反三角函數(shù)的概念和性質(zhì)

1、反三角函數(shù)的概念和性質(zhì).基本知識:1 正確理解反三角函數(shù)的定義，把握三角函數(shù)與反三角函數(shù)的之間的反函數(shù)關(guān)系；2 .掌握反三角函數(shù)的定義域和值域，y=arcsinx,xCT,1,yC,y=arccosx,xe1,1,ye0,兀膏反三角函數(shù)中，定義域和值域的作用更為明顯，在研究問題時，一定要先看清楚變量的取值范圍；3 符號arcsinx可以理解為，上的一個角或弧，也可以理解為區(qū)間，上的一個實數(shù)；同樣符號arccosx可以理解為0,兀上的一個角或弧，也可以理解為區(qū)間0,兀上的一個實數(shù)；4 .y=arcsinx等價于siny=x,yC-,y=arccosx等價于cosy=x,x£0,兀逮兩個

2、等價關(guān)系是解反三角函數(shù)問題的主要依據(jù)；5 .注意恒等式sin(arcsinx)=x,xC7,1,cos(arccosx)=x,xC7,1,arcsin(sinx)=x,xC,arccos(cosx)=x,xC0,兀的運用的條件；6 掌握反三角函數(shù)的奇偶性、增減性的判斷，大多數(shù)情況下，可以與相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)結(jié)合起來理解和應(yīng)用；7 .注意恒等式arcsinx+arccosx=,arctgx+arcctg*=的應(yīng)用。例一下列各式中成立的是(C)。(A)arcctg(1)=(B)arccos(一)=一C)sinarcsin()=(D)arctg(tg兀)=兀解：(A)(B)中都是值域出現(xiàn)了問

3、題，即arcctg(-1)(0,兀),arccos()C0,兀,(D)中，arctg(tg兀)，q,而兀,A)(B)(D)都不正確。例二下列函數(shù)中，存在反函數(shù)的是(D)。(A)y=sinx,xC兀,0(B)y=sinx,x,(C)y=sinx,xC,(D)y=sinx,xC,解：本題是判斷函數(shù)y=sinx在哪個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，由于y=sinx在區(qū)間,上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以選D。例三 arcsin(sin10) 等于( C ) 。(A)2兀70(B)102兀(C)3兀70(D)103兀解：本題是判斷哪個角度的正弦值與sin10相等，且該角度在,上。由于sin(3兀10)=sin(兀1O)=si

4、n10,且3兀一10,土所以選C。(例四求出下列函數(shù)的反函數(shù)，并求其定義域和值域。(1)f(x)=2sin2x,xC,;2)(f(x)=+arccos2x.解：(1)xC,2x,2xttC,匕-2<y<2由y=2sin2x,得sin2x=,sin(2x兀)=sin2x=,x2-兀=arcsin(),1.x=arcsin,f.-(x)=arcsin,2<x<2,yC,.(2) f(x)=+arccos2x,xC-,yC,arccos2x=y,2x=cos(y),x=cos(y)=siny,f1(x)=sinx,xC,yC-.例五求下列函數(shù)的定義域和值域：(1) y=arc

5、cos;(2)y=arcsin(x2+x);(3)y=arcctg(2x1),解：(1)y=arccos,0<<1,x>1,y0,).(2) y=arcsin(x2+x),1<x2+x<1,痔,由于一x+1=(x)+,1wx+xw,Wywarcsin.y=arcctg(2x1),由于2x1>1,.0<arcctg(2x1)<,xR,yC(0,).例六求下列函數(shù)的值域：(1) y=arccos(sinx),xC();(2)y=arcsinx+arctgx.解：(1)x<(,),/.x§n(,1,ye.0,).(2) y=arcsin

6、x+arctgx.,xCT,1,且arcsinx與arctgx都是增函數(shù)，<arcsinx<,<arctgxw,.y.例七判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1) f(x)=xarcsin(sinx);(2)f(x)=arcctgx.解：(1)f(x)的定義域是R,f(x)=(x)arcsinsin(x)=xarcsin(sinx)=f(x),，f(x)是偶函數(shù)；(2) f(x)的定義域是R,f(x)=arcctg(x)=(兀arcctgx)=arcctgx=f(x),.f(x)是奇函數(shù).例八.作函數(shù)y=arcsin(sinx),xC兀，兀的圖象解：y=arcsin(sinx),xC兀,

7、得,圖象略。例九.比較arcsin,arctg,arccos(一)的大/4。解：arcsin<,arctg<,arccos(一)>,arccos()最大,設(shè)arcsin=a,sin,毅arctg=3,tg3=,sin3=<sina,3<a,arctg<arcsin<arccos(一).例十.解不等式：(1)arcsinx<arccosx;(2)3arcsinxarccosx>.解：(1)xCT,1,當(dāng)x=時，arcsinx=arccosx,又arcsinx是增函數(shù)，arccosx是減函當(dāng)xCT,)時，arcsinx<arccosx.(

8、2)arccox=arcsinx,.原式化簡得4arcsinx>,arcsinx>=arcsin,arcsinx是增函數(shù)，xw1.二.基礎(chǔ)知識自測題：1 .函數(shù)y=arcsinx的定義域是1,1,值域是.2 .函數(shù)y=arccosx的定義域是1,1,值域是0,兀3 .函數(shù)y=arctgx的定義域是R,值域是.4 .函數(shù)y=arcctgx的定義域是R,值域是(0,.)5 .arcsin()=;arccos()=;arctg(1)=;arcctg(一)=.6 .sin(arccos)=;ctgarcsin()=;tg(arctg)=;cos(arcctg)7 .若cosx=,xC(,Tt),x則.8 .若sinx=,xC(-0),貝Ux=.9 .若3ctgx+1=0,xC(0,兀)，x則.三基本技能訓(xùn)練題：1 下列關(guān)系式總成立的是(B)。(A)兀一arccosx>0(B)兀一arcctgx>0(C)arc