202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件

1、3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (北京專用)A A組自主命題組自主命題北京卷題組北京卷題組五年高考考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.(2016北京,18,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程為y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解析解析(1)因?yàn)閒(x)=xea-x+bx,所以f (x)=(1-x)ea-x+b.依題設(shè),知即解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f (x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知, f (x)與1-x+ex-1同號(hào).令g(x

2、)=1-x+ex-1,則g(x)=-1+ex-1.所以,當(dāng)x(-,1)時(shí),g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增.故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-,+)上的最小值,從而g(x)0,x(-,+).綜上可知, f (x)0,x(-,+).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+).(2)2e2, (2)e1,ff222e22e2,ee 1.aabb方法總結(jié)方法總結(jié) (1)曲線在某點(diǎn)處的切線滿足兩個(gè)條件:一是過該點(diǎn),二是斜率(若斜率存在)等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.(2)討論函數(shù)的單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化,因此常將導(dǎo)函數(shù)作為一個(gè)新函數(shù)來研究其值域(最值),利用所得結(jié)果確定原函數(shù)的單調(diào)性.

3、2.(2012北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;(2)當(dāng)a2=4b時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-,-1上的最大值.解析解析(1)f (x)=2ax,g(x)=3x2+b.因?yàn)榍€y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,所以f(1)=g(1),且f (1)=g(1).即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.(2)記h(x)=f(x)+g(x).當(dāng)b=a2時(shí),h(x)=x3+ax2+a2x+1

4、,h(x)=3x2+2ax+a2.令h(x)=0,得x1=-,x2=-.a0時(shí),h(x)與h(x)的情況如下:1414142a6ax-h(x)+0-0+h(x) a,2 a2aa,26a6a,6所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和;單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)-1,即0a2時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間(-,-1上單調(diào)遞增,h(x)在區(qū)間(-,-1上的最大值為h(-1)=a-a2.當(dāng)-1,且-1,即2a6時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,h(x)在區(qū)間(-,-1上的最大值為h=1.當(dāng)-6時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.,2a ,6a,26aa2a142a6a

5、,2a , 12a2a6a,2a ,26aa, 16a又因?yàn)閔-h(-1)=1-a+a2=(a-2)20,所以h(x)在區(qū)間(-,-1上的最大值為h=1.2a14142a評(píng)析評(píng)析 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值問題,進(jìn)一步考查學(xué)生的計(jì)算能力及分類討論思想.3.(2011北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值.解析解析(1)f (x)=(x-k+1)ex.令f (x)=0,得x=k-1.f(x)與f (x)的情況如下:x(-,k-1)k-1(k-1,+)f (x)-0+f(x)-ek-1所以, f(x)

6、的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+).(2)當(dāng)k-10,即k1時(shí),函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)=-k;當(dāng)0k-11,即1k2時(shí),由(1)知f(x)在0,k-1)上單調(diào)遞減,在(k-1,1上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k-1)=-ek-1;當(dāng)k-11,即k2時(shí),函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)=(1-k)e.評(píng)析評(píng)析 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間,求最值等知識(shí),同時(shí)考查分析、解決問題及運(yùn)算能力,正確求導(dǎo)是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)

7、的極( (最最) )值值1.1.(2019北京理，19，13分)已知函數(shù)f(x)= x3- x2+ x. (1) 求曲線y= f(x)的斜率為1的切線方程；(2)當(dāng)x-2,4時(shí)，求證：x-6f(x)x;(3)設(shè)F（x）=| f(x)-(x+a)|(aR)，記F（x）在區(qū)間-2，4上的最大值為M（a）.當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值.14解析解析本題考查函數(shù)圖象的切線,函數(shù)的極值、最值,考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力,以及運(yùn)用函數(shù)的基本性質(zhì)分析、解決問題的能力.(1)由f(x)=x3-x2+x得f (x)=x2-2x+1.令f (x)=1,即x2-2x+1=1,得x=0或x=.又f(0)=0,

8、 f=,所以曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程是y=x與y-=x-,即y=x與y=x-.(2)令g(x)=f(x)-x,x-2,4.由g(x)=x3-x2得g(x)=x2-2x.令g(x)=0,得x=0或x=.g(x),g(x)的情況如下:1434348383827827836427143483x-2(-2,0)04g(x) + - + g(x)-60-080,3838,436427所以g(x)的最小值為-6,最大值為0.故-6g(x)0,即x-6f(x)x.(3)由(2)知,當(dāng)a3;當(dāng)a-3時(shí),M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3;當(dāng)a=-3時(shí),M(a)=3.綜上,當(dāng)M(a)最

