高等數(shù)學(xué)交大教案

1、第二章 一元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容及基本要求：1理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。2會(huì)用導(dǎo)數(shù)描一些物理量。3掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)行法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)雙曲函數(shù)的公式，了解微分四則運(yùn)算法則和一階微分形式不變法。4了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。5掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。6會(huì)求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)和微分概念；導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)行法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，基本初等函數(shù)、雙曲函數(shù)的公式；初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法；隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法；隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的

2、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念一. 導(dǎo)數(shù)的定義1.問題的引入（以物理學(xué)中的速度問題為例，引入導(dǎo)數(shù)的定義）自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度已知作自由落體運(yùn)動(dòng)的物體的位移與其時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是，求該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度 （以均勻代替非均勻）首先從物體的內(nèi)的平均速度入手； 令物體移動(dòng)時(shí)間從變化到； 在這個(gè)時(shí)間段物體的位移為； 物體在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度為.（以極限為手段）然后得到瞬時(shí)速度. 易見愈小，時(shí)間內(nèi)的平均速度的值就愈接近時(shí)刻的速度； 因此，當(dāng)時(shí)，的極限自然定義為物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即定義 .由此可見，物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度是函數(shù)的增量與自變量增量比值當(dāng)?shù)臉O限. 推廣到一般，可以歸結(jié)為一個(gè)函數(shù)的增量與自

3、變量的增量之比，當(dāng)趨于零時(shí)的極限這種類型的極限我們稱其為導(dǎo)數(shù)2.導(dǎo)數(shù)的定義(1) 函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量(點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi))時(shí)；相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即 . 也可記為 , 或 也稱函數(shù)增量與自變量增量之比是函數(shù)在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)處的變化率，即瞬時(shí)變化率(2) 函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)將處導(dǎo)數(shù)定義中的換成，如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即 .顯然，當(dāng) 在某區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，是的函數(shù). 因此稱之為導(dǎo)函數(shù).

4、 導(dǎo)函數(shù)的記號(hào)還有, 或 (3)處導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值即 .通常，導(dǎo)函數(shù)簡稱為導(dǎo)數(shù)例1 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).3.不可導(dǎo)的情形由可導(dǎo)定義，如果的極限不存在，即有下述情況之一，稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)（1）=； （2）無穩(wěn)定的變化趨勢.例2 （1）求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).（2）求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).4. 導(dǎo)數(shù)定義的不同形式（1）=； （2）=； （3）=； （4）=（5）=.例3 （1）已知存在，求.（2）已知，在處連續(xù)，求.（3） 計(jì)算極限.二. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義1. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲線的方程為 , 是曲線上的一點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程（1）在曲線上另取一點(diǎn)，如圖3所

5、示，連接,兩點(diǎn)，得割線割線對(duì)軸的傾角為，其斜率為 ； 圖3（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿曲線趨向點(diǎn)，割線的極限位置為曲線在點(diǎn)處的切線此時(shí) =，其中是切線關(guān)于軸的傾角從而曲線在點(diǎn)處的切線斜率為=由此可知，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即其中是切線的傾角因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為；當(dāng)時(shí)，法線方程為特殊地，當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)的切線平行于軸當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)的切線垂直于軸此時(shí)，切線的傾角為例4 求在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程 （答案 切線的斜率為，切線方程為；法線的斜率為 ，法線方程為 ）三.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系1.可導(dǎo)必連續(xù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，即存在，由極限與無窮小量的關(guān)系知，其中

6、是時(shí)的無窮小量上式兩端同乘以，得 由此可見，當(dāng)時(shí)， 即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù) 2. 連續(xù)未必可導(dǎo)例如，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)（圖1），但由例題2（1）知，在點(diǎn)處不可導(dǎo) 同樣，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)（圖2），但由例題2（2），中，在點(diǎn)處不可導(dǎo). 由上面的討論可知，函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件，所以如果函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)必不可導(dǎo) 圖1 圖22.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與該點(diǎn)存在切線的關(guān)系（1）可導(dǎo)必有切線；因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)切線的斜率存在，自然存在切線. （2）有切線未必可導(dǎo).例如，曲線在點(diǎn)處有垂直于軸的切線（圖2），但它在不可導(dǎo)四.科學(xué)技術(shù)中的導(dǎo)數(shù)問題舉例變化率 當(dāng)因變量隨自變量均勻變化時(shí)，是

