考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高數(shù)與線性代數(shù)

1、第一章 函數(shù) 極限 連續(xù)一求極限方法小結(jié) 極限是整個微積分的基礎(chǔ)，要理解微積分，首先要很好地理解極限的概念. 有多種求極限的方法，究竟該用哪種方法求極限，關(guān)鍵是要判斷極限屬于哪一種類型.1. 知識要點（1） 利用極限的定義求極限.（2） 利用極限運(yùn)算法則求極限.（3） 利用不等式求極限.（4） 利用變量代換法求極限.（5） 利用兩個重要極限求極限.（6） 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限.（7） 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限.（8） 利用等價無窮小代換求極限.（9） 利用單側(cè)極限求極限.（10） 利用羅必達(dá)法則求極限.（11） 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限.（12） 利用定積分定義求極限.（13） 利用公式求極限.2典

2、型例子例1：設(shè) 求證：存在，并求其值. 例2：求 （答案：1）例3：求 （答案：1）例4：求 （答案：0）例5：求 （答案：）例6： （答案：）例7：求常數(shù)，使 （）例8：已知,證明數(shù)列收斂，并求出此數(shù)列的極限. 例9：設(shè)，求 （答案：）例10：求 （答案：1）例11：求 （答案：1）例12: （答案：1）例13：設(shè)，證明：當(dāng)時，與是同階無窮小量.例14： （答案：） 例15：求 （答案：） 例16：求 （答案：）例17：設(shè)在原點的鄰域內(nèi)二次可導(dǎo)，且，求及 （答案：） 例18：設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，求及.（答案：，） 例19：設(shè)，均為非負(fù)數(shù)列，且，則必有對任意成立； 對任意成立；極限

3、不存在； 極限不存在. （2003年數(shù)學(xué)一） 例20：已知，求 （答案：）例21：設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，.證明：存在惟一的一組實數(shù)，使得當(dāng)時，是比高階的無窮小.例22：求極限（答案：）例23：已知當(dāng)時與是等價無窮小，求常數(shù)和.（答案：）例24：設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂.若收斂, 則收斂. 若單調(diào)，則收斂.(答案：B) （2008年數(shù)學(xué)一）例25：求極限 （答案：）（2008年數(shù)學(xué)一）例26：(I)證明:對任意的正整數(shù),都有(II)設(shè),證明數(shù)列收斂.（2011年數(shù)學(xué)一、二）二函數(shù)的連續(xù)性1知識要點1 函數(shù)在一點的連續(xù)性：在點處

4、連續(xù) 在點處連續(xù)2 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算3 初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的；初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的 4函數(shù)的間斷點和間斷點的分類 5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最值定理、介值定理2典型例子例1：求函數(shù) 的間斷點，并指出其類型.例2：討論函數(shù)在定義域內(nèi)是否連續(xù).例3：設(shè) 其中具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，試確定的值使連續(xù)，并討論是否連續(xù). （答案：）例4：設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且，試證明至少存在一點，使.例5：設(shè)在上連續(xù)，且，證明（1）存在，使；（2）存在，使.例6：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且， 試證必存在，使 （2003年數(shù)學(xué)三）例7：設(shè)函數(shù) 問為何值時，在處連續(xù)；問為何值時，是的可去間斷點？（20

5、03年數(shù)學(xué)二）例8：設(shè)試補(bǔ)充定義使得在上連續(xù)。（答案：） （2003年數(shù)學(xué)三）例9：函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.（） （） （） （）（2004年數(shù)學(xué)三） 例10：設(shè)在內(nèi)有定義，且 則（）必是的第一類間斷點.（）必是的第二類間斷點.（）必是的連續(xù)點.（）在處的連續(xù)性與的取值有關(guān).例11：設(shè)在連續(xù)，且，證明：，使得.第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一導(dǎo)數(shù)與微分1知識要點1 導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)反映了客觀運(yùn)動過程的瞬時變化率 2 導(dǎo)數(shù)的物理意義、幾何意義：分別表示變速直線運(yùn)動的瞬時速度、曲線的切線的斜率.曲線在點處的切線方程為： 法線方程為：3 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，的邊際函數(shù)是指關(guān)于自變量的變化率。例如表示邊際成本函數(shù)，

