不定積分03253

1、精品不定積分2.1不定積分的直接積分法直接積分法通常也可以稱之為湊微分法。直接積分法是建立在不定積分基本積nn分公式和不定積分線性運(yùn)算法則（ki f i(x)(ki f i ( x)dx)）之上的，求解不定積i 1i 1分的一般思路是：先將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為若干簡單函數(shù)的和，然后應(yīng)用不定積分的線性運(yùn)算法則和不定積分基本積分公式來求解，這樣做就是為了把復(fù)雜的不定積分化為簡單的不定積分，把未知的不定積分化為已知的不定積分。例題 1 求下列不定積分：(1)cos 2xdx；( 2)( 1x1x )dx .cos2 x sin 2 x1x1x解 分析：對于例題 1 中的 (1)( 2) ，只要對要求的不定

2、積分進(jìn)行變形，直到可以簡單地利用基本積分公式。(1)cos 2xdxcos2 xsin 2 x dx(11x) dxcos2x sin 2xcos2 x sin 2xsin 2 xcos2csc2 xdxsec2xdxcot xtan xc.1x1x(1x) 2(1x)2(2) (1 x1 x ) dx (1 x 21 x 2 ) dx(1x)(1x) dx2dx2 arcsin x c.1x21x 2從上面兩道例題看，用直接積分法求解不定積分，除了必須牢記基本積分公式，還要熟練掌握中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些常用公式。在實(shí)際解題中要注意靈活運(yùn)用基本積分公式，充分運(yùn)用化歸的思想方法。2.2不定積分的換元積

3、分法換元積分法分為第一換元積分法、第二換元積分法，第一換元積分法和第二換元積分法在數(shù)學(xué)形式上互成逆反，在實(shí)際使用時(shí)則以新得的積分比原來的積分更易“積分 ” 作為選擇方式的原則。例題 2 求不定積分：(1x)100 dx .解 分析：對于例題 2，理論上可以用直接積分法來求解，但其計(jì)算過程顯然是非常繁瑣的。這里采用換元積分法，計(jì)算過程就變得相對簡單得多。因?yàn)?(1x )1x 得,所以令 u 12x感謝下載載精品(1x )100 dx2 x(1x )100 (1x) dx2(x 1)1(1x )100 d (1x)2(u1)u100 du2(1u1021u101 )c1021011(1x)1022

4、(1x)101c51101另外，要記住在結(jié)果中把原變量換回去。例題 3求不定積分：1dxx 1x 2解 分析：對于例題 3，若采用第二換元積分法，新得出的積分csctdtln csctcot tc ，比原來的積分顯然更易“積出”，而若采用第一換元積分法則過程相對復(fù)雜。令 xtan t, dxsec2 tdt , csct1x2，11xdxsec2 tdtx1x 2tant sectcsctdtln csctcot t clnxc .x 211解題時(shí)應(yīng)該選擇更適合、更簡單、更明確的方法，不要拘泥于某種方法。2.3不定積分的分部積分法分部積分法適用的情形是被積函數(shù)是兩類完全不同類型函數(shù)的乘積。在以

5、往的學(xué)習(xí)中，筆者總結(jié)出了兩種類型的分部積分法：“降冪”分部積分法和“升冪”分部積分法。解不定積分時(shí)，通常以新得的積分比原來的積分更易“積分”作為選擇方式的原則。2.3.1 “降冪”分部積分法一般地，對于形如Pn ( x) sin bxdx 、Pn ( x) cosbxdx 、Pn (x) eax dx 的不定積分（其中 Pn ( x) 是一個(gè)關(guān)于 x 的 n 次多項(xiàng)式），作如下處理： “令 u(x)Pn ( x) ，再把被積函數(shù)中出現(xiàn)的指數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)選為分部積分公式中的 v ( x) ，進(jìn)行分部積分，這樣就能使多項(xiàng)式因式的次數(shù)逐漸降低。”這里不妨稱之為“降冪”分部積分法。例題 4 求下列

6、不定積分：感謝下載載精品(1)(2x1) cos3xdx ；(2)x2 e x dx .解(1) 令 u2x1, v cos3x(2x1) cos3xdx( 2x1)d ( 1 sin 3x)1 (2x231 ( 2x2 cos3x c .1) sin 3xsin 3xdx1)sin 3x3339(2)x2 e x dxx 2d (e x )x2 e x2xe xdxx 2e x2xe x2 e x dx ( x 22x 2)e xc .2.3.2 “升冪”分部積分法一般地，對于形如Pn (x)arcsin xdx、 Pn ( x) arccosxdx 、 Pn ( x) (ln x) m d

7、x 、Pn ( x) (arctanx) m dx 的不定積分（其中 Pn (x) 是一個(gè)關(guān)于 x 的 n 次多項(xiàng)式， m 為正整數(shù)），作如下處理：“令v ( x)Pn ( x) ， u( x) 為被積函數(shù)中的另一超越函數(shù)因子，進(jìn)行分部積分，這樣做后，在新的積分u ( x) v( x)dx 中， v(x) 升冪為 n1 次的多項(xiàng)式， u ( x) 就變?yōu)闊o理根式或有理分式。”這里不妨稱之為“升冪”分部積分法。例題 5求下列不定積分：(1) (2x1) ln xdx ;( 2)x 2 arcsin xdx解 (1)(2x 1) ln xdxln xd ( x 2x)( x2x) ln x( x2

8、x) 1 dx1 x 2x(x 2x) ln xx c2arcsin xd ( x3x3x 3(2)x 2 arcsinxdx)arcsin x11dx333x2x 3arcsin xx 2x22(1x2)3c31933 結(jié) 論由于積分的靈活性，求解不定積分切不可拘泥于某種解題方法，在任何時(shí)候積分的三個(gè)基本方法都是適用的，特別是直接積分法提供了簡捷明快的直觀方法，譬如：對于cos xsin x dx 就需要直接積分而不能再用換元法或分步積分法（否則會sin xcos x變得更困難），而例題 2中采用換元積分法就使計(jì)算過程變得相對簡單。有時(shí)候一道題目可以采用這三種方法中的多種方法求解，有時(shí)候一道

9、題目要同時(shí)運(yùn)用多種方法求解。譬如：1例題6 求不定積分：1ex dx.感謝下載載精品解 方法11x dx1 exx exdxdx11x d(1 ex )1e1eexln(1 ex )c .方法 1中采用了直接積分法 .x( 1x方法 21x dx(1exx dx11x )ex dx1ee)eee1x1xexde1 exd (1e)ln exln(1ex )cxln(1ex )c .方法 2中綜合采用了直接積分法和換元積分法，這里換元的過程：“1x1x1 exd (1e )1 exde ”是一種非常實(shí)用的換元技巧 .方法 311dxe xdx1de xln( e x1) c .exe x1e x1方法 3中采用了分部積分法 .不管采用何種方法，運(yùn)用