7、的線性函數(shù)，改變單位長度時(shí)的改變量，即總是一個(gè)常數(shù)，它反映了隨變化的快慢程度，叫做變化率。求函數(shù)在點(diǎn)處變化率的方法可以歸納為以下兩步：（1） 局部均勻化求近似值；（2） 利用求極限得精確值設(shè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，質(zhì)點(diǎn)在0時(shí)刻的瞬時(shí)速度是在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值例5 物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為，求（1）物體在秒時(shí)的速度；（2）物體運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)第二節(jié) 求導(dǎo)的基本法則一.函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),則法則1:兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之和(差),即證明 設(shè),則所以 例1 求的導(dǎo)數(shù).解 例2 設(shè),求及.解 ,(注意:),所以注意: =0.法則2:兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)

8、數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)與第二個(gè)因子的乘積加上第一個(gè)因子與第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)的乘積.即推論1:推論2:法則2可推廣到有限個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)計(jì)算.如例3 求的導(dǎo)數(shù).解 例4 設(shè),求.解 .例5 設(shè)為連續(xù)函數(shù),求.解 錯(cuò)誤解法:所以 =.錯(cuò)誤的原因是:不一定可導(dǎo).法則3:兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的乘積減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的乘積,再除以分母的平方.即. 例5 設(shè),求.解 .例6 設(shè),求.解 .例7 設(shè),求.解 .同理可得:同理可得:.二. 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理（反函數(shù)的求導(dǎo)法則）設(shè)在處有不等于零的導(dǎo)數(shù),且其反函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處連續(xù),則存在,且,或.即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).證明

9、的反函數(shù).當(dāng)?shù)淖宰兞咳〉迷隽繒r(shí),因變量取得相應(yīng)的增量.當(dāng)時(shí),必有.事實(shí)上,如果則,但是一一對(duì)應(yīng)的,故,則與的假設(shè)矛盾.所以當(dāng)時(shí),有,又在相應(yīng)點(diǎn)處連續(xù),所以時(shí),.由,得.例8 設(shè),求.解 設(shè)為直接函數(shù),則為其反函數(shù).在內(nèi)單調(diào),可導(dǎo),且.在對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)有.又,所以.同理可得:.例9 設(shè),求.解 設(shè)為直接函數(shù),則為其反函數(shù).在內(nèi)單調(diào),可導(dǎo),且.在對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)有.又,所以.同理可得:.三. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)定理（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）設(shè)即是的一個(gè)復(fù)合函數(shù):.如果在處有導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),則在處的導(dǎo)數(shù)存在,且或.如果,則的導(dǎo)數(shù)為.例10 設(shè),求.解 設(shè),則.例11 求的導(dǎo)數(shù).解 設(shè),則.例12 設(shè),求.解

10、設(shè),則.例13 設(shè),求.解 ,.例14 設(shè),求.解 .例15 求的導(dǎo)數(shù).解 .例16 設(shè),求.解 .例17 設(shè),求.解 例18 設(shè),求.解 ,則.所以.例19 設(shè),求.解 設(shè),則.所以.四. 高階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù):.二階導(dǎo)數(shù): .三階導(dǎo)數(shù):.四階導(dǎo)數(shù):.階導(dǎo)數(shù):.1. 二階導(dǎo)數(shù)例20 設(shè),求.解 .例21 證明函數(shù)滿足關(guān)系式.證明 ,所以.例22 設(shè)二階可導(dǎo),求.解 .例23 設(shè),求.解 ,所以 .2. 高階導(dǎo)數(shù)例24 設(shè),求.解 例25 設(shè),求.解 同理一般地,有如求的階導(dǎo)數(shù),由于,則例26 設(shè),求.解 .如求的階導(dǎo)數(shù).例27 設(shè),求.解 .第三節(jié) 隱函數(shù)與由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導(dǎo)一. 隱函

11、數(shù)及其求導(dǎo)法顯函數(shù):等號(hào)左邊是因變量,右邊是含有自變量的代數(shù)式.隱函數(shù):非顯函數(shù),形如.如:為顯函數(shù),而為隱函數(shù).將隱函數(shù)化為顯函數(shù)稱為隱函數(shù)的顯化,但不是所有隱函數(shù)都可以顯化.如:就不可以顯化.不用顯化直接由方程求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為隱函數(shù)的求導(dǎo).例1 由方程確定是的函數(shù),求.解 方程兩邊對(duì)求導(dǎo),有所以 .例2 由確定是的函數(shù),求其曲線上點(diǎn)處的切線方程.解 方程兩邊對(duì)求導(dǎo),有所以.所以切線方程為,即 .例3 設(shè),其中為可微函數(shù),求.解 .二. 由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導(dǎo)設(shè)參數(shù)方程為確定,則.即.例4 設(shè)求.解 .例5 設(shè)其中為二階可導(dǎo),求.解 則.例6 證明曲線上任一點(diǎn)的切線與軸的交點(diǎn)至切點(diǎn)的

