用矩陣解一次方程組

1、人教版第八章閱讀與思考的延伸與拓展用矩陣解一次方程組年級：七年級下版本：人教版單位：五大連池市第一中學(xué)校執(zhí)教：李淑波一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1 .內(nèi)容：第八章閱讀與思考的延伸與拓展第二課時(shí)2 .內(nèi)容分析義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）一次方程組的古今表示 及解法選學(xué)為書中的閱讀與思考。一般來說這樣的內(nèi)容老師和學(xué)生是 忽略的。在教學(xué)時(shí)我讓學(xué)生自學(xué)了這部分內(nèi)容， 在閱讀時(shí)有學(xué)生提出 質(zhì)疑，方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)可以寫成一個(gè)矩陣， 可寫出這個(gè)矩陣有 什么用？該不該把用矩陣解一次方程組的知識教給孩子。面對這個(gè)質(zhì)疑我思考了良久，畢竟矩陣的初等變換是高等數(shù)學(xué)范疇里的內(nèi)容，在初一這個(gè)階段讓學(xué)生接受這樣的一個(gè)知識

2、點(diǎn)會不會難度太大。但我知道矩陣的三種初等變換是和方程組的同解原理是一樣的，在這個(gè)學(xué)段給學(xué)生介紹矩陣解一次方程組既可以滿足學(xué)生對知識的渴求，也讓學(xué)生今后學(xué)習(xí)任何知識都是建立在基礎(chǔ)知識之上的，它是有根的，也培養(yǎng)學(xué)生對知識有一種溯本求源的精神，也想培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)自己的 精神，于是我決定把用矩陣解一次方程組的方法教給孩子。 二、目標(biāo)和重點(diǎn)、難點(diǎn)1.教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：（1）會用矩陣解簡單的一次方程組。（2）理解矩陣在進(jìn)行初等變換時(shí)的原理。過程與方法：因?yàn)檫@節(jié)課的內(nèi)容有一部分隸屬于高等數(shù)學(xué)的范疇， 所 以更多是讓學(xué)生觀察探究的過程，體會矩陣解一次方程組的優(yōu)勢。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的觀察與嘗試，讓學(xué)

3、生體會數(shù)學(xué)思想， 感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生對知識有一種 溯本求源的精神，培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)自己的精神。2 .重點(diǎn)會用矩陣解二元一次方程組和三元一次方程組。3 .難點(diǎn)用矩陣求一次方程組解時(shí)進(jìn)行的初等變換.三、課時(shí)安排：一課時(shí).四、教具學(xué)具準(zhǔn)備：交互式電子白板.五、學(xué)情分析：七年級的學(xué)生對于數(shù)學(xué)的建模思想和轉(zhuǎn)化思想還是正在建立的過程中，只有在原有的模型基礎(chǔ)上逐漸剝繭抽絲幫學(xué)生建立 新的模型。矩陣的初等變換隸屬于高等數(shù)學(xué)范疇里，是高等數(shù)學(xué)的常 見工具，在初一這個(gè)階段讓學(xué)生接受這樣的一個(gè)知識點(diǎn)有難度?？删仃嚨娜N初等變換是和方程組的同解原理是一樣的， 在這個(gè)學(xué)段給學(xué) 生介紹矩陣解

4、一次方程組既可以滿足學(xué)生對知識的渴求，也讓學(xué)生任 何高一級的知識都是建立在基礎(chǔ)知識之上的， 它是有根的，也想培養(yǎng) 學(xué)生以后對知識有一種溯本求源的精神，也想培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)自己 的精神，體會數(shù)學(xué)無窮魅力！六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）立足教材，引出課題F列內(nèi)容出自教材107頁一一108頁一次方程組的古今表示及解法:3 x2 yz = 392x3 yz = 34x 2 y 3 z = 26z32139'23134,12326<J設(shè)計(jì)意圖：因?yàn)槲覀円由斓闹R是由書中107頁-108頁一次方程組的古今表示及解法這部分閱讀內(nèi)容基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以先把書中兩個(gè)比較重要的內(nèi)容呈現(xiàn)出來，引出今天的課題。

