工程力學(xué)(1)-第7章

1、材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案1第七章第七章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度7- -1 工程中的彎曲構(gòu)件工程中的彎曲構(gòu)件7- -2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖7- -3 與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何量與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形幾何量7- -4 平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力-5 平面彎曲正應(yīng)力公式應(yīng)用舉例平面彎曲正應(yīng)力公式應(yīng)用舉例- 梁的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算-結(jié)論與討論結(jié)論與討論材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案2- -1 工程中的彎曲構(gòu)件工程中的彎曲構(gòu)件. 關(guān)于彎曲的概念關(guān)于彎曲的概念 受力特點(diǎn)： 桿件在包含其軸線的縱向平

2、面內(nèi)，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。 變形特點(diǎn)： 直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。 梁以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案3彎曲變形材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案4工程實(shí)例F2F1材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案5縱向?qū)ΨQ面 對稱彎曲對稱彎曲外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因而變形后梁的軸線(撓曲線)是在該縱對稱面內(nèi)的平面曲線。 非對稱彎曲非對稱彎曲梁不具有縱對稱面(例如Z形截面梁)，因而撓曲線無與它對稱的縱向平面；或梁雖有縱對稱面但外力并不作用在縱對稱面內(nèi)，從而撓曲線不與梁的縱對稱面一致。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子

3、 教教 案案6本章討論對稱彎曲時(shí)梁的內(nèi)力和應(yīng)力。 對稱彎曲時(shí)和特定條件下的非對稱彎曲時(shí)，梁的撓曲線與外力所在平面相重合，這種彎曲稱為平面彎曲。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案7. . 梁的計(jì)算簡圖梁的計(jì)算簡圖 對于對稱彎曲的直梁，外力為作用在梁的縱對稱面內(nèi)的平面力系，故在計(jì)算簡圖中通常就用梁的軸線來代表梁。 這里加“通?！倍质且?yàn)楹喼Я涸谒矫鎯?nèi)對稱彎曲時(shí)不能用軸線代表梁。F材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案8(1) 支座的基本形式支座的基本形式1. 固定端實(shí)例如圖a，計(jì)算簡圖如圖b, c。(b)(c)MRFRxFRy(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教

4、案案9 2. 固定鉸支座實(shí)例如圖中左邊的支座，計(jì)算簡圖如圖b，e。 3. 可動(dòng)鉸支座實(shí)例如圖a中右邊的支座，計(jì)算簡圖如圖c，f。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案10懸臂梁(2) 梁的基本形式梁的基本形式簡支梁外伸梁材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案11 在豎直荷載作用下，圖a，b，c所示梁的約束力均可由平面力系的三個(gè)獨(dú)立的平衡方程求出，稱為靜定梁。(3) 靜定梁和超靜定梁靜定梁和超靜定梁 圖d，e所示梁及其約束力不能單獨(dú)利用平衡方程確定，稱為超靜定梁。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案12-2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖. 梁

5、的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩(shearing force and bending moment) 圖a所示跨度為l的簡支梁其約束力為lFaFlalFFBA , 梁的左段內(nèi)任一橫截面mm上的內(nèi)力，由mm左邊分離體(圖b)的平衡條件可知：xlalFxFMlalFFFAA,S材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案13 它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖b中所示。顯然這些內(nèi)力是 mm右邊的梁段對于左邊梁段的作用力和作用力矩。 故根據(jù)作用與反作用原理，mm左邊的梁段對于右邊梁段(圖c)的作用力和作用力矩?cái)?shù)值應(yīng)與上式所示相同，但指向和轉(zhuǎn)向相反。這一點(diǎn)也可由mm右邊分離體的平衡條件加以檢驗(yàn)：材材 料料 力力 學(xué)學(xué)

6、 電電 子子 教教 案案140, 0SByFFFF00 xlFxaFMMBClalFlFaFFFFBS從而有xlalFxllFaxaFxlFxaFMB從而有材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案15 梁的橫截面上位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力FS是與橫截面左右兩側(cè)的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯(cuò)動(dòng)(剪切)相對應(yīng)，故稱為剪力；梁的橫截面上作用在縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩是與梁的彎曲相對應(yīng)，故稱為彎矩。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案16 為使無論取橫截面左邊或右邊為分離體，求得同一橫截面上的剪力和彎矩其正負(fù)號(hào)相同，剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)要以其所在橫截面處梁的微段的變形情況確定，如圖。材材 料料 力