12、距離為常數(shù).證明 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)應(yīng)的參數(shù)為.由,得,所以切線方程為.切線與軸的交點(diǎn)為.所以.三、相關(guān)變化率變量與都隨另一變量而變化，即，而與之間又有相互依賴關(guān)系：，研究兩個(gè)相關(guān)變化率與之間關(guān)系的問題稱為相關(guān)變化率問題。解決這類相關(guān)變化率問題可采用以下步驟：1. 建立變量與之間的關(guān)系式；2. 將中的與均看成是的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則，等式兩端分別對(duì)求導(dǎo)；3. 從求導(dǎo)后的關(guān)系式中解出所要求的變化率。第四節(jié) 微分一.微分的概念1.定義 設(shè)在內(nèi)有定義,.如果函數(shù)的增量可表示成則稱在處可微的,稱為在處相應(yīng)于自變量的增量的微分,記作,即.2.函數(shù)可微的條件定理 在處可微在處可導(dǎo),且即.證明 在處可微

13、,則,所以得在處可導(dǎo),且在處可導(dǎo),則,所以 ,故,而所以 ,即在處可微,且例1 求函數(shù)當(dāng)時(shí)的微分.解 ,所以當(dāng)時(shí)的微分為3.函數(shù)的微分函數(shù)在任意點(diǎn)處的微分,稱為函數(shù)的微分,記作或,即.當(dāng)時(shí),稱為自變量的微分,故函數(shù)的微分又可記作.由此有從而導(dǎo)數(shù)又稱為”微商”.例2 設(shè),求.解 ,所以.二.微分的幾何意義1.微分在近似計(jì)算中的理論基礎(chǔ)當(dāng)在處可導(dǎo)時(shí),則.當(dāng)時(shí),有,即 ,所以稱為的線性主部,且所以得由此有,當(dāng)時(shí),.2.微分的幾何意義MNT） P 三. 微分的運(yùn)算.1.基本初等函數(shù)的微分公式.2.函數(shù)和,差,積,商的微分.3.復(fù)合函數(shù)的微分法則微分形式不變性,則.又所以.由此,不論為自變量還是中間變量

14、,微分形式不變,稱為微分形不變性.例3 設(shè),求.解 例4 設(shè),求及.解 ,兩邊微分,有所以例5 由確定是的函數(shù), 求及.解 ,得,即,解得且四.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)時(shí),有.即或令,則.運(yùn)用此近似公式計(jì)算函數(shù)的近似值時(shí),要求(1)很小;(2)易于計(jì)算.由以上兩點(diǎn),關(guān)鍵是點(diǎn)的選取.特別地,如果取,則.由此有工程上的幾個(gè)近似公式(類似于時(shí)的等價(jià)無窮小):(1)(2)(3)例6 求的近似值.解 .取,則例7 求的近似值.解 第五節(jié) 平面曲線的曲率一. 曲率的概念曲率是用來反映曲線彎曲程度的量.比值,即單位弧度切線轉(zhuǎn)過的角度稱為弧段的平均曲率,記作,即=.而極限稱為曲線在點(diǎn)處的曲率,記為,即當(dāng)存在時(shí)

15、,則.下面給出曲率的計(jì)算公式.設(shè)曲線方程為,且具有二階導(dǎo)數(shù).由一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義知兩邊微分,得,所以.又由弧微分公式所以有,故曲率的計(jì)算公式為.如果曲線的參數(shù)方程為則曲率的計(jì)算公式為.例1 試問拋物線上哪一點(diǎn)處的曲率最大?解 .所以曲率.當(dāng),即時(shí),曲率最大,此時(shí)對(duì)應(yīng)著拋物線的頂點(diǎn),即拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大.二. 曲率的計(jì)算 例2解：顯然, 例3 證：如圖在緩沖段上,實(shí)際要求三. 曲率半徑與曲率中心定義：注意:1.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù). 2.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線在該點(diǎn)處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).3.曲線上一點(diǎn)處的曲