6、表示邊際收入函數(shù)，表示邊際利潤函數(shù).4 函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)在點可導(dǎo)，則在點處連續(xù)。但是，連續(xù)卻不一定可導(dǎo).5 求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、參數(shù)方程的求導(dǎo)法則.6 微分的定義與運(yùn)算法則. 2典型例子 例1：求函數(shù) 的一、二階導(dǎo)數(shù)并討論其連續(xù)性. 例2：設(shè) （為實數(shù)），問在什么范圍內(nèi)（1）連續(xù)；（2）可導(dǎo)；（3）導(dǎo)數(shù)連續(xù)；（4）二階可導(dǎo).例3：設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，對于任意實數(shù)有 ，且，求函數(shù)的表達(dá)式.例4：求的不可導(dǎo)點的個數(shù).（答案：2）例5：設(shè)，則在點可導(dǎo)的充分必要條件是（）存在；（）存在.（）存在.（）存在.例6：設(shè)是由方程所確定

7、的隱函數(shù)，求. （答案：）例7：設(shè)且二次可微，求.（答案：）例8：設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)均存在，并且均不為零，其反函數(shù)為，求. （答案：）例9：作已知曲線的切線，使其平行于直線，使求此切線方程. （答案：）例10：已知曲線的極坐標(biāo)方程是，求該曲線上對應(yīng)于的切線與法線的直線方程.（答案：，）例11：設(shè)在上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是（）至少存在一點，使得；（）至少存在一點，使得；（）至少存在一點，使得；（）至少存在一點，使得.（答案：（） （2004年數(shù)學(xué)三）例12：以下命題中，正確的是（）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界.（）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界.（）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界.（）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有

8、界.（答案：（） （2005年數(shù)學(xué)三）二微分中值定理1知識要點 微分中值定理具有相同的幾何背景：在一條連續(xù)光滑的曲線上，至少存在一點，使曲線在該點的切線平行于對應(yīng)的弦. 1定理：設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在，使得，即方程在內(nèi)至少存在一個實根.定理提供了證明方程根的存在性的另一種有效的方法.2中值定理：設(shè)內(nèi)可導(dǎo)在閉區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則存在，使得 即 中值定理將函數(shù)和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起了.3中值定理：設(shè)函數(shù)與滿足：在閉區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，.則存在，使得很明顯，定理是中值定理的一種特殊情況，而中值是中值定理的一種特殊情況.4帶余項的公式：設(shè)在點的階導(dǎo)數(shù)存在，則 帶余項的公式：設(shè)在點的某鄰

9、域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，則，有其中公式將函數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)在一起了.公式的基本思想是利用多項式逼近函數(shù).2典型例子 例1：如果 為滿足的實數(shù)，證明方程在內(nèi)至少有一個實根.例2：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：（1） 存在，使；（2） 對任意實數(shù)，必存在，使 例3：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得 例4：設(shè)在上可導(dǎo)，且，求證：存在使得，.例5：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可微，求證：.例6：設(shè)在上可導(dǎo)，且，證明在上存在兩點，使 .例7：設(shè)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：在上至少存在一點，使.例8：設(shè)在上存在二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在，使.例9：證明：例10：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最

10、大值，證明存在，使得.(2007年數(shù)學(xué)一)三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1知識要點 利用導(dǎo)數(shù)和中值定理，我們可以研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、凹凸性與拐點，可以證明不等式、可以研究方程實根的個數(shù)等等.2典型例子 例1：設(shè)，證明： 例2：求證：例3：對任意實數(shù)，證明不等式例4： 設(shè)的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，又，則（）是的極小值點.（）是的極大值點. 是曲線的拐點. 不是的極值點，也不是曲線的拐點.例5：已知在點的某鄰域內(nèi)有定義，且有，其中為正整數(shù)，討論在點處是否有極值.例6：設(shè)函數(shù)對于一切實數(shù)滿足微分方程（1） 若在（）有極值，證明它是極小值；（2） 若在有極值，則它是極大值還是極小值？例7：設(shè)，求證：（1）（2）例8：設(shè)