9、小時(shí),a=-3.2.(2018北京,18,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線與x軸平行,求a;(2)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.解析解析(1)因?yàn)閒(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,所以f (x)=ax2-(2a+1)x+2ex.f (1)=(1-a)e.由題設(shè)知f (1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此時(shí)f(1)=3e0.所以a的值為1.(2)由(1)得f (x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(ax-1)(x-2)ex.若a,則當(dāng)x時(shí), f (x)0.所以f(x)在x=

10、2處取得極小值0.若a,則當(dāng)x(0,2)時(shí),x-20,ax-1x-10,所以2不是f(x)的極小值點(diǎn).綜上可知,a的取值范圍是.121,2a12121,2方法總結(jié)方法總結(jié) 函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略(1)已知導(dǎo)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).(2)已知函數(shù)求極值.求f (x)求方程f (x)=0的根列表檢驗(yàn)f (x)在f (x)=0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極值,則f (x0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)相反.3.(2017北京,19,13分)已知函數(shù)f(x)=e

11、xcos x-x.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.0,2解析解析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.(1)因?yàn)閒(x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0.又因?yàn)閒(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程為y=1.(2)設(shè)h(x)=ex(cos x-sin x)-1,則h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.當(dāng)x時(shí),h(x)0,所以h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意x有h(x

12、)h(0)=0,即f (x)0得到f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間,令f (x)0得到f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間.4.(2014北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=xcos x-sin x,x.(1)求證:f(x)0;(2)若ab對(duì)x恒成立,求a的最大值與b的最小值.0,2sin xx0,2解析解析(1)由f(x)=xcos x-sin x得f (x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.因?yàn)樵趨^(qū)間上f (x)=-xsin x0時(shí),“a”等價(jià)于“sin x-ax0”,“b”等價(jià)于“sin x-bx0對(duì)任意x恒成立.當(dāng)c1時(shí),因?yàn)閷?duì)任意x,g(x)=cos x-c0,所

13、以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.從而g(x)g(0)=0對(duì)任意x恒成立.當(dāng)0cg(0)=0.進(jìn)一步,“g(x)0對(duì)任意x恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)g=1-c0,即00對(duì)任意x恒成立;當(dāng)且僅當(dāng)c1時(shí),g(x)0對(duì)任意x恒成立.所以,若a0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.解析解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f (x)=3x2+2ax+b.因?yàn)閒(0)=c, f (0)=b,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程為y=bx+c.(3分)(2)當(dāng)a=b=4時(shí), f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f (x)=3x2+8x+4.令f (x)=0,得3x2+8x+4=0,解得

14、x=-2或x=-.(4分)f(x)與f (x)在區(qū)間(-,+)上的情況如下:23x(-,-2)-2-f (x)+0-0+f(x)cc-22,3232,33227所以,當(dāng)c0且c-0時(shí),存在x1(-4,-2),x2,x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí),函數(shù)f(x)=x3+4x2+4x+c有三個(gè)不同零點(diǎn).(8分)(3)證明:當(dāng)=4a2-12b0,x(-,+),此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)上單調(diào)遞增,所以 f(x)不可能有三個(gè)不同零點(diǎn).(9分)當(dāng)=4a2-12b=0時(shí), f (x)=3x2+2ax+b只有一個(gè)零點(diǎn),記作x0.當(dāng)x(-,x0)時(shí),

15、f (x)0, f(x)在區(qū)間(-,x0)上單調(diào)遞增;當(dāng)x(x0,+)時(shí), f (x)0, f(x)在區(qū)間(x0,+)上單調(diào)遞增.所以f(x)不可能有三個(gè)不同零點(diǎn).綜上所述,若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn),則必有=4a2-12b0.322722,32,03320,27故a2-3b0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件.(11分)當(dāng)a=b=4,c=0時(shí),a2-3b0, f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有兩個(gè)不同零點(diǎn),所以a2-3b0不是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件.(12分)因此a2-3b0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.(13分)疑點(diǎn)突破疑點(diǎn)突破 本題第(3)問中對(duì)必

16、要性的證明,因?yàn)閒 (x)=3x2+2ax+b含有兩個(gè)參數(shù),不能分解因式,故需討論0三種情況;對(duì)于充分性不成立的證明,只需舉反例a=b=4,c=0即可.2.(2015北京文,19,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=-kln x,k0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)證明:若f(x)存在零點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(1,上僅有一個(gè)零點(diǎn).22xe解析解析(1)由f(x)=-kln x(k0)得f (x)=x-=.由f (x)=0解得x=.f(x)與f (x)在區(qū)間(0,+)上的情況如下:22xkx2xkxkx(0, )( ,+)f (x)-0+f(x)kkkk(1k)2ln所以, f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是

