概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)金治明李永樂(lè)版課后答案

1、1. 第二章2. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為：求c的值。解：由分布律的性質(zhì)：，得所以有 3. 一口袋中裝有m個(gè)白球，n m個(gè)黑球，連續(xù)無(wú)放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，此時(shí)取出了個(gè)白球，求的分布律。解：由題設(shè)知，隨機(jī)變量的可能取值為：，且事件表示一共取了k +1次球，前k次取到的都是白球，第k +1次取到的是黑球。所以有4. 設(shè)一個(gè)試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：成功或失敗，且每次試驗(yàn)成功的概率為，現(xiàn)進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，求下列的分布律。（1） 將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以表示所需的試驗(yàn)次數(shù)（幾何分布）（2） 將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)k次成功為止，以表示獲得k次成功時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)（巴斯卡分布）解：（1）由題設(shè)知，隨機(jī)變量的

2、可能取值為：，且事件表示一共進(jìn)行了n 次試驗(yàn)，且前n 1次均是失敗，而第n 次成功。所以有（2） 由題設(shè)知，隨機(jī)變量的可能取值為：，且事件表示一共進(jìn)行了n 次試驗(yàn)，且前n 1次中成功了k 1次，而第n 次也成功。所以有5. 求k使得二項(xiàng)分布達(dá)到最大值。解：假設(shè)有則有：所以當(dāng)為整數(shù)時(shí)，或時(shí)，的值最大；當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，（表示不超過(guò)x的最大整數(shù)）時(shí)，的值最大。6. 設(shè)某商店銷(xiāo)售某商品的數(shù)量服從參數(shù)為5的泊松分布，問(wèn)在月初進(jìn)貨多少才能保證當(dāng)月不脫銷(xiāo)的概率為0.999。解：假設(shè)在月初進(jìn)貨量為x時(shí)，才能保證當(dāng)月不脫銷(xiāo)的概率為0.999。則由題意有即由此得到x = 16。7. 設(shè)隨機(jī)變量具有對(duì)稱的密度函數(shù)，即

3、，證明對(duì)任意的，有（1） ；（2） ；（3） 。證明：（1） (=1-F(a)（2）因?yàn)?所以由（1）知，有（3） 因?yàn)?所以由（2）知，有8. 設(shè)都是一元分布函數(shù)，證明也是分布函數(shù)。證明：令，要證是分布函數(shù)，只要證滿足以下性質(zhì)既可：（1） 非降函數(shù)；（2） ；（3）是右連續(xù)函數(shù)。因?yàn)槎际且辉植己瘮?shù)，所以滿足上面的性質(zhì)，又因?yàn)?，所以有是非降函?shù)即是分布函數(shù)9. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，求常數(shù)及密度函數(shù)。解：由分布函數(shù)的性質(zhì)有：由此得到：。所以密度函數(shù)是：10. 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求c，使得。解：因?yàn)?，所以?1. 確定下列函數(shù)中的常數(shù)A，使之成為密度函數(shù)：（1） ；（2） （3） 解：（

4、1） 由 ，有驗(yàn)證下列函數(shù) （2） （3） 12. 某城市每天用電量不超過(guò)百萬(wàn)度，以表示每天的耗電量（即用電量除以百萬(wàn)度），它具有密度函數(shù)若該城市每天的供電量?jī)H80萬(wàn)度，求供電量不夠需要的概率是多少？如果每天供電量80萬(wàn)度呢？解：若該城市每天的供電量?jī)H80萬(wàn)度，則供電量不夠需要的概率是：若該城市每天供電量為90萬(wàn)度，則供電量不夠需要的概率是：13. 某城市每天用電量不超過(guò)百萬(wàn)度，以表示每天的耗電量（即用電量除以百萬(wàn)度），它具有密度函數(shù)若該城市每天的供電量?jī)H80萬(wàn)度，求供電量不夠需要的概率是多少？如果每天供電量80萬(wàn)度呢？解：若該城市每天的供電量?jī)H80萬(wàn)度，則供電量不夠需要的概率是：若該城市每天

5、供電量為90萬(wàn)度，則供電量不夠需要的概率是：14. 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，（1） 求；（2） 求常數(shù)a，使；（3） 求常數(shù)a，使。解： 因?yàn)?，所以，則有（1）又因?yàn)?，所以有（3）又因?yàn)?，所以15. 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)解： 易知的取值范圍是，對(duì)任意的，有所以的密度函數(shù)為16. 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)。解：先求的分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，有所以的密度函數(shù)是：17. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間（以分記）服從指數(shù)分布，其密度為：某顧客若等待時(shí)間超過(guò)10分，他就離開(kāi)，一個(gè) 月他去銀行5次，以表示一個(gè)月內(nèi)他未等待服務(wù)而離開(kāi)的次數(shù)。寫(xiě)出的分布律，并求。解：設(shè)顧客的等

