1999年高考數(shù)學試題及答案(全國理)

1、數(shù) 學（理工農醫(yī)類）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷第1至2頁。第II卷3至8頁。共150分?？荚嚂r間120分鐘。第I卷（選擇題共60分）注意事項1 答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。2 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上。3 考試結束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回。參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式正棱臺、圓臺的側面積公式其中、分別表示上、下底面周長，表示斜高或母線長臺體的體積公式其中、分別表示上、下底面積，表示高一、 選擇題：本大題共14小題；

2、第（1）（10）題每小題4分，第（11）（14）題每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1） 如圖，I是全集，M、P、S是I3個子集，則陰影部分所表示的集合是（A）（MP）S （B）（MP）S（C）（MP）（D）（MP）（2） 已知映射：，其中，集合集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對任意的在B 中和它對應的元素是，則集合B中元素的個數(shù)是（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（3）若函數(shù)的反函數(shù)是，則等于（A） （B） （C） （D）（4）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且 則函數(shù)在上（A）是增函數(shù) （B）是減函數(shù)（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值

3、（5）若是周期為的奇函數(shù)，則可以是（A） （B） （C） （D）（6）在極坐標系中，曲線關于（A）直線軸對稱 （B）直線軸對稱（C）點中心對稱 （D）極點中心對稱（7）若干毫升水倒入底面半徑為的圓柱形器皿中，量得水面的高度為， 若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是（A） （B） （C） （D）（8）若則的值為 （A）1 （B） （C）0 （D）2（9）直線截圓得的劣弧所對的圓心角為 （A）（B） （C） （D）（10）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（A） （B）5 （C）6 （

4、D）（11）若則（A）（B） （C） （D）（12）如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺分為上、 下兩個圓臺，它們的側面積的比為1：2，那么R=（A）10 （B）15 （C）20 （D）25（13）已知兩點給出下列曲線方程： 在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是（A）（B） （C） （D）（14）某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元 的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒， 則不同的選購方式共有（A）5種 （B）6種 （C）7種 （D）8種 1999年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù) 學（理工農醫(yī)類） 第

5、II卷（非選擇題共90分）注意事項：1 第II卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接寫答在試題卷中。2 答卷前將密封線內的項目填寫清楚。題號二三總分192021222324分數(shù)得分評卷人二填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。（15）設橢圓的右焦點為，右準線為，若過且垂 直于軸的弦長等于點到的距離，則橢圓的率心率是_。（16）在一塊并排10龔的田地中，選擇2龔分別種植A、B兩種作物，每種 作物種植一龔，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于 6龔，則不同的選龔方法共有_種（用數(shù)學作答）。（17）若正數(shù)、滿足則的取值范圍是_。（18）、是兩個不同的平面，、是平面及之

6、外的兩條不同直線， 給出四個論斷：以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：_。三、解答題：本大題共6小題；共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或 演算步驟。得分評卷人（19）（本小題滿分10分） 解不等式得分評卷人（20）（本小題滿分12分）設復數(shù)求函數(shù)的最大值以及對應的值。得分評卷人（21）（本小題滿分12分） 如圖，已知正四棱柱，點在棱上，截面，且面與底面所成的角為（I） 求截面的面積；（II） 求異面直線與AC之間的距離；（III） 求三棱錐的體積。得分評卷人（22）（本小題滿分12分） 右圖為一臺冷軋機的示意圖。冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，

7、經過各對軋輥逐步減薄后輸出。（I） 輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對軋輥的減薄率不超過。問冷軋機至少需要安裝多少對軋錕？（一對軋輥減薄率）（II） 已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋錕，所有軋輥周長均為1600若第對軋錕有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，庇點的間距為為了便于檢修，請計算、并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）。軋錕序號1234疵點間距（單位：）1600得分評卷人（23）（本小題滿分14分） 已知函數(shù)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線，當時，該圖象是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設數(shù)列由定義。（I） 求、和的表達式；（II） 求的

8、表達式，并寫出其定義域；（III） 證明：的圖象與的圖象沒有橫坐標大于1的交點。得分評卷人（24）（本小題滿分14分）如圖，給出定點和直線是直線上的動點，的角平分線交于點。求點的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關系。1999年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題（理工農醫(yī)類）參考解答及評分標準說明：一、 本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本題解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則。二、對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超

