反三角函數(shù)的概念和性質(zhì)

1、反三角函數(shù)的概念和性質(zhì)一基本知識：1正確理解反三角函數(shù)的定義，把握三角函數(shù)與反三角函數(shù)的之間的反函數(shù)關(guān)系；2掌握反三角函數(shù)的定義域和值域，yarcsinx, x1, 1, y，, yarccosx, x1, 1, y0, , 在反三角函數(shù)中，定義域和值域的作用更為明顯，在研究問題時(shí)，一定要先看清楚變量的取值范圍；3符號arcsinx可以理解為，上的一個(gè)角或弧，也可以理解為區(qū)間，上的一個(gè)實(shí)數(shù)；同樣符號arccosx可以理解為0，上的一個(gè)角或弧，也可以理解為區(qū)間0，上的一個(gè)實(shí)數(shù)；4yarcsinx等價(jià)于sinyx, y，, yarccosx等價(jià)于cosyx, x0, , 這兩個(gè)等價(jià)關(guān)系是解反三角函

2、數(shù)問題的主要依據(jù)；5注意恒等式sin(arcsinx)x, x1, 1 , cos(arccosx)x, x1, 1, arcsin(sinx)x, x，, arccos(cosx)x, x0, 的運(yùn)用的條件；6掌握反三角函數(shù)的奇偶性、增減性的判斷，大多數(shù)情況下，可以與相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)結(jié)合起來理解和應(yīng)用；7注意恒等式arcsinxarccosx, arctgxarcctgx的應(yīng)用。例一下列各式中成立的是（C）。（A）arcctg(1) （B）arccos() C）sinarcsin() （D）arctg(tg)解：(A)(B)中都是值域出現(xiàn)了問題，即arcctg(1)(0, ), a

3、rccos()0, ,(D)中，arctg(tg), , 而，, (A)(B)(D)都不正確。例二下列函數(shù)中，存在反函數(shù)的是（D）。（A）ysinx, x, 0 （B）ysinx, x, （C）ysinx, x, （D）ysinx, x,解：本題是判斷函數(shù)ysinx在哪個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，由于ysinx在區(qū)間,上是單調(diào)遞減函數(shù)， 所以選D。例三 arcsin(sin10)等于（C）。（A）210 （B）102 （C）310 （D）103解：本題是判斷哪個(gè)角度的正弦值與sin10相等，且該角度在, 上。由于sin(310)sin(10)sin10, 且310, , 所以選C。（例四求出下列函數(shù)的

4、反函數(shù)，并求其定義域和值域。（1）f (x)2sin2x, x, ;（2）f (x)arccos2x.解：(1) x, , 2x, , 2x, , 2y2由y2sin2x, 得sin2x, sin(2x)sin2x, 2xarcsin(), xarcsin, f 1(x)arcsin, 2x2, y, .(2) f (x)arccos2x, x, , y, arccos2xy, 2xcos(y), xcos(y)siny,f 1(x)sinx , x, y, .例五求下列函數(shù)的定義域和值域：(1) yarccos; (2) yarcsin(x2x); (3) yarcctg(2x1),解：(1

5、) yarccos, 0<1, x1, y0, ).(2) yarcsin(x2x), 1x2x1, x, 由于x21(x)2, 1x2x, yarcsin.(3) yarcctg(2x1), 由于2x1>1, 0< arcctg(2x1)<, xR, y(0, ).例六求下列函數(shù)的值域：(1) yarccos(sinx), x(, ); (2) yarcsinxarctgx.解：(1) x(, ), sinx(, 1, y0, ).(2) yarcsinxarctgx., x1, 1, 且arcsinx與arctgx都是增函數(shù), arcsinx, arctgx, y,

6、.例七判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1) f (x)xarcsin(sinx); (2) f (x)arcctgx.解：(1) f (x)的定義域是R， f (x)(x)arcsinsin(x)xarcsin(sinx)f (x), f (x)是偶函數(shù);(2) f (x)的定義域是R, f (x)arcctg(x)(arcctgx)arcctgxf (x), f (x)是奇函數(shù).例八作函數(shù)yarcsin(sinx), x, 的圖象.解：yarcsin(sinx), x, , 得, 圖象略。例九比較arcsin, arctg, arccos()的大小。解：arcsin<, arctg<,

7、arccos()>, arccos()最大,設(shè)arcsin，sin, 設(shè)arctg, tg, sin<sin, <, arctg< arcsin< arccos().例十解不等式：(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinxarccosx>.解：(1) x1, 1, 當(dāng)x時(shí), arcsinxarccosx, 又arcsinx是增函數(shù),arccosx是減函數(shù)， 當(dāng)x1, )時(shí), arcsinx<arccosx.(2) arccosxarcsinx, 原式化簡得4arcsinx>, arcsinx>arcsin, a

8、rcsinx是增函數(shù), <x1.二基礎(chǔ)知識自測題：1函數(shù)yarcsinx的定義域是 1, 1 ，值域是.2函數(shù)yarccosx的定義域是 1, 1 ，值域是 0, .3函數(shù)yarctgx的定義域是 R ，值域是.4函數(shù)yarcctgx的定義域是 R ，值域是 (0, ) .5arcsin(); arccos(); arctg(1); arcctg().6sin(arccos); ctgarcsin(); tg(arctg); cos(arcctg).7若cosx, x(, )，則x.8若sinx, x(, 0)，則x.9若3ctgx10, x(0, )，則x.三基本技能訓(xùn)練題：1下列關(guān)系式總成立的是（B）。（A）arccosx>0 （B）arcctgx>0 （C）