5、（交互式電子白板進(jìn)行展示。）（二）合學(xué)情，展示目標(biāo)1 .會用矩陣解簡單的一次方程組。2 .理解矩陣在進(jìn)行初等變換時(shí)的原理。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容做到心中有數(shù)。（交互式電子白板進(jìn)行展示。）（三）復(fù)習(xí)提問，溫故知新1 .復(fù)習(xí)提問：我們學(xué)過的一次方程組有哪些？我們學(xué)過的解一次方程組的方法有哪些？| 5 x - 4 y 4 z = 132 x 7y -3z = 19I 3x 2y-z = 182 .作業(yè)反饋：解下列一次方程組:'5 y + z = 24 <. 4 y + 8 z = 39設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對本節(jié)課相關(guān)知識進(jìn)行回顧，為下一環(huán)節(jié)做好鋪墊（四）合作交流，探索新知1.用加減

6、法消元法展示方程組的解題過程。5 y + z = 244 y 8 z = 39解 + 得：9 y + 9 z = 63化簡得：y + z = 74日一彳寸:4 y = 17把y =%代入得：z= 14-y YL、，4所以方程組的解為：z = 11 ,4設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生最近發(fā)展區(qū)去生成新知識。（此環(huán)節(jié)用交互式電子版展示）2 .歸納方程的同解原理交換方程組中任意一個(gè)方程的位置、方程組的解不變。方程組中任意一個(gè)方程的兩邊都乘以或除以同一個(gè)非零數(shù)，方程組的解不變。方程組中任意一個(gè)方程的兩邊都加上或減去方程組中的另一個(gè)方程，方程的的解不變。5-441327- 319J 32- 1183 .把方程組轉(zhuǎn)化為

7、對應(yīng)的矩陣5yz = 24 V4 y 8 z = 395x - 4y 4z=13|，2x + 7y -3z =193x + 2y-z=18 Ify = 2x-7|2-105x 3y 2z = 25323x-4z = 4K 30- 4矩陣：像這樣把一次方程組未知數(shù)前面的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按方程中的未知數(shù)的次序排成的表叫做矩陣。設(shè)計(jì)意圖：通過對學(xué)生進(jìn)行一次方程組寫出對應(yīng)矩陣的訓(xùn)練為學(xué)生歸 納總結(jié)矩陣的定義奠定基礎(chǔ)。在歸納定義時(shí)為了讓學(xué)生能理解起來容 易一些，我采用了和書中相一致的詞語。4.例題講解3 9 8 1114 3 1 - -3 9 8 1114 3 1-47 25 2 31 0 0 5x = a

8、0100 1 旌 y = b 00 1-3_! z = c，100 a ；x = 50 10 biy=0<001 c；z= -3設(shè)計(jì)意圖：通過師生的共同探索、研究，不僅讓學(xué)生能開闊學(xué)生的思 維，培養(yǎng)學(xué)生的興趣，而且可以讓學(xué)生知道通過矩陣解一次方程組的 基本思想。這里進(jìn)行初等變換時(shí)選了 一個(gè)三元一次方程組進(jìn)行，就是想選擇一個(gè)中等難度的方程組進(jìn)行變換，為下一環(huán)節(jié)二元一次方程組 的獨(dú)立求解起到一個(gè)拋磚引玉的作用，同時(shí)讓學(xué)生在完成當(dāng)堂訓(xùn)練不 會覺得太困難。（由于變換時(shí)臨時(shí)性的情況會比較多， 為了呈現(xiàn)變換的整個(gè)過程，這 一環(huán)節(jié)用黑板進(jìn)行展示。）（五）嘗試反饋，鞏固知識1 .小試牛刀用矩陣解方程組;

