勾股定理的整理、拓展、歸納輔導(dǎo)(共34頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第八章、勾股定理一、知識(shí)精讀(一）、 勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（二）. 勾股定理的應(yīng)用.勾股定理是直角三角形的一個(gè)重要的性質(zhì)，它是把三角形由一個(gè)直角的“形”的特征轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，因此它是數(shù)形結(jié)

2、合的一個(gè)典范. 勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解（三）. 勾股定理的證法.勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡(jiǎn)可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的

3、面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡(jiǎn)得證（四）.勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在中，則，知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題（五）.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）（六） 勾股定理的歷史背景.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，商朝數(shù)學(xué)家商高提出了“勾三、股四、弦五”，被記載于周髀算經(jīng)中在歐洲，通常把勾股定理稱為畢達(dá)哥拉斯定理.（

4、七）. 與直角三角形有關(guān)的問題.（1） 直角三角形的定義.（2） 直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中兩個(gè)銳角互余；如果一個(gè)銳角等于30°，則它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等. （八）、中考視點(diǎn)勾股定理是幾何中的一條重要定理，它揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，中考對(duì)于這部分的考查主要是勾股定理的運(yùn)用：（）運(yùn)用勾股定理解直角三角形：已知三角形的兩邊求第三邊（）利用勾股定理證明一些具有平方的關(guān)系式（）運(yùn)用勾股定理在數(shù)軸上找到一些和無理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)勾股定理的逆定理知識(shí)概要勾股定理是將直角三角形的形的特征轉(zhuǎn)化為數(shù)的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依據(jù)，

5、是由數(shù)定形（1. ）勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形（.）如果兩個(gè)命題的題設(shè)結(jié)論正好相反，我們把這樣的兩個(gè)命題叫作互逆命題如果把其中的一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫作它的逆命題（.） 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理二、中考考點(diǎn)分析勾股定理的逆定理是證明一個(gè)三角形是直角三角形的重要定理，中考中經(jīng)常利用它來求角，證明線段的垂直關(guān)系以及確定三角形的形狀教材解讀一、勾股定理的內(nèi)容勾股定理的內(nèi)容是：如果直角三角形兩直角邊分別是a、b，斜邊是c，那么a2+b2c2.因此，在運(yùn)用勾股定理計(jì)算三角形的

6、邊長(zhǎng)時(shí)，一要注意勾股定理的適用條件是在直角三角形中；二要注意表達(dá)式的靈活變形，即兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.在直角三角形中，已知任意兩條邊長(zhǎng)，可求出第三條邊的長(zhǎng).二、正確判定一個(gè)三角形是否是直角三角形如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形.這一識(shí)別方法與勾股定理的條件和結(jié)論正好相反，即為勾股定理的逆定理.有了直角三角形的這一判別方法可以通過計(jì)算判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形.要判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，一是確定最大邊，即斜邊c；二是驗(yàn)證c2與 a2+b2是否相等.若c2a2+b2，則ABC是直角三角形，且C90°；若c2a2+b2，則

7、ABC不是直角三角形. 三、熟練掌握勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用勾股定理有著廣泛的應(yīng)用.如求線段的長(zhǎng)、求角度的大小、說明線段的平方關(guān)系問題、求作長(zhǎng)為的線段等等.以求作長(zhǎng)為的線段為例，利用勾股定理作出長(zhǎng)為的線段，如下左圖所示用同樣的方法我們可以在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)，如下右圖所示.四、勾股定理逆定理的推導(dǎo)勾股定理告訴我們，如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么abc，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方反之如果我們已知一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a、b、c，邊長(zhǎng)之間滿足關(guān)系abc，那么我們是否能夠據(jù)此確定三角形的形狀呢？下面是組三角形邊長(zhǎng)的數(shù)據(jù)以及根據(jù)各組數(shù)據(jù)畫出的三角形，（）a，