11、在內(nèi)有定義，存在，且滿足如果，求證：. 例9：求方程 在區(qū)間 內(nèi)的實根的個數(shù).例10： 討論方程 的實根的個數(shù).例11： 設(shè)，求證：（1）對任意自然數(shù)，方程 在內(nèi)只有一個根；（2）設(shè)是的根，則.例12：設(shè)在上，而，證明： 在上單調(diào)增加. 例13：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，試證：在內(nèi)至少存在兩個不同的點，使. 例14：討論曲線與的交點個數(shù).（2003年數(shù)學(xué)二）例15：求方程不同實根的個數(shù)，其中為參數(shù). （2011年數(shù)學(xué)一）第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一不定積分例1：設(shè)，且，求.（答案：）例2：已知是的一個原函數(shù)，求.（答案：）例3：設(shè)，求.例4：設(shè)是的一個原函數(shù)，若當(dāng)時，有，求.（答案：）例5：求例6：求二

12、定積分 例1：求極限 例2：設(shè)在上連續(xù)，且，試證明存在. 例3：已知，求.（答案：）例4：設(shè)函數(shù)連續(xù)，且已知，求的值.（答案：）例5：已知 求.例6：求積分，其中當(dāng)時，而例7：設(shè)在上連續(xù)，且，證明例8：設(shè)在上連續(xù)，求證 例9：設(shè)在上連續(xù)，且，求證：存在 例10：設(shè)是在內(nèi)的周期函數(shù)，周期為，并滿足；求證： 例11：設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明在內(nèi)存在一點，使得例12：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足，（1）證明；（2）利用（1）的結(jié)論計算 例13：計算定積分：（答案：） 例14：計算定積分： 例15：試證連續(xù)函數(shù)是周期函數(shù)的充分必要條件是：存在，使對一切的，有 例16：計算定積分：（答

13、案：）例17：是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：或是以為周期的周期函數(shù)，或是線性函數(shù)與周期函數(shù)的和.例18：計算，其中例19：設(shè)在上連續(xù)，且滿足 證明： （2004年數(shù)學(xué)三） 例20：設(shè)在上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且.證明：對任何，有 例21：設(shè)在上一階可導(dǎo)，且.證明：當(dāng)時，例22：設(shè)是區(qū)間上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)， ，證明數(shù)列的極限存在.例23：設(shè)在上連續(xù)，對任意的都有，證明例24：設(shè)在上連續(xù)，且，證明： 例25：設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)，“” 表示“”，則必有（）是偶函數(shù)是奇函數(shù).（）是奇函數(shù)是偶函數(shù).（）是周期函數(shù)是周期函數(shù).（D）是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù).（答案：（） (2005年數(shù)學(xué)一)例25：設(shè)是連續(xù)

14、函數(shù)（）利用定義證明函數(shù)可導(dǎo)，且（）當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時，證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù). (2008年數(shù)學(xué)一) 例26：求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值. (2010年數(shù)學(xué)一)三廣義積分例1：求例2：求例3：求例4：求 （答案：）四定積分的應(yīng)用例1：求由與圍成的圖形面積（兩部分都要計算）.（答案：）例2：過點作拋物線的切線，該切線與上述拋物線及軸圍成一平面圖形，求此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.例3：設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的面積為，并且.（1） 試確定的值，使達(dá)到最小，并求出最小值；（答案：）（2） 求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.（答案：

15、）例4：設(shè)平面圖形由與所確定，求圖形繞直線軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.（答案：）例5：將拋物線在橫坐標(biāo)之間（）的弧段繞軸旋轉(zhuǎn)，問為何值時，該旋轉(zhuǎn)體的體積等于以弦繞軸旋轉(zhuǎn)所成錐體的體積？例6：過坐標(biāo)原點作曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形.(1) 求的面積.（答案：）(2) 求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.（答案：）例7：曲線與直線及圍成一曲邊梯形。該曲邊梯形饒軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為，側(cè)面積為，在處的底面積為.（）求的值；（答案：2）（II）計算極限 （答案：1） （2004年數(shù)學(xué)二）例8：設(shè)是區(qū)間上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。試證存在使得在區(qū)間上以為高的矩形面積等于在區(qū)間上以為曲邊的曲

