歷年全國(guó)理科數(shù)學(xué)高考試題立體幾何部分含答案

1、1 .在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的俯視圖可以為2?已知夕!形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球0的球面上，且AB6,BC23，則棱錐OABCD的體積為。3 .如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，/DAB=600,AB=2AD,PD，底面XBCD.(I)證明：PA±BD;(II)若3D=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。（一）1.D2.8.33.解：（I）因?yàn)镈AB60,AB2AD,由余弦定理得BD.3AD從而BD2+AD2=AB2,故BDAD又PD底面ABCD,可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)

2、，射線DA為x軸的正半軸建立空間直A 1,0,0 , B 0,3,0 ,1,3,0,P0,0,1n=設(shè)平面PAB的法向量為uuu nAB 0, LUU PB 0, (x, y, z),貝n設(shè)平面PBC的法向量為 m,uun m PB 0, uuu m BC 0,4 2Jcos m,n 27可取m=(0,-1,.3)角坐標(biāo)系D-xyz,則故二面角A-PB-C的余弦值為 '' C2 一331.正方體ABCD- AiBCD1中，BBi與平面AC Di所成角的余弦值為ULV UUV2.已知圓。的半徑為1, PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為倆切點(diǎn)，那么PA?PB的最小值為(A)4,2

3、(B)3(C)4八2(D)32.23.已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的43(B)T(C)234.如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD,AB/DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC.(I)證明：SE=2EB；(U)求二面角A-DE-C的大小(二)最大值為1.D2.D3.B4.解法一：(I)連8BD,取DC的中點(diǎn)G,連接BG,由此知DGGCBG1,即ABC為直角三角形，故BCBD.又SD平面ABCD,故BCSD,所以，BC平面BDS,BCDE.作BKEC,K為垂足，因平面EDC平面SBC

4、,BC都垂直故BK平面EDC,BKDE,DE與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線BK、DE，平面SBC,DE±EC,DE±SB所以，SE=2EB(nWSA.SD2AD2.5,AB1,SE2EB,ABSA知2AE2AB1.又AD=1.?DF2y3取ED中點(diǎn)F,連接AF,則AFDE,AF故ADE為等腰三角形.連接FG,貝UFG/EC,FGDE所以，AFG是二面角ADEC的平面角.AF2FG2AG22gAFgFGcosAFG連接AG,AG=2 , FG . DG 2 DF 2所以，二面角ADEC的大小為120解法以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)

5、A(1,0,0),貝UB(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)uuruuu(I)SC(0,2,-2),BC(-1,1,0)設(shè)平面SBC的法向量為n=(a,b,c)uuuuuuruuuuu由nSC,nBC,得ngSC0,ngBC0故2b-2c=0,-a+b=0令a=1,貝Ub=c,c=1,n=(1,1,1)ULTUUU又設(shè)SEEB(0),貝U設(shè)平面CDE的法向量m=(x,y,z)由DE,mDC,得mmDE0mDC0故嚴(yán)0,2y01112,貝U令xm(2,0,).由平面DEC，平面SBC得mln,mgn0,20,2故SE=2EB222111ULU211(U)由(I)知E(-,-,-),

6、取DE的中點(diǎn)F,則F(-,-,-),FA(-,-,-),333333333LLLLILT故FAgDE0,由此得FADELULT242LUULLLT又EC(,一,),故ECgDE0,由止匕得ECDE,333LULLUU向量FA與EC的夾角等于二面角ADEC的平面角LILLILTLLLLLLFACEC1于是cos(FA,EC)lilaLliii|FA|EC|2所以，二面角ADEC的大小為120。2A憶知二面角3.直三棱柱ABC A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB AC AA 12 , BAC 120 ,A1在底面ABC上的射影為BC的中1.已知三棱柱ABCAB.G的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等點(diǎn)，

7、則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()(A)子(C)2、3(B)2(D)4為60。，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面a、B內(nèi)，P至UB的距離為3,Q到a的距離為2、二，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為(底面ABCD,則此球的表面積等于4.如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SDAD2,DCSD2,點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，ABM=60(I)證明：M在側(cè)棱SC的中點(diǎn)1珊：設(shè)BC的中點(diǎn)為D,連結(jié)AD , AD,易知AAB即為異面直線AB與CCi所成的角，由三角余弦定理cos AAD cos DAB如匹3 .故選DAA AB 4(II )求二面角S AM B的余弦值2如圖分別作QA 于A, AC I于C,P