7、力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案17 綜上所述可知： (1) 橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力或右側(cè)梁段上向下的外力將引起正值的剪力；反之，則引起負(fù)值的剪力。 (2) 橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力對該截面形心的力矩之代數(shù)和。 1. 不論在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案18 2. 截面左側(cè)梁段上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩，而逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負(fù)值的彎矩；截面右側(cè)梁段上的外力偶引起的彎矩其正負(fù)與之相反。材材 料料 力力

8、 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案19. . 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 剪力方程和彎矩方程實(shí)際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案20圖a所示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案21 距右端為x的任意橫截面上的剪力FS(x)和彎矩M(x)，根據(jù)截面右側(cè)梁段上的荷載有 lxqxxqxxMlxqxxF02202S解：1. 列剪力方程

9、和彎矩方程 當(dāng)求懸臂梁橫截面上的內(nèi)力(剪力和彎矩)時(shí)，若取包含自由端截面的一側(cè)梁段來計(jì)算，則可不求出約束力。 xMFS(x)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案222. 作剪力圖和彎矩圖 根據(jù)剪力方程和彎矩方程作出剪力圖和彎矩圖分別如圖b和圖c。按照習(xí)慣，剪力圖中正值的剪力值繪于x軸上方，彎矩圖中正值的彎矩值則繪于x軸的下方(即彎矩值繪于梁彎曲時(shí)其受拉的邊緣一側(cè))。 lxqxxF0S lxqxxqxxM0 222 (b)(c) 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案23 由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力其值為FS,max=ql，最大彎矩(按絕對值)其值為 (負(fù)值)，它們都發(fā)生

10、在固定端右側(cè)橫截面上。22maxqlM (b) (c) (a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案24圖a所示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1. 求約束力2qlFFBA(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案252. 列剪力方程和彎矩方程 lxqxqlqxFxFA02S lxqxqlxxqxxFxMA02222 xMFS(x)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案26 由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力(按絕對值)其值為 (正值，負(fù)值)，發(fā)生在兩個(gè)支座各自的內(nèi)側(cè)橫截面上；最大彎矩其值為 發(fā)生在跨中橫截面上。2max,SqlF82ma

11、xqlM3. 作剪力圖和彎矩圖 lxqxqlxF02S lxqxqlxxM0222材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案27 簡支梁受滿布荷載作用是工程上常遇到的計(jì)算情況，初學(xué)者對于此種情況下的剪力圖、彎矩圖和FS,max，Mmax的計(jì)算公式應(yīng)牢記在心！材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案28圖a所示簡支梁受集中荷載F 作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。F(a)解：解：1. 求約束力lFaFlFbFBA ,材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案292. 列剪力方程和彎矩方程 此梁上的集中荷載將梁分隔成AC和CB兩段，兩段內(nèi)任意橫截面同一側(cè)梁段上的外力顯然不同，可見這兩段梁

12、的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。FAC段梁 axxlFbxFxMaxlFbFxFAA0 0 S xMFS(x)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案30CB段梁 lxalFalblFFlFbxFSFFx xMFS(x) lxaxllFaaxFxlFbxM 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案313. 作剪力圖和彎矩圖 如圖b及圖c。由圖可見，在b a的情況下，AC段梁在0 xa的情況下，C截面右側(cè)(x=a+)橫截面上的彎矩絕對值最大， 為 （負(fù)值)。彎矩圖在集中力偶作用處有突變，也是因?yàn)榧辛ε紝?shí)際上只是作用在梁上很短長度范圍內(nèi)的分布力矩的簡化。lMFeSlbM

13、Memax材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案38思考思考1：一簡支梁受移動(dòng)荷載F作用，如圖所示。試問： (a) 此梁橫截面上的最大彎矩是否一定在移動(dòng)荷載作用處？為什么？ (b) 荷載F移動(dòng)到什么位置時(shí)此梁橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置時(shí)的最大彎矩都要大？該最大彎矩又是多少？亦即要求求出對于彎矩的最不利荷載位置和絕對值最大彎矩值。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案39思考思考2：對于圖示帶中間鉸C的梁，試問： (a) 如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有向下的同樣的集中力F，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？ (b) 如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有同樣大小且同

14、為順時(shí)針的力偶矩Me的力偶，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？C材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案40 例例 簡支梁受力如圖a所示。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：解：1. 求支座約束力得和由00ABMMqlFqlFBA81 ,83 可利用平衡方程 對所求約束力進(jìn)行校核。 0yF(a) xBAl/2l/2CqFAFB材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案412. 建立剪力方程和彎矩方程 AC段： CB段： qxqlxF83)(S22183)(qxqlxxMqlxF81)(S)2(lxl)20(lx )20(lx )(81)(xlqlxM)2(lx

15、l(a) xBAl/2l/2CqFAFB材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案423求控制截面內(nèi)力，繪FS , M圖 FS圖：AC段內(nèi) 剪力方程是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，故求出兩個(gè)端截面的剪力值即可qlFA83S右qlFC81S左CB段內(nèi) 剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的內(nèi)力值連一水平線即為該段剪力圖。 qlFB81S左(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案43M圖：AC段內(nèi) 彎矩方程是x的二次函數(shù)，表明彎矩圖為二次曲線，需求出兩個(gè)端截面的彎矩。需判斷頂點(diǎn)位置，該處彎矩取得極值。 0AM2161ql

16、MC)0)(0d)(d1SxFxxM211289)83(qllMlx83(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案44我們可以發(fā)現(xiàn)，對于該梁來說有 qxxMxFxxMqxxF22SSddddddCB段內(nèi) 彎矩方程是x的一次函數(shù)，分別求出兩個(gè)端點(diǎn)的彎矩，并連成直線即可。 0BM2161qlMC(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案45 （a） 當(dāng)梁上有向下的均布荷載時(shí)

17、，剪力圖為一條直線，其斜率 為負(fù)； xxFddS而且，這微分關(guān)系也體現(xiàn)在該梁的剪力圖和彎矩圖中：(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案46(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2 （b）從剪力圖可見，隨x的增大剪力FS由正值逐漸變?yōu)樨?fù)值，故彎矩圖切線的斜率 也應(yīng)隨x的增大而由正值逐漸變?yōu)樨?fù)值；且在 的截面處 ，即彎矩圖切線的斜率為零而彎矩有極值； xxMdd0SF 0ddxxM材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子

18、子 教教 案案47 （c）由 可知，彎矩圖的曲率 為負(fù)，亦即在彎矩圖的縱坐標(biāo)如圖中那樣取向下為正時(shí)，彎矩圖為下凸的二次曲線。 qxxM22dd 22ddxxM(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案48. . 彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用M(x), FS(x)與q(x)間微分關(guān)系的導(dǎo)出 從圖a所示簡支梁的有分布荷載的區(qū)段內(nèi)，取出長為dx的梁段，如圖b所示。這里分布荷載的集度q(x)以向上為正值，且略去荷載集度在微量dx范圍內(nèi)的變化。

19、梁的微段其左、右橫截面上的剪力和彎矩均為正值。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案49 0dd0SSSxxqxFxFxFFy從而得： xqxxFddS 02dddd0SxxxqxxFxMxMxMMC得及00CyMF由梁的微段的平衡方程略去二階無窮小項(xiàng) ，即得 2ddxxxq xFxxMSdd材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案50 應(yīng)用這些關(guān)系時(shí)需要注意，向上的分布荷載集度為正值，反之則為負(fù)值。由以上兩個(gè)微分關(guān)系式又可得 xqxxM22dd材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案51常見荷載下常見荷載下FS，M圖的一些特征圖的一些特征向上）(0 cq向下）(0 cq0

20、q)0(ScbcxF)0(212cdbxcxM)0(ScbcxF)0(212cdbxcxMcF SbcxM材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案52集中力作用處集中力偶作用處 若某截面的剪力FS(x)=0，根據(jù) ，該截面的彎矩為極值。 0)(d)(dSxFxxM材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案53 利用以上各點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下： (1) 求支座約束力； (2) 分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀； (3) 求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖； (4) 確定|F

21、S|max和|M|max 。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案54 例題 一簡支梁在其中間部分受集度為 q=100 kN/m的向下的均布荷載作用，如圖a所示。試?yán)脧澗?、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。x+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq-材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案55kN100m2mkN10021BAFF而根據(jù) 可知，AC段內(nèi)的剪力圖應(yīng)當(dāng)是水平直線。該段內(nèi)梁的橫截面上剪力的值顯然為 xqxxFddSkN100SAFF1. 校核剪力圖 解：解

22、：此梁的荷載及約束力均與跨中對稱，故知約束力FA，F(xiàn)B為+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 該梁的AC段內(nèi)無荷載，材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案56 對于該梁的CD段，分布荷載的集度q為常量，且因荷載系向下而在微分關(guān)系中應(yīng)為負(fù)值，即q=-100 kN/m。kN100m2kN/m100kN100+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4 mq xqxxFddS kN/m100ddSxxF 根據(jù) 可知CD段內(nèi)的剪力圖確應(yīng)為向右下方傾斜的斜直線。由于C點(diǎn)處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故斜直線左端的