8、b，c；（）a，b，c；（）a，b，c我們觀察上面給出的三組三角形的邊長(zhǎng)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，上面三個(gè)三角形的邊長(zhǎng)都滿足關(guān)系abc，我們?cè)儆^察上面三個(gè)根據(jù)已知邊長(zhǎng)畫出的三角形，我們發(fā)現(xiàn)三個(gè)三角形都是直角三角形根據(jù)我們現(xiàn)在所掌握的這些個(gè)例的情況，我們可以先進(jìn)行大膽的猜測(cè)：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足abc，那么這個(gè)三角形是直角三角形我們的猜測(cè)是否正確呢？要確定我們根據(jù)幾個(gè)特殊情況猜測(cè)得出的結(jié)論是否正確，我們必須要在一般情況中對(duì)其加以證明【例題】 已知的三邊a、b、c且滿足條件abc，試判斷是否為直角三角形【思考與分析】 根據(jù)前面學(xué)習(xí)的勾股定理，我們知道如果一個(gè)直角三角形以a、b為直角邊，那么它的斜邊

9、c必滿足ca+b，那么這個(gè)直角三角形的三邊就與的三邊分別對(duì)應(yīng)相等，所以說如果是直角三角形，那么它必與以a、b為直角邊的直角三角形全等解：我們作t，°，b，a根據(jù)勾股定理：ab又的三邊a、b、c滿足條件a+bc，c又在中a、b、c， t（）是直角三角形，°【小結(jié)】探索勾股定理的逆定理的過程遵循了從特殊到一般這樣一條認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律,首先我們是通過已掌握的幾個(gè)有限個(gè)例來歸納猜想出結(jié)論,然后就其成立與否再在一般情況下進(jìn)行證明.中考考點(diǎn)指導(dǎo)勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，

10、切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論 三、經(jīng)典例題分類精講題型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的長(zhǎng)已知，求的長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理解：題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例題1 如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)，求另外一條直角邊的長(zhǎng)度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.例題2 如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，

11、出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.解析：同例題1一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2. 由題意可知ACD中,ACD=90°,在RtACD中，只知道CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2，根據(jù)勾股定理，AC2+CD2=AD2 設(shè)水深A(yù)C= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用例題3 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且那么DEF是直角三角形嗎？為什

12、么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由可以設(shè)AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在RtAFD 、RtBEF和 RtCDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長(zhǎng)，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。 詳細(xì)解題步驟如下：解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理EF2=5a2, DF2=25a2在DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=2

13、5a2=DF2DEF是直角三角形，且DEF=90°.注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度例題4 如圖4，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細(xì)解題過程如下：解：根據(jù)題意得RtADERtAEFAFE=90°, AF=10cm, EF=DE設(shè)CE=xcm，則DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，BF=6cmCF=BCBF=10

14、6=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x) 2=x2+426416x+x2=2+16x=3(cm),即CE=3 cm注：本題接下來還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題5 如圖5，王師傅想要檢測(cè)桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測(cè)得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實(shí)物一般比較大，長(zhǎng)度不容易用直尺來方便測(cè)量。我們通常截取部分長(zhǎng)度來驗(yàn)證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想為什么

15、要設(shè)為這兩個(gè)長(zhǎng)度？)，連結(jié)MN，測(cè)量MN的長(zhǎng)度。如果MN=15,則AM2+AN2=MN2,所以AD邊與AB邊垂直；如果MN=a15,則92+122=81+144=225, a2225,即92+122 a2，所以A不是直角。利用勾股定理解決實(shí)際問題例題6 有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6 所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，BCMN,BCAN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離

16、A有5米時(shí)，求BC的長(zhǎng)度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算BC=4米.即使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開。題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例1、如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合，若AP=3，求PP的長(zhǎng)。變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的邊長(zhǎng).分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60°，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形.變式2、如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=90°，E、F是BC上的點(diǎn)，且EAF=45°

17、;，試探究間的關(guān)系，并說明理由. 題型七：關(guān)于翻折問題例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).變式：如圖，AD是ABC的中線，ADC=45°，把ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC=4,求BC的長(zhǎng).題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說明理由；如果受到影響，