17、(0,),單調(diào)遞增區(qū)間是(,+);f(x)在x=處取得極小值f()=.(2)由(1)知, f(x)在區(qū)間(0,+)上的最小值為f()=.因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn),所以0,從而ke.當(dāng)k=e時(shí), f(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減,且f()=0,所以x=是f(x)在區(qū)間(1,上的唯一零點(diǎn).當(dāng)ke時(shí), f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減,且f(1)=0, f()=0,2x0,ln 20.當(dāng)f(x)=2-x時(shí),exf(x)在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,故具有M性質(zhì),易知B、C、D不具有M性質(zhì),故選A.e2xxe2xxe2xxxxxxx222 ln2(2 )eee2xx2.(2016課標(biāo),12,5分)若函數(shù)f

18、(x)=x-sin 2x+asin x在(-,+)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是()A.-1,1 B.C. D. 1311,31 1,3 311,3 答案答案C f (x)=1-cos 2x+acos x=1-(2cos2x-1)+acos x=-cos2x+acos x+, f(x)在R上單調(diào)遞增,則f (x)0在R上恒成立,令cos x=t,t-1,1,則-t2+at+0在-1,1上恒成立,即4t2-3at-50在-1,1上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,則解得-a,故選C.232343534353(1)4350,( 1)4350,gaga1313疑難突破疑難突破由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范

19、圍,利用導(dǎo)數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,再利用二次函數(shù)來解決.3.(2017江蘇,11,5分)已知函數(shù)f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f(a-1)+f(2a2)0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .1ex答案答案 11,2解析解析本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.易知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.f(x)=x3-2x+ex-,f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-x3+2x+-ex=-f(x),f(x)為奇函數(shù),又f (x)=3x2-2+ex+3x2-2+2=3x20(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),取“=”),從而f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(a-1)+f(2a2)

20、0f(a-1)f(-2a2)-2a2a-1,解得-1a.1ex1ex1ex1ex12方法小結(jié)方法小結(jié)函數(shù)不等式的求解思路:(1)轉(zhuǎn)化為f(x)f(g(x);(2)結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為(x)g(x)或(x)g(x).4.(2018課標(biāo)全國(guó),21,12分)已知函數(shù)f(x)=-x+aln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:2,令f (x)=0,得x=或x=.當(dāng)x時(shí), f (x)0.所以f(x)在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.21xax221xaxx242aa242aa240,2aa24,2aa2244,22aaaa240,2aa24,2aa2244,22aaa

21、a(2)由(1)知, f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨設(shè)x11,由于=-1+a=-2+a=-2+a,所以a-2等價(jià)1212( )()f xf xxx121x x1212lnlnxxxx1212lnlnxxxx2222ln1xxx1212( )()f xf xxx于-x2+2ln x20.設(shè)函數(shù)g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+)上單調(diào)遞減,又g(1)=0,從而當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)0,所以-x2+2ln x20,即a-2.21x1x21x1212( )()f xf xxx5.(201

22、7課標(biāo)全國(guó),21,12分)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.解析解析本題考查了利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)問題.(1)f(x)的定義域?yàn)?-,+), f (x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).(i)若a0,則f (x)0,則由f (x)=0得x=-ln a.當(dāng)x(-,-ln a)時(shí), f (x)0.所以f(x)在(-,-ln a)上單調(diào)遞減,在(-ln a,+)上單調(diào)遞增.(2)(i)若a0,由(1)知, f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(ii)若a0,由(1)知,當(dāng)x=-ln

23、 a時(shí), f(x)取得最小值,最小值為f(-ln a)=1-+ln a.當(dāng)a=1時(shí),由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a(1,+)時(shí),由于1-+ln a0,即f(-ln a)0,故f(x)沒有零點(diǎn);1a1a當(dāng)a(0,1)時(shí),1-+ln a0,即f(-ln a)-2e-2+20,故f(x)在(-,-ln a)有一個(gè)零點(diǎn).1a設(shè)正整數(shù)n0滿足n0ln,則f(n0)=(a+a-2)-n0-n0-n00.由于ln-ln a,因此f(x)在(-ln a,+)有一個(gè)零點(diǎn).綜上,a的取值范圍為(0,1).31a0en0en0en02n31a6.(2015重慶,19,12分)已知函數(shù)f(x)

24、=ax3+x2(aR)在x=-處取得極值.(1)確定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性.43解析解析(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f (x)=3ax2+2x,因?yàn)閒(x)在x=-處取得極值,所以f =0,即3a+2=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=ex,故g(x)=ex+ex=ex=x(x+1)(x+4)ex.434316943163a83123212xx2322xx3212xx3215222xxx12令g(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.當(dāng)x-4時(shí),g(x)0,故g(x)為減函數(shù);當(dāng)-4x0,故g(x)為增函數(shù);當(dāng)-1x0時(shí),g(x)0時(shí),g(x)0,