16、邊梯形面積；又設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明中的是唯一的。第五章 多元函數(shù)微分學(xué)例1：求 例2：求例3：證明函數(shù) 在點處不連續(xù)，但存在一階偏導(dǎo)數(shù). 例4：設(shè)函數(shù) 問在點處：（1）偏導(dǎo)數(shù)是否存在？（2）偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)？（3）是否可微？均說明理由.例5：設(shè) ， 具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求.例6：設(shè) ， 具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求,.例7：設(shè) ，具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)，求.例8：設(shè)函數(shù) ，證明：如果 則僅是的函數(shù).例9：設(shè)，求.例10：設(shè)，其中具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，求例11：設(shè)函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且由方程所確定，求（答案：）例12：設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿足，又，求（答案：）例13：設(shè)為可微函數(shù)，且，證

17、明：例14：設(shè)變換可把方程簡化為，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求常數(shù).（答案：）例15：設(shè)是曲面在點處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù). 例16： 求函數(shù)在點處的梯度和最大方向?qū)?shù).例17： 求由方程所確定的隱函數(shù)的極值.（答案：極小值，極大值）例18： 求二元函數(shù)在由直線所圍成的閉域上的極值、最大植和最小值.例19： 求平面和柱面的交線上與平面距離最短點的坐標(biāo).例20：在橢球面上求距離平面的最近點和最遠(yuǎn)點.（答案：最近點，最遠(yuǎn)點）例21：求函數(shù)在約束條件和下的最大值與最小值. （答案：最大值點，最小值點，最大值為72，最小值為6）（2008年數(shù)學(xué)二）例22：求函數(shù)在約束條件和下的

18、最大值與最小值. （答案：最大值點，最小值點，最大值為，最小值為） （2010年數(shù)學(xué)三）例23：設(shè)函數(shù) ，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值，求.(答案： ) （2011年數(shù)學(xué)一、二、三） 第六章 多元函數(shù)積分學(xué)一重積分例1：將用兩種積分次序表為二次積分.（1）：由曲線所圍；（2）例2：交換二次積分的順序.例3：計算二次積分 例4：計算二次積分例5：計算二重積分，其中是由直線以及曲線所圍成的平面區(qū)域.（答案：）例6：計算二重積分，其中是由直線和軸所圍成的平面區(qū)域.（答案：）例7：設(shè)在上連續(xù)，且 求. （答案：） 例8：設(shè)閉區(qū)域： 為上的連續(xù)函數(shù)，且 求 （答案：）例9：計算二重

19、積分，其中由圓所圍成的平面區(qū)域.（答案：）例10：設(shè)是平面上以為頂點的三角形區(qū)域，是在第一象限部分，則等于 例11：計算其中.（答案：） 例12：計算二重積分，其中由所圍成的平面區(qū)域，是上的連續(xù)函數(shù).（答案：）例13：證明例14：設(shè)在上連續(xù)，證明例14：設(shè)為上的單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，證明 例15：求，其中由圓和圍成的平面區(qū)域. （答案：） （2004年數(shù)學(xué)三）例16：設(shè)二元函數(shù) 計算二重積分，其中 （答案：） （2007年數(shù)學(xué)二、三、四）例17：計算三重積分，其中是由所圍成.例18：計算三重積分，其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍的立體.（答案：）例19：計算三重積分，其中是由及所圍成

20、的區(qū)域.（答案：）例20：計算三重積分，其中是以平面及錐面為邊界的區(qū)域.（答案：）例21：計算三重積分，其中（答案：）例22：設(shè)有一半徑為的球體，是此球的表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該點到距離的平方成正比（比例系數(shù)），求球體的重心位置.（答案：）例23：設(shè)函數(shù)連續(xù)且恒大于，其中，（1） 討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2） 證明當(dāng)時，例24：計算，其中（答案：） （2008年數(shù)學(xué)二、三）例25：計算二重積分, 其中（答案：） （2009年數(shù)學(xué)二、三）例26:已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且, 其中, 計算二重積分. （答案：） （2011年數(shù)學(xué)一、二）二曲線積分例1：計算，由圓周，直線及軸在第

21、一象限中所圍圖形的邊界.（答案：）例2：計算，其中為曲線（答案：）例3：計算，其中為由點沿曲線到點，再沿直線到點的路徑.（答案：）例4：計算下列曲線積分 其中為連接點與點的線段之下方的任意路線，且該路線與線段所圍圖形面積為.（答案：）例5：計算，其中是以點為中心，為半徑的圓周（），方向為逆時針方向.（答案：）例6：計算曲線積分 ，其中為正方形邊界 的正向.（答案：）例7：計算，其中積分路徑為過三點的圓.（答案：）例8：設(shè)函數(shù)在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，并且對任意恒有求. （答案：） 例9： 計算曲線積分 ，其中是沿由的曲線段.（答案：）例10：設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點