23、縱坐標(biāo)確為100 kN。根據(jù)斜直線的斜率為 ，可證實(shí)D截面處的剪力確應(yīng)為材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案57 對于該梁的DB段，梁上無荷載，故剪力圖應(yīng)該是水平直線；且由于D點(diǎn)處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故該水平直線的縱坐標(biāo)確為-100 kN。作為復(fù)核，顯然支座B偏左橫截面上的剪力就是kN100SBFF+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案582. 校核彎矩圖mkN100m1kN1000CM這與圖中所示相符。 該梁的AC段內(nèi)，剪力為常量，因而根據(jù) 常量可知此段梁的彎矩圖應(yīng)為斜率為 的正

24、值的斜直線。據(jù)此，由支座A處橫截面上的彎矩為零可知C截面處的彎矩為 xFxxMSddmmkN100kN100即+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案59 事實(shí)上，這個(gè)彎矩值也可根據(jù) xFxxMSdd mkN100m1kN1000dSACACxxFMM此式中的 從幾何意義上來說，它就是AC段內(nèi)剪力圖的面積。 ACxxFdS+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）通過積分來復(fù)核：材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案60

25、 對于該梁的CD段，根據(jù) 可知： mkN100dd22xqxxM 彎矩圖是如圖(c)中所示曲率為負(fù)(即向下凸)的二次曲線。因?yàn)榱荷螩點(diǎn)處無集中力偶作用，故彎矩圖在C截面處應(yīng)該沒有突變；+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案61 由于C截面處剪力無突變，故CD段的彎矩圖在C處的切線的斜率應(yīng)該與AC段梁彎矩圖在C處的斜率相等，即兩段梁的彎矩圖在C處應(yīng)光滑連接。+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1

26、m4 mq材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案62 mkN100m1kN10021mkN150dmkN150m1kN10021mkN100dSSEDEDCECExxFMMxxFMM 在剪力為零的跨中截面E處，彎矩圖切線的斜率為零，而彎矩有極限值，其值為同樣，根據(jù) 可知， xFxxMSdd這些均與圖(c)中所示相符。+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案63 對于該梁的DB段，由于剪力為負(fù)值的常量，故彎矩圖應(yīng)該是斜率為負(fù)的斜直線。因?yàn)榱荷螪點(diǎn)處無集中力偶作用，故彎矩圖在D截面處不應(yīng)有突變，再考慮B

27、支座處彎矩為零，即可證實(shí)圖(c)中此段梁的彎矩圖也無誤。+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案64已知：圖中梁的約束力為 qaFqaFDA2 ，思考：思考：試指出圖示三根梁各自的剪力圖和彎矩圖中的錯(cuò)誤。正確答案：(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案65圖中梁的約束力為 qaFqaFBA31 35，正確答案：(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案66圖中梁的約束力為0 0AAMF，正確答案： (c) 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教

28、教 案案67. 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案68 (1) 在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時(shí)，我們都是按梁未變形時(shí)的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算的，例如對于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為 lxqxFxxMlxqxFxF0 ,20 ,2S(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案69 這就是說，在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨(dú)作用時(shí)(圖b和圖c)相應(yīng)內(nèi)力的代數(shù)和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也就可以利用疊加的方法作出。(b)(c) (a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案7

29、0 (2) 疊加原理 當(dāng)所求參數(shù)(約束力、內(nèi)力、應(yīng)力或位移)與梁上(或結(jié)構(gòu)上)荷載成線性關(guān)系時(shí)，由幾項(xiàng)荷載共同作用所引起的某一參數(shù)之值，就等于每項(xiàng)荷載單獨(dú)作用時(shí)所引起的該參數(shù)值的疊加。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案714/qlF (3) 示例 圖a所示受滿布均布荷載q并在自由端受集中荷載 作用的懸臂梁，其剪力圖和彎矩圖顯然就是圖b和圖c所示，該梁分別受集中荷載F和滿布均布荷載q作用時(shí)兩個(gè)剪力圖和兩個(gè)彎矩圖的疊加。F=ql/4lq(a)F=ql/4l(b)lq(c)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案72 -42ql322qlM2/ lx Flq(a) -xSFF43q