9、5y+z=244y+8z=39設(shè)計(jì)意圖：有了前例的基礎(chǔ)，選擇一道相對簡單的一次方程讓學(xué)生進(jìn)行初等變換，一是讓學(xué)生初步嘗試一下變換的過程， 二是讓培養(yǎng)他們獨(dú)立分析問題、解決問題的能力。2 .當(dāng)堂訓(xùn)練x -y +z =0用矩陣解方程組"x-y-z=2x + y +z =14師生活動：學(xué)生可以獨(dú)立進(jìn)行，也可以通過同學(xué)間合作進(jìn)行。學(xué)生做 題過程中教師可以適當(dāng)點(diǎn)撥指導(dǎo)，后期的變換過程由師生共同完成。設(shè)計(jì)意圖：這道題的難度和例題比較相近， 就是通過這道題的訓(xùn)練讓 學(xué)生進(jìn)一步體會矩陣在進(jìn)行初等變換的一些技巧。（六）延伸拓展，培養(yǎng)能力27a+9b+3c+d =0用矩陣解下列方程組27a+6b+c=0

10、a + b +c + d =83a+2b + c = -4學(xué)生活動：如果時(shí)間允許學(xué)生合作完成，如果時(shí)間緊張就把這個(gè)問題 留作學(xué)生課后研究性作業(yè)。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會用矩陣解一次方程組，當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)越多， 矩陣的作用就會更加明顯，優(yōu)勢就更大，大大提高了解題速度，也讓學(xué)生體會到解法技巧的重要性，體會數(shù)學(xué)無窮魅力 ?。ㄆ撸w納總結(jié)你收獲了什么？1 .用矩陣解一次方程組的時(shí)候一定要注意書寫矩陣時(shí)未知數(shù)的次序。2 .矩陣在進(jìn)行初等變換時(shí)一定要細(xì)心。設(shè)計(jì)意圖：這樣總結(jié)，既突出了本課重點(diǎn)，又突出了本節(jié)內(nèi)容中例題、 習(xí)題的特點(diǎn)。使學(xué)生在以后解題時(shí)有很強(qiáng)的針對性.（八）布置作業(yè)必做題：用矩陣解教材107頁的三

11、元一次方程組選做題：用矩陣解教材106頁4題研究型作業(yè)：試情況而定設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)（一）是為了鞏固本節(jié)所學(xué)知識；作業(yè)（二）有稍有 難度，學(xué)生寫矩陣時(shí)需要把方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式；作業(yè)（三）如果課堂 時(shí)間緊張延伸拓展的四元一次方程組做為學(xué)生一個(gè)研究性作業(yè)。（九）板書設(shè)計(jì)5-4413矩陣|27-3191的初等變換過程32-118教學(xué)反思：佐藤學(xué)曾經(jīng)用三種比喻來形容教育研究的視角，他認(rèn)為:教育研究如同是用眼睛在觀察世界，不同的眼睛就代表不同的研究視角，最基本的三種視角是“飛鳥之眼”“蜻蜓之眼”“螞蟻之眼”。也有人說教學(xué)設(shè)計(jì)也需要三只慧眼。一、對于教學(xué)內(nèi)容的總體設(shè)計(jì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）七年級

12、下第八章 107-108頁閱讀與思考內(nèi)容，是了解的內(nèi)容。對學(xué)生要求并 不高。這篇短文展示了古代如何用算籌圖表示和解多元一次 方程組，然后對照現(xiàn)在學(xué)習(xí)的一次方程組的表示解法，聯(lián)系 高等代數(shù)中有關(guān)矩陣的內(nèi)容，指由一次方程組的古今表示法 與解法是一脈相承的。在對這個(gè)小閱讀在學(xué)習(xí)的時(shí)候有學(xué)生 就問我：“老師一次方程組未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是能用矩 陣表示，書中說用矩陣可以解一次方程組，怎么解??？”面 對學(xué)生的渴求，我覺得有必要把這部分知識進(jìn)行一下延伸， 因?yàn)檠由斓膬?nèi)容書中沒有，所以讓學(xué)生自學(xué)不太可能，所以 在教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候注重在原有基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生生成新知識。這樣就在復(fù)習(xí)三元一次方程組的解法時(shí)重點(diǎn)要把方程

