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1、直線和圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1 、直線的傾斜角 :( 1 )定義 :在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與x 軸相交的直線l ,如果把 x 軸繞著交點(diǎn)按 逆時(shí)針方向轉(zhuǎn) 到和直線 l 重合 時(shí)所轉(zhuǎn)的 最小正角 記為,那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線l 與 x 軸重合或平行時(shí),規(guī)定傾斜角為0 ;( 2)傾斜角的范圍0,。如( 1 )直線 x cos3y 2 0 的傾斜角的范圍是_(答:0 , 5,));66傾斜角的取值范圍是 0 180 .傾斜角不是 90 的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率,常用k 表示 .傾斜角是 90 的直線沒有斜率 .(2)過(guò)點(diǎn) P(3,1), Q(0, m) 的直線的傾斜角的范圍,
2、2, 那么 m 值的范圍是33_(答: m2或 m4 )2 、直線的斜率 :( 1 )定義:傾斜角不是 90 的直線,它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率 k ,即 k tan (90);傾斜角為90 的直線沒有斜率;(2 )斜率公式 :經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) P1 ( x1 , y1) 、 P2 ( x2 , y2 ) 的直線的斜率為 ky1y2 x1x2;( 3 )直線的方向向量x1x2a(1,k) ,直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系?( 4 )應(yīng)用 :證明三點(diǎn)共線:kAB kBC 。如 (1) 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的_ 條件(答:既不充分也不必要) ;( 2)實(shí)數(shù) x, y 滿足 3x 2
3、y5 0 (1 x3 ),則 y 的最大值、最小值分別為 _(答:x2 , 1)33 、 直 線 的方 程 :( 1 ) 點(diǎn) 斜式 : 已 知 直 線過(guò) 點(diǎn) ( x0 , y0 ) 斜 率 為 k , 則 直 線 方 程為yy0k ( x x0 ) ,它不包括垂直于 x 軸的直線。直線的斜率 k0 時(shí),直線方程為 yy1 ;當(dāng)直線的斜率k 不存在時(shí),不能用點(diǎn)斜式求它的方程,這時(shí)的直線方程為x x1 .(2 )斜截式 :已知直線在y 軸上的截距為 b 和斜率 k ,則直線方程為 y kxb ,它不包括垂直于x 軸的直線。 ( 3 )兩點(diǎn)式 :已知直線經(jīng)過(guò)P1 (x1, y1) 、 P2 ( x2
4、 , y2 ) 兩點(diǎn),則直線方程為yy1xx1 ,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。若要包含傾斜角為00 或 90 0 的直線,y2y1x2x1兩點(diǎn)式應(yīng)變?yōu)? y y1 )( x2 x1 )( x x1 )( y2y1 )的形式 ()截距式 :已知直線在 x 軸. 4和 y 軸上的截距為 a,b ,則直線方程為xy1,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)ab的直線。( 5)一般式 :任何直線均可寫成AxBy C0 (A,B 不同時(shí)為 0) 的形式。如( 1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)( 2 , 1 )且方向向量為v =( 1,3 )的直線的點(diǎn)斜式方程是_ (答:y13( x2(m 2) x(2 m 1) y(3m 4)
5、0,不管 m 怎樣變化恒2) );( )直線過(guò)點(diǎn) _(答: (1, 2) );(3 )若曲線 ya | x |與 y x a( a0) 有兩個(gè)公共點(diǎn),則a 的取值范圍是 _(答: a1 )提醒 : (1) 直線方程的各種形式都有局限性.(如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線,還有截距式呢?) ;(2) 直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為 0.直線兩截距相等直線的斜率為 -1 或直線過(guò)原點(diǎn);直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為 1或直線過(guò)原點(diǎn);直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn)。 如過(guò)點(diǎn) A(1,4),且縱橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有_條(答: 3)4.設(shè)直線方程的一些常用技巧:( 1
6、)知直線縱截距 b ,常設(shè)其方程為y kx b ;(2 )知直線橫截距x0 ,常設(shè)其方程為 x myx0 (它不適用于斜率為 0 的直線 );( 3 )知直線過(guò)點(diǎn) ( x0 , y0 ) ,當(dāng)斜率 k 存在時(shí),常設(shè)其方程為y k( x x0 ) y0 ,當(dāng)斜率 k 不存在時(shí),則其方程為 xx0 ;( 4 )與直線 l : Ax ByC0 平行的直線可表示為Ax By C10 ;( 5)與直線l : AxBy C 0 垂直的直線可表示為Bx Ay C10 .提醒 :求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式,利用待定系數(shù)法求解。5 、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離:( 1 )點(diǎn) P( x
