畢業(yè)論文行列式的若干應(yīng)用

1、The Number of Applications of The Determinants 專(zhuān) 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者: 指導(dǎo)老師: 學(xué)校時(shí)間摘 要行列式是數(shù)學(xué)研究中的一類(lèi)重要的工具之一, 它的應(yīng)用非常廣泛. 本文從以下三個(gè)方面對(duì)行列式的應(yīng)用進(jìn)行了論述: 探討了行列式與線性方程組的關(guān)系以及在解線性方程組中的應(yīng)用; 舉例說(shuō)明了行列式在初等代數(shù)中的應(yīng)用, 如在因式分解中應(yīng)用, 證明不等式以及恒等式; 最后綜述了行列式在解析幾何中的若干應(yīng)用. 關(guān)鍵詞: 行列式; 矩陣; 線性方程組; 秩; 因式分解; 平面組; 點(diǎn)組AbstractDeterminant is a kind ofimportan

2、t toolsin the mathematical study,it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution ofli

3、near equations; examples of the application ofthe determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, wehave made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry.Keywords:Determinant; Matrix;Linearequa

4、tions; Rank; Factorization; Plane group; Point group目錄摘要IAbstractII0 引言11 行列式在線性方程組中的一個(gè)應(yīng)用12 行列式在初等代數(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用22.1 用行列式分解因式22.2 用行列式證明不等式和恒等式33 行列式在解析幾何中的幾個(gè)應(yīng)用43.1 用行列式表示公式43.2 行列式在平面幾何中的一些應(yīng)用63.3 行列式在三維空間中的應(yīng)用8參考文獻(xiàn)150 引言行列式是研究數(shù)學(xué)的重要工具之一. 例如線性方程組（見(jiàn)文1-5）、多元一次方程組的解、三維空間中多個(gè)平面組或多個(gè)點(diǎn)組的相關(guān)位置(見(jiàn)文2)、初等代數(shù)（見(jiàn)文9）、解析幾何（見(jiàn)文6

5、-8）、維空間的投影變換、線性微分方程組等, 用行列式來(lái)計(jì)算是很便利的. 本文進(jìn)一步研究探討了行列式在線性方程組、初等代數(shù)、解析幾何三個(gè)方面的應(yīng)用.1行列式在線性方程組中的一個(gè)應(yīng)用 設(shè)含有個(gè)變?cè)膫€(gè)一次線性方程組為（1） 設(shè)方程組（1）的系數(shù)矩陣的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的階行列式是 . 行列式中的元素, 就是矩陣中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它們的原有位置排列. 我們把看作是未知數(shù), 是已知數(shù), 解方程組(1), 得 （2）式中是行列式的第列元素?fù)Q以所成的行列式. 也就是.把中第列移到第一列, 得.上式右邊的行列式用表示, 行列式是矩陣中去掉第列剩余下的元素所組成. 故

6、.代入（2）式, 得, 或.結(jié)論2: 方程組（1）中的與成比例, 式中 是從矩陣中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.2 行列式在初等代數(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用 用行列式分解因式利用行列式分解因式的關(guān)鍵, 是把所給的多項(xiàng)式寫(xiě)成行列式的形式, 并注意行列式的排列規(guī)則. 下面列舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.例 分解因式：.解.例2分解因式:.解 原式.用行列式證明不等式和恒等式我們知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上, 行列式不變; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么這個(gè)行列式等于零. 利用行列式的這些性質(zhì), 我們可以構(gòu)造行列式來(lái)證明等式和不等式.例2.2.1已知, 求

7、證.證明 令, 則.命題得證.例2已知 求證.證明 令, 則命題得證.例2.2.3已知, 求證.證明 令, 則而, 則, 命題得證.3 行列式在解析幾何中的幾個(gè)應(yīng)用用行列式表示公式用行列式表示三角形面積以平面內(nèi)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積S是 (3)的絕對(duì)值.證明 將平面三點(diǎn)擴(kuò)充到三維空間, 其坐標(biāo)分別為, 其中為任意常數(shù). 由此可得： , 則面積為 = .用行列式表示直線方程直線方程通過(guò)兩點(diǎn)和的直線的方程為. （4）證明 由兩點(diǎn)式, 我們得直線的方程為.將上式展開(kāi)并化簡(jiǎn), 得此式可進(jìn)一步變形為此式為行列式(4)按第三行展開(kāi)所得結(jié)果. 原式得證.3.1.3應(yīng)用舉例例若直線過(guò)平面上兩個(gè)不同的已知點(diǎn), 求直

8、線方程.解 設(shè)直線的方程為, 不全為0, 因?yàn)辄c(diǎn)在直線上, 則必須滿(mǎn)足上述方程, 從而有這是一個(gè)以為未知量的齊次線性方程組, 且不全為0, 說(shuō)明該齊次線性方程組有非零解. 其系數(shù)行列式等于0, 即.則所求直線的方程為.同理, 若空間上有三個(gè)不同的已知點(diǎn), 平面過(guò), 則平面的方程為.同理, 若平面有三個(gè)不同的已知點(diǎn), 圓過(guò), 則圓的方程為. 行列式在平面幾何中的一些應(yīng)用 三線共點(diǎn) 平面內(nèi)三條互不平行的直線相交于一點(diǎn)的充要條件是. 三點(diǎn)共線 平面內(nèi)三點(diǎn)在一直線的充要條件是.應(yīng)用舉例例 平面上給出三條不重合的直線:, 若, 則這三條直線不能組成三角形.證明設(shè)與的交點(diǎn)為, 因?yàn)?將第1列乘上, 第2列

