第四節(jié)支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(20211109135157)

1、支付收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價、支付收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約定價的一般方法支付收益率的資產(chǎn)是指在到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價格成一定比率的收益的資股價指數(shù)也可產(chǎn)。外匯是這類資產(chǎn)的典型代表，其收益率就是該外匯發(fā)行國的無風(fēng)險利率。近似地看作是支付收益率的資產(chǎn)。因?yàn)殡m然各種股票的紅利率是可變的，但作為反映市 場整體水平的股價指數(shù)， 其紅利率是較易預(yù)測的。 遠(yuǎn)期利率協(xié)議和遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議也可看 作是支付收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約。構(gòu)造組合:為了給出支付收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價，可以構(gòu)建如下兩個組合:組合A : 一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r T7的現(xiàn)金;其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利組合B : e-q 單位證券并且所有

2、收入都再投資于該證券,計算的收益率。組合A在T時刻的價值等于一單位標(biāo)的證券。組合B擁有的證券數(shù)量那么隨著獲得紅利的增加而增加，在時刻 T,正好擁有一單位標(biāo)的證券。因此在t時刻兩者的價值也應(yīng)相等,即:f 心仃)=SeT(T_L)公式1說明，支付紅利率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價值等于1e-qT-t單位證券的現(xiàn)值與交割價現(xiàn)值之差?；蛘哒f，一單位支付紅利率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由e-q (T t單位標(biāo)的資產(chǎn)和Ke-r 丁7單位無風(fēng)險負(fù)債構(gòu)成。根據(jù)遠(yuǎn)期價格的定義，可根據(jù)公式1算出支付收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格:F 二 Se(r"(T_L)(2)這就是支付紅利率資產(chǎn)的 現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價公式。公式2說明，支付收益

3、率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格等于按無風(fēng)險利率與收益率之差計算的現(xiàn)貨價格在T時刻的終值。例：假設(shè)S&P500指數(shù)現(xiàn)在的點(diǎn)數(shù)為1000點(diǎn)，該指數(shù)所含股票的紅利收益率預(yù)計為每年5% 連續(xù)復(fù)利，連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險利率為 10%, 3個月期S&P500指數(shù)期貨的市價為1080點(diǎn)，求該期貨的合約價值和期貨的理論價格。根據(jù)公式1，可得:f =1000e405 025 -1080eQ °25 = 65 75由于S&P500指數(shù)合約規(guī)模為指數(shù)乘以500，因此一份該合約價值為-65.75 500=-32877美元。根據(jù)公式2，可求出S&P500指數(shù)期貨的理論價格:F =1OOOe(01

4、4)5) 0 25 = 1012 58二、外匯遠(yuǎn)期和期貨的定價外匯屬于支付收益率的資產(chǎn)，其收益率是該外匯發(fā)行國連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險利率，用rf表示。用S表示以本幣表示的一單位外匯的即期價格，K表示遠(yuǎn)期合約中約定的以本幣表示的一單位外匯的交割價格，即 S、K均為用直接標(biāo)價法表示的外匯的匯率。根據(jù)公式1，可以得出外匯遠(yuǎn)期合約的價值：f 二 SefT_t-Ke JT-t 3根據(jù)公式2，可得到外匯遠(yuǎn)期和期貨價格確實(shí)定公式：f se 4這就是國際金融領(lǐng)域著名的利率平價關(guān)系。假設(shè)外匯的利率大于本國利率rf r，那么該外匯的遠(yuǎn)期和期貨匯率應(yīng)小于現(xiàn)貨匯率；假設(shè)外匯的利率小于本國的利率rf : r，那么該外匯的遠(yuǎn)期

5、和期貨匯率應(yīng)大于現(xiàn)貨匯率。三、遠(yuǎn)期利率協(xié)議的定價由于遠(yuǎn)期利率協(xié)議是空方承諾在未來的某個時刻T時刻將一定數(shù)額的名義本金 A按約定的合同利率氐在一定的期限T*-T貸給多方的遠(yuǎn)期協(xié)議，本金 A在借貸期間會 產(chǎn)生固定的收益率 r，因此其屬于支付收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約。遠(yuǎn)期利率協(xié)議ForwardRate Agreement, FRA的定價可以用更直截了當(dāng)?shù)姆绞?。遠(yuǎn)期利率協(xié)議多方即借入名義 本金的一方的現(xiàn)金流為：T時刻：A* 亠典 rK T* JT時刻：-Ae這些現(xiàn)金流的現(xiàn)值即為遠(yuǎn)期利率協(xié)議多頭的價值。為此，要先將T*時刻的現(xiàn)金流用 T*-TA期限的遠(yuǎn)期利率r貼現(xiàn)到T時刻，再貼現(xiàn)到現(xiàn)在時刻t,即：f二Aee