18、已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？ 題型九：關(guān)于最短性問題例5、如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）變式：如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的

19、B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？四、常見錯(cuò)解剖析（一）、勾股定理只能在直角三角形中運(yùn)用【例1】 在ABC中，AC=3，BC=4，則AB的長(zhǎng)為（      ）.A. 5B. 10C. 4D. 大于1且小于7常見錯(cuò)誤： A.錯(cuò)誤分析： 題意是已知三角形的兩邊求第三邊，解題者錯(cuò)誤地用直角三角形代替了任意三角形進(jìn)行求解，沒有注意題目中并沒有給出直角三角形的前提條件，所以不能用勾股定理，只能用“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”判斷出AB的范圍.正確答案： D.（二）、運(yùn)用勾股定理時(shí)要分清斜邊和直角邊【例2】 在tABC中，AC=9，BC=12，則AB2=&

20、#160;     .常見錯(cuò)誤： 在tABC中，利用勾股定理，得AB2AC2BC2=225.錯(cuò)誤分析： 沒有區(qū)分要求的AB是直角邊還是斜邊，只是模糊地記住了勾股定理的原形，而沒有注意到題目中并沒有給出明確的條件，對(duì)此我們應(yīng)該分情況討論，如果AB是斜邊，則利用勾股定理，得AB2AC2BC2=225；如果AB是直角邊，因?yàn)锽C>AC，所以BC為斜邊，則利用勾股定理，得AB2BC2AC263. AB2為225或63.正確答案： 225或63.（三）、給定三角形要分形狀運(yùn)用勾股定理【例3】 在中，=13，=15，高=12，求的周長(zhǎng)常見錯(cuò)誤：根據(jù)勾股定理，2

21、2-2 22 ，22-2 22 ， 此時(shí)，的周長(zhǎng)為錯(cuò)誤分析：可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.錯(cuò)誤答案是只討論了是銳角三角形而忽視了它還可能為鈍角三角形的情況.正確答案：應(yīng)該分情況討論，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，解法如上.當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，其圖如下，根據(jù)勾股定理，22-2 22 ，22-222，.此時(shí)，的周長(zhǎng)為：故的周長(zhǎng)為42或32.（四）、不能正確區(qū)分直角邊和斜邊【例4】 已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a=5，b=13，c=12，這個(gè)三角形是直角三角形嗎？錯(cuò)解： 不是.在三角形中，利用勾股定理，a2b2194，c2144. a2b2c2，故此三角形不是直角三角形.錯(cuò)解分析：本題中雖然a2b2c2，但我們

22、不能因此就認(rèn)定這個(gè)三角形不是直角三角形，我們應(yīng)該首先分析一下這三個(gè)邊，邊長(zhǎng)最長(zhǎng)的應(yīng)為斜邊，即b為斜邊，b2169，a2c225144169，即a2c2b2，故這個(gè)三角形為直角三角形.因此我們?cè)谧鲱}時(shí)，先找到最長(zhǎng)邊，即確定斜邊，可以讓我們少走彎路.正確答案： 是.【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形的定理，我們?cè)谧鲱}的時(shí)候一定要正確區(qū)分哪條為直角邊哪條為斜邊.（五）、考慮不全面造成漏解【例5】已知a、b、c為ABC的三邊，且滿足a2c2b2c2a4b4，試判斷ABC的形狀.錯(cuò)解： a2c2b2c2a4b4 （1） c2（ a2b2）（ a2b2

