2019年廣州市一模理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、1 絕密啟用前 2019 年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一） 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自 己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并用鉛筆在答題卡上的相對(duì) 應(yīng) 位置填涂考生號(hào)。 2回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑， 如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。 3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 4考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 、選擇題：本小題共 12 題，每小題 題目要求的。 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

2、合 2 (1)復(fù)數(shù)(1 +i ) 產(chǎn)7 的共軛復(fù)數(shù)是 (B) 1 -i (C) -1 - i (D) _1_i 2 (2)若集合 M =x|x|M1, (C) N - M（3） 已知等比的各項(xiàng)都為正數(shù) ,且a3.-a5.a4成等差數(shù)列 2 則a3 a5的值是 a4 a (B) 3-75 (C) 丁 (D) 3、5 2 （4） 閱讀如圖的程序框圖 .若輸入 n =5,則輸出k的值為 (A) 2 (B) (C) 4 2 X (5)已知雙曲線 C : -y a 2 y 4 -1的一條漸近線方程為2x 30,F1,F2分別 是雙曲線C的左，右焦點(diǎn) 點(diǎn)P在雙曲線C上，且PF1 =7,則PF2等于 (B)

3、 3 硬幣若硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來；若硬幣正面朝下，則這個(gè)人繼續(xù)坐著那么, 沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的概率為 2 2 x y C :二 2 = 1 a b 0的左，右焦點(diǎn) a b 使.F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是 (A) ,1 ( B) 11，1 | ( C) o 止 (D) 0, I1 V 2 ) 12丿 I 2丿 I 2丿 X (9)已知p: -lx - 0,eX - ax ： 1成立，q :函數(shù)f x = - a -1是減函數(shù)，則p是q的 (A)充分不必要條件 (B )必要不充分條件 (C)充要條件 (D )既不充分也不必要條件 (10)九章算術(shù)中，將底面為長方形且

4、有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬 ；將四 個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑. 若三棱錐P - ABC為鱉臑,PA丄平面ABC , PA二AB2 , AC =4 ,三棱錐P - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 0的球面上，則球0的表 面積為 (A) 8 二 (B) 12 二 (C) 20 二 (D) 24 二 (11)若直線y =1與函數(shù)f(x) = 2sin2x的圖象相交于點(diǎn) 卩(為， ), Q(x2,y2 ), 本卷包括必考題和選考題兩部分。第 1321 題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第 2223 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本小題共 4 題，每小題 5 分。(A) 15

5、 11 (D) 5 16 (8)已知F1,F2分別是橢圓 橢圓C上存有點(diǎn)P (A) 3，則線段PQ與函數(shù)f x的圖象所圍成的圖形面積是 3 (C) 三.3-2 3 (D) (12)已知函數(shù)f x =x-x2 2 3x 1 4 8, 2016 則V f kW (2017的值為 (A) 0 (B) 504 (C) 1008 (D) 2016 (A) 1 ( B) 13 (C) 4 或 10 ( D) 1 或 13 4 (13)已知a =1, b = J2，且a丄(a b)，則向量a與向量b的夾角是 _ n o (14) 3 X的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為 64，則X3的系數(shù)為 _ .(用數(shù)字填寫答案)

6、(16)設(shè)Sn為數(shù)列1 a. 1的前n項(xiàng)和，已知 c =2,對(duì)任意p,q N*,都有apap aq, Sn +60 _ * 貝U f n - (nN )的最小值為 _ n +1 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 (17)(本小題滿分 12 分) 如圖，在厶 ABC 中，點(diǎn) P 在 BC 邊上，.PAC =60 , PC =2,AP AC =4. (I )求 ACP ; (n )若厶APB的面積是一 ,求sin BAP . 2 (18)(本小題滿分 12 分) 近年來，我們國家電子商務(wù)蓬勃發(fā)展 2019 年“618 期間，某網(wǎng)購平臺(tái)的銷售業(yè)績高達(dá) 516 億元人民幣，與此同時(shí)

7、，相關(guān)管理部門推出了針對(duì)該網(wǎng)購平臺(tái)的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)系統(tǒng) 從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)實(shí)行統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)購者對(duì)商品的滿意率為 0.6,對(duì)服務(wù)的滿意率為 0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都滿意的交易為 80 次. (I )根據(jù)已知條件完成下面的 2 2列聯(lián)表，并回答能否有 99%的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對(duì) 商品滿意與對(duì)服務(wù)滿意之間相關(guān)系”？ (15 )已知函數(shù)f x = 2 U -log2 X, x _ 0, x 0, 若f (a / K 2 ,貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是 附: 對(duì)服務(wù)滿意 對(duì)服務(wù)不滿意 合計(jì) 對(duì)商品滿意 80 對(duì)商品不滿意 合計(jì) 200 意的次數(shù)為隨機(jī)變 K2 2 n ad -