6、 “/仃*仃*申 訐丁=i_erK£TT "5這里的遠(yuǎn)期價格就是合同利率。根據(jù)遠(yuǎn)期價格的定義，遠(yuǎn)期利率就是使遠(yuǎn)期合約價值為 0的協(xié)議價格在這里為 rK。因此理論上的遠(yuǎn)期利率f應(yīng)等于:r T t?-r T -tr *T -T得： rT -t r 卩-t F ；" T -T7例:假設(shè)2年期即期年利率連續(xù)復(fù)利，下同為 10.5% , 3年期即期年利率為11%，本 金為100萬美元的2年3年遠(yuǎn)期利率協(xié)議的合同利率為11%，請問該遠(yuǎn)期利率協(xié)議的價值和理論上的合同利率等于多少 ？該合約理論上的合同利率為：f011 30105 J?。3-21_e rk-rTF根據(jù)1，該合約價值

7、為:F =100萬 e105 2 1-e01322 =8065 31美元四、遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議的定價根據(jù)定義，遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議是指雙方在現(xiàn)在時刻t時刻約定買方在結(jié)算日T時刻按照合同中規(guī)定的結(jié)算日直接遠(yuǎn)期匯率 K用第二貨幣向賣方買入一定名義金額A的原貨幣，然后在到期日T*時刻再按合同中規(guī)定的到期日直接遠(yuǎn)期匯率K* 把一定名義金額在這里假定也為 A的原貨幣出售給賣方的協(xié)議。在這里，所有的匯率均指用第二 貨幣表示的一單位原貨幣的匯率。為論述方便，把原貨幣簡稱為外幣，把第二貨幣簡稱為本幣。根據(jù)該協(xié)議，多頭的現(xiàn)金流為：T時刻：A單位外幣減AK本幣T*時刻：AK*本幣減A單位外幣這些現(xiàn)金流的現(xiàn)值即為遠(yuǎn)期外匯

8、綜合協(xié)議多頭的價值f。為此，要先將本幣和外幣分別按相應(yīng)期限的本幣和外幣無風(fēng)險利率貼現(xiàn)成現(xiàn)值，再將外幣現(xiàn)金流現(xiàn)值按 t時刻的匯率S折本錢幣。令rf代表在T時刻到期的外幣即期利率，r*f代表在T*時刻到期的外幣即期利率， 那么：二 ASe"T_t)- AKe_r(T 書 AK*e_r (T 書 - ASef(T 書(7)二 AeWSserz -K Ae"FK* -Se(r)(T 冷由于遠(yuǎn)期匯率就是合約價值為零的協(xié)議價格這里為K和K*，因此T時刻交割的理* 、- *論遠(yuǎn)期匯率F和T時刻交割的理論遠(yuǎn)期匯率F 分別為:(r*；)(T* _t)Se得:f =AeTF K AeTK* F

9、* 10有的遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議直接用遠(yuǎn)期差價規(guī)定買賣原貨幣時所用的匯率，用W*表示T時刻到T*時刻的遠(yuǎn)期差價。根據(jù)遠(yuǎn)期差價的定義，有W*=F*-F?？梢缘玫剑?Se(r _rf )(T _t)W* =serfZe(rf)(T* 7(11)A 八其中，r和rf分別表示t時間到T*時刻本幣和外幣的遠(yuǎn)期利率。用 W表示t時刻到T時刻的遠(yuǎn)期差價，可以得到：W=F-S(12)W =Se(rf)(T_t) -1例：假設(shè)美國2年期即期年利率連續(xù)復(fù)利，下同為8%，3年期即期年利率為 8.5%， 日本2年期即期利率為6%，3年期即期利率為6.5%，日元對美元的即期匯率為0.0083美元/日元。本金1億日元的2年3年遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議的 2年合同遠(yuǎn)期匯率為 0.0089美元/ 日 元，3年合同遠(yuǎn)期匯率為 0.0092美元/日元，請問該合約的多頭價值、理論上的遠(yuǎn)期匯率和 遠(yuǎn)期差價等于多少？2年期理論遠(yuǎn)期匯率F為：F =0 0083 e(008 06) 2 =0 0086 美元/日元3年期理論遠(yuǎn)期匯率F )為:=0 0083e(0 085065) 3 = 0 0088 美元 / 日元2年3年理論遠(yuǎn)期差價W 為: