[工學(xué)]§1復(fù)變函數(shù)的積分§2柯西定理及其推廣

1、.第二章 復(fù)變函數(shù)的積分§1. 復(fù)變函數(shù)的積分設(shè)為復(fù)平面上以為起點(diǎn)，而以為終點(diǎn)的光滑曲線（有連續(xù)導(dǎo)數(shù)），在上取一系列分點(diǎn)把分為段，在每一小段上任取一點(diǎn)作和數(shù),當(dāng)，且每一小段的長(zhǎng)度趨于零時(shí)，若存在，則稱沿可積，稱為沿的路徑積分。為積分路徑，記為【若為圍線（閉的曲線），則記為】。（在上取值，即在上變化）。積分的計(jì)算，于是 ，所以復(fù)變函數(shù)的積分可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)的線積分，它們分別是復(fù)變函數(shù)積分的實(shí)部和虛部。復(fù)變函數(shù)積分的參數(shù)表示：設(shè)曲線的參數(shù)方程為，或表為，記 ，于是，則 。很重要的常用例子，試證，為以為圓心，為半徑的圓周。證：的參數(shù)方程為 ，在上，。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)為的整數(shù)時(shí)， 。復(fù)變函數(shù)

2、積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)（以下性質(zhì)i、ii、iii、iv均可從積分的定義式直接得出）：i.，、分別為之終、起點(diǎn)。，為的長(zhǎng)度，為的長(zhǎng)度。.，、為復(fù)常數(shù)。（可推廣）., 其中、連接成。（可推廣）., 表示與方向相反的同一條曲線。不等式（估值公式）：a) 證：。（此處用了的推廣，,多邊形一邊之長(zhǎng)其他邊長(zhǎng)之和）b) 若為沿曲線的最大值，為的長(zhǎng)度，則 。證：，兩邊取極限，即?；?。§2 . 柯西定理及其推廣柯西定理：若在單連通區(qū)域上解析，是內(nèi)的任一圍線，則 。其實(shí)只要在所圍單連通區(qū)域內(nèi)解析，則 。注： 單連通：區(qū)域內(nèi)任一閉曲線可連續(xù)收縮為一點(diǎn)，簡(jiǎn)而言之區(qū)域內(nèi)沒(méi)洞。復(fù)連通：區(qū)域內(nèi)至少有一閉曲線不能連續(xù)收縮

3、為一點(diǎn)，簡(jiǎn)而言之區(qū)域內(nèi)有洞。證：由于在上解析， 意味著在上各點(diǎn)均存在。為了證明簡(jiǎn)單，我們進(jìn)一步要求在上連續(xù),、在上連續(xù)。，。由于在上連續(xù)，所以、有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足CR條件， ,而由實(shí)的線積分的格林定理， 為所圍單連通區(qū)域（CR條件）， 為所圍單連通區(qū)域（CR條件）。注意：柯西定理中只要求在上解析，對(duì)在外是否解析沒(méi)有要求，證明中未用在外的性質(zhì)。因此只要在所圍區(qū)域內(nèi)解析。推論：若在上解析，、是內(nèi)有相同端點(diǎn)的任意兩條曲線，則。 即在解析的單連通區(qū)域內(nèi)，沿任一曲線的積分，只依賴于的起點(diǎn)和終點(diǎn)，而與的具體形狀無(wú)關(guān)。證：因?yàn)椤?的端點(diǎn)相同，所以與組成一圍線。由柯西定理：。柯西定理的復(fù)線推廣當(dāng)在內(nèi)處處解析

4、，且圍線全部在內(nèi)時(shí)，則。但當(dāng)所圍區(qū)域內(nèi)有的奇點(diǎn)時(shí)，情形又如何呢？前面所講的柯西定理是對(duì)單連通區(qū)域中的解析函數(shù)而言的，若在所圍區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)，可做一圍線將此奇點(diǎn)圍住，若將所圍的區(qū)域挖去，則區(qū)域變成復(fù)連通區(qū)域（如圖）。 對(duì)于復(fù)連通區(qū)域，作輔助線、，使分成兩個(gè)單連通區(qū)域和。的邊界為，的邊界為，選取如此的方向?yàn)槁窂降恼较?，即?dāng)沿著路徑行進(jìn)時(shí)，區(qū)域保持在左邊，所以的邊界為。 ，由于在，從而在、，上解析，由柯西定理知，所以。而，。從而。容易將上述情形推廣至內(nèi)部有個(gè)洞的復(fù)連通區(qū)域，于是。上述積分均沿著逆時(shí)針?lè)较?，所以在?fù)連通情形下，在復(fù)連通區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)，其沿外邊界線逆時(shí)針?lè)较虻姆e分等于其沿所有內(nèi)邊界線逆時(shí)針?lè)较虻姆e分之和。例： 計(jì)算 ，為不通過(guò)點(diǎn)的圍線。解：是的一個(gè)奇點(diǎn)，若沒(méi)有包圍點(diǎn)，則在所