25、故g(x)為增函數(shù).綜上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)內(nèi)為減函數(shù),在(-4,-1)和(0,+)內(nèi)為增函數(shù).評(píng)析評(píng)析 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值的方法;考查了運(yùn)算求解能力及分析論證能力.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極( (最最) )值值1.(2017課標(biāo)全國(guó),11,5分)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為()A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1答案答案A本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.由題意可得f (x)=ex-1x2+(a+2)x+a-1.x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),f

26、 (-2)=0,a=-1,f(x)=(x2-x-1)ex-1, f (x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x-1)(x+2),x(-,-2),(1,+)時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞增;x(-2,1)時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞減.f(x)極小值=f(1)=-1.故選A.思路分析思路分析由x=-2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)可知f (-2)=0,從而求出a的值,將a的值代入導(dǎo)函數(shù)f (x),求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,判斷極小值點(diǎn),從而求出函數(shù)的極小值.2.(2016四川,6,5分)已知a為函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點(diǎn),則a=()A.-4 B.-2 C.4 D.2答案答案D由

27、題意可得f (x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f (x)=0,得x=-2或x=2,則f (x), f(x)隨x的變化情況如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f (x)+0-0+f(x)極大值極小值函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值,則a=2.故選D.評(píng)析評(píng)析 本題考查了函數(shù)的極值問題.正確理解函數(shù)的極值點(diǎn)的概念是解題的關(guān)鍵.3.(2018課標(biāo)全國(guó),16,5分)已知函數(shù)f(x)=2sin x+sin 2x,則f(x)的最小值是 .答案答案- 3 32解析解析解法一:由f(x)=2sin x+sin 2x,得f (x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos

28、 x-2,令f (x)=0,得cos x=或cos x=-1,可得當(dāng)cos x時(shí), f (x)0, f(x)為增函數(shù),所以當(dāng)cos x=時(shí), f(x)取最小值,此時(shí)sin x=.又因?yàn)閒(x)=2sin x+2sin xcos x=2sin x(1+cos x),1+cos x0恒成立,f(x)取最小值時(shí),sin x=-,f(x)min=2=-.解法二: f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x+2sin xcos x=2sin x(1+cos x),f 2(x)=4sin2x(1+cos x)2=4(1-cos x)(1+cos x)3.令cos x=t,t-1,1,設(shè)g(t)=4

29、(1-t)(1+t)3,g(t)=-4(1+t)3+12(1+t)2(1-t)=4(1+t)2(2-4t).當(dāng)t時(shí),g(t)0,g(t)為增函數(shù);當(dāng)t時(shí),g(t)0時(shí),f (x)0,f(x)在(0,+)上為增函數(shù),又f(0)=1,f(x)在(0,+)上沒有零點(diǎn),a0.當(dāng)0 x時(shí), f (x)時(shí), f (x)0, f(x)為增函數(shù),x0時(shí), f(x)有極小值,為f=-+1.f(x)在(0,+)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),f=0,a=3.f(x)=2x3-3x2+1,則f (x)=6x(x-1).令f (x)=0,得x=0或x=1.3a3a3a327a3ax-1(-1,0)0(0,1)1f (x) + -

30、 f(x)-4增1減0f(x)在-1,1上的最大值為1,最小值為-4.最大值與最小值的和為-3.5.(2019課標(biāo)全國(guó)理,20,12分)已知函數(shù)f(x)=sin x-ln(1+x), f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:(1)f(x)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn);(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).1,2證明證明本題考查了初等函數(shù)求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值和函數(shù)零點(diǎn);考查學(xué)生的推理論證、運(yùn)算求解能力以及靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去分析、解決問題的能力;考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.(1)設(shè)g(x)=f(x),則g(x)=cos x-,g(x)=-sin x+.當(dāng)x

31、時(shí),g(x)單調(diào)遞減,而g(0)0,g0;當(dāng)x時(shí),g(x)0.所以g(x)在(-1,)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故g(x)在存在唯一極大值點(diǎn),即f(x)在存在唯一極大值點(diǎn).(2)f(x)的定義域?yàn)?-1,+).(i)當(dāng)x(-1,0時(shí),由(1)知,f(x)在(-1,0)單調(diào)遞增,而f(0)=0,所以當(dāng)x(-1,0)時(shí),f(x)0,故f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減.又f(0)=0,從而x=0是f(x)在(-1,0的唯一零點(diǎn).11x21(1) x1,221,2,2,21,21,2(ii)當(dāng)x時(shí),由(1)知,f(x)在(0,)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,而f(0)=0,f0;當(dāng)x時(shí),f(x)0,所以當(dāng)x時(shí),f(