23、） （a2b2）（2） c2a2b2 （3） ABC是直角三角形.錯(cuò)解分析：本題在由第（2）步到第（3）步的化簡(jiǎn)過程中沒有考慮到a2b20的情況就直接在等式兩邊除以一個(gè)可能為0的數(shù)，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤正解： a2c2b2c2a4b4 c2（ a2b2）（ a2b2） （a2b2）（1）當(dāng)a2b20時(shí)，化簡(jiǎn)后得c2a2b2 ABC是直角三角形.（2）當(dāng)a2b20時(shí)，ab ABC是等腰三角形.【反思】本題結(jié)合因式分解的知識(shí)，綜合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同時(shí)還考查了等式的性質(zhì)2：在等式兩邊不能同時(shí)除以一個(gè)可能為0的數(shù)，這往往是我們最容易忽視的地方，應(yīng)引起大家的注意.（六）、不能

24、僅憑模糊記憶【例6】在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且（ab）（ab）c2，則（   ）A.A為直角       B.C為直角    C.B為直角       D.不是直角三角形錯(cuò)解：選B錯(cuò)解分析：在解這道題的時(shí)候?qū)е洛e(cuò)誤的原因在于對(duì)已知條件粗略地分析得出存在平方關(guān)系之后就習(xí)慣性地認(rèn)為邊c的對(duì)角C一定表示直角.該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為a2b2c2，即a2b2c2，應(yīng)根據(jù)這一關(guān)系進(jìn)行判斷.正解：a2b2c2，a2b2c

25、2. a邊所對(duì)的角為直角. 故選A.【反思】我們?cè)谂袛嘀苯侨切文囊粋€(gè)角是直角的時(shí)候不能因?yàn)樗季S定勢(shì)看到數(shù)量的平方關(guān)系就得到某個(gè)角是直角的結(jié)論.（七）、考慮不全造成漏解【例7】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4，求第三邊長(zhǎng).錯(cuò)解：第三邊長(zhǎng)為錯(cuò)解剖析：因習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時(shí)，斜邊長(zhǎng)為5.但這一理解的前提是3、4為直角邊.而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，也可能為直角邊.正解：（1）當(dāng)兩直角邊為3和4時(shí)，第三邊長(zhǎng)為（2）當(dāng)斜邊為4，一直角邊為3時(shí)，第三邊長(zhǎng)為.（八）、理解流于形式，造成思維定勢(shì)【例8】已知三角形的三邊為，c=1，這個(gè)三角形是直

26、角三角形嗎？錯(cuò)解： a2，b2，c21，而a2b2c2，    該三角形不是直角三角形.錯(cuò)解剖析：雖然a2b2c2，但不能急于否定這個(gè)三角形就不是直角三角形，因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)有a2c2b2，所以這個(gè)三角形是直角三角形.正解：這個(gè)三角形是直角三角形（九）、混淆勾股定理與逆定理【例9】 在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東0°方向以每小時(shí)8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？錯(cuò)解:甲船航行的距離為BM=8×216（海里），乙船航行

27、的距離為BP=15×230（海里）.34 （海里）且MP=34（海里）MBP為直角三角形MBP90°.乙船是沿著南偏東30°方向航行.錯(cuò)解剖析：雖然最終判斷的結(jié)果也是對(duì)的，但忽略了對(duì)使用勾股定理的前提條件的證明，犯了運(yùn)用上的錯(cuò)誤.正解：甲船航行的距離為BM=8×216（海里），乙船航行的距離為BP=15×230（海里）. 1623021156，3421156， BM2BP 2MP2. MBP為直角三角形. MBP90°.乙船是沿著南偏東30°的方向航行的.五、發(fā)散思維點(diǎn)撥（一）、方程思想【例1】 如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，D

28、C=5cm，在DC上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把AED折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若ABF的面積為30cm2，那么AED的面積為_.【分析與解】 由ABF的面積為30cm2，可得BF=12cm.則在RtABF中，AB=5cm，BF=12cm，根據(jù)勾股定理可知AF=13cm.再由折疊的性質(zhì)可知AD=AF=13cm.所以FC=1cm.可設(shè)DE=EF=x，則EC=5-x.在RtEFC中，可得：12+（5-x）2=x2.解這個(gè)方程，得x=.所以SAED=××13=16.9（cm2）.（2）、化歸思想【例2】 如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，