7、0 , y0 ) 到直線 AxByC0的距離 dAx0 By0 C;A2B2( 2 )兩平行線 l1 : AxByC10, l2 : AxByC2C1C20 間的距離為 dA2B2。6 、直線 l1 : A1 xB1 yC10 與直線 l2 : A2 xB2 yC20 的位置關(guān)系 :(1)平行A1B2A2 B10(斜率)且 B1C2B2C10 (在 y 軸上截距);(2)相交A1B2A2 B10 ;(3)重合A1B2A2 B10且 B1C2B2C10 。提醒:(1) A1B1C1、 A1B1、A1B1C1僅是兩直線平行、相交、重A2B2C2A2B2A2B2C2合的充分不必要條件!為什么?( 2
8、 )在解析幾何中,研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí),有可能這兩條直線重合,而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線;(3)直線l1 : A1xB1 yC10與直線 l 2 : A2 xB2 yC20垂直A1 A2B1 B20 。如( 1)設(shè)直線l1: x my60和l2 : (m2) x3y2m0,當(dāng) m _時(shí);當(dāng) m l1 l 2_時(shí) l1l2 ;當(dāng) m _時(shí) l1 與 l2 相交;當(dāng) m _時(shí) l1 與 l2 重合(答:13且m1;3 );( 2)已知直線 l 的方程為 3x4 y120 ,則與 l 平行, 1; m2且過(guò)點(diǎn)( 1,3 )的直線方程是 _(答: 3x4y90 );( 3
9、)兩條直線 axy4 0與 xy 2 0 相交于第一象限,則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是_(答:1a 2);( 4 )設(shè)a,b,c 分別是 ABC中A 、B 、C 所對(duì)邊的邊長(zhǎng),則直線sin A x ay c 0 與bx sin B ysin C0 的位置關(guān)系是 _ (答:垂直) ;( 5 )已知點(diǎn) P1 ( x1, y1 ) 是直線l : f (x, y)0 上一點(diǎn), P2 (x2 , y2 ) 是直線 l 外一點(diǎn),則方程 f (x, y)f (x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) 0 所表示的直線與l 的關(guān)系是 _(答:平行);(6 )直線 l 過(guò)點(diǎn)(,),且被兩平行直線 3xy6 0 和
10、 3x y 3 0 所截得的線段長(zhǎng)為 9,則直線 l的方程是 _(答:4x 3 y40和 x1)7、特殊情況下的兩直線平行與垂直:當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率時(shí):(1) 當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí),兩直線的傾斜角都為90,互相平行; (2) 當(dāng)另一條直線的斜率為0時(shí),一條直線的傾斜角為90,另一條直線的傾斜角為0 ,兩直線互相垂直8、對(duì)稱 (中心對(duì)稱和軸對(duì)稱) 問題代入法 :如( 1 )已知點(diǎn)M (a, b) 與點(diǎn) N 關(guān)于 x 軸對(duì)稱,點(diǎn) P 與點(diǎn) N 關(guān)于 y 軸對(duì)稱,點(diǎn) Q 與點(diǎn) P 關(guān)于直線 x y0 對(duì)稱,則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 _(答: (b, a) );( 3)點(diǎn)(,)關(guān)于直線l
11、 的對(duì)稱點(diǎn)為 ( 2,7) ,則 l 的方程是 _(答: y=3x3 );(4)已知一束光線通過(guò)點(diǎn)(,),經(jīng)直線 l :3x 4y+4=0 反射。如果反射光線通過(guò)點(diǎn) (,15 ),則反射光線所在直線的方程是_(答: 18x y510 );( 5)已知ABC 頂點(diǎn) A(3 , ),邊上的中線所在直線的方程為 6x+10y 59=0 ,B 的平分線所在的方程為x 4y+10=0 ,求邊所在的直線方程(答: 2x9 y650 );(6 )直線 2xy4=0 上有一點(diǎn),它與兩定點(diǎn)(4, 1)、( 3,4 )的距離之差最大,則的坐標(biāo)是_(答:( 5,6 );( 7 )已知 Ax 軸,Bl : yx, C
12、( 2 , 1),ABC 周長(zhǎng)的最小值為 _(答:10 )。提醒:在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對(duì)稱求解。9. (1)直線過(guò)定點(diǎn)。如直線(3m+4 )x+(5-2m)y+7m-6=0,不論 m 取 何值恒過(guò)定點(diǎn)(-1 ,2)( 2)直線系方程(1 )與已知直線Ax+By+C=0平行的直線的設(shè)法:Ax+By+m=0 (mC)( 2 ) 與已知直線Ax+By+C=0垂直的直線的設(shè)法: Bx-Ay+m=0( 3)經(jīng)過(guò)直線l1 A1 x+ B1 y+ C1 =0 , l 2 A2 x+ B2 y+ C 2 =0 交點(diǎn)的直線設(shè)法:A1 x+ B1 y+ C1 +(A2 x+ B2 y+ C2