6、待時(shí)間為，則有： 所以，即1. 第三章2. 在袋中裝有個(gè)球，其中有個(gè)紅球，個(gè)白球，且，現(xiàn)從中任取個(gè)球（），設(shè)取出的紅球數(shù)為，取出的白球數(shù)為，求的分布律與邊緣分布律。解：的分布律為：邊緣分布律為：3. 設(shè)離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：，求邊緣分布律。解：關(guān)于的邊緣分布律為：即服從參數(shù)為的Poisson分布。關(guān)于的邊緣分布律為：即服從參數(shù)為的Poisson分布。4. 設(shè)隨機(jī)向量的密度函數(shù)為：求中至少有一個(gè)小于的概率。解：設(shè)為事件“中至少有一個(gè)小于”。則有所以中至少有一個(gè)小于的概率為：5. 設(shè)隨機(jī)向量的密度函數(shù)為：求常數(shù)c及求邊緣密度函數(shù)。解：由得 關(guān)于的邊緣密度函數(shù)為：關(guān)于的邊緣密度函數(shù)為：6.

7、設(shè)隨機(jī)向量在由曲線：所圍成的區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，寫(xiě)出的聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)。解：因?yàn)閰^(qū)域：的面積是，所以的聯(lián)合密度函數(shù)為：關(guān)于的邊緣密度函數(shù)為：關(guān)于的邊緣密度函數(shù)為：7. 設(shè)隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)為：求：在的條件下，的分布函數(shù)與密度函數(shù)。解：因?yàn)樗栽诘臈l件下，的分布函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，即在的條件下，的分布函數(shù)為：在的條件下，的密度函數(shù)為： 設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且服從上的均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。解：方程有實(shí)根的充要條件是：所以方程有實(shí)根的概率為：設(shè)隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)為：求的密度函數(shù)。解：由隨機(jī)變量和的密度公設(shè)隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)為：求的密度函數(shù)。解：的分布函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，所以的密

8、度函數(shù)為：設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且服從同一的參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度函數(shù)。解： 的分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，所以的密度函數(shù)為：設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且服從同一正態(tài)分布，證明：與相互獨(dú)立。證明：令則有所以與的聯(lián)合密度為：由上式易知與相互獨(dú)立。設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且服從同一指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：證明：與相互獨(dú)立。證明：令則有所以與的聯(lián)合密度為：又因?yàn)榈拿芏群瘮?shù)為：的密度函數(shù)為：所以與相互獨(dú)立18. 設(shè)某種電子裝置的輸出是隨機(jī)變量，它的密度函數(shù)為：現(xiàn)對(duì)它的輸出進(jìn)行了5次獨(dú)立的測(cè)量，得到測(cè)量值。（1） 求的分布函數(shù)；（2） 求。解：（1）的取值范圍為，其分布函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，所以的分布函數(shù)為： 第四章設(shè)隨機(jī)變量

9、具有分布率: ,求解: ，則 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為 說(shuō)明的數(shù)學(xué)期望不存在.解： 由于，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂，由數(shù)學(xué)期望的定義知，的數(shù)學(xué)期望不存在.4.某人的一串鑰匙有把,其中只有一把能開(kāi)大門(mén),他隨意地試用這些鑰匙.求試用次數(shù)的數(shù)學(xué) 期望與方差.假定: (1)把每次試用過(guò)的鑰匙分開(kāi);(2)每次試用過(guò)的鑰匙不分開(kāi).解：設(shè)試用次數(shù)為 ，表示第次打開(kāi)門(mén)這一事件，（1）的分布率為 則（2）因?yàn)?是一列相互獨(dú)立的事件，所以的分布率為則5.設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求：（1）；（2）的數(shù)學(xué)期望。 解：（1）（2） 6.設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求.解：因?yàn)?所以7.設(shè)在時(shí)間內(nèi)經(jīng)搜索發(fā)現(xiàn)沉船的概率為求發(fā)現(xiàn)沉船

10、所需的平均搜索時(shí)間.解：設(shè)發(fā)現(xiàn)沉船所需時(shí)間為,其分布函數(shù)記為，故的密度函數(shù)為 ，所以設(shè)隨機(jī)變量，令求.解：因?yàn)?， 的密度函數(shù)則.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為 為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺(tái)設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元.試求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.解：設(shè)工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利元，則的分布率為 故 13. 設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布，在上服從均勻分布，且相互獨(dú)立，試求解：因?yàn)樵谏戏木鶆蚍植迹谏戏木鶆蚍植?，所以?相互獨(dú)立，因此15.設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，記，.試證：（1）；（2）；（3）.