32、x)0.從而,f(x)在沒有零點(diǎn).(iii)當(dāng)x時(shí),f(x)0,f()1,所以f(x)0,從而f(x)在(,+)沒有零點(diǎn).綜上, f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).0,2,22,2,2,22120,20,2,2,22,2思路分析思路分析 (1)寫出函數(shù)f(x)的表達(dá)式,利用其導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性及極值點(diǎn).(2)以x為主元進(jìn)行分類討論,分別在各個(gè)區(qū)間上,由導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性判斷f(x)與0的關(guān)系,得到f(x)的單調(diào)性,從而求得在各個(gè)區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù).6.(2019課標(biāo)全國(guó)文,21,12分)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ln x-x-1.證明:(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)

33、實(shí)根互為倒數(shù).解析解析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)及方程根的問題,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算.(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+).f (x)=+ln x-1=ln x-.因?yàn)閥=ln x單調(diào)遞增,y=單調(diào)遞減,所以f (x)單調(diào)遞增.又f (1)=-10,故存在唯一x0(1,2),使得f (x0)=0.又當(dāng)xx0時(shí), f (x)x0時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞增.因此, f(x)存在唯一的極值點(diǎn).1xx1x1x12ln4 12(2)由(1)知f(x0)0,所以f(x)=0在(x0,+)內(nèi)存在唯一根x=.

34、由x01得1x0.又f=ln-1=0,111111( )f 故是f(x)=0在(0,x0)的唯一根.綜上, f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).1思路分析思路分析 (1)求函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),實(shí)質(zhì)是求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),注意應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理;(2)由第(1)問易知方程f(x)=0在(x0,+)上存在唯一根,根據(jù)所要證明的結(jié)論,只需求出f=0即可.17.(2018課標(biāo)全國(guó),21,12分)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,證明:當(dāng)-1x0時(shí), f(x)0時(shí), f(x)0;(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),求a.解析解析本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

35、、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值.(1)證明:當(dāng)a=0時(shí), f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x, f (x)=ln(1+x)-.設(shè)函數(shù)g(x)=f (x)=ln(1+x)-,則g(x)=.當(dāng)-1x0時(shí),g(x)0時(shí),g(x)0.故當(dāng)x-1時(shí),g(x)g(0)=0,且僅當(dāng)x=0時(shí),g(x)=0,從而f (x)0,且僅當(dāng)x=0時(shí), f (x)=0.所以f(x)在(-1,+)單調(diào)遞增.又f(0)=0,故當(dāng)-1x0時(shí), f(x)0時(shí), f(x)0.1xx1xx2(1)xx(2)(i)若a0,由(1)知,當(dāng)x0時(shí), f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),這與x=0是f(x)的極大值點(diǎn)矛盾.(ii)

36、若a0,設(shè)函數(shù)h(x)=ln(1+x)-.2( )2f xxax222xxax由于當(dāng)|x|0,故h(x)與f(x)符號(hào)相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h(x)的極大值點(diǎn).h(x)=-=.如果6a+10,則當(dāng)0 x-,且|x|0,故x=0不是h(x)的極大值點(diǎn).如果6a+10,則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x10,故當(dāng)x(x1,0),且|x|min時(shí),h(x)0;當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a0時(shí),x時(shí),g(x)0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,x時(shí),函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)a0時(shí),g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+);當(dāng)a0

37、時(shí),g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2)由(1)知, f (1)=0.當(dāng)a0時(shí), f (x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x(0,1)時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.當(dāng)0a1,由(1)知f (x)在內(nèi)單調(diào)遞增,可得當(dāng)x(0,1)時(shí), f (x)0.所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.當(dāng)a=時(shí),=1, f (x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x(0,+)時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞減,不合題意.1212a10,2a11,2a11,2a1212a當(dāng)a時(shí),00, f

38、(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x(1,+)時(shí), f (x).1212a1,12a12思路分析思路分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)a進(jìn)行分類討論;(2)由第(1)問知f (1)=0,對(duì)a進(jìn)行分類討論,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值來驗(yàn)證是否滿足條件,從而求出a的取值范圍.評(píng)析評(píng)析 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和極值要注意“定義域優(yōu)先”原則,注意對(duì)a分類討論.9.(2016天津,20,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax-b,xR,其中a,bR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)存在極值點(diǎn)x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求證:x1+2x0=0;(3)設(shè)a0,函數(shù)g(x)=

39、|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間-1,1上的最大值.不小于14解析解析(1)由f(x)=x3-ax-b,可得f (x)=3x2-a.下面分兩種情況討論:當(dāng)a0時(shí),有f (x)=3x2-a0恒成立,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+).當(dāng)a0時(shí),令f (x)=0,解得x=,或x=-.當(dāng)x變化時(shí), f (x), f(x)的變化情況如下表:33a33ax-f (x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增3a,3 3a33a3a,333a33a,3所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,.(2)證明:因?yàn)閒(x)存在極值點(diǎn),所以由(1)知a0,且x00.由題意,得f (x0)

