絕對值(基礎)知識講解

1、絕對值(基礎)【學習目標】1掌握一個數(shù)的絕對值的求法和性質(zhì)；2 進一步學習使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對值的幾何意義；3. 會求一個數(shù)的絕對值，并會用絕對值比較兩個負有理數(shù)的大??；4. 理解并會熟練運用絕對值的非負性進行解題.【要點梳理】要點一、絕對值1. 定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a的點與原點的距離叫做數(shù) a的絕對值，記作|a|. 要點詮釋：(1)絕對值的代數(shù)意義： 一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù); 的絕對值是0 .即對于任何有理數(shù) a都有：fa (a=0)|a| 二 0 (a =0)_a (a ；： 0)(2 )絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點

2、的距離，離原點的距 離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小.(3 )一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面來確定的.2. 性質(zhì)：絕對值具有非負性，即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0.要點二、有理數(shù)的大小比較1. 數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.女口： a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則 av b.2. 法則比較法：兩個數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號分類，情況如下:兩數(shù)同號同為正號：絕對值大的數(shù)大同為負號：絕對值大的反而小兩數(shù)異號正數(shù)大于負數(shù)數(shù)為0正數(shù)與0 :正數(shù)大于0負數(shù)與0 :負數(shù)小于0要點詮釋：禾U用絕對值比較兩個負數(shù)的大小的步驟：(1)分別計算兩數(shù)的絕對值；(2

3、)比較絕對值的大小；(3)判定兩數(shù)的大小.3. 作差法：設a、b為任意數(shù)，若 a-b >0，則a>b;若a- b= 0,則a= b;若a-b v 0, av b； 反之成立.aaa4. 求商法：設a、b為任意正數(shù)，若 1，則a b ；若 1，則a =b ；若 1，則a b ；bbb反之也成立.若a、b為任意負數(shù)，則與上述結(jié)論相反.5. 倒數(shù)比較法：如果兩個數(shù)都大于 0，那么倒數(shù)大的反而小.【典型例題】類型一、絕對值的概念1.求下列各數(shù)的絕對值.-11 , -0.3, U2I 2丿【思路點撥】11 , -0.3 , 0,-單位長度，這個數(shù)字2I 2丿就是各數(shù)的絕對值還可以用絕對值法則

4、來求解.【答案與解析】解法一：因為-1 1到原點距離是11個單位長度，所以2 2因為-0.3到原點距離是0.3個單位長度，所以 卜0. 3| = 0.3.因為0到原點距離為0個單位長度，所以| 0| = 0.因為一 31到原點的距離是31個單位長度，所以解法因為11 <0，所以-11 =2 2I 2 .丿2因為-0. 3v0,所以卜 0. 3| = -（- 0.3） = 0. 3.因為0的絕對值是它本身，所以| 0| = 0.因為>0，所以-31 K31.I 2丿12【總結(jié)升華】求一個數(shù)的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求解（如方法1）,一種是利用絕對值的代數(shù)意義求解（

5、如方法2），后種方法的具體做法為：首先判斷這個數(shù)是正數(shù)、負數(shù)還是0.再根據(jù)絕對值的意義，確定去掉絕對值符號的結(jié)果是它本身，是它的相 反數(shù)，還是0 .從而求出該數(shù)的絕對值. 2.已知一個數(shù)的絕對值等于2009,則這個數(shù)是.【答案】2009或-2009【解析】根據(jù)絕對值的定義，到原點的距離是 2009的點有兩個，從原點向左側(cè)移動 2009 個單位長度，得到表示數(shù)-2009的點；從原點向右側(cè)移動 2009個單位長度，得到表示數(shù)2009 的點.【總結(jié)升華】 已知絕對值求原數(shù)的方法：（1）利用概念；（2）利用數(shù)形結(jié)合法在數(shù)軸上表示出 來.無論哪種方法都要注意若一個數(shù)的絕對值是正數(shù)，則此數(shù)有兩個，且互為相

6、反數(shù)舉一反三：【變式1】求絕對值不大于 3的所有整數(shù).【答案】絕對值不大于3的所有整數(shù)有-3、-2、-1、0、1、2、3.【高清課堂：絕對值比大小356845典型例題3】【變式2】如果丨x | = 2，那么x = ;如果丨一x |= 2，那么x=.如果| X 2 |= 1，那么x =; 如果| x |> 3，那么x的范圍是第3頁共5頁【答案】-2或-2 ;2或-2 ; 1或3； x3或xv-3【變式3】數(shù)軸上的點 A到原點的距離是6，則點A表示的數(shù)為 .【答案】6或-6類型二、比較大小3.比較下列有理數(shù)大?。海?）-1和0;（2）- 2和卜3| ; （3） _ _1和I 3丿-1-0.1

