第六章第二次定積分求體積

1、第二講第二講 元素法求體積與弧長(zhǎng)元素法求體積與弧長(zhǎng)一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為

2、底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy 一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積yr解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積dxxhrdV2 圓圓錐錐體體的的體體積積dxxhrVh20)( hxhr03223 .32hr yrhPxo一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積a aoyx例例 2 2 求求星星形形線線323232ay

3、x )0( a繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積dxxaVaa33232 .105323a 一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積 類類似似地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(yx 、直直線線cy 、dy 及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx cddyy2)( dcV一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積例例 3 3 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱與的一拱與0 y所圍成的圖形分別繞所

4、圍成的圖形分別繞x軸、軸、y軸軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積繞繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可可看看作作平平面面圖圖OABC與與OBC分分別別繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積之之差差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 02

5、2sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a xoabxdxx 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.)(xA表表示示過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面

6、積為已知的立體的體積RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x軸的截面為等腰三角形軸的截面為等腰三角形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 三、平面曲線弧長(zhǎng)三、平面曲線弧長(zhǎng)xo

7、y0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，無(wú)限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，此折線的長(zhǎng)此折線的長(zhǎng)|11 niiiMM的極限存在，則稱此極限為的極限存在，則稱此極限為曲線弧曲線弧AB的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng). 設(shè)設(shè)曲曲線線弧弧為為)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xoyabxdxx 取取積積分分變變量量為為x，在在,ba上上任任取取小小區(qū)

8、區(qū)間間,dxxx ，以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng) dy小小切切線線段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)22)()(dydx dxy21 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素dxyds21 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 三、平面曲線弧長(zhǎng)三、平面曲線弧長(zhǎng)解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab三、平面曲線弧長(zhǎng)三、平面曲線弧長(zhǎng)解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 三、

9、平面曲線弧長(zhǎng)三、平面曲線弧長(zhǎng)曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 三、平面曲線弧長(zhǎng)三、平面曲線弧長(zhǎng)解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 三、平面曲線弧長(zhǎng)三、平面曲線弧長(zhǎng)曲線弧為曲線弧為)( )( sin)(cos)(yx)( 22)()(dydxds ,)()(22 d弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(

10、22 ds三、平面曲線弧長(zhǎng)三、平面曲線弧長(zhǎng)解解, a .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 三、平面曲線弧長(zhǎng)三、平面曲線弧長(zhǎng).)()(22 ds作業(yè)作業(yè) P281 12,18,21,25預(yù)習(xí)預(yù)習(xí):第五章第五章 第六章習(xí)題課第六章習(xí)題課 第三章第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用)()()(lim)()(lim)()(lim0)(lim)(lim)()(4)()(0)(lim)(3)(2)(0)(),()()(,)(100 00。必定有必定有存在，則存在，則且且可導(dǎo)，可導(dǎo)，與與、若、若的鄰域內(nèi)為凸的。的鄰域內(nèi)為凸的。的圖形在的圖形在則則，數(shù)且數(shù)且的鄰域內(nèi)有

11、二階連續(xù)導(dǎo)的鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)在在、設(shè)、設(shè)數(shù)必單調(diào)。數(shù)必單調(diào)。、若導(dǎo)函數(shù)單調(diào)，則函、若導(dǎo)函數(shù)單調(diào)，則函。使使，則必存在一點(diǎn)，則必存在一點(diǎn)可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且在在、若、若一、是非題一、是非題xgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxxxfkxxxfxxxffbabfafbaxfaxaxaxaxaxxx xxfxxf2)(,)(2 單調(diào)增加，曲線凹的單調(diào)減少，曲線凹的單調(diào)增加，曲線凸的單調(diào)減少，曲線凸的）內(nèi)是（此區(qū)間在則函數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)函數(shù)、若在區(qū)間二、選擇題.)(, 0)(0)(),(1 DCBAxfxfxfbaC的導(dǎo)數(shù)不存在。取得極小值；取得極大值；的導(dǎo)數(shù)存在，且）處（，則在點(diǎn)、設(shè))(.)(.)(

12、.0)()(.1)()()(lim22xfDxfCxfBafxfAaxaxafxfaxB的正負(fù)號(hào)無(wú)法確定。上單調(diào)增加，但在；上單調(diào)減少，且在；上單調(diào)增加，且在；上單調(diào)增加，且在）則（又時(shí)，內(nèi)可導(dǎo)，且上連續(xù)，在在若)(,)(.0)(,)(.0)(,)(.0)(,)(., 0)(, 0)(),(),(,)(. 3bfbaxfDbfbaxfCbfbaxfBbfbaxfAafxfbaxbabaxfD的值有關(guān)的值有關(guān)、是否存在與是否存在與二個(gè)；二個(gè)；一個(gè)；一個(gè)；不存在；不存在；）點(diǎn)（點(diǎn)（成立的成立的內(nèi)使內(nèi)使，則在，則在設(shè)設(shè)baDCBAabfafbfbxaxxfab.)()()(1)(, 0. 5 A01

13、)(01)()(2fababafbf10sincoslimtantansecseclimsectanlnlimtanlncoslim2022020202 eeeeexxxxxxxxxxxxxx原式原式不存在不存在；）（.1 .0 .)(tanlim. 7cos02DCBAxxx B0 。，使不可能存在，使必存在，使不一定存在，使至少存在一點(diǎn)）內(nèi)（內(nèi)可導(dǎo)，則在在若abafbffDabafbffCabafbffBabafbffAbabaxf)()()(.;)()()(.;)()()(.;)()()(.),(),()(. 8 ) 1 , 0 (,10, 1)(xxxxf例例如如：B。，垂直漸近線為，垂直漸近線為的水平漸近線為的水平漸近線為曲線曲線。階麥克勞林公式為階麥克勞林公式為的的函數(shù)函數(shù)。三、填空題三、填空題_1. 3_. 2_sinsinlim. 11 xxxeynxexxxx1)()!1(1nniixoix 0 y0 x四、計(jì)算題四、計(jì)算題20)(arcsin1sinlim)1(. 1xxexx 求下列極限求下列極限0020arcsin1sinlimxx