數(shù)學(xué)篇—— 數(shù)列講解

1、學(xué)習(xí)要求：1.了解數(shù)列和其通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和的概念2.理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念，會(huì)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題.3. 理解等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念，會(huì)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題.一、數(shù)列的概念1.定義 按照一定順序排列的一列數(shù)，數(shù)列里的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)，第二項(xiàng)，第項(xiàng)，第一項(xiàng)也叫首項(xiàng).一般地，常用來表示數(shù)列，其中是數(shù)列的第記為例如,數(shù)列第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是3，第3項(xiàng)是5，第項(xiàng)是，數(shù)列記作數(shù)列的第項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，如果可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.例如，數(shù)列通項(xiàng)公式是.項(xiàng)和對(duì)于數(shù)列稱為這個(gè)數(shù)列

2、的前項(xiàng)和，記作.即的與的關(guān)系例1 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析: 由得所以，當(dāng)時(shí)當(dāng)滿足公式所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為歷年試題（2014年試題）2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求（I）的前三項(xiàng)；（II）數(shù)列的通項(xiàng)公式解析 ：（I）（II）當(dāng)當(dāng)時(shí)滿足所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2007年試題）已知數(shù)列前n項(xiàng)和（I）求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）判斷39是該數(shù)列的第幾項(xiàng).解: （I）當(dāng)當(dāng)時(shí)滿足所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為(II)設(shè)39是該數(shù)列的第項(xiàng)，則,，即39是該數(shù)列的第10項(xiàng)二、等差數(shù)列1. 等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公差，記為，即等

3、差數(shù)列的一般形式為設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為項(xiàng)和公式設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則或4.等差中項(xiàng)如果稱等差數(shù)列，就稱為與的等差中項(xiàng)，則注：一般證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，經(jīng)常是按它們的定義證明為常量5. 等差數(shù)列的性質(zhì)（1）在等差數(shù)列中，間隔相同抽出的項(xiàng)來按照原來的順序組成新的數(shù)列仍是等差數(shù)列.對(duì)于等差數(shù)列數(shù)列也是等差數(shù)列，數(shù)列也是等差數(shù)列數(shù)列也是等差數(shù)列例2如在等差數(shù)列中，已知，求解析：構(gòu)成等差數(shù)列，因?yàn)椋裕?）對(duì)等差數(shù)列，若均為正整數(shù)，且，則如例3在等差數(shù)列中，已知，求解析：因?yàn)?，即所以，?設(shè)為等差數(shù)列,其中，則（A）24 （B）127 （C）

4、30 （D）33解析:解法一 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式知解法二為等差數(shù)列，所以也是等差數(shù)列，所以，是與的等差中項(xiàng)，例5在等差數(shù)列中，如果，則_解析：，由得例6等差數(shù)列中，若則其前項(xiàng)的和（ ）A. B. C. D.解析：是等差數(shù)列，所以，由得，由得，又，所以，選B歷年試題（2013年試題）等差數(shù)列中，若，則A. 3 B. 4 C. 8 D. 12解析：（2012年試題）已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么該數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ） A. B. C. D. 解析：由得選A（2011年試題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差相等，的前項(xiàng)的和記作，且.（）求數(shù)列的首項(xiàng)及通項(xiàng)公式；（）數(shù)列的前多少項(xiàng)的和等于? 解析:

5、（）已知等差數(shù)列的公差又即，所以，又，即，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）設(shè)，又，即，解得（舍去）所以數(shù)列的前項(xiàng)的和等于. （2009年試題）面積為6的直角三角形三邊的長(zhǎng)由小到大成等差數(shù)列，公差為，求的值;在以最短邊的長(zhǎng)為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列中，102為第幾項(xiàng)？解析:（I）由已知條件可設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)分別為其中則，得三邊長(zhǎng)分別為故三角形三邊長(zhǎng)分別是.公差(II)以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列通項(xiàng)公式為故第項(xiàng)為（2008年試題）已知等差數(shù)列中, 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; 當(dāng)為何值時(shí), 數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值, 并求該最大值.解析: 設(shè)等差數(shù)列的公差為 由已知 得又已知所以 數(shù)列的通項(xiàng)公式為即 解法一：

6、數(shù)列的前項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，取得最大值.解法二：由知 令所以數(shù)列前5項(xiàng)的和最大，最大值為三、等比數(shù)列1. 等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比，記為，即等比數(shù)列的一般形式為設(shè)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為項(xiàng)和公式設(shè)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則或如果稱等比數(shù)列，就稱為與的等比中項(xiàng)，則或注：一般證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，經(jīng)常是按它們的定義證明為常量5. 等比數(shù)列的性質(zhì)（1）在等比數(shù)列中，間隔相同抽出的項(xiàng)來按照原來的順序組成新的數(shù)列仍是等比數(shù)列.對(duì)于等比數(shù)列數(shù)列也是等比數(shù)列，數(shù)列也是等比數(shù)列數(shù)列也是

7、等比數(shù)列例7如在等比數(shù)列中, 則（ ）A. 8 B. 24 C. 96 D. 384解析：是等比數(shù)列，因?yàn)?，選C（2）對(duì)等比數(shù)列，若均為正整數(shù)，且，則如例如在等比數(shù)列中，已知，求解析：，即例8設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，若，則公比q=（A）3 （B）2 （C） -2 （D）-3解析:由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知例9設(shè)等比數(shù)列的公比=2，且則（A）8 （B）16 （C） 32 （D）64解析: 由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知例10在等比數(shù)列中，若，則的公比_解析：，又，所以，即，填例11已知等比數(shù)列中，那么它的前項(xiàng)和_解析：由，可求得公比，從而所以，填例12已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，前3項(xiàng)的和為14（I）求該

8、數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)的和解析: （I） 設(shè)等比數(shù)列的公比為,則(舍去)所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（II）則例13 設(shè)為等差數(shù)列,且公差為正數(shù),已知成等比數(shù)列解析: 由為等差數(shù)列知由此得歷年試題（2015年試題）若等比數(shù)列的公比為,則A. B. C. D. （2014年試題）等比數(shù)列中,若,公比為,則_（2015年試題）已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（II）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求.（2013年試題）已知公比為的等比數(shù)列中, （I）求；（II）求的前項(xiàng)和解:（I）由已知得，即，解得（II）（2012年試題）已知等比數(shù)列中, （I）求；（II）若的公比且，求的前項(xiàng)和解析:（I）因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，又，可得，所以（II）由，得，由得，解方程組，得或由，得或（舍去）所以的前項(xiàng)和（2010年試題）已知數(shù)列中，（1）