7、【答案】（1）0大于負數(shù)，即-1v 0;先化簡卜3| = 3，負數(shù)小于正數(shù)，所以11、1 (1 1，即 _ <22 “3132-2V 3, 即 -2V 卜 3| ;（4）先化簡 1 1 ,0*1 = 0.1，這是兩個負數(shù)比較大?。阂驗?0.1|=0.1，而 1>0.1 ,所以一1丈-0.1，即1 v0.1【解析】（2）、（3）、（4）先化簡，再運用有理數(shù)大小比較法則.【點評】在比較兩個負數(shù)的大小時，可按下列步驟進行：先求兩個負數(shù)的絕對值，個絕對值的大小，最后根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷. 舉一反三：【高清課堂：絕對值比大小356845典型例題2】【變式1】比大小

8、：5 63-3;-1-3.21-（+3.2）;0.00016 7-1.38 1.384 ; n 3.14 .【答案】;=；【變式2】（山東臨沂）下列各數(shù)中，比一 1小的數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 2【答案】C【變式3】數(shù)a在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則a, -a, -1的大小關系是（11ii.a -1 0一1=1 ,再比較兩1000;第5頁共5頁A . - a v av -1C. a v -1 v - aB. -1 v - av aD. av - av -1第#頁共5頁第#頁共5頁【答案】C類型三、絕對值非負性的應用a4. 已知 |2-m| +| n-3| = 0,試求 m-2n

9、的值.【思路點撥】 由丨a |> 0即絕對值的非負性可知，丨2-m | > 0 ,丨n-3 | > 0，而它們的和 為 0.所以 | 2-m | = 0, |n-3| = 0.因此，2-m = 0, n-3 = 0，所以 m= 2, n = 3.【答案與解析】 因為| 2-m| +| n-3| = 0且| 2-m| > 0, | n- 3| > 0所以 | 2-m| = 0, | n-3| = 0即 2-m= 0, n-3= 0所以 m = 2, n = 3故 m-2n= 2-2X 3 = -4.【總結(jié)升華】 若幾個數(shù)的絕對值的和為0,則每個數(shù)都等于 0，即| a

10、| +| b| +, +| m| = 0時，貝U a= b = , = m = 0.類型四、絕對值的實際應用5. 正式足球比賽對所用足球的質(zhì)量有嚴格的規(guī)定，下面是6個足球的質(zhì)量檢測結(jié)果，用正數(shù)記超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)，用負數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù).檢測結(jié)果（單位：克）：-25,+10, -20, +30 , +15,-40.裁判員應該選擇哪個足球用于這場比賽呢？請說明理由.【答案】 因為| +10 |v| +15 |v| -20 |v| -25 |v| +30 | <| -40 |,所以檢測結(jié)果 為+10的足球的質(zhì)量好一些.所以裁判員應該選第二個足球用于這場比賽.【解析】根據(jù)實際問題可知，哪個

11、足球的質(zhì)量偏離規(guī)定質(zhì)量越小，則足球的質(zhì)量越好.這個偏差可以用絕對值表示，即絕對值越小偏差也就越小，反之絕對值越大偏差也就越大.【點評】絕對值越小，越接近標準.舉一反三：【變式1】某企業(yè)生產(chǎn)瓶裝食用調(diào)和油，根據(jù)質(zhì)量要求，凈含量（不含包裝）可以有0.002L的誤差.現(xiàn)抽查6瓶食用調(diào)和油，超過規(guī)定凈含量的升數(shù)記作正數(shù)，不足規(guī)定凈含量的升數(shù)記作負數(shù).檢查結(jié)果如下表：+0. 0018-0.0023+0.0025-0. 0015+0.0012+0.0010請用絕對值知識說明：（1）哪幾瓶是合乎要求的（即在誤差范圍內(nèi)的）？（2）哪一瓶凈含量最接近規(guī)定的凈含量？【答案】（1）絕對值不超過0. 002的有4瓶，分別是檢查結(jié)果為+0. 0018, -0. 0015, +0.0012, +0. 0010的這四瓶.（2）第6瓶凈含量與規(guī)定的凈含量相差最少，最接近規(guī)定的凈含量.【變式2】一只可愛的小蟲從點 O出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負數(shù)，小蟲爬行的各段路程（單位：cm）依次記為：+5 , -3, +10 ,-