22、的任意分段光滑簡單閉曲線上，曲線積分 的值恒為同一常數(shù)。（1） 證明：對右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線，有；（2） 求函數(shù)的表達(dá)式.（答案：）（2005年數(shù)學(xué)一）例11：計算曲線積分，其中是曲線，從軸正向往軸負(fù)向看的方向是順時針的.（答案：） 三曲面積分例1：計算，其中為平面被柱面所截下的部分。例2：設(shè)為橢球面的上半部分，點為在點處的切平面，為點到平面的距離，求（答案：）例3：設(shè)有一高度為（為時間）的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足方程（設(shè)長度單位為厘米，時間單位為小時），已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比（比例系數(shù)），問高度為（厘米）的雪堆全部融化需多少小時？（答案：小時）例4：計算曲面積分，

23、其中是由曲面及兩平面所圍的立體表面的外側(cè).（答案：）例5：計算曲面積分其中是曲面的上側(cè).（答案：）例6：計算曲面積分 ，其中為下半球面的上側(cè)，為大于零的常數(shù).（答案：）例7：設(shè)向量，曲面為上半球面被錐面所截得部分（滿足），且指向上。求A通過的流量.例8：設(shè)對于半空間內(nèi)任意的光滑有向閉曲面，都有 其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且.求.（答案：）例9：計算曲面積分 ，其中是曲面的外側(cè).（答案：） （2009年數(shù)學(xué)一）第七章 無 窮 級 數(shù)一常數(shù)項級數(shù) 例1：若級數(shù)（）收斂，證明 （1）收斂； （2）收斂； （3）收斂； （4）收斂 例2：若級數(shù)收斂，則必收斂的級數(shù)為 （）； （）； （）； （）

24、例3：判別下列級數(shù)的斂散性： （1）； （2）； （3）； （4） （5） （6） 例4：已知，證明級數(shù)收斂，并求這個級數(shù)的和.例5：若，討論級數(shù)的斂散性.例6：設(shè)在點的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明級數(shù)絕對收斂.例7：已知（1） 求的值；（2） 試證：對任意的常數(shù)，級數(shù)收斂.例8：設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，試問級數(shù)是否收斂？并說明理由.例9：設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，證明（1）；（2）對于區(qū)間內(nèi)的任意固定的，級數(shù)絕對收斂。例10：設(shè)滿足條件：對于任意的，存在常數(shù)，有，對于給定的，定義試證明：（1）級數(shù)絕對收斂；（2）極限存在，記為；（3）與無關(guān)，且. 例11：設(shè) 討論級數(shù)的斂散性.例12： 設(shè)

25、，證明存在.例13： 設(shè)若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是（）收斂，發(fā)散； （）收斂，發(fā)散；（）收斂； （）收斂。（2005年數(shù)學(xué)三）例14： 設(shè)為正項級數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）若，則級數(shù)收斂；（）若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散；（）若級數(shù)收斂，則；（）若級數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得.（答案：（）（2004年數(shù)學(xué)一） 例15： 設(shè)有方程，其中為正整數(shù)。證明此方程存在惟一正實根，并證明當(dāng)時，級數(shù)收斂.例16： 設(shè)有以下命題：若收斂，則收斂若收斂，則收斂若，則發(fā)散若收斂，則，都收斂則以上命題中正確的是（） （） （） （）（答案：（） （2004年數(shù)學(xué)三）例17：設(shè)有兩個數(shù)列，若，則（）當(dāng)收斂時