29、沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S的最短路徑長(zhǎng)為（    ）【分析與解】 求幾何體表面的最短距離，可聯(lián)系我們學(xué)過的圓柱體的側(cè)面展開圖，化“曲面”為“平面”，再尋找解題的途徑.如上右圖，可得展開圖中的AB的長(zhǎng)為4÷22，BS的長(zhǎng)為4÷22.在RtABS中，根據(jù)勾股定理，得AS=.所以動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S的最短路徑長(zhǎng)為.故選A.（三）、分類討論思想【例3】 在ABC中，AB=15，AC=20，AD是BC邊上的高，AD=12，試求出BC邊的長(zhǎng).【分析與解】 此題沒有給出圖示，又由于三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形外

30、部，所以其高的位置應(yīng)分兩種情況來求.如下圖所示，ABC有兩種情況.當(dāng)BC邊上的高AD在ABC的內(nèi)部時(shí)，如圖1.由勾股定理，分別在RtABD和RtADC中，得BD2=AB2-AD2=152-122=81，則BD=9.CD2=AC2-AD2=202-122=256，則CD=16.所以BC=9+16=25.當(dāng)BC邊上的高AD在ABC的外部時(shí)，如圖2.同樣由勾股定理可得BD=9，CD=16.這時(shí)BC=16-9=7.綜上可得BC邊的長(zhǎng)為25或7.【例4】 如圖所示，在中，BC4， 求的面積.【思考與分析】 要求的面積，現(xiàn)在已經(jīng)知道三邊的長(zhǎng)，我們只要再知道一邊上的高就可以了，這就需要作一邊的垂線構(gòu)造直角三

31、角形和直角三角形，然后利用勾股定理求出高，進(jìn)而求出的面積.解法一： 過點(diǎn)A作于D，則ADB=ADC=90°設(shè)DC=x，則14x在t中，由勾股定理得：-（14x）在t中，由勾股定理得：x.由，解得x=5.所以x16925144，故所以·××解法二： 設(shè)ADx，則在t中，由勾股定理得：B-A-x在t中，由勾股定理得：Cx，再根據(jù)題意，知 BC=BD+DC，（四）、勾股定理是直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)這個(gè)定理反映了直角三角形三條邊之間的關(guān)系，它是把三角形有一個(gè)直角的“形”的特征，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，因此它是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范下面就讓我們通過一道例題來體會(huì)一下

32、.【例5】 已知：在ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm.則ABC是等腰三角形嗎？【思考與分析】 先畫出圖形，如圖，求出BD=5cm，利用直角三角形的判定方法，說明ADBC，然后在ADC中，利用勾股定理求出AC，從而得到AB=AC.解： 由 AD是BC邊上的中線，得 BD=CD=BC=×10=5（cm）.（由形到數(shù)）在ABD中，有AD2+DB2=122+52=132 =AB2，所以ABD是直角三角形，其中ADB=90°，ADC=90°. （由數(shù)到形）在RtADC中，AC2=AD2+DC2=122+52=169，又因?yàn)锳C>0

33、，所以AC=13（cm）.（由形到數(shù)）即AB=AC.   故ABC是等腰三角形.（由數(shù)到形）【反思】 此題綜合運(yùn)用了勾股定理及直角三角形的判定方法，充分體現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”，再由“數(shù)”到“形”的數(shù)形結(jié)合的思想，從中你可以體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的奧妙.【例6】小剛準(zhǔn)備測(cè)量一段河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊1.5m遠(yuǎn)的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為（     ）A. 2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m【思考與分析】為了順利解決此題，我們首先要根據(jù)題中敘述的條件畫出草圖如上