8、BIB,PD l 于 D,連 CQ,BD 則 ACQ PBD 60 ,AQ 2 3, BP -. 3 , AC PD 2又 Q PQ、AQ2AP2 12 AP22、3當(dāng)且僅當(dāng)AP0,即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)取最小值。故答案選C3.解:在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理)可得ABC外接展半徑r=2設(shè)此圓圓心為O,球心為O,在RTOBO中，易得球半徑R5,故此球的表面積為解法一：(I)作ME/CD交SD于點(diǎn)E,則ME/AB,ME平面SAD連接AE,則四邊形ABME為直角梯形作MFAB,垂足為F,則AFME為矩形設(shè)MEx,則SEx,AEZED2AD2(2一乂廠2由MFFB?tan

9、60。，得J(2x)2273(2x)解得x11即ME1,從而MEDC2所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)(n)MB.BC2MC22,又ABM60,AB2,所以ABM為等邊三角形,又由(I)知M為SC中點(diǎn)SM.2,SA,6,AM2,故SA2SM2AM2,SMA90取AM中點(diǎn)G,連結(jié)BG,取SA中點(diǎn)H,連結(jié)GH,則BGAM,GHAM，由此知BGH為二面角SAMB的平面角連接BH,在BGH中,BG2GH2BH26所以cosBGH2?BG?GH解法二:以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D-xyz設(shè)A(.2,0,0),則B(、2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2)(I)設(shè)SMM

10、C(0)，則又AB(0,2,0),MB,AB60o故MB?AB|MB|?|AB|cos60o即占,-'(.2)2(2)2(2)2111解得1,即SMMC所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)(II)由M(0,1,1),A(.2,0,0),得AM的中點(diǎn)Ge2,1,1)222又GBe2,3,1),MS(0,1,1),AM(-2,1,1)222所以GBAM,MSAM因此GB,MS等于二面角SAMB的平面角(四)A在底面ABC內(nèi)的射影為 ABC的1 .已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（A. 1B. 1!C?乜3332 ?等邊三角形ABC與正方形A

11、BDE有一公共邊AB,二面角CABD的余弦值為弓，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，貝UEM、AN所成角的余弦值等于3.（本小題滿分12分）四棱錐ABCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC底面BCDE,BC2）CD.2）ABAC.證明：ADCE；（U）設(shè)CE與平面ABE所成的角為45。，求二面角CADE的余弦值.E（四）1.B12.答案:L63?解：（I）作AO±BC,垂足為0,連接0D,由題設(shè)知，AO，底面BCDE,且0為BC中占八、）OCCD1由0cCD1知，RtAOCDsRtACDE,CDDE2從而/ODC=/CED,于是CE±OD,由三垂線定理知，AD±CE

12、(II)由題意，BE±BC,所以BE，側(cè)面ABC,又BE側(cè)面ABE,所以側(cè)面ABE，側(cè)面ABC。作CF±AB,垂足為F,連接FE,貝UCF，平面ABE故/CEF為CE與平面ABE所成的角，/CEF=450由CE=,6,得CF=3又BC=2,因而/ABC=60。，所以ABC為等邊三角形作CG±AD,垂足為G,連接GE由(I)知，CE±AD?又CEnCG=C,故 AD，平面 CGE , AD ± GE ? /CGE 是二面角 C-AD-E平面角。AC CD 2 CG-aaAD2DE ADGE=22飛3(1DE)2AD.36,的CECG2 GE2 CE2 cos/ CGE=410-2CG GE33小。2102-v3v3解法二：(I)作AO±BC,垂足為。，貝UAO，底面BCDE,且O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OC為x軸正向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)A(0,0,t),由已知條件有C(1,0,0),D(1,.2,0),E(-1,2,0),所以CEAD0,得AD±CE(II)作CF±AB?垂足為F,連接FE,設(shè)F(x,0,z則CF=(x-1,0,z),故CF，BE,又ABnBE=B,所以CF，平面ABE,/