8、 be a b e d a e b d (其中n = a b e d為樣本容量) A 上實(shí)行的 3 次購物 中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù) 都滿 若將頻率視為概率, 某人在該網(wǎng)購平臺(tái) 5 角梯形ABCD中，AD / BC , AB丄BC , BD丄DC ,點(diǎn)E是BC邊的 中點(diǎn),將厶ABD沿BD折起，使平面 ABD丄平面BCD，連接AE , AC , DE，得到如 圖 2 所示的幾何體. (I )求證：AB丄平面ADC ； (H )若AD =1，二面角C - AB - D的平面角的正切值為 ,6，求二面角B - AD - E 的余弦值. 圖 1 A 圖 2 (20) (本小題滿分 12 分) 過點(diǎn)P(a,

9、2 乍拋物線C: x2 = 4y的兩條切線，切點(diǎn)分別址A(Xi, yi), B(X2, y2). (I)證明：x1x2 y1y2為定值； B E C (n )記厶PAB的外接圓的圓心為點(diǎn) M ,點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,試 判斷以PM為直徑的圓是否恒過點(diǎn) F ?并說明理由. (21) (本小題滿分 12 分) 已知函數(shù)f x =1 nx，aa 0 . x (I )若函數(shù)f x有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； 2 1 (n )證明：當(dāng) a , b 1 時(shí)，f ln b e b 請考生在第 2223 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 (22) (本小題滿分 10 分)選修

10、4 4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程 x = 3 t 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) ly=1+t t ( ji ) x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中 ，曲線C : r = 2-一 2 cos . I 4丿 (I )求直線l的普通方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程； (n)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值 (23) (本小題滿分 10 分)選修 4 5 :不等式選講 已知函數(shù) f(x)= x + a1| + x2a (I )若f 1 3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 P(K2 沬) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5

11、.024 6.635 (19)( 本 小 題 滿 分 12 分) 如圖 1，在直 6 (n)若 a _1,x R ,求證：f x 一2 2019 年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一) 理科數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考 評(píng)分說明:7 1 本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題 的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相對(duì)應(yīng)的評(píng)分細(xì)則. 2對(duì)計(jì)算題， 當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)， 如果后繼部分的解答未改變該題的 內(nèi)容和難度，可視影響的水準(zhǔn)決定后繼部分的給分， 但不得超過該部分準(zhǔn)確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的 一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分. 3 解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考

12、生準(zhǔn)確做到這個(gè)步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù). 4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題不給中間分. 、選擇題 (1) (7) 二、填空題 (2) C (8) A (3) (9) (4) B (10) C (5) D (11) A (6) D (12) B (13) (14) 54 (15) od ,2 29 (飛 三、解答題 解： (17) 8 在厶 APC 中，因?yàn)?PAC =60 ,PC =2,AP AC =4, 由余弦定理得 PC2 = AP2 AC2 -2 AP AC cos PAC , . 1 分 2 所以 2 AP 2 整理得 AP -4AP 4 = 0, . 2 分 解得AP=2. . 3 分 所以AC =

13、2 . . 4 分 所以 APC是等邊三角形 . 5 分 所以 ACP =60. . 6 分 (n )法 1：因?yàn)?APB是 APC的外角，所以 APB =120 Q /Q A Q / Q 因?yàn)?APB的面積是 - ,所以一AP PB sin 一 APB = 2 2 2 所以PB =3. . 9 分 在厶APB中，AB2 二 AP2 PB2 -2 AP PB cos APB =22 3 -2 2 3 cos120 =19 , 所以A 19. 10 分 A 11 分 9 所以PB =3. . 9 分 所以BD =4. 在 Rt ADB 中，AB =BD2 AD2 = .19, . 10 分 所以