34、，則有BD=1.5m，AF=CE=0.5m，AD=BF=BE=水深，在RtABD中，設(shè)河水的深度BF=xm，則有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m，根據(jù)勾股定理，列方程（0.5+x）2=1.52+x2，解之即可.解：如上圖所示，在RtABD中，設(shè)河水的深度BF=xm，則有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m根據(jù)勾股定理，列方程：（0.5+x）2=1.52+x2，解得x=2. 所以河水的深度為2m.故答案選A.【小結(jié)】本題是數(shù)學(xué)問題在生活中的實(shí)際應(yīng)用，我們首先要通過分析，畫出草圖，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來求解.這種通過分析題意，畫出圖形，將

35、實(shí)際問題抽象成純數(shù)學(xué)問題來求解的數(shù)學(xué)思想方法，我們一般稱為建模的數(shù)學(xué)思想方法.本題在畫出草圖，把題意抽象成純數(shù)學(xué)問題后，實(shí)際上就是建立起“解直角三角形的數(shù)學(xué)模型（如上圖）”，在此基礎(chǔ)上，借助勾股定理來進(jìn)行求解.解這種實(shí)際應(yīng)用題的一般策略為：另外，在此題中還運(yùn)用了方程的數(shù)學(xué)思想，勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個(gè)含有平方關(guān)系的等式，求線段的長(zhǎng)度時(shí)，可通過設(shè)未知數(shù)，建立方程進(jìn)行求解，運(yùn)用方程思想，有時(shí)可大大簡(jiǎn)化求解過程.六、基礎(chǔ)練習(xí)一填空題，1、 在RtABC中C= 則 （1）a=5 b=12 則 c=_ (2) b=8 c=17 則 a=_2、 如果梯形低端離建筑物9m 那么15m長(zhǎng)的梯形可達(dá)到建筑物的

36、高度是_3、 直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3m 4m 則斜邊長(zhǎng)為_ 斜邊上的高為_4、 在RtABC中C= 若 a:b=3:4 c=20 則a=_ b=_DBCA5、在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_(dá)米、如圖所示，要從電線桿高4m 的點(diǎn)處向地面斜拉一根長(zhǎng)5m的纜繩 固 定點(diǎn)A到電線桿底部B的距離AB=_7、一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)是不大于10的三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，則它的周長(zhǎng)是_8、 一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是 、 2m 、 則三角形中最大的角是_9、 若三角形的三邊a b

37、 c滿足 則邊_所對(duì)的角是直角10、 在三角形ABC中 若三邊分別是 9 、 12 、 15 則以兩個(gè)這樣的三角形所拼成的矩形面積為_二 選擇題1、 下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（ ） A 7 、12、 13 B 3、 4 、7 C 8、 15、 17 D 1.5 、2 、2.52、下列各組數(shù)中，以a，b，c為邊的三角形不是Rt的是（） A、a=1.5， b=2, c=3B、a=7, b=24, c=25C、a=6, b=8, c=10D、a=3, b=4, c=53、若線段a，b，c組成Rt，則它們的比為（） A、234B、346C、51213D、4674、如果RtABC兩直角邊的比為512，則斜

38、邊上的高與斜邊的比為（）A、6013B、512C、1213D、601695、如果Rt的兩直角邊長(zhǎng)分別為n21、2n（n>1），那么它的斜邊長(zhǎng)是（） A、2nB、n+1C、n21D、n2+16、已知RtABC中，C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則RtABC的面積是（） A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm27、 在三角形ABC中 AB=15 AC=13 高AD=12 則三角形ABC的周長(zhǎng)為（ ） A 42 B 32 C 42或 32 D 37 或 338、 若直角三角形中 有兩邊長(zhǎng)是12和5 則第三邊的平方為（ ） A 169 B 169或119

39、C 13或15 D 159、 直角三角形有一直角邊長(zhǎng)為11 另外兩條邊長(zhǎng)是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù) 則周長(zhǎng)是（ ） A 132 B 121 C 120 D 123來源:Zxxk.Com10、 三角形ABC的三邊分別為a=1.2cm b=1.6cm c=2cm 則C是（ ） A 銳角 B 直角 C 鈍角 D 以上三種都有可能三 解答題1、 如圖，四邊形是正方形，垂直于，且=3，=4陰影部分的面積是_. 2、 某菜農(nóng)修建一個(gè)塑料大棚（如圖），若棚寬a=4m，高b=3m，長(zhǎng)d=35m，求覆蓋在頂上的塑料薄膜的面積.3、 如圖，正方形的面積為25cm，測(cè)量出=12cm,=13cm,問、三點(diǎn)在一條直線上嗎？為什