26、，收斂. （）當(dāng)發(fā)散時，發(fā)散.（）當(dāng)收斂時，收斂. （）當(dāng)發(fā)散時，發(fā)散.（答案：（） （2009年數(shù)學(xué)一）例18： 設(shè)是數(shù)列，則下列命題正確的是（）若收斂，則收斂；（）若收斂，則收斂；（）若收斂，則收斂；（）若收斂, 則收斂.（答案：（）（2011年數(shù)學(xué)三）二冪級數(shù) 例1：若在處收斂，則此級數(shù)在處 （）條件收斂； （）絕對收斂； （）發(fā)散 （）斂散性不能確定例2：求下列冪級數(shù)的收斂域： （1）（）； （2）； （3）； （4） 例3：求冪級數(shù)的收斂區(qū)間，并求其和函數(shù). 例4：求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).例5：已知 且對任何自然數(shù)，證明當(dāng)時，冪級數(shù)收斂，并求其和函數(shù).例6：求級數(shù)的和.例7：求級

27、數(shù)的和.例8：已知求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù).例9： ，求冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域.例10：求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).（2006年數(shù)學(xué)三）例11：求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù).（2005年數(shù)學(xué)一）例12：將函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并求此級數(shù)的收斂域.例13：將函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并求此級數(shù)的收斂域.例14：設(shè)，試將展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和.（2001年數(shù)學(xué)一）例16：將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和.（2003年數(shù)學(xué)一）例17：設(shè)有冪級數(shù) （1） 求此級數(shù)的收斂域；（2） 證明此級數(shù)的和函數(shù)滿足微分方程; （3） 求微分方程 的通解，并由此確定該級數(shù)的和函數(shù).例18：設(shè)冪級數(shù) 在內(nèi)收斂

28、,其和函數(shù)滿足 ()證明 ()求的表達(dá)式. （2007年數(shù)學(xué)一）例19：設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，無界，則冪級數(shù)的收斂域為（）； （）； （） （）（ 答案：（） （2011年數(shù)學(xué)一）例20：將函數(shù)展開成余弦級數(shù)，并求級數(shù)的和.（ 答案：，） （2008年數(shù)學(xué)一）第八章 微分方程一一階微分方程例1：求微分方程滿足初始條件的特解.例2：求微分方程滿足初始條件的特解.例3：求微分方程之通解.例4：求微分方程之通解.例5：求微分方程之通解.例6：求滿足方程的.例7：求曲線族為任意常數(shù)）所滿足的一階微分方程.例8：設(shè)有連接點和的一段向上凸的曲線弧，對于上任一點，曲線弧與有向線段所圍圖形的面積為，求曲線弧的方程.

29、例9：求通過點的曲線方程，使曲線上任意點處的切線同軸之交點與切點的距離等于此交點與原點的距離.例10：設(shè)在上可導(dǎo)，且滿足等式 （1）求導(dǎo)數(shù)；（2）證明當(dāng)時，成立不等式： 例11：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，（1）求初值問題的解，其中是正常數(shù)；（2）若為常數(shù)），證明當(dāng)時，有 例12：設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，.(1)求微分方程 的通解(2)以上這些通解中,有沒有以為周期的解?若有,求出之；若無，說明理由. 例13：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)。若曲線，直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為試求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解.例14：一容器在開始時盛有水100升，其中含凈鹽10公斤，然后以每分鐘3升

30、的速率注入清水，同時又以每分鐘2升的速率將沖淡的溶液放出。容器中有攪拌器使容器中的溶液保持均勻，求過程開始后1小時溶液的含量.例15：設(shè)有一小山，其表面形如，表示水平投影點處對應(yīng)的山高。今在小山丘上有一小石頭（看成一點），空間坐標(biāo)為，求：（1）在重力作用下，該石下落的曲線在平面上的投影曲線方程；（2）該石下落的空間曲線方程.例16：某種飛機(jī)在機(jī)場降落時，為了減少滑行距離，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下?，F(xiàn)有一質(zhì)量為9000的飛機(jī)，著陸時的水平速度為700。經(jīng)過測試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為）。問從著陸點算起飛機(jī)滑行的最長距離是多少？（2

31、004年數(shù)學(xué)一、二）例17：設(shè)級數(shù) 的和函數(shù)為 求：（1）所滿足的一階微分方程；（2）的表達(dá)式. （2004年數(shù)學(xué)三）例18：設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足求所滿足的一階微分方程，并求其通解. （2004年數(shù)學(xué)四） 二高階微分方程例1：求方程的通解.例2：求方程的通解.例3：在上半平面求一條向上凹的曲線，其上任一點處的曲率等于此曲線在該點的法線段長度的倒數(shù)（是法線與軸的交點），且曲線在點處的切線與軸平行.例4：有一架敵機(jī)延水平方向（軸）以常速度飛行，經(jīng)過點時，被我所設(shè)在處導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)即發(fā)射導(dǎo)彈追擊。如果導(dǎo)彈在每個時刻的運(yùn)動方向都指向敵機(jī)，且飛行速度為敵機(jī)的二倍，求導(dǎo)彈的追蹤路線.例5：設(shè)函數(shù)二階