16、率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).例4解：如圖,受力分析(視飛行員在點(diǎn)o作勻速圓周運(yùn)動(dòng), （為O點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑）得曲率為曲率半徑為即:飛行員對(duì)座椅的壓力為641.5千克力.第六節(jié) 微分學(xué)中值定理一. Rolle定理如果(1)在上連續(xù);(2)在內(nèi)可導(dǎo);(3)則證明 因?yàn)樵谏线B續(xù),則在上必取得最大值和最小值.(1),此時(shí)所以從而可取內(nèi)的任一點(diǎn)作為,有.(2).不妨設(shè),則必存在.往證.由的存在,可得存在.對(duì)于和.顯然 .當(dāng)時(shí), ,從而,即.（1）當(dāng)時(shí), ,從而,即.（2）由(1)與(2)得即.注意 Rolle定理主要應(yīng)用在證明的導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn).例1 設(shè)在上連續(xù),

17、在內(nèi)可導(dǎo),且.證明在內(nèi)至少有一點(diǎn).分析: 即要證明的導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)有根.證明 令,顯然在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且從而在上滿足Rolle定理的條件,故存在,即所以.例2 設(shè),證明函數(shù)在內(nèi)必有一根.證明 令,顯然在上滿足Rolle定理的條件,且.由Rolle定理得,使得即所以在內(nèi)必有一根.例3 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.證明方程在內(nèi)恰有一根.證明 (1)先證在內(nèi)有一根.令,則在上連續(xù),且,由零點(diǎn)定理,即在內(nèi)有一根.(2)往證在內(nèi)只有一根.反證法:設(shè)在內(nèi)有兩個(gè)根,則在上滿足Rolle定理的條件,所以,使得但,故假設(shè)不成立.由(1)與(2)知, 在內(nèi)恰有一根.二.Langrage中值定理(也稱有限增量定理或

18、微分中值定理)如果函數(shù)(1)在上連續(xù);(2)在內(nèi)可導(dǎo);則 (*)注意 (1)當(dāng)時(shí),公式(*)仍成立.公式(*)稱為Langrage中值公式.(2)公式(*)的等價(jià)形式:令,則 在與之間.從而,所以 (*)或 (*)即由Langrage中值公式,可得函數(shù)增量的精確表達(dá)式,從而該定理又稱為有限增量定理,有時(shí)也稱為微分中值定理.推論 如果在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零,則在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù).證明 ,不妨設(shè),顯然在上滿足Langrage中值定理的條件,故存在,使得 又,所以即.由的任意性知:注意 此處的區(qū)間可以是任何類型的區(qū)間.例4 證明當(dāng)時(shí),.證明 (分析 .令,則在區(qū)間上滿足Langrage中值定理的條件,

19、故存在,使得即, 又,所以.注意 從例4的證明可以看出用Langrage中值定理證明不等式的基本思路是:(1)構(gòu)造輔助函數(shù):這可以從待證不等式分析出輔助函數(shù)的構(gòu)造;(2)由Langrage中值定理, 在與之間估計(jì),從而得待證不等式.例5 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且與存在,證明.證明 在上滿足Langrage中值定理的條件,故有, ,所以.三.Cauchy中值定理Cauchy中值定理 如果函數(shù)與在在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).且在內(nèi)不為零,則存在,使得.例6 設(shè)與是可導(dǎo)函數(shù),且當(dāng)時(shí),證明當(dāng)時(shí),有.證明 (分析:由知顯然與滿足Cauchy中值定理的條件,所以存在,有, .即.又,所以,且,故.注意 從例6可以看出,在證明

20、關(guān)于兩個(gè)函數(shù)之間的不等式或關(guān)系時(shí),往往用Cauchy中值定理.第七節(jié) 羅必塔法則羅必塔法則主要用于解決未定式(型,型)的極限.一.(型),其中.定理 設(shè)(1) ;(2)在內(nèi)與都存在,且;(3)存在(或?yàn)闊o窮大).則有.證明 因?yàn)楫?dāng)時(shí),的極限與和無關(guān),不妨設(shè)=0,所以與在內(nèi)連續(xù),任意,則與在以為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足Cauchy中值定理的條件,所以, 在與之間.即,從而.注意 (1)定理表明:如果未定式型滿足羅必塔法則的條件,則未定式的極限可用對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限.如果還是型,可再用一次羅必塔法則,直至不是未定式型為止.即.(2) 羅必塔法則對(duì)時(shí)的未定式型也適用.對(duì)或的未定式型