40、=3-a=0,即=,進(jìn)而f(x0)=-ax0-b=-x0-b.又f(-2x0)=-8+2ax0-b=-x0+2ax0-b=-x0-b=f(x0),且-2x0 x0,由題意及(1)知,存在唯一實(shí)數(shù)x1滿足 f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.(3)證明:設(shè)g(x)在區(qū)間-1,1上的最大值為M,maxx,y表示x,y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論:當(dāng)a3時(shí),-11,由(1)知, f(x)在區(qū)間-1,1上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間-1,1上的取值范圍為f(1), f(-1),因此M=max|f(1)|,|f(-1)|=max|1-a-b|,|-1+a-b

41、|=max|a-1+b|,|a-1-b|=33,33aa3,3a 3,3a20 x20 x3a30 x23a30 x83a23a33a33a1,0,1,0.ab bab b 所以M=a-1+|b|2.當(dāng)a3時(shí),-1-1,由(1)和(2)知f(-1)f =f , f(1)f =f ,所以f(x)在區(qū)間-1,1上的取值范圍為f , f ,因此M=max,=max=max=+|b|=.當(dāng)0a時(shí),-1-1,由(1)和(2)知f(-1)f =f ,所以f(x)在區(qū)間-1,1上的取值范圍為f(-1), f(1),因此M=max|f(-1)|,|f(1)|=max|-1+a-b|,|1-a-b|=max|1

42、-a+b|,|1-a-b|=1-a+|b|.綜上所述,當(dāng)a0時(shí),g(x)在區(qū)間-1,1上的最大值不小于.2 33a33a1414思路分析思路分析(1)求含參數(shù)的函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,需要進(jìn)行分類討論;(2)由第(1)問可知a0,要證x1+2x0=0,只需證出f(-2x0)=f(x0),其中x1=-2x0,即可得結(jié)論;(3)求g(x)在-1,1上的最大值,對(duì)a分情況討論即可.評(píng)析評(píng)析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法.考查分類討論思想和化歸思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.10.(2016課標(biāo)全國(guó),21,12分)(1)討論函數(shù)f(x)=ex的單調(diào)

43、性,并證明當(dāng)x0時(shí),(x-2)ex+x+20;(2)證明:當(dāng)a0,1)時(shí),函數(shù)g(x)=(x0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.22xx2exaxax解析解析(1)f(x)的定義域?yàn)?-,-2)(-2,+).(2分)f (x)=0,且僅當(dāng)x=0時(shí), f (x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)單調(diào)遞增.因此當(dāng)x(0,+)時(shí), f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20.(4分)(2)g(x)=(f(x)+a).(5分)由(1)知,y=f(x)+a單調(diào)遞增.對(duì)任意a0,1), f(0)+a=a-10, f(2)+a=

44、a0.因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)+a=0,即g(xa)=0.(6分)當(dāng)0 xxa時(shí), f(x)+a0,g(x)xa時(shí), f(x)+a0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.(7分)因此g(x)在x=xa處取得最小值,最小值為g(xa)=.(8分)2(1)(2)e(2)e(2)xxxxxx22e(2)xxx3(2)e(2)xxa xx32xx2e(1)axaaa xx2e()(1)axaaaf xxxe2axax 于是h(a)=,由=0,得y=單調(diào)遞增.所以,由xa(0,2,得=0;當(dāng)x時(shí),g(x)0,g()=-2,故g(x)在(0,)存在唯一零點(diǎn).所以f (x)在(0,)存在唯一零點(diǎn)

45、.(2)由題設(shè)知f()a,f()=0,可得a0.由(1)知,f (x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為x0,且當(dāng)x(0,x0)時(shí),f (x)0;當(dāng)x(x0,)時(shí),f (x)0,則當(dāng)x(-,0)時(shí), f (x)0;當(dāng)x時(shí), f (x)0.故f(x)在(-,0),單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.若a=0, f(x)在(-,+)單調(diào)遞增.若a0;當(dāng)x時(shí), f (x)0.故f(x)在,(0,+)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(2)滿足題設(shè)條件的a,b存在.(i)當(dāng)a0時(shí),由(1)知, f(x)在0,1單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,1的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-

46、1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.3a,3a0,3a,3a0,3a,3a,03a,3a,03a(ii)當(dāng)a3時(shí),由(1)知, f(x)在0,1單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間0,1的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.(iii)當(dāng)0a3時(shí),由(1)知, f(x)在0,1的最小值為f=-+b,最大值為b或2-a+b.若-+b=-1,b=1,則a=3,與0a3矛盾.若-+b=-1,2-a+b=1,則a=3或a=-3或a=0,與0a3矛盾.綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b=-1或a=4,b=1時(shí), f(x)在0,1的