32、可導(dǎo)且，過曲線上任一點作曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)恒為1，求此曲線的方程.例6：已知都是微分方程的解，求此方程的通解. 例7：設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解，是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（）； （）；（）； （）例8：設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個特解為，試確定常數(shù)，并求該方程的通解.例9：設(shè)函數(shù)滿足微分方程且其圖形在點處的切線與曲線在該點的切線重合，求函數(shù). 例10：設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，已知曲線積分與路徑無關(guān)，求。例11：設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，并知 為一階全微分方程，求及此微分方程之通解.例12

33、：設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)，求.例13：設(shè)與在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證明方程有且僅有一個實根. 例14： 設(shè)，函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且在的小鄰域內(nèi)有界，又滿足求.例15：設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而滿足方程，求.例16：設(shè)為任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為 （2001年數(shù)學(xué)一）例17：設(shè)函數(shù)在具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式（1） 驗證；（2） 若，求函數(shù)的表達(dá)式.（2006年數(shù)學(xué)一、二）例18：用變量代換化簡微分方程，并求其滿足的特解.（2006年數(shù)學(xué)二）例19：設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，是的反函數(shù).（1） 試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程；（2） 求變換后的微分方程滿足初始條

34、件的解. （2003年數(shù)學(xué)一、二）例20：三階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為(答案: ) （2010年數(shù)學(xué)二）第九章 行列式例1：若都是四維列向量，且四階行列式，四階行列式等于多少？例2：設(shè)是階方陣，且，則中( )() 必有一列元素全為零；() 必有兩列元素成比例；() 必有一列向量是其余列向量的線性組合；() 任一列向量是其余列向量的線性組合.例3：設(shè)，為的代數(shù)余子式，且，并且，求.例4：設(shè)四階方陣，其中是階單位矩陣，求：（1）的系數(shù)；（2）的系數(shù)；（3）常數(shù)項.例5：設(shè)為階方陣，是階單位矩陣，計算.例6：設(shè)，為階正交矩陣，若，證明是降秩矩陣.第十章 矩 陣 例1：設(shè)，證明當(dāng)時，恒有.例2：

35、設(shè)，計算.例3：設(shè)三階方陣，滿足關(guān)系，且，求例4：設(shè)是三階方陣，求 例5：證明：若實對稱矩陣滿足條件，則例6：設(shè)，其中是階單位矩陣，是維非零列向量，證明：（1）的充要條件是；（2）當(dāng)時，是不可逆矩陣.例7：已知階方陣滿足，求例8：設(shè)，且，求.例9：設(shè)，求.例10：設(shè)是階方陣，且滿足，證明：例11：設(shè)是階方陣，是否存在，使得，若存在，指出求的辦法，若不存在，說明理由.例12：設(shè)， ，其中可逆，則（ ） ()；()；()；().例13：設(shè)是階方陣，將的第一列與第二列交換得，再把的第二列加到第三列得，則滿足的可逆矩陣為（） （） （） （）例14：設(shè)是階方陣，已知可逆，且滿足，證明和都是可逆矩陣，并

36、求它們的逆.例15：設(shè)分別是階和階非奇異方陣，是矩陣，證明：（1）為可逆矩陣；（2）例16：求階行列式中所有元素的代數(shù)余子式的和.例17：設(shè)是階方陣，且存在正整數(shù)，使，又是階可逆矩陣，證明矩陣方程只有零解.例18：（1）設(shè)是階方陣，且，證明：（2）設(shè)是階方陣，且，證明：例19：已知，為三階非零矩陣，且，則（ ）()時，的秩必為1；()時，的秩必為2；()時，的秩必為1；()時，的秩必為2.例20：設(shè)是矩陣，是矩陣，其中，若，證明的列向量線性無關(guān).例21：求階方陣的秩，其中 例22：求設(shè)是和階方陣， ，且，又行列式，求證：.例23：設(shè)是矩陣，是矩陣，并且，證明： 例24：設(shè)維列向量組線性無關(guān)，向

