電磁學(xué)部分習(xí)題解答

1、1. 直角坐標(biāo)系中點(diǎn)電荷電量為Q，坐標(biāo)為，寫出Q所產(chǎn)生的電場在空間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解：畫出坐標(biāo)系及空間任一點(diǎn)，則該點(diǎn)相對于點(diǎn)電荷的位矢為 ，由點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的電場在P點(diǎn)處的場強(qiáng)分量為 該場強(qiáng)的方向沿方向：。在求解給定具體坐標(biāo)的特殊問題時，往往用分量形式直接計(jì)算更直觀更方便，還不易出錯。矢量形式固然很標(biāo)準(zhǔn)化很簡潔（尤其是涉及到帶有散度和旋度的微分方程），但一般只用于做基本證明和推導(dǎo)的過程，因?yàn)槭噶糠匠膛c所取的任一坐標(biāo)無關(guān)。2. 一電偶極子的電偶極矩為，P點(diǎn)到偶極子中心的距離為r，與的夾角為，在時，求P點(diǎn)的電場強(qiáng)度在方向的分量和垂直于方向的分量。解：在極坐標(biāo)系下，設(shè)點(diǎn)相對于和的位矢分別為，它們與的

2、夾角分別為和，由點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式有， 在極坐標(biāo)下，可以分解為：，其中， 又因?yàn)?，在此近似下有，帶入以上各式，化簡得，。此種方法的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用各坐標(biāo)分量間的幾何與近似關(guān)系。對于電偶極子的問題，聯(lián)系電勢一節(jié)的內(nèi)容，我們可以做一些歸納，下面我們從最常用的直角坐標(biāo)系出發(fā)，來推導(dǎo)電偶極子在空間任一點(diǎn)的電勢及場強(qiáng)公式。以偶極子兩電荷連線中點(diǎn)為原點(diǎn)，以偶極矩方向?yàn)閤軸方向取直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)，由點(diǎn)電荷的電勢疊加可得：考慮到的條件，有， 上式右邊經(jīng)過二項(xiàng)展開，并略去的高階項(xiàng)（二階及以上），得則 ，則P點(diǎn)的偶極子勢為可寫成矢量表達(dá)形式： （*）下面求電偶極子的電場強(qiáng)度：由,將上式帶入,有其中，則 （#）。以

3、上（*）和（#）式為偶極子的一般計(jì)算式。可以在具體的坐標(biāo)系中直接帶入計(jì)算。變換到球坐標(biāo)系中,由于軸對稱性可知，與無關(guān)，則的分量為：，。1. 計(jì)算的散度：解：。2. 如圖所示，無限大帶電層，且電荷密度，試求其產(chǎn)生的場強(qiáng)。解：此題需分三個區(qū)域進(jìn)行計(jì)算：取垂直于帶電層的坐標(biāo)OX。（1），取到之間的帶電平面，取單位面積的電荷面密度為，則，則該平面在處形成的電場強(qiáng)度為：，（負(fù)號代表取坐標(biāo)負(fù)向。）若，則 ；（2），同理可得（負(fù)號代表取坐標(biāo)正向。）若，則 ；（3），對于帶電層中間的區(qū)域，要注意和的情況不一樣，故要進(jìn)行分段積分：若，則 。3. 求無限長均勻帶電柱體周圍的場強(qiáng)，已知延高方向單位長度電荷密度為，圓

4、柱底面半徑為。解：取半徑為、高為的同軸圓柱面為高斯面，分以下兩種情況考慮：（1）時，由高斯定理，有而，則 得 （2）當(dāng)時，同理得到 。4. 求均勻帶電球殼產(chǎn)生的電場中電位的分布，設(shè)球殼帶電總量為，半徑為。解：以無窮遠(yuǎn)處作為電位零點(diǎn)，即,由真空中帶電球殼的場強(qiáng)分布：根據(jù)電位的定義求解：對于時，；對于時，。5. 求無限大均勻帶電平面（電荷面密度為）的電勢分布。解：確立原點(diǎn)在平面上的坐標(biāo)OX，設(shè)空間任一點(diǎn)P位于處。取為電位零點(diǎn)，由無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)公式，有下面以的情況來討論：由電位定義有：。本題中電位零點(diǎn)的取法很關(guān)鍵，注意到：求無限大帶電體周圍的電位時，不能取無窮遠(yuǎn)處為電位零點(diǎn)。6. 一半徑為

5、的均勻帶電圓面，電荷總量為，求軸線（OX）上的電位分布，并畫出曲線。解：在圓面上取的圓環(huán)，由于圓面的電荷面密度：,故該圓環(huán)所帶電量為：而圓環(huán)在軸線上的電位分布可以根據(jù)電位疊加法，取圓環(huán)上的一段，取無窮遠(yuǎn)處為電位零點(diǎn)，由點(diǎn)電荷的電位公式：，得圓環(huán)在軸線上的電位分布為：現(xiàn)在將此電位作為圓面在軸線上電位的積分元，即令，作圓面上半徑的積分，可得整個圓面在軸線上的電位：。7. 電量均勻分布在長為的細(xì)直線上，求下列各處的電位：（1） 中垂面上離帶電線段中心O為處，并用梯度求；（2） 延長線上離中心O為為處，并用梯度求；（3） 通過一端的垂直面上離該點(diǎn)為處，并用梯度求。解：根據(jù)題意，以O(shè)為原點(diǎn)中垂線所在直線