40、么？ 4、 已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90°，求四邊形ABCD的面積。5、 如圖，要從電線桿離地面5m處向地面拉一條長(zhǎng)7m的電纜，求地面電纜固定點(diǎn)A到電線桿底部B的距離.ADEBCABCD 6、 如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km七、勾股定理的逆定理達(dá)標(biāo)練習(xí)(一)、基礎(chǔ)·鞏固1.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

41、A.三內(nèi)角之比為123 B.三邊長(zhǎng)的平方之比為123C.三邊長(zhǎng)之比為345 D.三內(nèi)角之比為3452.如圖1824所示,有一個(gè)形狀為直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的長(zhǎng)為10 cm，D=120°，則該零件另一腰AB的長(zhǎng)是_ cm（結(jié)果不取近似值）. 圖1824 圖1825 圖18263.如圖1825，以RtABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，則AB的長(zhǎng)為_.4.如圖1826，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上的一點(diǎn)，且AF=AD，試判斷EFC的形狀.5.一個(gè)零件的形狀如圖1827，按規(guī)定這個(gè)零件中A與BDC都

42、應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，這個(gè)零件符合要求嗎？ 圖1827 圖18286.已知ABC的三邊分別為k21，2k，k2+1（k1），求證：ABC是直角三角形.(二)、綜合·應(yīng)用7.已知a、b、c是RtABC的三邊長(zhǎng)，A1B1C1的三邊長(zhǎng)分別是2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形嗎？為什么？8.已知：如圖1828，在ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD·BD.求證：ABC是直角三角9.如圖1829所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（3，1），B（2，4），OAB是直角三角形嗎？借助

43、于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論. 圖182910.閱讀下列解題過程：已知a、b、c為ABC的三邊，且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判斷ABC的形狀.解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2，（C)ABC是直角三角形.問：上述解題過程是從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的？請(qǐng)寫出該步的代號(hào)_；錯(cuò)誤的原因是_；本題的正確結(jié)論是_.11.已知：在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷ABC的形狀.12.已知：如圖18210，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

44、求：四邊形ABCD的面積. 圖18210八、培優(yōu)輔導(dǎo)（一）、例題解析【例】 等腰中，為上任一點(diǎn)，求證：·【思考與分析】 本題要證明的等式中含有線段的平方，故可以考慮運(yùn)用勾股定理，但我們知道運(yùn)用勾股定理的先決條件是具有直角三角形，那么就需要我們首先構(gòu)造直角三角形根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，我們作，則，那么·（）（），又因?yàn)閠和t有公共邊，由勾股定理得，所以·證明： （）若不是的中點(diǎn)時(shí)，作于點(diǎn)，如圖1等腰中，在t和t中，由勾股定理得：兩式相減得：（）（）（）（）·，即·（）若是的中點(diǎn)，如圖2等腰中，在t中，  ··，即

45、83;【例】 如圖3，在中，若，為邊上的中線，為邊上的高.求證： ·.【思考與分析】 等式左邊，根據(jù)題中給出的條件為邊上的高，而t和t中包含這三邊，我們可以得到，這兩個(gè)等式，這時(shí)我們就可以發(fā)現(xiàn)兩式相減得到（）（），再根據(jù)為邊上的中線，繼續(xù)化簡(jiǎn)可證得結(jié)論證明： 為邊上的高，根據(jù)勾股定理有，（）（） ·（）又為邊上的中線，（）（）  ·.【例3】 如圖所示，已知中，°，是內(nèi)一點(diǎn)，且，求的度數(shù)【思考與分析】 在B中，雖然我們已經(jīng)知道、的長(zhǎng)，但可以發(fā)現(xiàn)直接利用條件求它還是比較困難既然直接求解比較困難，那么我們是否可以考慮將進(jìn)行分割，轉(zhuǎn)化成特殊角后再進(jìn)行