37、量組可用線性表示，表示矩陣為，證明：（1）（2）當(dāng)時，有 線性無關(guān)是可逆矩陣.例25：設(shè)為三維列向量,矩陣 , 其中分別是的轉(zhuǎn)置.證明: 秩 (2) 若線性相關(guān),則秩（2008年數(shù)學(xué)一） 例26：設(shè)均為2階方陣，分別為的伴隨矩陣,若,則分塊矩陣的伴隨矩陣為 () . ().(). ().(答案: B) （2009年數(shù)學(xué)一、二、三）第十一章 向 量例1：設(shè)向量組線性無關(guān)，證明向量組，也線性無關(guān).例2：設(shè)向量組線性無關(guān)，討論向量組，的線性相關(guān)性.例3：設(shè)向量組線性無關(guān)，向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表示.例4：設(shè)向量，為階矩陣，如，則線性無關(guān).例5：設(shè)為階矩陣，證明例6：設(shè)向量組線性相關(guān)，向

38、量組線性無關(guān)，問（1）能否由線性表示？（2）能否由線性表示？例7：設(shè)向量組線性無關(guān)，向量可由它線性表示，向量不能由它線性表示，證明個向量線性無關(guān).例8：設(shè)向量組與向量組的秩相同，且向量組可由向量組線性表示，證明與等價.例9：設(shè)為階矩陣，是一組維向量，滿足，并且，證明向量組線性無關(guān).例10：設(shè)是線性無關(guān)的5維向量組，也是5維向量組，滿足。證明線性相關(guān).例11：如果與是兩個線性無關(guān)的維向量組，并且每個與都正交，證明向量組線性無關(guān).例12：設(shè)有向量組，求該向量組的秩及極大線性無關(guān)組，并用極大無關(guān)組來表示組中諸向量.例15：設(shè)討論當(dāng)為何值時，（I）不能由線性表示；（II）可由惟一地線性表示，并求出表示

39、式；（III）可由線性表示，但表示式不惟一，并求出表示式.（2004年數(shù)學(xué)三）第十二章 線性方程組例1：已知三階矩陣，且的每一個列向量都是以下方程組的解 （1）求的值；（2）證明例2：設(shè)向量組是齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，即。試證明向量組，線性無關(guān).例3：設(shè)階矩陣的行列式，且有一個代數(shù)余子式，證明：線性方程組的所有解為，為任意常數(shù).例4：設(shè)是齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系，其中為實常數(shù)。試問滿足什么關(guān)系時，也是方程組的一個基礎(chǔ)解系.例5：設(shè)，且，又已知齊次方程組的基礎(chǔ)解系就是，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，并說明理由.例6：設(shè)證明：如果的解全是方程的解，則向量可由向量組線性表出.例7

40、：已知四元兩個方程的線性方程組的基礎(chǔ)解系為，求原方程組.例8：已知線性方程組討論參數(shù)取何值時，方程組有解、無解；當(dāng)有解時，試用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解.例9：已知及（1）取何值時，不能表示成的線性組合？（2）取何值時，有的惟一的線性表示式？并寫出該表示式.例10：已知下列非齊次線性方程組（） （）（1） 求解方程組（）；用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解.（2） 當(dāng)方程組（）中的參數(shù)為何值時，方程組（）與（）同解.例11：已知四階矩陣，均為4維列向量，其中線性無關(guān)，如果，求線性方程組的通解.例12：若線性方程組對任何維列向量均有解，則對于任何維列向量，方程組必有唯一解，其中是的伴隨矩陣.例13：設(shè)有向量組（）和向量組（）。試問：當(dāng)取何值時，向量組（）與（）等價？當(dāng)取何值時，向量組（）與（）不等價？例14：已知三階矩陣的第一行是，不全為零，矩陣（為常數(shù)），且，求線性方程組的通解.（2005年數(shù)學(xué)一）例15：確定常數(shù)，使向量組，可由向量組，線性表示，但向量組，不能由向量組，線性表示.（2005年數(shù)學(xué)二） 例16：