21、也適用.即.型型不是型.型型不是型(3)如果不是未定式,則不能用羅必塔法則.例1 例2 例3 注意(4) 在運(yùn)用羅必塔法則的過程中,如果出現(xiàn)極限不為零的因子,可將其因子的極限先計(jì)算;如果出現(xiàn)極限為零的因子.可用其等價(jià)無窮小來代替,以簡化求極限的計(jì)算.例4 例5 設(shè),則例6 (為正整數(shù),由以上兩例得當(dāng)時(shí),.二.其他未定式1.型.型型型即=或 .例7 型例8 或原式2.型先通分(或作變換),化成分式后為未定式“”型,即.例9 .例10 3.冪指函數(shù)的未定式:.未定式,求極限有兩種方法(類似于求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)):方法一:設(shè),兩邊取對(duì)數(shù),有取極限,有則.方法二:因?yàn)?所以.例11 求, (型).解 方

22、法一:令,兩邊取對(duì)數(shù),有所以,故方法二: 例12 求型. 方法一:令,兩邊取對(duì)數(shù),有所以.方法二: .例13 求,.型.解 令,兩邊取對(duì)數(shù),得,所以.注意 特別地,對(duì)于型,有下面的簡單的計(jì)算方法:設(shè),則.如上例,有.最后指出,羅必塔法則在求未定式極限時(shí)也不是萬能的.如例15 求.解 .如果用羅必塔法則,有不存在,原因是不存在,不滿足羅必塔法則的條件.第八節(jié) 函數(shù)性態(tài)的研究一. 函數(shù)單調(diào)性的判別法1. 定理 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且(1)若在內(nèi),則在上單調(diào)增加;(2) 若在內(nèi),則在上單調(diào)減少.證明 任取.不妨設(shè).在上滿足Lanrange中值定理的條件,則存在,使得(1)如果,則,所以,即在上單調(diào)

23、增加.(2)如果,則,所以,即在上單調(diào)減少.注意 (1)如果將定理中的閉區(qū)間換成其他任何區(qū)間,結(jié)論也成立;(2)如果在其定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù).用的點(diǎn)(稱為函數(shù)的駐點(diǎn))和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)劃分定義區(qū)間為一些小區(qū)間,則在這些小區(qū)間內(nèi)符號(hào)恒定,從而在這些小區(qū)間上分別單調(diào)增加(或減少).(3)由(1)和(2)得求的單調(diào)區(qū)間的基本步驟是:.求的定義域;(如果給定所討論的范圍,此步省 );.求的點(diǎn)和不存在的點(diǎn);.將2.中的點(diǎn)插入1.中得一些小區(qū)間,在這些小區(qū)間上分別討論的符號(hào),從而確定的單調(diào)區(qū)間.例1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1) (2).解(1),令,得,在上無不可導(dǎo)點(diǎn).

24、列表討論:所以在上,在上.(2) 的定義域?yàn)?,令得,無不可導(dǎo)點(diǎn).列表討論:12+0-0+所以在上,在上.例2 討論的單調(diào)性.解 ,所以在上.注意4 一般地,如果在某區(qū)間內(nèi)有限或無限個(gè)點(diǎn)(無限個(gè)點(diǎn)不構(gòu)成一個(gè)區(qū)間)處,而其余各點(diǎn)處恒為正(或負(fù)),則在該區(qū)間上是單調(diào)增加(或減少)的.2. 單調(diào)性的應(yīng)用.證明不等式基本思路是:令如果則,從而同理可得的證法.令且.證例3 證明不等式(1)當(dāng)時(shí),;證明 令所以,即.(2)當(dāng)時(shí),令所以,得,故即.證明方程在某區(qū)間上只有一根.思路是:如果在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).若在內(nèi)單調(diào)有根,則只有一根.例3 證明方程只有一根.二. 函數(shù)的極值1.極值的概念定義 設(shè)在內(nèi)有定義,

25、.如果存在,有 (或)則稱為的一個(gè)極小值(或極大值).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).注意 (1)函數(shù)的極值是局部性的概念,而不是整體性的概念,即要區(qū)別函數(shù)的極值與最值.極大值不一定是最大值;極小值也不一定是最小值.(2)函數(shù)的極值點(diǎn)是區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)(即在區(qū)間的內(nèi)部),從而區(qū)間的端點(diǎn)必不是極值點(diǎn).2.函數(shù)取得極值的必要條件定理 設(shè)在處可導(dǎo),且在處取到極值,則必有.證明 不妨設(shè)是的極小值.由導(dǎo)數(shù)的定義,有.當(dāng)時(shí),所以,故同理可得所以.注意(1)使的點(diǎn)稱為的駐點(diǎn).(2)由極值的必要條件知:函數(shù)的極值點(diǎn)必包含在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)內(nèi),即函數(shù)的可能極值點(diǎn)為:1.駐點(diǎn);2

