平面與平面垂直的性質(zhì)定理最新版本

1、2.3.4 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)平面與平面垂直的性質(zhì)復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧：（）利用定義（）利用定義 作出二面角的平面角，證明平面角是直角作出二面角的平面角，證明平面角是直角（）利用判定定理線面垂直面面垂直（）利用判定定理線面垂直面面垂直ll lAB線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直線線垂直線線垂直面面垂直的判定面面垂直的判定A1D1B1C1CBADEF思考思考2 2 如圖，長(zhǎng)方體中，如圖，長(zhǎng)方體中，,(1)(1)里的直線都和里的直線都和垂直嗎？垂直嗎？(2)(2)什么情況下什么情況下里的直線和里的直線和垂直？垂直？與與ADAD垂直垂直不一定不一定思考思考3 3 垂足為垂足為B B，那么

2、直線，那么直線ABAB與平面與平面的位置關(guān)系如何？的位置關(guān)系如何？ 為什么？為什么？,CD ，,ABA AB BD DC CE E,ABCD垂直垂直 , ABBE. , ABBE.又由題意知又由題意知ABCD,ABCD,且且BE CD=BBE CD=B垂足為垂足為B.B.ABAB.則則ABEABE就是二面角就是二面角 的平面角的平面角. .CD證明證明: :在平面在平面 內(nèi)作內(nèi)作BECD,BECD,A AB BD DC CE E平面與平面垂直的性質(zhì)定理平面與平面垂直的性質(zhì)定理符號(hào)表示符號(hào)表示: :CDABABABCDABCDBD DC CA AB B 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線

3、與另一兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直個(gè)平面垂直（線線是一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的一條直線）是一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的一條直線）面面垂直面面垂直線面垂直線面垂直作用：作用： 它能判定線面垂直它能判定線面垂直. . 它能在一個(gè)平面內(nèi)作與這個(gè)平面垂它能在一個(gè)平面內(nèi)作與這個(gè)平面垂 直的垂線直的垂線. .關(guān)鍵點(diǎn)：關(guān)鍵點(diǎn)： 線在平面內(nèi)線在平面內(nèi). .線垂直于交線線垂直于交線. .D DC CA AB B思考思考4 4 設(shè)平面設(shè)平面 平面平面 ，點(diǎn)，點(diǎn)P P在平面在平面 內(nèi)，過(guò)點(diǎn)內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P P作平作平面面 的垂線的垂線a，直線，直線a與平面與平面 具有什么位置關(guān)系具有什么位

4、置關(guān)系? ?aa直線直線a a在平面在平面 內(nèi)內(nèi)PPB.5AABaaa已知平面，直線 ，試判斷直線 與思的位置關(guān)系考AbalB垂直垂直1aa,aa. 例如圖，已知平面 ， ，直線 滿(mǎn)足，試判斷直線 與平面 的位置關(guān)系A(chǔ)bal分析：分析：尋找平面尋找平面內(nèi)與內(nèi)與a a平行的直線平行的直線. .解：解：在在內(nèi)作垂直于內(nèi)作垂直于 交線交線的直線的直線b b， ab. 又又 a. 即直線即直線a與平面與平面平行平行.，b，a，a ，結(jié)論：結(jié)論：垂直于同一平面的直線和平面平行（垂直于同一平面的直線和平面平行（ ）.aAbal與與分析：分析：作出圖形作出圖形. .ablmnablnmA（法二）（法二）,.

5、ll例2.已知平面 ， ， 滿(mǎn)足，求證：（法一）（法一）在在內(nèi)作直線內(nèi)作直線a n證法證法1 1：設(shè)設(shè)在在內(nèi)作直線內(nèi)作直線bm,nm/ /baablabmnab同 理/ /bbl/ /.blbll 在在內(nèi)過(guò)內(nèi)過(guò)A點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線 a n，證法證法2 2：設(shè)設(shè)在在內(nèi)過(guò)內(nèi)過(guò)A點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線 bm，nanalalbl同理同理abA.l 在在內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)A A（不在（不在m,n上），上），ablnmA,nm如果兩個(gè)相交平面都垂直于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)如果兩個(gè)相交平面都垂直于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面的交線垂直于這個(gè)平面平面的交線垂直于這個(gè)平面. .結(jié)論結(jié)論l判斷線面垂直的兩種方法判斷線面垂