47、最小值為-1,最大值為1.3a327a327a32327a33思路分析思路分析 (1)求出f (x)=0的兩根,比較根的大小并分類討論.(2)利用(1)中的單調(diào)區(qū)間討論f(x)在0,1上的最值,最終確定參數(shù)a,b的值.疑難突破疑難突破 第(2)問中分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)與0,1的大小關(guān)系,從而確定函數(shù)在0,1上的最值.3.(2019天津文,20,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-a(x-1)ex,其中aR.(1)若a0,討論f(x)的單調(diào)性;(2)若0ax0,證明3x0-x12.1e解析解析本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法.考查函數(shù)思想、化歸

48、與轉(zhuǎn)化思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力,體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).(1)由已知, f(x)的定義域?yàn)?0,+),且f (x)=-aex+a(x-1)ex=.因此當(dāng)a0時(shí),1-ax2ex0,從而f (x)0,所以f(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)證明:(i)由(1)知, f (x)=.令g(x)=1-ax2ex,由0a0,且g=1-a=1-0,故g(x)=0在(0,+)內(nèi)有唯一解,從而f (x)=0在(0,+)內(nèi)有唯一解,不妨設(shè)為x0,則1x0=0,所以f(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x(x0,+)時(shí), f (x)=1時(shí),h(x)=-11時(shí),h(x)h(1)=0,所以ln xx

49、-1.從而f=ln-a=ln-ln+1=hf(1)=0,所以f(x)在(x0,+)內(nèi)有唯一零點(diǎn).又f(x)在(0,x0)內(nèi)有唯一零點(diǎn)1,從而, f(x)在(0,+)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).(ii)由題意,即從而ln x1=,即=.因?yàn)楫?dāng)x1時(shí),ln xx01,1x1lna1lna1ln1a1lnea1lna1a1lna01 ()0,()0,fxf x012011e1,ln(1)e ,xxaxxa x1201xx10exx10exx2011ln1xxx 故=,兩邊取對(duì)數(shù),得ln ln ,于是x1-x02ln x02.10exx2011(1)1xxx20 x10exx20 x思路分析思路分析 (1)求出導(dǎo)

50、函數(shù),結(jié)合a0判定f (x)0,從而得f(x)在(0,+)上遞增;(2)(i)利用導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)判斷f(x)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(ii)由極值點(diǎn)x0及零點(diǎn)x1建立方程組從而得到=,又由x1時(shí),ln xx-1,得到=,兩邊取對(duì)數(shù)即可得結(jié)論.012011e1,ln(1) e ,xxaxxa x10exx2011ln1xxx10exx2011(1)1xxx20 x4.(2019天津理,20,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=excos x,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x時(shí),證明f(x)+g(x)0;(3)設(shè)xn為函數(shù)u(x)=f(x)-1在區(qū)間

51、內(nèi)的零點(diǎn),其中nN,證明2n+-xncos x,得f (x)0,則f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(kZ)時(shí),有sin x0,則f(x)單調(diào)遞增.所以, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ), f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ).(2)證明:記h(x)=f(x)+g(x).依題意及(1),有g(shù)(x)=ex(cos x-sin x),從而g(x)=-2exsin x.當(dāng)x時(shí),g(x)0,故h(x)=f (x)+g(x)+g(x)(-1)52,244kk32,244kk32,244kk52,244kk2x,4 2 2x=g(x)0,因此,h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,進(jìn)而h(x)h=f=0.所以,當(dāng)x時(shí), f(x)+

52、g(x)0.(3)證明:依題意,u(xn)=f(xn)-1=0,即cos xn=1.記yn=xn-2n,則yn,且f(yn)=cos yn=cos(xn-2n)=e-2n(nN).由f(yn)=e-2n1=f(y0)及(1),得yny0.由(2)知,當(dāng)x時(shí),g(x)0,所以g(x)在上為減函數(shù),因此g(yn)g(y0)g=0.又由(2)知, f(yn)+g(yn)0,故-yn-=-=.所以,2n+-xn0和f (x)0時(shí)x的范圍.(2)記h(x)=f(x)+g(x),求h(x),從而得到函數(shù)h(x)在上的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為求h(x)的最小值,驗(yàn)證最小值非負(fù)即可.(3)記u(x)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)為xn

