 212RV;2 2旋渦內(nèi)部旋渦內(nèi)部: :定常有旋

29、流動(dòng)定常有旋流動(dòng)由伯努利方程有：由伯努利方程有：212LpVC流線為同心圓族，不同流線上壓力不同。流線為同心圓族，不同流線上壓力不同。由歐拉方程給定邊境條件，略去質(zhì)量力由歐拉方程給定邊境條件，略去質(zhì)量力求解：求解：1xxxyVVpVVxxx 1yyxyVVpVVxxy ;因因 Vx Vxyy，VyVy，代入上式得：，代入上式得：NoImage21pxx21pyy將以上兩式分別乘將以上兩式分別乘 的的dx dx 和和 dy dy， 再相加得：再相加得：2()ppxdxydydxdydpxy222()2xydpd或或積分得：積分得：22221()22xypcVc;在旋渦邊緣上：在旋渦邊緣上：201,2RRRrRVVpppV旋渦內(nèi)部壓力分布：旋渦內(nèi)部壓力分布：22012RppVV代入代入212pVc20RcpV得得 旋渦中心0,0rV旋渦中心的相對(duì)壓力為旋渦中心的相對(duì)壓力為20RppV 旋渦外部旋渦外部:速度越大壓力越小速度越大壓力越小旋渦內(nèi)部旋渦內(nèi)部:速度越小壓力越小速度越小壓力越小;蘭金蘭金RankineRankine渦渦: :具有自在外表流場中的鉛具有自在外表流場中的鉛 直方向的圓柱形渦。直方向的圓柱形渦。壓力分布：壓力分布：24