14、 sin BAP = sin BAD -30 =sin BAD cos30 -cos BAD sin30 . =4 丄 3 1 19 2 .19 2 -38 . (18)解: (I ) 2 2列聯(lián)表： 對(duì)服務(wù)滿意 對(duì)服務(wù)不滿意 合計(jì) 對(duì)商品滿意 80 40 120 對(duì)商品不滿意 70 10 80 合計(jì) 150 50 200 以=200( 80 代 4叮701.111, 1 50 50 120 80 因?yàn)?11.111 6.635,在厶APB中，由正弦定理得 AB PB sin ZAPB sin Z BAP 所以 sin ZBAP 3si n120 3I57 38 . 法 2：作AD _ BC

15、,垂足為D , 因?yàn)?APC是邊長為2的等邊三角形 所以 PD = 1, AD = . 3,PAD = 30 . 因?yàn)?APB所以 sin . BAD BD 4 AB 19 cos BAD=AD AB 19 11 分 12 分 12 分 8 分 所以能有 99%的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對(duì)商品滿意與對(duì)服務(wù)滿意之間相關(guān)系” 10 2 (n )每次購物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)都滿意的概率為 一，且X的取值能夠是 0, 1, 2, 3 5 或者：因?yàn)閤LB3，| AB CD x 一 6 依題意 ABD BDC，所以 ，即 = AD BD 1 解得 x =2，故 AB 二、2, BD 二、3, BC = . BD2

16、CD2 = 3 . . 8 分 法 1:如圖所示，創(chuàng)建空間直角坐標(biāo)系 D -xyz ,則D(0,0,0),BC. 3,0,0),C(0八6,0)， 3 門 .n 6 E , ,0 , A ,0, - P X =0 = 3 丿15丿125 2 |=戲 3 27；1仝 1-他 P X =2 =C3 2 3 =131 ； P X=3 t I 125 10 分 X的分布列為: X 0 1 2 3 P 27 54 36 8 125 125 125 125 11 分 所以EX = 0 互 1 竺 2 竺 3 8 125 125 125 125 12 分 12 分 (19)解： (I )因?yàn)槠矫鍭BD丄平面

17、BCD，平面ABD平面 又BD丄DC，所以DC丄平面ABD . 因?yàn)锳B 平面ABD，所以DC丄AB . 又因?yàn)檎郫B前后均有 AD丄AB , DC n AD二D , 所以AB丄平面ADC . . BCD 二 BD , .I 2 3 (n )由(1)知AB丄平面ADC，所以二面角C - AB - D的平面角為/ CAD . 又DC丄平面ABD , AD 平面ABD，所以DC丄AD . CD l 依題意 tan ./CAD 6 . AD 因?yàn)锳D =1，所以CD = 設(shè) AB = x x 0，則 BD = ：；x2 1 分 分 分 分 5 分 x2 1 6 5 所以能有 99%的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對(duì)

18、商品滿意與對(duì)服務(wù)滿意之間相關(guān)系” 11 2 2 3 3 3 - 6 所以DE = i,比陰0百 13 3 9 分 12 (20) 解: 2 1 2 x =4y,得y x，所以y 4 1 2 1 2 因?yàn)辄c(diǎn)A %, %和B X2, y2在拋物線C上，所以 ,y2 x?. 4 4 所以直線PA的方程為y - 1 X： = 1為x -咅. 4 1 2由(I)知平面 BAD的法向量n = (0,1,0). 設(shè)平面ADE的法向量m = (x, y, z) T m DE =0, 由 m DA =0, 2弘0, 得2 2 仝x丄0. 3 3 令 x = .6，得 y = -3,z - - , 3, 所以 m

19、 =(.-6,- .3,-._3). 10 n m 所以 cos ： n,m = | n| |m| 由圖可知二面角 B-AD -E的平面角為銳角, 1 所以二面角B - AD - E的余弦值為1. 2 法 2 ：因?yàn)镈C丄平面ABD , 過點(diǎn)E作EF /DC交BD于F , 則EF丄平面ABD . 因?yàn)?所以 過點(diǎn) 所以 AD 二平面 ABD , EF 丄 AD. . F作FG丄AD于G，連接GE , AD丄平面EFG，所以AD丄GE . 所以二面角B-AD-E的平面角為一 EGF . 由平面幾何知識(shí)求得 EF 所以 EG =EF2 FG2 10 分 F E 所以 cos/ EGF =匹 EG