6、直的兩種方法：線線垂直線線垂直線面垂直；線面垂直；面面垂直面面垂直線面垂直線面垂直.如圖：如圖：兩個(gè)平面垂直應(yīng)用舉例兩個(gè)平面垂直應(yīng)用舉例例題例題1 1 如圖如圖4 4，ABAB是是O的直徑，點(diǎn)的直徑，點(diǎn)C C是是O上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)C C的直線的直線VCVC垂直于垂直于O所在平面，所在平面，D D、E E分別是分別是VAVA、VCVC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，直線直線 DEDE與平面與平面VBCVBC有什么關(guān)系？試說(shuō)明理由有什么關(guān)系？試說(shuō)明理由解：由VC垂直于 O所在平面，知VCAC，VCBC，即 ACB是二面角A-VC-B的平面角由ACB是直徑上的圓周角，知 ACB =90。 因此，平面

7、 VAC平面VBC由DE是VAC兩邊中點(diǎn)連線，知 DEAC，故DEVC由兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，知直線DE與平面VBC垂直。注意：本題也可以先推出注意：本題也可以先推出ACAC垂直于平面垂直于平面VBCVBC，再由，再由DEDEACAC，推出上面的結(jié)論。推出上面的結(jié)論。例例2 2S S為三角形為三角形ABCABC所在平面外一點(diǎn)，所在平面外一點(diǎn)，SASA平面平面ABCABC，平面，平面SABSAB平面平面SBCSBC。 求證：求證：ABBCABBC。SCBAD證明：過(guò)證明：過(guò)A點(diǎn)作點(diǎn)作ADSB于于D點(diǎn)點(diǎn).平面平面SAB 平面平面SBC, AD平面平面SBC， ADBC.又又 SA 平面平面ABC

8、， SA BC. ADSA=ABC 平面平面SAB.BC AB.練習(xí)練習(xí)1 1：如圖，以正方形如圖，以正方形ABCDABCD的對(duì)角線的對(duì)角線ACAC為折為折痕，使痕，使ADCADC和和ABCABC折成相垂直的兩個(gè)面，折成相垂直的兩個(gè)面，求求BDBD與平面與平面ABCABC所成的角。所成的角。ABCDDABCOO折成折成2.如圖，平面如圖，平面AED 平面平面ABCD，AED是等邊三角形，四邊形是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，是矩形，（1）求證：）求證：EACDMDECAB（2）若）若AD1，AB ，求，求EC與平面與平面ABCD所成的角。所成的角。2 (2012 (2012北京模擬北京模擬

9、) )如圖，正方形如圖，正方形ADEFADEF與梯形與梯形ABCDABCD所在的所在的平面互相垂直，平面互相垂直，ADCDADCD，ABCDABCD，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD=4，M M為為CECE的的中點(diǎn)中點(diǎn). .(1)(1)求證：求證：BMBM平面平面ADEFADEF；(2)(2)求證：平面求證：平面BDEBDE平面平面BEC.BEC.【證明證明】(1)(1)取取DEDE中點(diǎn)中點(diǎn)N N，連接，連接MNMN，AN.AN.在在EDCEDC中，中，M M，N N分別為分別為ECEC，EDED的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以MNCDMNCD，且，且MN= CD.MN= CD.由已知由已知

10、ABCDABCD，AB= CDAB= CD，所以所以MNAB,MNAB,且且MN=AB,MN=AB,所以四邊形所以四邊形ABMNABMN為平行為平行四邊形四邊形. .所以所以BMAN.BMAN.又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳NAN平面平面ADEFADEF，且，且BM BM 平面平面ADEFADEF，所以所以BMBM平面平面ADEF.ADEF.1212(2)(2)因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛DEFADEF為正方形，為正方形，所以所以EDADEDAD，又因?yàn)槠矫嬗忠驗(yàn)槠矫鍭DEFADEF平面平面ABCDABCD，且平面且平面ADEFADEF平面平面ABCD=AD.ABCD=AD.又因?yàn)橛忠驗(yàn)镋DED 平面平面ADEFA

11、DEF，所以所以EDED平面平面ABCD.ABCD.所以所以EDBC.EDBC.在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中，中，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD=4，可得可得BC= BC= ，在在BCDBCD中，中，BD=BC= BD=BC= ，CD=4CD=4，所以，所以BCBDBCBD，BDED=D,BDED=D,所以所以BCBC平面平面BDEBDE，又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽CBC平面平面BCEBCE，所以平面所以平面BDEBDE平面平面BEC.BEC.2 22 2總結(jié)提煉 已知面面垂直易找面的垂線，且在某一個(gè)平面內(nèi) 解題過(guò)程中應(yīng)注意充分領(lǐng)悟、應(yīng)用 證明面面垂直要從尋找面的垂線入手 理解面面垂直的判定與性質(zhì)都要依賴(lài)面面垂直的定義 定義面面垂直是在建立在二面角的定義的基礎(chǔ)上的線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直線線垂直線線垂直面