基本不等式(第1課時(shí))

1、第1課時(shí)基本不等式1理解并掌握基本不等式及其推導(dǎo)過程，明確基本不等式成立的條件2能利用基本不等式求代數(shù)式的最值1重要不等式當(dāng)a，b是任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a2b2_，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號成立(1)公式中a，b的取值是任意的，a和b代表的是實(shí)數(shù)，它們既可以是具體的數(shù)字，也可以是比較復(fù)雜的代數(shù)式，因此其應(yīng)用范圍比較廣泛今后有不少不等式的證明就是根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之可以利用該公式來證明(2)公式中a2b22ab常變形為ab或a2b22ab4ab或2(a2b2)(ab)2等形式，要注意靈活掌握【做一做1】 x2y24，則xy的最大值是()A. B1 C2 D42基本不等式(1)有關(guān)概念：當(dāng)a，b均為正數(shù)時(shí)，把

2、_叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把_叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)(2)不等式：當(dāng)a，b是任意正實(shí)數(shù)時(shí)，a，b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，即_，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號成立(3)幾何意義：半弦不大于半徑如圖所示，AC=a，CB=b，則OD=_，DC= =DE，則DCOD.(4)變形：，a+b (其中a0，b0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立)從數(shù)列的角度看，a，b的算術(shù)平均數(shù)是a，b的等差中項(xiàng)，幾何平均數(shù)是a，b的正的等比中項(xiàng)，則基本不等式可表示為：a與b的正的等比中項(xiàng)不大于它們的等差中項(xiàng)【做一做2】 已知ab16，a0，b0，則ab的最小值為_答案：12abab【做一做1】 C2(1)(2)ab(3)

3、【做一做2】 81應(yīng)用基本不等式求最值的條件剖析：應(yīng)用基本不等式求最值的條件是一正二定三相等，具體如下：一正：a，b都是正實(shí)數(shù)，即所求最值的代數(shù)式中的各項(xiàng)必須都是正數(shù)，否則就會(huì)得出錯(cuò)誤的答案例如，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)x22，所以函數(shù)f(x)的最小值是2.由于f(2)22，那么顯然這是一個(gè)錯(cuò)誤的答案其原因是當(dāng)x0時(shí)，不能直接用基本不等式求f(x)x的最值因此，利用基本不等式求最值時(shí)，首先確定所求最值的代數(shù)式中的各項(xiàng)是否都是正數(shù)其實(shí)，當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)x22，此時(shí)有f(x)2.由此看，所求最值的代數(shù)式中的各項(xiàng)不都是正數(shù)時(shí)，要利用變形，先轉(zhuǎn)化為各項(xiàng)都是正數(shù)的代數(shù)式，再求最值二定：ab與ab

4、有一個(gè)是定值即當(dāng)ab是定值時(shí)，可以求ab的最值；當(dāng)ab是定值時(shí)，可以求ab的最值如果ab和ab都不是定值，那么就會(huì)得出錯(cuò)誤的答案，陷入困境例如，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)x2，所以函數(shù)f(x)的最小值是2.由于2是一個(gè)與x有關(guān)的代數(shù)式，顯然這是一個(gè)錯(cuò)誤的答案其原因是沒有掌握基本不等式求最值的條件，ab與ab有一個(gè)是定值其實(shí)，當(dāng)x1時(shí)，有x10，則函數(shù)f(x)x1213.由此看，當(dāng)ab與ab沒有一個(gè)是定值時(shí)，通常要把所求最值的代數(shù)式采用配湊的方法化為和或積為定值的形式三相等：等號能夠成立，即存在正數(shù)a，b使基本不等式兩邊相等也就是存在正數(shù)a，b，使得.如果忽視這一點(diǎn)，就會(huì)得出錯(cuò)誤的答案例如，當(dāng)x2時(shí)

5、，函數(shù)f(x)x22，所以函數(shù)f(x)的最小值是2.很明顯x中的各項(xiàng)都是正數(shù)，積也是定值，但是等號成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)x即x1，而函數(shù)的定義域是x2，所以這是一個(gè)錯(cuò)誤的答案其原因是基本不等式中的等號不成立其實(shí)，根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)，遇到這種情況時(shí)，一般就不再用基本不等式求最值了，此時(shí)該函數(shù)的單調(diào)性是確定的，可以利用函數(shù)的單調(diào)性求得最值利用函數(shù)單調(diào)性的定義可以證明，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)x是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的最小值是f(2)2.2與基本不等式有關(guān)的常用結(jié)論剖析：(1)已知x，yR，若x2y2S(平方和為定值)，則xy，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值；若xyP(積為定值)，則x2y22P，當(dāng)且僅

6、當(dāng)xy時(shí)，平方和x2y2取得最小值2P.(2)已知x0，y0，若xyS(和為定值)，則xy，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值；若xyP(積為定值)，則xy2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值2.題型一 比較大小【例題1】 當(dāng)a，b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式中最小的是()A. B. C. D.反思：在比較n個(gè)數(shù)的大小時(shí)，若從中確定一個(gè)最小(大)者，則可以把n個(gè)數(shù)分組，在每一組中確定一個(gè)最小(大)者，再將這些最小(大)者進(jìn)行比較由此題的討論可以看到(a，b大于0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立)題型二 利用基本不等式求最值【例題2】 已知a3，求a的最小值分析：直接使用基本不等式無法約掉字母a，而

7、a(a3)3.這樣變形后，再用基本不等式可得證反思：如果要求最值的代數(shù)式不符合基本不等式的形式，可先通過適當(dāng)變形，將其配湊成可使用基本不等式的形式，再利用基本不等式求最值如本題中，將a湊成(a3)3后就可以用基本不等式求最值【例題3】 已知x，y均為正數(shù)，且1，求xy的最小值分析：由于已知條件右邊是一定值1，且左邊各項(xiàng)均為正數(shù)，所以可以用整體換元、代入消元、“1”的代換等方法求解反思：本題易錯(cuò)解為：由1，得2，xy36.xy212.這顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)閮蓚€(gè)不等式中，不能同時(shí)取得“等號”，即不存在滿足題設(shè)條件的x，y，使(xy)min12.題型三 易錯(cuò)辨析【例題4】 求函數(shù)yx的值域錯(cuò)解：x22

8、，函數(shù)值域?yàn)?，)錯(cuò)因分析：上述解題過程中應(yīng)用了基本不等式，卻忽略了應(yīng)用基本不等式的條件兩個(gè)數(shù)應(yīng)大于零，因而導(dǎo)致錯(cuò)誤因?yàn)楹瘮?shù)yx的定義域?yàn)?，0)(0，)，所以需對x的符號加以討論答案：【例題1】 Da0，b0，ab，a2b22ab，選項(xiàng)A，B，C中，最小又ab20，1，由于0，兩邊同乘以，得·，最小【例題2】 解：a3，a30.由基本不等式，得aa332·32×37.當(dāng)且僅當(dāng)a3，即a5時(shí)取等號a的最小值是7.【例題3】 解：x，y均為正數(shù)，且1，顯然x1，y.xyx(x1)102×31016.當(dāng)且僅當(dāng)x4時(shí)取等號，即(xy)min16.【例題4】 正解：函數(shù)定義域是(，0)(0，)當(dāng)x0時(shí)，由基本不等式，得yx2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號成立；當(dāng)x0時(shí)，yx.x0，(x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號成立，yx2.綜上可知，函數(shù)yx的值域?yàn)?，22，)1 (2011·山東濟(jì)南一模)若x0，則的最小值為()A2 B3 C D42已知2ab1，a0，b0，則的最小值是()A BC D3(2011·