6、作為x軸、延長線所在直線作為y軸建立坐標(biāo)系，取無窮遠(yuǎn)處為電位零點(diǎn)。（1） 求點(diǎn)的電位及：設(shè)直線上的一段所帶的電量為，由點(diǎn)電荷電位公式，它在點(diǎn)的電位為：則整段直線在點(diǎn)的電位為：則有 。（2）求點(diǎn)的電位及：線元的電量仍然為，由點(diǎn)電荷電位公式，它在點(diǎn)的電位為：則整段直線在點(diǎn)的電位為：則有 ,（號對應(yīng)，號對應(yīng)）。y（3）求點(diǎn)的電位及：2l同樣取線元，其電量仍然為，由點(diǎn)電荷電位公式，它在點(diǎn)的電位為：rPOx則整段直線在點(diǎn)的電位為：則有 。rl-lP-2q+q+q1. （P44.8）如圖所示一種電四極子，由兩個相同的電偶極子組成，這兩偶極子在一直線上，當(dāng)方向相反，它們的負(fù)電荷重合在一起。求延長線上離中心（

7、即負(fù)電荷）為處的電場及電位分布。解一：根據(jù)電場疊加原理，三個點(diǎn)的電荷在P處的場強(qiáng)：由，上式可以用Tayler公式展開：利用公式，并取二級近似，有則 。以上為一種常規(guī)方法運(yùn)用點(diǎn)電荷電場疊加原理。下面介紹另一種方法，將電四極子看作兩個電偶極子的組合問題，直接運(yùn)用電偶極子的電勢求解：解二：由偶極子專題的分析，偶極矩為的電偶極子在空間任意一點(diǎn)P處的電位為： ，注意這里的指的是中點(diǎn)到P點(diǎn)的位矢。本題中的電四極子的電位可以用兩個偶極子電位的疊加來表示：，現(xiàn)在同樣用Tayler公式展開：利用公式，并取二級近似，得由 即得P點(diǎn)的場強(qiáng)。+q- ql2. 如圖所示為另一種電四極子，設(shè)和都已知，P點(diǎn)到正方形的中心O

8、距離為，與正方形的一對邊平行，求P點(diǎn)的電場強(qiáng)度及電位分布。xll+q- qPl解一：利用偶極子在中垂面上的場強(qiáng)分布：將本題中的電四極子看作分別由和兩個偶極子的組合，則有偶極子在中垂線上P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為：，方向向下，偶極子在中垂線上P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為：，方向向上，則合場強(qiáng)：由，上式可以用Tayler公式展開：利用公式，并取二級近似，有于是有 。此題的擴(kuò)展問題：考慮P點(diǎn)不在中垂面上，求解如下：P(r, )- q+qlrlO極軸l- q+ql解二：如圖所示，在極坐標(biāo)下P點(diǎn)的坐標(biāo)，先考慮P點(diǎn)的電位：由偶極子專題的分析，偶極矩為的電偶極子在空間任意一點(diǎn)P處的電位為： ，同樣這里的指的是中點(diǎn)到P點(diǎn)的位矢。設(shè)

9、P點(diǎn)相對于偶極子和的位矢分別為，對應(yīng)的與極軸的夾角為分別為，則有：故 又由幾何關(guān)系有 ，且，化簡略去二階小量得由 即得P點(diǎn)的場強(qiáng)。yaax0P(x,y)3. 如圖所示。兩條均勻帶電的無限長平行直線（與圖紙垂直），電荷的線密度分別為，相距為，求空間任一點(diǎn)的電位。解：取坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)的電位為零，即 。則根據(jù)無線長直導(dǎo)線的電位分布公式，有：導(dǎo)線在P點(diǎn)的電位為：導(dǎo)線在P點(diǎn)的電位為：在直角坐標(biāo)系中，所以P點(diǎn)的電位為：本題要注意零電位的取法，對于無限的帶電體，不能再取無限遠(yuǎn)處為零電位點(diǎn)。另外，幾種典型模型（如無限大帶電平面、無限長直導(dǎo)線、帶電圓環(huán)、帶電圓面、帶電球面及帶電球的電場強(qiáng)度和電位的分布要熟悉掌握，

