用正弦定理解三角形需要已知哪些條件

1、用正弦定理解三角形需要已知哪些條件？用正弦定理解三角形需要已知哪些條件？ 已知三角形的兩角和一邊，或者是已知兩邊和其中一邊的已知三角形的兩角和一邊，或者是已知兩邊和其中一邊的對(duì)角。對(duì)角。 那么，如果在一個(gè)三角形（非直角三角形）中，已知兩那么，如果在一個(gè)三角形（非直角三角形）中，已知兩邊及這兩邊的夾角邊及這兩邊的夾角(非直角），能否用正弦定理解這個(gè)三角非直角），能否用正弦定理解這個(gè)三角形，為什么？形，為什么？正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。 sinsinsinabcABC復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 不能，在正弦定理不能，在正弦

2、定理 中，已知兩邊及中，已知兩邊及這兩邊的夾角，正弦定理的任一等號(hào)兩邊都有兩個(gè)未知量。這兩邊的夾角，正弦定理的任一等號(hào)兩邊都有兩個(gè)未知量。sinsinsinabcABC余弦正理余弦正理勾股定理：勾股定理： 即即222c ab222CB ACAB 余弦定理作為勾股定理的推廣，那么我們可以借助勾余弦定理作為勾股定理的推廣，那么我們可以借助勾股定理來證明余弦定理。股定理來證明余弦定理。CBAabc在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和和A,求求BCABCcba222CDBDa22( sin )(cos )bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcA

3、cb同理有：同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab 當(dāng)然，對(duì)于鈍角三角形來說，證明類似，課后當(dāng)然，對(duì)于鈍角三角形來說，證明類似，課后 自己做上作業(yè)本。自己做上作業(yè)本。D22AB ACCB 222AB ACACAB 222COSAB ACAACAB AC BC BA AB CB CA 同理，同理，從從 出發(fā)，出發(fā)， 證得證得 從從 出發(fā)，證得出發(fā)，證得2222cosacBcba2222cosabCbca 證明：證明：CB AB AC 那么，學(xué)過向量之后，能否用向量的方法給予證明呢？那么，學(xué)過向量之后，能否用向量的方法給予證明呢？已知已知AB,AC和它們的夾角和它們的夾角A，

4、求，求CB2222cosbcAacb即即CBA余弦定理：余弦定理：2222cosbcAacb2222cosacBcba2222cosabCbca用語言描述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊的用語言描述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和平方和, 再減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。再減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。若已知若已知b=8,c=3,A= ,能求能求a嗎？嗎？602222cosbcAacb22602 8 3 cos49378a 它還有別的用途么，若已知它還有別的用途么，若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？2222coscabbcA2222cosacbacB2222

5、cosacbabC余弦定理余弦定理的變形：的變形：歸納：歸納：利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題： （1）已知三邊，求三個(gè)角）已知三邊，求三個(gè)角 （2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊，進(jìn)而）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊，進(jìn)而還可求其它兩個(gè)角。還可求其它兩個(gè)角。例題分析：例題分析： 例例1、在三角形、在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求A，B，C（精確到（精確到 ）1分析：已知三邊，求三個(gè)角，可用余弦定理的變形來解決問題分析：已知三邊，求三個(gè)角，可用余弦定理的變形來解決問題解：解：22222271062 10 62c

6、os0.725cabbcA44A 222222761022 7 6cos0.178acbacB 100B 18036CA B 思考：思考：已知條件不變，將例已知條件不變，將例1稍做改動(dòng)稍做改動(dòng) （1）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,判定判定三角形三角形ABC的形狀的形狀分析：三角形分析：三角形ABC的形狀是由大邊的形狀是由大邊b所對(duì)的大角所對(duì)的大角B決定的。決定的。222(,)90 180cBba（2）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求三角形三角形ABC的面積的面積分析：三角形的面積公式分析：三角形的面積公式 S= absi

7、nC = bcsinA= acsinB, 只需先求出只需先求出cosC(cosA或或cosB),然后求出然后求出 sinC(sinA或或 sinB）代入面積公式即可。）代入面積公式即可。121212 例例2、在三角形、在三角形ABC中，已知中，已知a=2.730,b=3.696,c= , 解這個(gè)三角形（邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到解這個(gè)三角形（邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到 ）28821分析：已知兩邊和兩邊的夾角分析：已知兩邊和兩邊的夾角解：解：2222cosabCbca222 2.730 3.696cos283.696822.730 4.297c 2222223.6964.2972.7

8、302 3.696 4.2972cos0.7767cabbcA232A 3018058BA B 總結(jié)總結(jié)（1）余弦定理適用于任何三角形）余弦定理適用于任何三角形（3）由余弦定理可知：）由余弦定理可知：22290Aacb22290Aacb22290Aacb（2）余弦定理的作用：）余弦定理的作用： a、已知三邊，求三個(gè)角、已知三邊，求三個(gè)角 b、已知兩邊及這兩邊的夾角，求第三邊，、已知兩邊及這兩邊的夾角，求第三邊，進(jìn)而可求出其它兩個(gè)角進(jìn)而可求出其它兩個(gè)角c、判斷三角形的形狀，求三角形的面積、判斷三角形的形狀，求三角形的面積練習(xí)一：一鈍角三角形的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長(zhǎng)為（練習(xí)一：一鈍角三角形的

9、邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長(zhǎng)為（ ） A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6分析：分析： 要看哪一組符合要求，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)選項(xiàng)要看哪一組符合要求，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)選項(xiàng) 中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于0。B中：中： ，所以，所以C是鈍角是鈍角222132442 2 3cosC D中：中： ，所以，所以C是銳角，是銳角， 因此以因此以4，5，6為三邊長(zhǎng)的三角形是銳角三角形為三邊長(zhǎng)的三角形是銳角三角形222156482 4 5cosC A、C顯然不滿足顯然不滿足B練習(xí)二：在三角形練習(xí)二：在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC= ,求最大角的余弦值求最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個(gè)角是最大角。由