13、 ) =0 (為參數(shù),不包括 l2 )( 3)關(guān)于對(duì)稱 ( 1 )點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(中點(diǎn)坐標(biāo)公式)( 2 )線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,或代入法,兩條直線平行)( 3 )點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)的連線被線垂直平分,中點(diǎn)在對(duì)稱軸上、kk = -1 二個(gè)方程)( 4 )線關(guān)于線對(duì)稱(求交點(diǎn),轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱)10 、圓的方程 :圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:xa2y2r 2 。b圓的一般方程:x2y2DxEyF0(D 2 E24F0) ,特別提醒 :只有當(dāng)D 2E24F0 時(shí),方程 x2y2Dx EyF0 才表示圓心為 (D ,E ) ,半徑為122D 2E24F 的圓(二元二次方程Ax2BxyCy 2DxE
14、y F0表示圓的充要2且 D 2E2條件是什么?( AC0,且 B04 AF0 );圓的參數(shù)方程:xar cos(為參數(shù)),其中圓心為 (a,b) ,半徑為 r 。圓的ybr sin參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元:x2y2r 2xr cos, yr sin; x2y2txr cos, yr sin(0rt ) 。Ax1, y1, Bx2 , y2 為直徑端點(diǎn)的圓方程xx1xx2yy1yy20如( 1 )圓 C 與圓 ( x1)2y21 關(guān)于直線 yx 對(duì)稱,則圓 C 的方程為 _(答: x2( y1)21);( 2) 圓心在直線2x y 3 上,且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 _ (答: (
15、x3)2( y3) 29 或 (x1) 2( y 1)21 );( 3)已知P(1,3)是圓x r cos (為參數(shù), 02) 上的點(diǎn),則圓的普通方程為_,yr sinP 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為 _,過(guò) P 點(diǎn)的圓的切線方程是_(答:x222y 4 ;3x3y40 );( 4)如果直線 l將圓: x2+y2 -2x-4y=0平分,且不過(guò)第四象限, 那么 l 的斜率的取值范圍是_(答: 0, 2);( 5)方程 x2+y x+y+k=0表示一個(gè)圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( 答:k1)(;6)若 M( x, y) |x3cos(為參數(shù), 0) ,2y3sinN( x, y) | yxb ,若 MN,則 b 的
16、取值范圍是 _(答: 3,32):已知點(diǎn) Mx0 , y0及圓 C:x-a220 ,11 、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系y br 2 rCM rx0222;(2)點(diǎn) M 在圓 C 內(nèi)(1)點(diǎn) M在圓 C外ay0 brCM r2y02r 2 ;( 3)點(diǎn) M 在圓 C 上CM rx02x0 aba2r 2 。如 點(diǎn) P(5a+1,12a)在圓 (x ) y2=1 的內(nèi)部 ,則 a 的取值范圍是 _y0 b(答: | a |1)1312 、直線與圓的位置關(guān)系:直線 l : AxByC0 和圓 C:x2yb22arr0有相交、相離、相切??蓮拇鷶?shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷:( 1 )代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得
17、方程組的解的情況):0相交;0相離;0相切;( 2 )幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為d ,則dr相交; d r相離; dr相切。 提醒:判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷。 如( 1 )圓 2x 22 y 21與直線 x siny10(R,2k,0 與圓 x2y2kz) 的位置關(guān)系為 _(答:相離);( 2)若直線 axby34x10切 于 點(diǎn)P( 1,2)ab的值_(答:2);(3)直線x 2 y 0被 曲 線, 則x2y26x2 y 150 所截得的弦長(zhǎng)等于(答: 45 );(4 )一束光線從點(diǎn) A( 1,1) 出發(fā)經(jīng) x 軸反射到圓C:(x-2
18、) 2+(y-3) 2 =1上的最短路程是(答: 4 );( 5)已知M (a, b)( ab0) 是圓 O : x2y2r 2 內(nèi)一點(diǎn),現(xiàn)有以M 為中點(diǎn)的弦所在直線m 和直線l : ax byr 2 ,則 A m / l ,且 l 與圓相交B lm ,且 l 與圓相交C m / l ,且 l 與圓相離D lm ,且 l 與圓相離(答:C);( 6)已知圓 C: x2( y 1)25 ,直線 L: mxy 1 m0 。求證:對(duì)mR ,直線 L 與圓 C 總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);設(shè) L 與圓 C 交于 A、B 兩點(diǎn),若 AB17,求 L 的傾斜角;求直線L 中,截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線方程.
19、(答: 60或 120最長(zhǎng): y1,最短: x 1 )13、圓與圓的位置關(guān)系(用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷):已知兩圓的圓心分別為 O1, O 2 ,半徑分別為r1 , r2 ,則( 1 )當(dāng) |O1 O2r1r 2 時(shí),兩圓外離; ( 2 )當(dāng)|O1 O2r1r 2 時(shí),兩圓外切;( 3 )當(dāng) r1r2|O 1 O2r1r 2時(shí),兩圓相交;(4)當(dāng)|O1 O2r1r 2 |時(shí),兩圓內(nèi)切; ( 5 )當(dāng) 0|O1 O2 r1r 2|時(shí),兩圓內(nèi)含。如 雙曲線x2y21的左焦點(diǎn)為 F 1,頂點(diǎn)為 A 1、 A 2, P 是雙曲線右支上任意一點(diǎn),則分別以線段a2b2PF 1 、A1 A2 為直
20、徑的兩圓位置關(guān)系為(答:內(nèi)切)14 、圓的切線與弦長(zhǎng):(1) 切線: 過(guò)圓 x2y2R2 上一點(diǎn) P( x0 , y0 ) 圓的切線方程 是: xx0yy0R2 ,過(guò)圓( xa)2( yb) 2R2上一點(diǎn)P( x0 , y0 )圓的切線方程是:( x a )( x0 a) ( y a)( y0 a ) R2 ,一般地,如何求圓的切線方程?(抓住圓心到直線的距離等于半徑) ;從 圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條 ,可先設(shè)切線方程,再根據(jù)相切的條件,運(yùn)用幾何方法(抓住圓心到直線的距離等于半徑)來(lái)求;過(guò)兩切點(diǎn)的直線(即“切點(diǎn)弦)”方程的求法: 先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓,該圓與已知圓的公共
21、 弦 就 是 過(guò) 兩 切 點(diǎn) 的 直 線 方 程 ; 切 線 長(zhǎng) : 過(guò) 圓 x2y2DxEyF0(( xa) 2( yb) 2R2)外一點(diǎn)P(x0 , y0 )所引圓的切線的長(zhǎng)為x0 2y0 2Dx0Ey0F (( x0a) 2( y0b) 2R2 );如設(shè) A 為圓 (x 1)2y21上動(dòng)點(diǎn),PA 是圓的切線, 且 |PA|=1 ,則 P 點(diǎn)的軌跡方程為_(答:(x1)2y22 );( 2 )弦長(zhǎng)問題 :圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算: (垂徑定理)常用弦心距d ,半弦長(zhǎng) 1 a 及圓的2半 徑 r 所 構(gòu) 成 的 直 角 三 角 形 來(lái) 解 : r 2d 2( 1 a)2 ; 過(guò) 兩 圓 C1 : f
22、( x, y)0、2C2 : g ( x, y)0 交 點(diǎn) 的 圓 ( 公 共 弦 ) 系 為 f ( x, y)g ( x, y),0 當(dāng)1 時(shí) , 方 程f ( x, y)g (x, y)0 為兩圓公共弦所在直線方程.。15. 解決直線與圓的關(guān)系問題時(shí),要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形,切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等)!16. 圓的切線和圓系方程1過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程:圓x 2y 2r 2,圓上一點(diǎn)為 ( x0 , y0 ),則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為 x0 x+y0 y=r 2(課本命題 )圓 x2y 2r 2 ,圓外一點(diǎn)為 (x0 , y0 ),則