30、lF=ql/4l(b)lq(c)M42qlxSFxF -SFqlx-22qlMx材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案73 圖d為直接將圖b和圖c中兩個(gè)彎矩圖疊加后的圖形，將圖中斜直線作為彎矩圖的水平坐標(biāo)軸時(shí)，它就是圖a中的彎矩圖。lq(c) -SFqlx-22qlMx-x42ql22qlM(d)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案74 作剪力圖時(shí)雖然(如上所示)也可應(yīng)用疊加原理，但由于梁上通常無集度變化的分布荷載，而剪力圖由直線段組成，作圖比較簡單，故往往只說按疊加原理作彎矩圖。 由圖a可見，該梁橫截面上的最大剪力為 (負(fù)值) ,最大彎矩為 (負(fù)值)，而極值彎矩 并非最大彎

31、矩。43max,SqlF42maxqlM3224qlMl -42ql322qlM2/ lx Flq(a) -xSFF43ql材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案75 第一節(jié) 靜矩和形心一、靜矩(面積矩）定義： 微面積dA對z軸和y軸的靜矩分別為 和dAydAz 截面（面積A)對z軸和y軸的靜矩分別為：;AydAzS;AzdAyS 靜矩為代數(shù)值。靜矩單位：;33mmm 不同截面對同一坐標(biāo)軸的靜矩不同；同一截面對不同坐標(biāo)軸的靜矩也不同。 若截面形心坐標(biāo)為zc、yc，將面積視為平行力（即看作等厚、均質(zhì)薄板的重力），由合力矩定理可得：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS 當(dāng)Sz=0或Sy

32、=0時(shí)，必有yc=0或zc=0，可知截面對某軸的靜矩為零時(shí)，該軸必通過截面形心；反之，若某軸通過形心，則截面對該軸的靜矩為零。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案76 二、形心公式：.;ASzASyyczc 三、組合截面的靜矩：n個(gè)簡單圖形組成的截面，其靜矩為：;1niciizyAS;1niciiyzAS四、組合截面形心公式：;11niiniciicAyAy;11niiniciicAzAz 例5-1 求圖示T形截面形心位置。 解：取參考坐標(biāo)軸y、z,由對稱圖形,zc=0。 分解圖形為、兩個(gè)矩形，則;2 . 1,48. 0;46. 2,072. 0222121mymAmymA;36.

33、148. 0072. 02 . 148. 046. 2072. 0212211mAAyAyAyc若分解為、三個(gè)矩形，則;16. 04 . 22 . 0252. 26 . 0)2 . 126. 1 (52. 26 . 0myc材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案77 解：將此圖形分別為解：將此圖形分別為I、II、III三三部分，以圖形的鉛垂對稱軸為部分，以圖形的鉛垂對稱軸為y軸，軸，過過II、III的形心且與的形心且與y軸垂直的軸線取軸垂直的軸線取為為x軸，則軸，則求圖示圖形的形心。求圖示圖形的形心。x150yCOx1y120010yC300IIIIII10mm8 .38)30010(

34、2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于對稱知：由于對稱知： xc=0目錄目錄材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案78求圖示半徑為求圖示半徑為r的半圓形對其直徑軸的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐標(biāo)的靜矩及其形心坐標(biāo)yC。 OCrxydAyCydy解：過圓心解：過圓心O作與作與x軸垂直的軸垂直的y軸，在距軸，在距x任意高度任意高度y處取一個(gè)與處取一個(gè)與x軸平行的窄條，軸平行的窄條，ydyrAd222 所以所以 3022322ryd)yr( yAdySrAx3423223r/r/rASyxC目錄目錄材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案7

35、9第二節(jié) 慣性矩和慣性積一、極慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積dA與它到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離平方的乘積2dA,稱為該面積dA對于坐標(biāo)原點(diǎn)o的極慣性矩。 截面對坐標(biāo)原點(diǎn)o的極慣性矩為：APdAI;2 簡單圖形的極慣性矩可由定義式積分計(jì)算。 實(shí)心圓截面：;3224202DdAIDP 空心圓截面：)();1 (3244DdDIP 二、慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積dA對z軸、y軸的慣性矩分別為：y2dA和Z2dA；則整個(gè)圖形（面積為A)對z軸、y軸的慣性矩分別為：;2AzdAyI;2AydAzI材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案80 定義:平面圖形內(nèi)，微面積dA與其兩個(gè)坐標(biāo)z、y的乘