26、.不可導(dǎo)點(diǎn).但函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).下面介紹怎樣判別函數(shù)的可能極值點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn).3.函數(shù)極值點(diǎn)的判別準(zhǔn)則定理(第一充分條件)設(shè)在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且是的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn).(1) 如果時(shí),;當(dāng)時(shí), ,則在處取得極大值;(2) 如果時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,則在處取得極小值;(3) 如果當(dāng)時(shí),恒為正(或負(fù)),則在處無極值.注意(1) 第一充分條件實(shí)質(zhì)上是用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的極值.(2)由函數(shù)極值的第一充分條件,可得判斷函數(shù)極值的基本步驟:.求的定義域(如果給定的范圍,此步省略); .求.求的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);.將3.中的點(diǎn)插入1.,分成一些小區(qū)間,列表討論在每個(gè)小區(qū)間上的符號(hào),從而

27、確定函數(shù)的極值點(diǎn)及極值(是極大值還是極小值).例4 求的極值.解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?(2) (3)令得駐點(diǎn):;無不可導(dǎo)點(diǎn).(4) 列表討論:-極大值極小值由表可知, 在處有極大值;在處有極小值.例5 求的極值.解 函數(shù)的定義域?yàn)?無駐點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn)為.列表討論:+不存在-極大值有表可知, 在處有極大值.下面用二階導(dǎo)數(shù)判斷在駐點(diǎn)處是否有極大值或極小值.定理(第二充分條件)設(shè)在處有二階導(dǎo)數(shù),且為駐點(diǎn),則(1) 當(dāng)時(shí), 在處有極大值;(2) 當(dāng)時(shí), 在處有極小值;(3) 當(dāng)時(shí),不能判斷.改用第一充分條件.注意(1)第一充分條件與第二充分條件的應(yīng)用范圍:第一處分條件可用來判斷1.駐點(diǎn),2.不可導(dǎo)點(diǎn),

28、是否為極值點(diǎn);第二充分條件只能用來判斷駐點(diǎn)是否為極大(小)值點(diǎn).(2)如果只判斷某一駐點(diǎn)為極值點(diǎn),一般用第二充分條件.例6 如在例1中:是駐點(diǎn),而.因?yàn)樗詾闃O大值點(diǎn), 在處有極大值.因?yàn)樗栽谔幱袠O小值.三. 最值問題1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法假設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且至多在有限個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零.下面討論求在上的最值.(1) 在上必有最大值與最小值;(2)如果在內(nèi)取到最大值(或最小值),則最大(小)值必是的極大(小)值,從而最值點(diǎn)必是的駐點(diǎn).由以上分析可得求的最值方法為:(1) 求得的 點(diǎn):;(2) 最大值最小值例7 求在上的最大值與最小值.解 ,令,所以駐點(diǎn).因?yàn)?所以,.在求函數(shù)的最

29、值時(shí),特別值域的一種情形是在區(qū)間上只有一個(gè)駐點(diǎn)的情況.如果該駐點(diǎn)為極大值點(diǎn),則為的最大值;如果駐點(diǎn)為極小值點(diǎn), 則為的最小值.(此時(shí)判斷該駐點(diǎn)為極大(小)值點(diǎn),一般用第二充分條件).例8 求函數(shù)在何處取到最大值.解 ,令,得,只有唯一駐點(diǎn),而,因?yàn)?所以函數(shù)在處取得最大值.2.實(shí)際問題的最值在實(shí)際問題中,由實(shí)踐問題的性質(zhì)可判斷有最大(小)值,且在定義區(qū)間內(nèi)部取得.如果在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn),則必是最大(小)值.3.最值(或極值)的應(yīng)用證明不等式例9 設(shè),且,證明.分析 只須證.分析 由,得如果令,為的唯一駐點(diǎn),又為極小值,得為最小值.證明 連續(xù),由,得,所以,故.令,且.,且,所以為的駐點(diǎn).所以為的極小值點(diǎn),且,從而只有一個(gè)駐點(diǎn),故為的最小值.所以即.四. 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)1. 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定義 設(shè)在區(qū)間上連續(xù),有,(或)則稱在區(qū)間上的圖形是(上)凸(凹)的,或簡稱凸弧(或凹弧).我們可用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷曲線的凹凸性.定理 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則(1)如果有,則曲線在上是凹的;(2)