46、求解呢？我們作EP，并截取E=P，連結(jié)BE、PE，就可以把分割為E和EB兩個(gè)角根據(jù)我們做輔助線的過程可知E°，要求，問題就轉(zhuǎn)化到求EB，這個(gè)問題可以在EB中得到解決方法： 過作EP，并截取E=P=2，連結(jié)BE、PE則BE+PB=P+PB=90°，BE=P又E=P，BEP（），BEP在tE中，E°，且EE，在BE中，BEBEEB為直角三角形，EB°BPEPE  °°°【思考與分析】 如果我們?cè)谕馊↑c(diǎn)，使，連結(jié)，則構(gòu)造了BE和P全等，再利用它們之間的數(shù)量關(guān)系和勾股定理及其逆定理就可以解決問題方法： 在外取點(diǎn)，使，連結(jié).

47、E=P，BEP（）BE=P又°，即P+PB=90°，BE+PB=90°，即PE=90°又E=P，EEP，PE=°在BE中，BEBE.BPE=90°，BPEPE°°°【反思】 本題主要運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將比較難求的角通過分割轉(zhuǎn)化成為比較好求的特殊角，在這里怎樣分角存在一定的技巧，通常我們都是把所求的角分成°，°，°，°這樣的一些特殊角【例4】李老師設(shè)計(jì)了這樣一道探究題：如圖1（1），有一個(gè)圓柱，它高為12厘米，底面半徑為3厘米，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，

48、它想吃到上底面與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，則沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？（ 的取值為3）【思考與分析】這是一道螞蟻怎么走最近的問題，同學(xué)們可以這樣思考：（1） 自己做一個(gè)圓柱，嘗試從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿圓柱側(cè)面畫出幾條路線，你認(rèn)為哪條路線最短？（2） 如圖1（2）所示，將圓柱側(cè)面剪開展成一個(gè)長(zhǎng)方形，從A到B的最短路線是什么？你畫對(duì)了嗎？（3） 螞蟻從A點(diǎn)，想吃到B點(diǎn)上的食物，它需要爬行的最短路線是多少？由A到B，有無數(shù)條路線，如果將圓柱側(cè)面從A點(diǎn)（螞蟻爬行路徑的起始點(diǎn)）垂直向上剪開，則剪開的側(cè)面展開圖的形狀是長(zhǎng)方形.最短路線是線段AB，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短.這個(gè)最短距離就是AB的長(zhǎng).解：圓柱的底面周

49、長(zhǎng)為2r2×3×318，展開圖中CB的長(zhǎng)是底面周長(zhǎng)的一半，為×189，圓柱的高為12，即AC12，在RtABC中，根據(jù)勾股定理有：AB2AC2BC292122，所以AB=15厘米【反思】 這個(gè)有趣的問題是勾股定理的典型應(yīng)用，此問題看上去是一個(gè)曲面上的路線問題，但實(shí)際上通過圓柱的側(cè)面展開而轉(zhuǎn)化為平面上的路線問題，值得注意的是，在剪開圓柱側(cè)面時(shí)，要從A點(diǎn)開始并垂直于A點(diǎn)剪開，這樣展開的側(cè)面才是個(gè)矩形，得到直角，才能用勾股定理解決問題本題的設(shè)計(jì)與應(yīng)用不止如此，我們?cè)谂宕祟}的基礎(chǔ)上，就可以進(jìn)一步地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，進(jìn)一步地演變成如下的問題演變一：“變圓柱為圓錐”【例5】如圖2（1），圓錐的母線長(zhǎng)是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到點(diǎn)A的最短的路線長(zhǎng)是（      ）開，在其側(cè)面展開圖如圖