10、在處理具體問題的時候都可以直接運(yùn)用它們的結(jié)果。）8. 半徑為的導(dǎo)體，帶電量為，球內(nèi)有兩個半徑分別為、的球心空腔，中心處有電荷、。計(jì)算導(dǎo)體球內(nèi)、球外空間的電位和場強(qiáng)。解：以無窮遠(yuǎn)處作為電位零點(diǎn)，即,（1） 導(dǎo)體球外：離球心距離處的電位由此得場強(qiáng)： ；（2） 導(dǎo)體球上：即的電位為 ，導(dǎo)體內(nèi)部的場強(qiáng) ；（3） 空腔1內(nèi)：假設(shè)離空腔球心距離處的電位為由邊界條件：時，得由此得場強(qiáng)：；（4） 空腔2內(nèi)：同理假設(shè)離空腔球心距離處的電位為由邊界條件：時，得由此得場強(qiáng)：。9. 接地導(dǎo)體球（半徑為），距球心為處有一點(diǎn)電荷。求空間電位分布。解：此題參考上課時講的例題。10. 點(diǎn)電荷處在導(dǎo)體殼的中心，殼的內(nèi)外半徑分別

11、為、，求場強(qiáng)的分布。并畫出和曲線。解：根據(jù)題意，導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時，導(dǎo)體內(nèi)的場強(qiáng)為零，導(dǎo)體為等勢體，在的導(dǎo)體面上均勻分布電量為的感應(yīng)電荷，的導(dǎo)體面上均勻分布電量為的感應(yīng)電荷。（1） 考慮的區(qū)域時，導(dǎo)體內(nèi)部的電荷對外部電場沒有影響，該區(qū)域的電場只由導(dǎo)體外表面的電荷產(chǎn)生，則故 ；（2）考慮的區(qū)域，電位如下：（3）考慮的區(qū)域時，假設(shè)電位為則由邊界條件：時 可得 故 由此可得 。11. 一球形電容器內(nèi)外兩殼的半徑分別為、，現(xiàn)在兩殼之間放一個內(nèi)外半徑分別為、的同心導(dǎo)體球殼。（1） 給內(nèi)殼充以電量，求和兩殼的電位差；（2） 求電容（即以和為兩極的電容）。解：（1）當(dāng)內(nèi)殼充電時，由于導(dǎo)體的靜電感應(yīng)作用，、各

12、球面上分別均勻分布電量為、的感應(yīng)電荷，故取半徑為的同心球面為高斯面，由高斯定理可以算出不同區(qū)域的場強(qiáng)分布：則和兩殼的電位差：；(2) 由電勢差和極板帶電量可得電容：。12. （P17114題）收音機(jī)里用的可變電容如13題圖所示其中共有個金屬片。每片形狀如14題圖所示；相鄰兩片間的距離都是，當(dāng)動片轉(zhuǎn)到兩組片之間的夾角為時，證明：當(dāng)較大時，略去邊緣效應(yīng)，它的電容為（其中以度為單位）； 同時運(yùn)用虛功原理求電容器極板繞軸旋轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)矩。解：將此可變電容器視為個平板電容器的并聯(lián)組合，每個小電容器的電容為：,總的電容為 。若已知，則有 ，得證；現(xiàn)在求轉(zhuǎn)矩：由電容器的儲能公式 ,根據(jù)虛功原理設(shè)想極板轉(zhuǎn)動角度為

13、一小量時，能量變化,其中的對應(yīng)，設(shè)極板的轉(zhuǎn)矩為，則有，由上式可得：。13. 一平行板電容器兩極板相距為，電位差為400伏，其間充滿了介電常數(shù)的玻璃片。略去邊緣效應(yīng)，求玻璃表面上極化電荷的面密度。解：由題意已知，則可以求出平板電容器中的場強(qiáng)：，而極化強(qiáng)度矢量 ，故極化電荷面密度 。14. 平行板電容器兩極極板，其間放有一層的介質(zhì)，位置和厚度如圖所示（P202頁習(xí)題8的圖），已知極板上面電荷密度為，略去邊緣效應(yīng)，求：（5） 極板間各處的、；（6） 極板間各處的電位（設(shè)）；（7） 已知極板面積為2,求電容,并與不加介質(zhì)時的電容比較。解：（1）分區(qū)域討論： 對于電介質(zhì)外極板間的區(qū)域，即和時，顯然有，場強(qiáng) 電位移 ； 對于電介質(zhì)內(nèi)部區(qū)域，即時，由高斯定理得 場強(qiáng) （2）討論取不同區(qū)域極板間的電位：時，由于是常數(shù)，故；時，而時，；（3）電容 而由此可得 。15. 一半徑為的導(dǎo)體球帶電荷，球外有一層同心球殼的均勻介質(zhì)，其內(nèi)外半徑分別為和，介電常數(shù)為。求：（1） 介質(zhì)內(nèi)外的電場強(qiáng)度和電位移；（2） 介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度和表面的極化電荷密度；（3） 介質(zhì)內(nèi)的極化電荷體密度。解：（1）取半徑為的同心球面為高斯面，由高斯定理，可得由此可得 ；（2）在介質(zhì)內(nèi)部，由,得；由，分別求介質(zhì)內(nèi)外表面的極化面密度：內(nèi)表面： 外表面：（4） 由。16. 圓柱形電容器是由半徑為的導(dǎo)線和與它同軸的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成，圓筒內(nèi)