36、積zydA在整個(gè)圖形內(nèi)的積分稱為該圖形對z、y軸的慣性積。;AzydAyzI 特點(diǎn)：慣性積是截面對某兩個(gè)正交坐標(biāo)軸而言。不同截面對同一對軸或同一截面對不同軸的慣性積均不同。慣性積是代數(shù)值。 單位：;,44mmm 若截面有一根為對稱軸,則該截面對包括此對稱軸在內(nèi)的一對正交坐標(biāo)軸的慣性積必為零。 慣性矩是對某軸而言的，同一截面對不同軸的慣性矩值不同。 慣性矩單位：m4或mm4； 慣性矩恒為正值。 簡單圖形對軸的慣性矩由定義式積分計(jì)算。三、慣性積：材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案81 例5-2 求矩形截面對其對稱軸的慣性矩和慣性積。 解：取yoz坐標(biāo)系。取微面積dA=bdy,則：;12

37、32/2/22bhbdyydAyIhhAz;1232/2/22hbhdzzdAzIbbAy取微面積dA=hdz,則：例5-3 圓形截面對其形心軸的慣性矩。 解：取yoz坐標(biāo)系。取微面積dA=2zdy,則：;6442442222DRdyyRydAyIRRAz;644DIIzy由對稱性：,222zy 由幾何關(guān)系：.)(222yZAAPIIdAzydAI取微面積dA=dzdy，則：; 0zyI材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案82第三節(jié) 慣性矩和慣性積的平行移軸公式組合截面的慣性矩和慣性積1.1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 設(shè)有面積為設(shè)有面積為A的任意形狀的

38、截面。的任意形狀的截面。C為其形心，為其形心，Cxcyc為形心坐標(biāo)為形心坐標(biāo)系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)系為的任意坐標(biāo)系為Oxy ,形心形心C在在在在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a , b) 任意微面元任意微面元dA在兩坐標(biāo)系在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：下的坐標(biāo)關(guān)系為：ayybxxCCaycyxcxCObdAxcycyx材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案83AaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2ddd同理，有：同理，有：AaIIcxx2AbIIcyy2abAIIccyxxy（此此為為平

39、行移軸公式平行移軸公式 ）注意：注意：式中的式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對于形心軸的量。等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對于形心軸的量。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案842.2.組合截面的慣性矩和慣性積組合截面的慣性矩和慣性積 根據(jù)根據(jù)慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積的定義易得的定義易得組合截面對于某組合截面對于某軸的軸的慣性矩（或慣性積）慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一等于其各組成部分對于同一軸的軸的慣性矩（或慣性積）慣性矩（或慣性積）之和之和：nixxiII1niyyiII1nixyxyiII1材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電

40、子子 教教 案案85求圖示直徑為求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸的半圓對其自身形心軸xc的的慣性矩。慣性矩。解：解：（1）求形心坐標(biāo)）求形心坐標(biāo)222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案86（2）求對形心軸）求對形心軸xc的的慣性矩慣性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由由平行移軸公式得：平行移軸公式得： xyb(y)ycCdxc材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案87試求圖試求圖a 所示截面對于對稱軸所示截面

41、對于對稱軸x的的慣性矩。慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。兩個(gè)半圓組成。（1）矩形對）矩形對x的的慣性矩：慣性矩：44331mm1053331220080122adIx（2）一個(gè)半圓對其自身形）一個(gè)半圓對其自身形心軸心軸xc的的慣性矩（見上例）慣性矩（見上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案88（3）一個(gè)半圓對）一個(gè)半圓對x的的慣性矩：慣性矩：由由平行移軸公式得：平行移軸公式得：44222222mm103467322324832adaddddaI

42、Icxx（4）整個(gè)截面對于對稱軸）整個(gè)截面對于對稱軸x的的慣性矩：慣性矩：444421mm101227010346721053332xxxIII材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案89 第四節(jié) 主慣性軸和主慣性矩： 主慣性軸（主軸）使截面對zo、yo軸的慣性積 的這對正交坐標(biāo)軸；0ooyzI 主慣性矩（主慣矩）截面對主慣性軸的慣性矩； 形心主慣性軸（形心主軸）通過形心的主慣性軸； 形心主慣性矩（形心主慣矩）截面對形心主軸的慣性矩。返回 下一張 上一張 小結(jié)若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主主慣性軸之一，另一慣性軸之一，另一形心形心主慣性軸為通過形心

43、主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。并與對稱軸垂直的軸。若若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心心主慣性軸。主慣性軸。若若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。主慣性軸，且主慣性矩相等。幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案90303055CC2C1y221y1zC1zC2求求T形截面對形心軸的慣性矩形截面對形心軸的慣性矩先求形心的位置：先求形心的位置：取參考坐標(biāo)系如圖，則：取參考坐標(biāo)系如圖，則：iiiCCAyAyz0mmAAyAyA75.23212211即截面的