13、組的 同解原理講解清楚，這樣在進(jìn)行矩陣的初中變化時(shí)學(xué)生理解 起來容易一些。在例題的選取上選了一個(gè)三元一次方程組， 目的就是想為學(xué)生下一環(huán)節(jié)學(xué)生獨(dú)立完成二元一次方程組 做準(zhǔn)備，為學(xué)生當(dāng)堂訓(xùn)練中解三元一次方程組能順利進(jìn)行做 好鋪墊。這就應(yīng)該是佐藤學(xué)所說的“飛鳥之眼”。二、教學(xué)設(shè)計(jì)的立意上遵循中觀中觀設(shè)計(jì)就是選擇哪些內(nèi)容表現(xiàn)這節(jié)課的主題-也就是核心問題。在設(shè)計(jì)突生上矩陣的初等變換和方程組的同 解原理的一致性。矩陣的初等變換的本質(zhì)就是方程組的同解 原理，為了更好的讓學(xué)生理解初等變換我設(shè)計(jì)了一個(gè)二元一次方程組解法回顧，便于歸納同解原理，為順利進(jìn)行矩陣的 初等變換做準(zhǔn)備。例題的解答我采用師生共同研究的方式

14、進(jìn) 行，目的是讓學(xué)生對規(guī)范的解題過程進(jìn)行搭建“腳手架”。練習(xí)選了一個(gè)二元一次方程組和一個(gè)三元的方程組目的是 為鞏固所學(xué)內(nèi)容。練習(xí)結(jié)束設(shè)計(jì)一道用矩陣解四元一次方程 組，因?yàn)樽儞Q需要時(shí)間，另外學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)變換，可能還不 熟練，這樣課堂時(shí)間會很緊張，如果時(shí)間不允許這道拓展題 留到課后讓學(xué)生研究，也讓學(xué)生清楚當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)越多，矩陣的作用就會更加明顯，優(yōu)勢就更大，大大提高了解題速度，也讓學(xué) 生體會到解法技巧的重要性，體會數(shù)學(xué)無窮魅力 ！這就應(yīng)該是佐藤 學(xué)所說的“蜻蜓之眼”。三、立足學(xué)生，做好設(shè)計(jì)前的預(yù)設(shè)數(shù)學(xué)教材是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資 源。教材的素材選擇會考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平和活動經(jīng)驗(yàn)， 對于教材中所提供是操作活動，哪些需要操作，如何操作， 就應(yīng)該有更合理的設(shè)計(jì)， 而不是亦步亦趨地照搬， 照套教材。 設(shè)計(jì)問題時(shí)，需要對學(xué)生思考可能存在的困難、可能回答問 題的角度，教師如何根據(jù)可能情況進(jìn)行引導(dǎo)等作由預(yù)設(shè)，如 此將有助于我們審視所提問題是否適切，是否接近于學(xué)生的 最近發(fā)展區(qū)等。同時(shí)還需要對各環(huán)節(jié)可能的教學(xué)用時(shí)進(jìn)行預(yù) 設(shè)，如此會有助于完美判斷教學(xué)設(shè)計(jì)及時(shí)間分配是否合理， 從而減少預(yù)定教學(xué)計(jì)劃不能完成的可能性。這就應(yīng)該是佐藤學(xué)所說的“螞蟻之眼”當(dāng)然在授課的過程中還存在很多不足，一是對學(xué)生的期 許過高，學(xué)生基本的初等變換他能掌握，但要熟練不是一節(jié) 課能完成的，不能快速完成嘗試反饋的