53、,則xn,則有yn=xn-2n.與(2)聯(lián)系知f(yn)+g(yn)0,此時(shí)要先確定g(yn)的符號(hào),再將上式轉(zhuǎn)化為-yn-,然后進(jìn)一步證明-.2x,4 2 2,242nn2,242nn,4 2 2ny2()()nnf yg y2e()nng y200esincosnxx5.(2018課標(biāo)全國(guó)文,21,12分)已知函數(shù)f(x)=aex-ln x-1.(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:當(dāng)a時(shí), f(x)0.1e解析解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f (x)=aex-.由題設(shè)知, f (2)=0,所以a=.從而f(x)=ex-ln x-1, f (

54、x)=ex-.當(dāng)0 x2時(shí), f (x)2時(shí), f (x)0.所以f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+)單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a時(shí), f(x)-ln x-1.設(shè)g(x)=-ln x-1,則g(x)=-.當(dāng)0 x1時(shí),g(x)1時(shí),g(x)0.所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn).故當(dāng)x0時(shí),g(x)g(1)=0.因此,當(dāng)a時(shí), f(x)0.1x212e212e212e1x1eeexeexeex1x1e方法總結(jié)方法總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法:(1)證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x).如果F(x)0,則F(x)在(a,b)上是減函數(shù),同時(shí)若F(a)0,由減

55、函數(shù)的定義可知,x(a,b)時(shí),有F(x)0,即證明了f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,則F(x)在(a,b)上是增函數(shù),同時(shí)若F(a)0,由增函數(shù)的定義可知,x(a,b)時(shí),有F(x)0,即證明了f(x)g(x).6.(2018課標(biāo)全國(guó)文,21,12分)已知函數(shù)f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).13解析解析(1)當(dāng)a=3時(shí), f(x)=x3-3x2-3x-3, f (x)=x2-6x-3.令f (x)=0,解得x=3-2或x=3+2.當(dāng)x(-,3-2)(3+2,+

56、)時(shí), f (x)0;當(dāng)x(3-2,3+2)時(shí), f (x)0,所以f(x)=0等價(jià)于-3a=0.設(shè)g(x)=-3a,則g(x)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)g(x)=0,所以g(x)在(-,+)單調(diào)遞增.故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6-0,故f(x)有一個(gè)零點(diǎn).綜上, f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).133333333333321xxx321xxx2222(23)(1)xxxxx13216a16137.(2018課標(biāo)全國(guó),21,12分)已知函數(shù)f(x)=.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程;(2)證明:當(dāng)a1時(shí), f(x)+e0

57、.21exaxx解析解析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.(1)f (x)=, f (0)=2.因此曲線y=f(x)在(0,-1)處的切線方程是2x-y-1=0.(2)當(dāng)a1時(shí), f(x)+e(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,則g(x)=2x+1+ex+1.當(dāng)x-1時(shí),g(x)-1時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.所以g(x)g(-1)=0.因此f(x)+e0.2(21)2exaxax方法總結(jié)方法總結(jié)構(gòu)造函數(shù)證明不等式的策略:(1)轉(zhuǎn)化為f(x)C(C為常數(shù))型,證明f(x)min或臨界值大于或等于C.(2)轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)型,利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x

58、),g(x)的單調(diào)性,進(jìn)而求出函數(shù)f(x)、g(x)的最值或臨界值,用原不等式成立的充分條件證明.(3)轉(zhuǎn)化為f(a)+g(a)f(b)+g(b)型,構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),利用h(x)單調(diào)性及a,b的大小證明.8.(2018課標(biāo)全國(guó),21,12分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,證明:當(dāng)x0時(shí),f(x)1;(2)若f(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn),求a.解析解析(1)當(dāng)a=1時(shí), f(x)1等價(jià)于(x2+1)e-x-10.設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1,則g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.當(dāng)x1時(shí),g(x)0,h(x)沒有零點(diǎn);

59、(ii)當(dāng)a0時(shí),h(x)=ax(x-2)e-x.當(dāng)x(0,2)時(shí),h(x)0.所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+)單調(diào)遞增.故h(2)=1-是h(x)在0,+)的最小值.若h(2)0,即a,h(x)在(0,+)沒有零點(diǎn);若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn);24ea2e42e4若h(2),由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn).由(1)知,當(dāng)x0時(shí),exx2,所以h(4a)=1-=1-1-=1-0.故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn).因此h(x)在(0,+)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上, f(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),a=.2e43416eaa32216

60、(e)aa3416(2 )aa1a2e49.(2017課標(biāo)全國(guó),21,12分)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)0.(1)求a;(2)證明: f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0,且e-2 f(x0)2-2.解析解析本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+).設(shè)g(x)=ax-a-ln x,則f(x)=xg(x), f(x)0等價(jià)于g(x)0.因?yàn)間(1)=0,g(x)0,故g(1)=0,而g(x)=a-,g(1)=a-1,得a=1.若a=1,則g(x)=1-.當(dāng)0 x1時(shí),g(x)1時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.所以x=1是g(x)的極小值點(diǎn),故g(x)g