11、證明：（1）因?yàn)槭仟?dú)立同分布的隨機(jī)變量，故（2）（3）因?yàn)樗?16.設(shè)隨機(jī)變量有密度函數(shù)求，并問(wèn)與是否相關(guān)？解： 因?yàn)?所以與是不相關(guān)的.18.已知隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣為，求的相關(guān)系解：因?yàn)?，所?故 21.設(shè)，與獨(dú)立同分布，令，試求的相關(guān)系數(shù)(其中為非零常數(shù)).解 :因?yàn)榕c獨(dú)立，所以.則故 25.設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，服從柯西分布即其密度為其中，為常數(shù)。已知柯西分布的特征函數(shù)為，證明：也服從柯西分布.解：因?yàn)闉楠?dú)立的隨機(jī)變量，由定理知隨機(jī)變量的特征函數(shù)為，其中則的特征函數(shù)為，由唯一性定理知也服從柯西分布.27. 設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，它的均值向量為，協(xié)方差矩陣為，試求的密度函數(shù)及

12、特征函數(shù).解：記，則 ，故的密度函數(shù)為的特征函數(shù)為 第五章1.（馬爾可夫大數(shù)定律）設(shè)為隨機(jī)變量序列，滿足馬爾可夫條件：證明：對(duì)任給的，有證明：對(duì)任給的，有切比雪夫不等式得因?yàn)?，所?. 設(shè)相互獨(dú)立得隨機(jī)變量序列滿足：，證明當(dāng)時(shí)，滿足大數(shù)定律。證明：，當(dāng)時(shí)， ，因此滿足馬爾可夫條件，故當(dāng)時(shí)，滿足大數(shù)定律。3. 計(jì)算器在進(jìn)行加法時(shí)，將每個(gè)加數(shù)舍入最接近的整數(shù)。舍入誤差是獨(dú)立的且在上均勻分布。（1）若將1500個(gè)數(shù)相加，問(wèn)誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率是多少？（2）最多可有幾個(gè)數(shù)相加使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90？解：設(shè)第個(gè)加數(shù)的舍入誤差為，則為獨(dú)立的且在上均勻分布的隨機(jī)變量列。（

13、1）1500個(gè)數(shù)相加，其誤差總和為，由中心極限定理知 （2）設(shè)）最多可有個(gè)數(shù)相加其誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90，即也即 查表可得由此可計(jì)算得最多可有443個(gè)數(shù)相加使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90。6. 某單位設(shè)置一電話總機(jī)，共有200架電話分機(jī)。設(shè)每部分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，并且每時(shí)刻每部分機(jī)使用外線通話的概率為0.05，問(wèn)總機(jī)需要多少外線才能以不低于0.90的概率保證每個(gè)分機(jī)使用外線？解：設(shè)總機(jī)需要外線才能以不低于0.90的概率保證每個(gè)分機(jī)使用外線，令則相互獨(dú)立且同服從二項(xiàng)分布，易知，由條件知，根據(jù)中心極限定理 查表可知， ，故總機(jī)至少需要14外線才能以

14、不低于0.90的概率保證每個(gè)分機(jī)使用外線。第七章3.設(shè)總體具有密度函數(shù)是其樣本,求的矩估計(jì).解 ，由矩法令，解得4.設(shè)為其樣本.求和的矩估計(jì).解因 ，由例7-1，令解得5.設(shè)總體的密度函數(shù)(或分布律)為為其樣本,求下列情況下的極大似然估計(jì).似然函數(shù)為似然方程為解得似然函數(shù)為似然方程為解得6.設(shè)總體的密度為其中未知，為其樣本,求的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).今得樣本觀察值0.30,0.80,0.27,0.35,0.62,0.55,求的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值.解，由矩法令，解得矩估計(jì)，矩估計(jì)值為似然函數(shù)為似然方程為解得極大似然估計(jì)，極大似然估計(jì)值9.設(shè)總體具有密度函數(shù)其中未知,為其樣本.求的極大似然估

15、計(jì).解似然函數(shù)為似然方程為解得10.設(shè)總體有密度函數(shù)其中未知,為其樣本.求的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).解，令，解得矩估計(jì)似然函數(shù)為故的極大似然估計(jì)為11.設(shè)總體為其樣本. 求,使為的無(wú)偏估計(jì); 求,使為的無(wú)偏估計(jì).解 ，故 所以12.設(shè)是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì),且有證明不是的無(wú)偏估計(jì).解.13.設(shè)從均值為,方差為的總體中,分別抽取容量為的兩個(gè)獨(dú)立樣本.和分別是兩樣本的均值.試證,對(duì)于任意都是的無(wú)偏估計(jì),并確定常數(shù)使達(dá)到最小.解即在條件下,求的最小值.令，求導(dǎo)得 解得，14.設(shè)分別自總體和中抽取容量為的兩個(gè)獨(dú)立樣本.其樣本方差分別.試證,對(duì)于任何常數(shù)都是的無(wú)偏估計(jì),并確定常數(shù)求求達(dá)到最小.解.利用 得，所以