44、形心軸。即截面的形心軸。、CCzy再求截面對形心軸的慣性矩：再求截面對形心軸的慣性矩：433115601230512530mmICy422212122212134530)()()()(2121mmAyyIAyyIAaIAaIICzCzzzzCCCCC由平行移軸定理得：yCzyCzC材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案91求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解 ：求解此題有兩種方法： 一是按定義直接積分； 二是用平行移軸定理等知識(shí)求。B 建立形心坐標(biāo)如圖,求圖形對形心軸的慣性矩。6424dIIIPyx6454644442dddAdIIxABAdxyOxyxIIIdI2324圓材材 料料 力力

45、 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案92思考思考：O為直角三角形為直角三角形ABD斜邊上的中點(diǎn)，斜邊上的中點(diǎn)，x、y軸為軸為過點(diǎn)過點(diǎn)且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩有四種答案積和慣性矩有四種答案(已知已知ba)： （A）Ixy （B） Ixy (C) Ixy= （D） Ix=Iy正確答案是正確答案是(C)xABDyOab材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案93思考：等腰直角三角形如圖所示，思考：等腰直角三角形如圖所示，x、y軸是過斜邊中點(diǎn)軸是過斜邊中點(diǎn)的任意一對坐標(biāo)軸（即圖中的任意一對坐標(biāo)軸（即圖中 為任意值），該圖形的為任意值），

46、該圖形的: :(1)(1)慣性積慣性積Ixy (2)(2)慣性矩慣性矩I Ix 、 I Iy。yxaa答案：答案：0；a4/24; a4/24 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案94小小 結(jié)結(jié)一、靜矩：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS性質(zhì)：截面對某軸的靜矩為零時(shí)，該軸必通過截面形心；APdAI;2;324DIP)();1 (3244DdDIP 二、極慣性矩：實(shí)心圓截面： 空心圓截面：三、慣性矩：;2AzdAyI;2AydAzI;AzydAyzI 四、慣性積：矩形截面： 圓形截面：;123bhIz;123hbIy;644DIIzy.)(222yZAAPIIdAzydAI幾何關(guān)

47、系：五、平行移軸公式：;21Abyy;11abAIIzyyz;21AaIzz返回 下一張 上一張 小結(jié)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案95 六、主慣性軸和主慣性矩： 形心主慣性軸（形心主軸）通過形心的主慣性軸； 形心主慣性矩（形心主慣矩）截面對形心主軸的慣性矩。 主慣性軸（主軸）使 的這對正交坐標(biāo)軸； 主慣性矩（主慣矩）截面對主慣性軸的慣性矩；0ooyzI七、平面圖形幾何性質(zhì)的幾何意義： 1. 靜矩：圖形的形心相對于指定坐標(biāo)軸之間距離的遠(yuǎn)近程度； 2. 極慣性矩：圖形的面積相對于指定坐標(biāo)原點(diǎn)之間分布的集中或分散程度； 3. 慣性矩：圖形的面積相對于指定坐標(biāo)軸之間分布的集中或分散程

48、度； 4. 慣性積：圖形面積相對于指定的一對正交坐標(biāo)軸之間分布的集中或分散程度。返回 下一張 上一張 小結(jié)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案96- -4 梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 純彎曲純彎曲 (pure bending) 梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對應(yīng)的正應(yīng)力。MeM材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案97 橫力彎曲橫力彎曲 (bending by transverse force) 梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)地，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。FCSFMFMFAC材材 料料 力力

49、學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案98. . 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)計(jì)算公式的推導(dǎo) (1) 幾何方面幾何方面 藉以找出與橫截面上正應(yīng)力相對應(yīng)的縱向線應(yīng)變在該橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律。表面變形情況 在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁(圖a)：(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案99彎曲變形彎曲變形材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案100 1. 彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb(圖b)，在梁彎曲后成為弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教

50、教 案案101 2. 相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且與弧線aa和bb保持正交。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案102 根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：平面假設(shè)平面假設(shè) 梁在純彎曲時(shí)，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實(shí)。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案103 橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形

51、的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層 (圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時(shí)橫截面繞著它轉(zhuǎn)動(dòng)的軸 中中性軸性軸 (neutral axis)。（f)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案104令中性層的曲率半徑為(如圖c)，則根據(jù)曲率的定義 有xdd1yxyOOBBABBBdd21111縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 圖c為由相距d x的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個(gè)原來平行的橫截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動(dòng)了角d。梁的橫截面上距中性軸 z為任意距離 y 處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為(c)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子