20、11 分 所以二面角 B - AD - E的余弦值為 1 1 x.所以直線PA的斜率為尹. (I )法 1：由 2 分 13 因?yàn)辄c(diǎn)P a, -2在直線PA上, C 1 2 1 2 所以 一2 4為=2%（a N），即 X1 2ax1 8 = 0. 2 同理，x2 -2ax2 -8 = 0 . 所以 X1X2 = -8 . 所以X1X2 yiy2 = -4為定值. 法 2:設(shè)過點(diǎn)P a, -2且與拋物線C相切的切線方程為 y 2二k x - a , y +2 =k（x a 2 由彳 2 * 消去 y 得 x 4kx +4ka +8 = 0, x -4y, 由=16k2 -4 4ak 8 =0,

21、化簡得 k2 ak -2 =0. 所以 k|k2 = -2. 1 1 由 x2 =4y ,得 y =x2,所以 yrx. 所以直線PA的斜率為 匕二1,直線PB的斜率為kX2. 2 2 所以 1X1X -2,即 x2 =-8. 4 1212 1 2 , 又 y2 =4* 4X2 =16 為2 i =4, 所以X1X2 y$2二-4為定值. 1 2 2 因?yàn)?蔦x1/ -2ax1, 所以Xi，X2是方X2 -2ax-8 = 0的兩個(gè)根. 2 X2 XM 2 =4, (n)法 1 ：直線PA的垂直平分線方程為 yi -2 2 Z x-U x 2 2 分 14 3 a2 由解得x = a y=1+

22、2 , 2 ,所以直線 PA的垂直平分線方程為 ax., yU 同理直線 PB的垂直平分線方程為 y- ax2 4 2 x1 a x- N 2 2 x? a 二 XP X2 15 分 10 f3 a2、 所以點(diǎn)M a,1+ a 2丿 3 a2 a, 2 2丿 因?yàn)?MFPFMr, 2 2 所以MF _PF. 所以以PM為直徑的圓恒過點(diǎn) F. 為直徑的圓的方程為（xa ）x3a |+（y + 2 Jy1 l 2丿 把點(diǎn)F 0,1代入上方程，知點(diǎn)F的坐標(biāo)是方程的解. 所以以PM為直徑的圓恒過點(diǎn) F. . 法 2：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 m,n ， 2 2 2 2 則厶PAB的外接圓方程為 x-m ，y-n

23、 m-an2 ， 因?yàn)辄c(diǎn)A x1,y1 ,B x2,y2在該圓上， 2 2 2 2 則 X1m %n ma n 2 ， 2 2 2 2 X2-m 亠-n i； hm-a亠n 2 兩式相減得 為-X2為 X2 - 2m 亠% - y2 yr y? . - 2n = 0, 1 2 1 2 由(I )知 X1 X2 =2a,X1X2 - -8, y1 人，y? x?,代入上式得 4 4 3 論-x2 ”4a-4m a 4a-2an =0, . 3 當(dāng) = x2時(shí),得 8a-4m a2an=0, 假設(shè)以PM為直徑的圓恒過點(diǎn) F ,則MFPF,即-m, n-1 L-a,-3= 0, 得 ma -3 n

24、-1 =0, . 3 1 2 由解得m a, n =1 a , . 2 2 所以點(diǎn) M ia,1 a2 . . 12 2丿 當(dāng)為=X2時(shí)，則a = 0,點(diǎn)M 0,1 . 所以以PM為直徑的圓恒過點(diǎn) F. . (21) 解:拋物線C的焦點(diǎn)為F 0,1 ,則MF二 ,PF ha,3 . 11 分 12 分 11 分 12 分 7 分 8 分 9 分 10 分 11 分 12 分 另法：以PM =0. 1 分 6 分 16 (I )法 1: a 函數(shù)f x = l nx 的定義域?yàn)?0,亠 卜 a 1 a x - a 由 f i. x = I n x ,得 fix 2 2 x x x x 因?yàn)?a . 0,則 0,a 時(shí),f x ： 0； x 三a,亠時(shí),f x - 0. 所以函數(shù)f(x 在0,a上單調(diào)遞減，在(a,母)上單調(diào)遞增. 當(dāng) X=a 時(shí)，_f x min =lna J* 時(shí)，又f 1 = In1 a = a . 0 ,則函數(shù)f x有零點(diǎn)4 分 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為0 a 法 2：函數(shù)f x =lnx 的定義域?yàn)?x a 由 f x =ln x 0,得a - -xln x. x 令 g x=-xl nx，則 g nx 1 所以函數(shù)g x在10,1上單調(diào)遞增， 在-1,: 上單調(diào)遞減. I e丿 le 丿 故x=時(shí)