9、乘上, 全加到第3列上去, 可得：.因?yàn)樵谂c上, 所以, 且若與平行, 若也在上交于一點(diǎn),無(wú)論何種情形, 都有不組成三角形.這說(shuō)明由, 得到三條直線或兩兩平行或三線交于一點(diǎn). 也就是三條直線不能組成三角形.行列式在三維空間中的應(yīng)用平面組 設(shè)由個(gè)平面方程構(gòu)成的方程組為 （5） 若方程組(5)中的各代以, 并用乘以(5)式兩端: 得 （6）叫做點(diǎn)的齊次坐標(biāo). 這平面組的相關(guān)位置與方程組的系數(shù)所組成的兩矩陣 及 的秩及有關(guān)系. 現(xiàn)在分別敘述如下： ()當(dāng), 則方程組中各系數(shù)全是0. ()當(dāng) 則方程組(5)不合理, 方程組(6)有解.當(dāng), 將趨近于無(wú)窮大（假設(shè)趨近于0）. 在這種情況下, 我們說(shuō)這個(gè)平

10、面在無(wú)窮遠(yuǎn)重合. ()當(dāng), 則在矩陣及中所有二階行列式全是0. 所以我們有以上等式表示個(gè)平面相合成一個(gè)平面. ()當(dāng) 方程的系數(shù)中至少有兩組數(shù)如及滿(mǎn)足以下關(guān)系式上式表示平面平行但不相合. 也就是平面組中個(gè)平面相合或平行, 至少有兩個(gè)平面不相合. () 則矩陣及中所有三階行列式全是0, 至少有一個(gè)二階行列式不是0. 假設(shè).我們必可求得適合下式：式中, 否則行列式將等于0. 所以.以上等式表示平面經(jīng)過(guò)直線就是個(gè)平面全經(jīng)過(guò)一條直線. （）當(dāng) 并假定方程組的系數(shù)至少有一組適合以下關(guān)系：（是中的一數(shù)）以上第一個(gè)等式表示組中第平面,與直線平行. 又因第二個(gè)不等式表示第平面不經(jīng)過(guò)上述直線, 所以解得.因?yàn)樾?/p>

11、列式.而其它三個(gè)行列式不全是零故, 就是三個(gè)平面的交點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn). 三個(gè)平面中每?jī)蓚€(gè)平面的交線是平行的. （）當(dāng), 并假定.在這種情況下, 平面相交于一點(diǎn). 又因,（）故平面經(jīng)過(guò)前面三個(gè)平面的交點(diǎn), 就是個(gè)平面有一個(gè)交點(diǎn), 不在無(wú)窮遠(yuǎn). （）當(dāng), 則矩陣中至少有一個(gè)四階行列式不等于零. 假設(shè).（是中的一數(shù)）以上不等式表示平面,不經(jīng)過(guò)前三個(gè)平面的交點(diǎn).3.點(diǎn)組 設(shè)有個(gè)點(diǎn), 它們的齊次坐標(biāo)各是此點(diǎn)組的相關(guān)位置與坐標(biāo)做成的矩陣的秩有關(guān)系. 分別敘述如下: （）當(dāng), 則個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)全是(0,0,0,0)不能確定點(diǎn)的位置. （）當(dāng), 假定, 很容易推得(因?yàn)橹兴械亩A行列式等于0)上式表示個(gè)點(diǎn)全重合. （

12、）當(dāng), 并假設(shè),因中所有三階行列式全等于0, 我們可以求得適合以下方程：式中不等于0, 否則行列式將等于0. 故可求得假設(shè)點(diǎn)及的連線為把的等值代入上式, 易驗(yàn)證點(diǎn)在這連線上, 故該點(diǎn)與第一及第二兩點(diǎn)共在一直線上. 因可以是, 所以個(gè)點(diǎn)全在一直線上.（）當(dāng), 并假定中所有的四階行列式全是0, 我們可以求得適合下式：式中不等于0, 否則行列式從以上方程組求得：設(shè)點(diǎn)及所確定的平面是把的等值代入上式, 甚易驗(yàn)明點(diǎn)在這個(gè)平面上, 故該點(diǎn)與前三個(gè)點(diǎn)共在一平面上. 又因?yàn)榭梢允? 所以個(gè)點(diǎn)共在一個(gè)平面上. （）當(dāng), 中至少有一個(gè)四階行列式如.是中任一個(gè)數(shù). 以上不等式表示點(diǎn)不在前三個(gè)點(diǎn)所確定的平面上, 因?yàn)榧僭O(shè)點(diǎn)在平面上, 則以下關(guān)系成立.也就是行列式這與假設(shè)矛盾.致謝 本文是在的指導(dǎo)和幫助下完成的, 在此對(duì)周老師表示衷心的感謝!參考文獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)(第三版)M. 北京: 高等教育出社, 2003.2高楊芝. 行列式淺說(shuō)M. 江蘇: 江蘇人民出版社, 1958. 3王萼芳, 石生明修訂.高等代數(shù)(第三版)M.北京:高等教育出版社,2003.4王品超.高等代數(shù)新方法(下)M.徐州:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,2003.5