52、 教教 案案105 即梁在純彎曲時(shí)，其橫截面上任一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變與該點(diǎn)至中性軸的距離 y 成正比。(c)彎曲變形彎曲變形y材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案106 小變形時(shí)純彎曲情況下可假設(shè)梁的各縱向線之間無擠壓，認(rèn)為梁內(nèi)各點(diǎn)均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。 (2) 物理方面物理方面 藉以由縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 找出橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律。y 梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時(shí)，有yEE 這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化(如圖)。M材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案107 (3) 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面 藉以找出確定中

53、性軸位置的條件以及橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。MAyMAzd 梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素dA(圖d )不可能組成軸力( )，也不可能組成對于與中性軸垂直的y 軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩( )，只能組成對于中性軸 z 的內(nèi)力偶矩，即0dNAAF0dAyAzM(d)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案108將 代入上述三個(gè)靜力學(xué)條件，有yE0ddNzAAESAyEAF(a)0ddyzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzdd2(c) 以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)，而材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子

54、子 教教 案案109 其中 為截面對于z軸的靜矩(static moment of an area)或一次矩，其單位為m3。AzAySd 為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。AyzAyzId 為截面對于z軸的慣性矩(moment of inerita of an area)或二次軸矩，其單位為m4。AzAyId2材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案110 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而該兩式要求：E 1. 橫截面對于中性軸 z 的靜矩等于零， ；顯然這是要求中性軸 z 通過橫截面的形心；0dAAy 2. 橫截面對于 y 軸和 z 軸的慣性積等于零， ；在對稱彎曲

55、情況下，y 軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動(dòng)滿足。0dAAyz0ddNzAAESAyEAF(a)0ddyzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzdd2(c)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案111由式(c)可知，直梁純彎曲時(shí)中性層的曲率為 上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時(shí)，梁的橫截面上的彎矩M 不隨截面位置變化，故知對于等截面的直梁包含在中性層內(nèi)的那根軸線將彎成圓弧。zEIM1 將上式代入得出的式子 即得彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：yEzIMy(c)MEIAyEAyMzAAzdd2材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案112 應(yīng)用此式時(shí)，如果

56、如圖中那樣取 y軸向下為正的坐標(biāo)系來定義式中 y 的正負(fù)，則在彎矩 M 按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動(dòng)表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實(shí)際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點(diǎn)在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的 y 看作求應(yīng)力的點(diǎn)離中性軸 z 的距離。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案113 中性軸 z 為橫截面對稱軸的梁 (圖a，b) 其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸 z 不是橫截面對稱軸的梁 (圖c) ，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力dzyo(b) yc

57、,max yt,maxyz bd1 hOd2(c) hbzyo(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案114zzzWMyIMIMymaxmaxmax 中性軸z為橫截面的對稱軸時(shí)，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值max為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)(section modulus in bending)，其單位為m3。hbzyodzyo材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案115 中性軸 z 不是橫截面的對稱軸時(shí)(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,maxc,材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案

58、116簡單截面對于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(shù)簡單截面對于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(shù)(1) 矩形截面矩形截面12dd32222bhybyAyIhhAz622bhhIWzz12dd32222hbzhzAzIbbAy622hbbIWyy材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案117思考思考: : 一長邊寬度為 b，高為 h 的平行四邊形，它對于形心軸 z 的慣性矩是否也是 ？123bhIz材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案118(2) 圓截面圓截面在等直圓桿扭轉(zhuǎn)問題(3- -4)中已求得：32d42pdAIA32ddd4222pdIIAzAyAIyzAAAzoyyzdAd而由圖

59、可見，2=y2+z2 , 從而知材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案119而彎曲截面系數(shù)為6424pdIIIyz 32223ddIdIWWyzyz 根據(jù)對稱性可知，原截面對于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得zoyyzdAd材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案120(3) 空心圓截面空心圓截面 由于空心圓截面的面積等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有4444442222164646464ddddDdDdDAyAyAyAyIdDdDAAAAAz式中， 。DddOyzD材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案121根據(jù)對稱性可知

60、：思考思考： 空心圓截面對于形心軸的慣性矩就等于大圓對形心軸的慣性矩減去小圓對于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數(shù)并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數(shù)之差，為什么？zyzyWWII ,431322DDIWzz而空心圓截面的彎曲截面系數(shù)為第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力dOyzD材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案122型鋼截面及其幾何性質(zhì)型鋼截面及其幾何性質(zhì)：參見型鋼表 需要注意的是，型鋼規(guī)格表中所示的x軸是我們所標(biāo)示的z軸。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案123. 純彎曲理論的推廣純彎曲理論的推廣 工程中實(shí)際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時(shí)梁的橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生