9、過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較重的錯誤，就不再給分。三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)。四、只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本題考查基礎知識和基礎運算。第（1）（10）每小題4 分，第（11）（14）題每小題5分，滿分60分。C A A C B B B A C D B D D C二、填空題：本題考查基本知識和基本運算。每小題4分，滿分16分。（15） （16）12 （17）（18）或三、解答題（19）本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質、對數(shù)不等式、無理不等式解法等基礎知識，考查分類討論的思想。滿分10分。解：原不等式等價于4分由得

10、由得 或，由得 由此得 或8分 當時得所求的解是；當時得所求的解是10分（20）本小題主要考查復數(shù)的基本概念、三角公式和不等式等基礎知識，考查 綜合運用所學數(shù)學知識解決問題的能力。滿分12分。解：由得由得及故 4分8分當且僅當時，即時，上式取等號。所以當時，函數(shù)取得最大值 由得由于在內正切函數(shù)是遞增函數(shù)，函數(shù)也取最大值12分（21）本小題主要考查空間線面關系、二面角和距離的概念，邏輯思維能力、 空間想象能力及運算能力。滿分12分。（1） 解：如圖，連結BD交AC于O，連結EO 底面ABCD是正方形， DOAC又 ED底面AC， EOACEOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角。2分故 4分

11、（II）解：由題設是正四棱柱，得底面AC，AC，又是異面直線與AC間的公垂線。 6分面EAC，且面與面EAC交線為EO，EO又O是DB的中點， E是的中點，=2EO=2異面直線與AC間的距離為8分（III） 解法一：如圖，連結=DB=是正方形連結交于P，交EO于Q，EO，EO又 ACEO，ACEDAC面，AC，面EAC是三棱錐的高。 10分由DQ=PQ，得所以三棱錐的體積是12分解法二：連結，則10分 AO面， AO是三棱錐的高，AO在正方形中，E、O分別是、DB的中點（如右圖），則 所以三棱錐的體積是12分（22）本小題主要考查等比數(shù)列、對數(shù)計算等基本知識，考查綜合運用數(shù)學知 識和方法解決實

12、際問題的能力。滿分12分。（1） 解：厚度為的帶鋼經過減薄率均為的對軋緄后厚度為為使輸出帶鋼的厚度不超過，冷軋機的軋輥數(shù)（以對為單位）應滿足即 3分由于對比上式兩端取對數(shù)，得由于所以 因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對軋輥。 6分 （II）解法一：第對軋輥出口處疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩 疵點間帶鋼的體積為寬度而在冷軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為寬度因寬度相等，且無損耗，由體積相等得即 9分由此得 填表如下軋錕序號1234疵點間距（單位：）312525002000160012分 解法二：第3對軋輥出口處疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，

13、因寬度不變，有所以 9分同理 填表如下軋錕序號1234疵點間距（單位：）312525002000160012分（23）本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎知識，考查歸納、推理和綜合的能力。滿分14分。（I） 解：依題意，又由，當時，函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由 得2分又由，當時，函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由，即 得3分記由函數(shù)圖象中第段線段的斜率為，故得又 ；由此知數(shù)列為等比數(shù)列，其首項為1，公比為因得即 6分（II） 解：當，從（I）可知當時，當時，即當時，由（I）可知8分為求函數(shù)的定義域，須對進行討論。當時，；當時，也趨向于無窮大。綜上，當時，的定義域為； 當時，的定

14、義域為。 10分（III） 證法一：首先證明當，時，恒有成立。用數(shù)學歸納法證明：(i) 由(II)知當時,在上,所以成立(ii) 假設時在上恒有成立.可得 在上,所以 也成立.由(i)與(ii)知,對所有自然數(shù)在上都有成立.即 時,恒有. _13分其次,當,仿上述證明,可知當時,恒有成立.故函數(shù)的圖象與的圖象沒有橫坐標大于1的交點. _14分證法二:首先證明當,時,恒有成立.對任意的存在,使,此時有又 ，即有 成立. 13分其次，當，仿上述證明，可知當時，恒有成立。故函數(shù)的圖象與的圖象沒有橫坐標大于1的交點。 14分（24）本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎知識，以及求動點 軌跡的基本技能和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。滿分14分。 解法一：依題意，記則直線OA和OB的方程分別為和 設點，則有，由OC平分AOB，知點C到OA、OB距離相等。根據點到直線的距離公式得4分依題設，點C在直線AB上，故有6分 由，得 將式代入式得整理得 9分若，則；若，則，點C的坐標為（0，0），滿足上式。綜上得點C的軌跡方程為10分（