三角形五心性質

1、三角形的五心定理一、三角形五心定義內心是三角形的三內角平分線交點也是三角形內切圓的圓心重心是三角形的三條中線的交點. （重心原是一個物理概念，對于等厚度的質量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）外心是三角形的三邊的垂直平分線的交點. 三角形外接圓的圓心.垂心是三角形的三條高的交點旁心是三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線的交點 . 三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心二、三角形五心性質內心: 1、直角三角形的內心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一. 2、為所在平面上任意一點，點是內心的充要條件是：向量 .3、為三角

2、形的內心，、分別為三角形的三個頂點，延長交 邊于，則有.重心: 1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為21. 2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等. 即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比. 3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小. 4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均數，即其重心坐標為. 外心: 1、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合. 2、若是的外心，則（為銳角或直角）或（為鈍角）.3、計算外心的坐標應先計算下列臨時變量：，分別是三角形三個頂點連

3、向另外兩個頂點向量的點乘。， ，；.重心坐標：.4、外心到三頂點的距離相等.垂心:1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓. 2、三角形外心、重心和垂心三點共線，且.（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line） 3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍. 4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等. 旁心: 1、每個三角形都有三個旁心. 2、旁心到三邊的距離相等. 注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。 三、三角形五心性質證明 垂心：已知：ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點O，連接CO并延長交AB于點F

4、 ，求證：CFAB .證明： 連接DE ADB=AEB=90度 A、B、D、E四點共圓 ADE=ABE EAO=DAC AEO=ADC AEOADC AE/AO=AD/AC EADOAC ACF=ADE=ABE 又ABE+BAC=90度 ACF+BAC=90度 CFAB 重心:三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍.證明：如圖：ABC中D為BC中點，E為AC中點，F為AB中點，G為ABC重心做BG中點H，GC中點IHI為GBC的中位線HI/BC,且 2HI=BC同理：FE是ABC中位線FE/BC,且 2FE=BCFE/HI,且 FE=HI四邊形FHIE是平行四邊形HG=GE又H為BG

5、的中點HG=BHHG=BH=GE2GE=BG三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍四、有關三角形五心的詩歌三角形五心歌（重外垂內旁） 三角形有五顆心，重外垂內和旁心， 五心性質很重要，認真掌握莫記混 重 心 三條中線定相交，交點位置真奇巧， 交點命名為“重心”，重心性質要明了， 重心分割中線段，數段之比聽分曉； 長短之比二比一，靈活運用掌握好 外 心 三角形有六元素，三個內角有三邊 作三邊的中垂線，三線相交共一點 此點定義為外心，用它可作外接圓 內心外心莫記混，內切外接是關鍵 垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交 高線分割三角形，出現直角三對整， 直角三角形有十二，構成六對相似形，

6、 四點共圓圖中有，細心分析可找清. 內 心 三角對應三頂點，角角都有平分線， 三線相交定共點，叫做“內心”有根源； 點至三邊均等距，可作三角形內切圓， 此圓圓心稱“內心”，如此定義理當然 五心性質別記混，做起題來真是好.五心的性質三角形的五心有許多重要性質，它們之間也有很密切的聯系，如：（1）三角形的重心與三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等；（2）三角形的外心到三頂點的距離相等；（3）三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其余三點所構成的三角形的垂心；（4）三角形的內心、旁心到三邊距離相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心

7、是它的中點三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中點三角形的重心；（8）三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心（9）三角形的任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍.下面是更為詳細的性質：1、垂心三角形三邊上的高的交點稱為三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性質：設ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足,垂心為H。性質1 垂心H關于三邊的對稱點，均在ABC的外接圓上。性質2 ABC中,有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。性質3 H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形

8、的垂心(并稱這樣的四點為一垂心組)。性質4 ABC,ABH,BCH,ACH的外接圓是等圓。性質5 在非直角三角形中,過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。性質6 三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。性質7 設O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。性質8 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。性質9 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形

9、的周長最短。2、內心三角形的內切圓的圓心簡稱為三角形的內心，即三角形三個角平分線的交點。內心有下列優(yōu)美的性質：性質1 設I為ABC的內心,則I為其內心的充要條件是：到ABC三邊的距離相等。性質2 設I為ABC的內心，則BIC=90°+12A，類似地還有兩式；反之亦然。性質3 設I為ABC內一點，AI所在直線交ABC的外接圓于D。I為ABC內心的充要條件是ID=DB=DC。性質4 設I為ABC的內心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分別為D、E、F；內切圓半徑為r，令p= (1/2)(a+b+c)，則(1)SABC=pr；(2)r=2SABC/a+b+c ；(

10、3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p·AI·BI·CI。性質5 三角形一內角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內心的距離相等；反之，若I為ABC的A平分線AD(D在ABC的外接圓上)上的點，且DI=DB，則I為ABC的內心。性質6 設I為ABC的內心，BC=a，AC=b，AB=c，A的平分線交BC于K,交ABC的外接圓于D，則 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。3、外心三角形的外接圓的圓心簡稱三角形的外心.即三角形三邊中垂線的交點。外心有如下一系列優(yōu)美性質：性質1三角形的外心到三頂點的

11、距離相等，反之亦然。性質2 設O為ABC的外心，則BOC=2A，或BOC=360°-2A(還有兩式)。性質3 設三角形的三條邊長，外接圓的半徑、面積分別為a、b、c,R、S，則R=abc/4S。性質4 過ABC的外心O任作一直線與邊AB、AC(或延長線)分別相交于P、Q兩點，則AB/AP ·sin2B+ AC/AQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C。性質5 銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和。4、重心性質1 設G為ABC的重心，ABC內的點Q在邊BC、CA、AB邊上的射影分別為D、E、F，則當Q與G重合時QD·QE·QF最大；反之亦然。性質2 設G為A