16、即在下，求的最小值,求得，.15.設(shè)總體的密度函數(shù)為16.設(shè)總體的密度函數(shù)為為其樣本,試證及都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì),問(wèn)哪個(gè)較有效?解考慮一般情形，設(shè)為樣本，比較和的密度為的密度為由此算得又有故較有效，實(shí)際上是的最小方差無(wú)偏估計(jì)17.設(shè)總體服從指數(shù)分布,其密密函數(shù)為 為其樣本. 求的極大似然估計(jì)； 求,使為的無(wú)偏估計(jì)； 求的置信水平為的雙側(cè)置信區(qū)間.解 (1) 似然函數(shù)為 似然方程為 解得(2) 由此得(3) 因 ，由得的置信水平為的雙側(cè)置信區(qū)間為18.隨機(jī)地從一批零件中抽取16個(gè),測(cè)得長(zhǎng)度(單位:cm)為2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.1

17、02.132.112.142.11設(shè)零件長(zhǎng)度的分布為正態(tài),試求總體均值的90%的置信區(qū)間:若；若未知.解 設(shè)為零件長(zhǎng)度，則(1) 當(dāng)已知時(shí)，的90%的置信區(qū)間為(2) 當(dāng)未知時(shí)，的90%的置信區(qū)間為22.隨機(jī)地從批導(dǎo)線中抽取4根,并從批導(dǎo)線中抽取5根測(cè)得其電阻為A批導(dǎo)線0.1430.1420.1430.137B批導(dǎo)線0.1400.1420.1360.1380.140設(shè)測(cè)試數(shù)據(jù)分別服從正態(tài)分布和,且它們相互獨(dú)立,又未知,試求的0.95置信區(qū)間.解 的0.95置信區(qū)間為經(jīng)計(jì)算得查表得 ，最后算得區(qū)間是.第八章1.某電器元件平均電阻值一直保持2.64,今測(cè)得采用新工藝生產(chǎn)36個(gè)元件的平均阻值為2.6

18、1,假定在正常條件下,電阻值服從正態(tài)分布,而且新工藝不改變電阻的標(biāo)準(zhǔn)差.已知改變工藝前的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.06,問(wèn)新工藝對(duì)產(chǎn)品的電阻值是否有顯著性影響?解 設(shè)為新工藝生產(chǎn)的電器元件的電阻值，則,.要檢驗(yàn)的假設(shè)為 vs 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，拒絕域?yàn)榻?jīng)計(jì)算得因，故拒絕，即新工藝對(duì)產(chǎn)品的電阻值有顯著影響2.一種元件,要求其使用壽命不得低于1000(小時(shí)).現(xiàn)在從一批這種元件中隨機(jī)抽取25件,測(cè)得其壽命平均值為950(小時(shí)).已知該種元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差(小時(shí))的正態(tài)分布,試在顯著性水平0.05下確定這批元件是否合格.解 設(shè)為元件的使用壽命，則,要檢驗(yàn)的假設(shè)為vs 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，拒絕域?yàn)榻?jīng)計(jì)算得 因，拒絕，在顯著

19、性水平0.05下這批元件不合格3.某廠生產(chǎn)的某種鋼索的斷裂強(qiáng)度服從正態(tài),其中(kg/cm2),現(xiàn)在一批這種鋼索的容量為9的一個(gè)樣本測(cè)得斷裂強(qiáng)度平均值為,與以往正常生產(chǎn)的相比,較大20(kg/cm2).設(shè)總體方差不變,問(wèn)在能否認(rèn)為這批鋼索質(zhì)量顯著提高?解 設(shè)為鋼索的斷裂強(qiáng)度，且,.要檢驗(yàn) vs 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，拒絕域?yàn)榻?jīng)計(jì)算得 因，不拒絕,這批鋼索質(zhì)量沒(méi)有顯著提高.8.為校正試用的普通天平,把在該天平上稱為100克的10個(gè)試樣在計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)天平上進(jìn)行稱量,得如下結(jié)果:99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5, 99.2假設(shè)在天平上稱量的結(jié)果服從正態(tài),問(wèn)普通天平稱量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)天平稱量結(jié)果