23、過(guò)此點(diǎn)的兩條切線與圓相切,切點(diǎn)弦方程為 x0 xy0 yr 2 。2圓系方程:設(shè)圓C1 2y2D1 xE1 yF10和x圓 C2 x 2y 2D 2 x E2 y F20若兩圓相交,則過(guò)交點(diǎn)的圓系方程為x 2y2D1 xE1 y F1 + (x2y 2D 2 xE2 y F2 ) =0( 為參數(shù),圓系中不包括圓 C2 ,=-1 為兩圓的公共弦所在直線方程)x2y2DxEyF0 與直線 l:Ax+By+C=0,若直線與圓相交,則過(guò)交設(shè)圓 C點(diǎn)的圓系方程為x 2y2DxEyF +(Ax+By+C)=0(為參數(shù)) 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(2 , m)和 Q(2 m, 5) 的直線的斜率等于1例題,則 m 的
24、值是 ( B )2A 4B 3C1或 3D1或4變: 求經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2, sin), B(cos,1)的直線 l 的斜率 k 的取值范圍2.已知直線 l 過(guò) P( 1, 2) ,且與以A( 2, 3) 、 B(3 , 0) 為端點(diǎn)的線段相交,求直線l的斜率的取值范圍1點(diǎn)評(píng):要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn),研究斜率與傾斜角之間的關(guān)系!答案:,5,)23.已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(1,1), B(1 ,1),C(2, 31) ,若 D 為 ABC 的邊 AB 上一動(dòng)CD 斜率 k 的變化范圍1答案: , 5,)21. 求 a 為何值時(shí),直線l1:(a 2) x (1 a)y 1 0 與直線 l2:(a 1) x (2
25、 a 3) y 2 0互相垂直?答案: a=-12. 求過(guò)點(diǎn)P(1 , 1) ,且與直線2 :2x 3y1 0 垂直的直線方程答案:3x 2y5 l0.例 2.求過(guò)定點(diǎn) P(2 , 3) 且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程例 3.已知ABC 的頂點(diǎn) A(1 , 1) ,線段 BC 的中點(diǎn)為 D(3, 3 )2(1)求 BC 邊上的中線所在直線的方程;(2)若邊 BC 所在直線在兩坐標(biāo)軸上的截距和是9 ,求 BC 所在直線的方程例 4.方程 (m 2 2m 3) x (2 m 2 m 1) y2 m 6滿足下列條件,請(qǐng)根據(jù)條件分別確定實(shí)數(shù) m 的值 (1) 方程能夠表示一條直線; (答案: m1
26、 )(2)方程表示一條斜率為 1 的直線(答案: m2)例5.直線 l 的方程為 (a 2) y (3 a 1) x 1( aR) 1 3(1) 求證:直線 l 必過(guò)定點(diǎn);(答案: ( , ) )5 5(2) 若直線 l 在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求l 的方程;(答案: 5x5 y 4 0 )(3) 若直線 l 不過(guò)第二象限,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍(答案:分斜率存在與不存在)例 1:求點(diǎn) A(-2,3) 到直線l:3x+4y+3=0的距離d=。例 2:已知點(diǎn)( a,2 )到直線l: x-y+1=0 的距離為 2,則 a=。 (a 0)例 3:求直線 y=2x+3 關(guān)于直線 l: y=x+1 對(duì)稱的直線方程。類型一:圓的方程例 1 求過(guò)兩點(diǎn) A(1 ,4) 、B(3 , 2) 且圓心在直線 y0 上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn) P(2 , 4)與圓的關(guān)系變式 1 :求過(guò)兩點(diǎn) A(1 , 4)、 B(3,2)且被直線 y0 平分的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .變式 2 :求過(guò)兩點(diǎn) A(1 , 4)、 B(3,2)且圓上所有的點(diǎn)均關(guān)于直線y 0 對(duì)稱的圓的
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