從數(shù)學視角認識初中數(shù)學新課程- 深入開展心理素質(zhì)教育有效促進

1、從數(shù)學視角認識初中從數(shù)學視角認識初中數(shù)學新課程數(shù)學新課程首都師范大學首都師范大學王尚志王尚志 認識數(shù)學課程內(nèi)容的兩個基點：認識數(shù)學課程內(nèi)容的兩個基點： 數(shù)學沿革、發(fā)展數(shù)學沿革、發(fā)展 實際需求實際需求 認識數(shù)學新課程變化三個基本視角：認識數(shù)學新課程變化三個基本視角： 數(shù)學視角數(shù)學視角 教育視角教育視角 學生視角學生視角關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞 整體把握數(shù)學課程整體把握數(shù)學課程 基本脈絡(luò)基本脈絡(luò) 數(shù)學本質(zhì)數(shù)學本質(zhì) 四基：四基： 基本知識、基本技能、基本思基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗想、基本活動經(jīng)驗從數(shù)學視角從數(shù)學視角認識初中數(shù)學新課程認識初中數(shù)學新課程一、選擇性：大學不同專業(yè)的數(shù)學課程一、選擇性

2、：大學不同專業(yè)的數(shù)學課程二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類三、承上啟下：高中數(shù)學課程的主要脈絡(luò)三、承上啟下：高中數(shù)學課程的主要脈絡(luò)四、課程目標、結(jié)構(gòu)：四基與內(nèi)容四個組成部分四、課程目標、結(jié)構(gòu)：四基與內(nèi)容四個組成部分五、數(shù)與代數(shù)：運算五、數(shù)與代數(shù)：運算計算能力計算能力六、數(shù)與代數(shù)：模型六、數(shù)與代數(shù)：模型從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)七、數(shù)與代數(shù)：數(shù)學內(nèi)容不同處理的思考七、數(shù)與代數(shù)：數(shù)學內(nèi)容不同處理的思考因式分解因式分解八、數(shù)與代數(shù)：通性通法八、數(shù)與代數(shù)：通性通法 從數(shù)學視角從數(shù)學視角認識初中數(shù)學新課程認識初中數(shù)學新課程九、空間與圖形：圖形分類與研究方法九、空間與圖形：圖形分類

3、與研究方法十、空間與圖形：變換與幾何直觀十、空間與圖形：變換與幾何直觀十一、空間與圖形：十一、空間與圖形： 演繹推理與歸納推理（合情推理）演繹推理與歸納推理（合情推理）十二、統(tǒng)計與概率：隨機現(xiàn)象十二、統(tǒng)計與概率：隨機現(xiàn)象十三、統(tǒng)計與概率：數(shù)據(jù)處理十三、統(tǒng)計與概率：數(shù)據(jù)處理十四、綜合與實踐：數(shù)學活動經(jīng)驗十四、綜合與實踐：數(shù)學活動經(jīng)驗 一、一、選擇性：大學不同專業(yè)的數(shù)學課程選擇性：大學不同專業(yè)的數(shù)學課程選擇性：不同專業(yè)方向需要不同的數(shù)學選擇性：不同專業(yè)方向需要不同的數(shù)學 1、文科數(shù)學課程、文科數(shù)學課程 不同的選擇：經(jīng)濟，文學，語言學，等不同的選擇：經(jīng)濟，文學，語言學，等 2、工科數(shù)學課程、工科數(shù)學

4、課程 不同的選擇：無線電，建筑，材料，等不同的選擇：無線電，建筑，材料，等 3、理科數(shù)學課程、理科數(shù)學課程 不同的選擇：物理，化學，生物，等不同的選擇：物理，化學，生物，等 4、數(shù)學方向的數(shù)學課程、數(shù)學方向的數(shù)學課程 不同的選擇：數(shù)學專業(yè)，應(yīng)用數(shù)學，計算數(shù)學，不同的選擇：數(shù)學專業(yè)，應(yīng)用數(shù)學，計算數(shù)學，統(tǒng)計概率，等統(tǒng)計概率，等一、一、選擇性：大學不同專業(yè)的數(shù)學課程選擇性：大學不同專業(yè)的數(shù)學課程選擇性是這次高中課程改革的核心選擇性是這次高中課程改革的核心 必修課程：所有學生需要學習的課程，必修課程：所有學生需要學習的課程， 部分專門專部分專門專 業(yè)的考試課程。業(yè)的考試課程。 選修一：文科專業(yè)學習和

5、考試的課程選修一：文科專業(yè)學習和考試的課程 選修二：理工科專業(yè)學習和考試的課程選修二：理工科專業(yè)學習和考試的課程 選修四：選擇性學習和考試的課程選修四：選擇性學習和考試的課程 選修三：拓展和興趣課程選修三：拓展和興趣課程二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類 分析類數(shù)學課程：分析類數(shù)學課程： 研究函數(shù)以及與函數(shù)有關(guān)的問題的課程。研究函數(shù)以及與函數(shù)有關(guān)的問題的課程。 數(shù)學分析，數(shù)學分析， 復變函數(shù)，復變函數(shù)， 實變函數(shù)，實變函數(shù)， 常微分方程，常微分方程， 偏微分方程，偏微分方程， 數(shù)值計算，數(shù)值計算， 泛函分析，泛函分析， 與這些課程有聯(lián)系的拓展類課程：三角級數(shù)，調(diào)和分析

6、，與這些課程有聯(lián)系的拓展類課程：三角級數(shù)，調(diào)和分析，函數(shù)逼近論等等。函數(shù)逼近論等等。二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類 代數(shù)類數(shù)學課程：研究運算以及與運算有關(guān)的課代數(shù)類數(shù)學課程：研究運算以及與運算有關(guān)的課程。程。 高等代數(shù)（線性代數(shù)、多項式理論），高等代數(shù)（線性代數(shù)、多項式理論）， 抽象代數(shù)，抽象代數(shù)， 群倫，群倫， 有限群及其應(yīng)用，有限群及其應(yīng)用， 環(huán)論，環(huán)論， 域論，域論， 與這些課程有聯(lián)系的拓展類課程：交換代數(shù)，非與這些課程有聯(lián)系的拓展類課程：交換代數(shù)，非交換代數(shù)，半論，等等。交換代數(shù)，半論，等等。二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類 幾

7、何類數(shù)學課程：研究圖形以及與圖形有關(guān)的課幾何類數(shù)學課程：研究圖形以及與圖形有關(guān)的課程。程。 解析幾何，解析幾何， 射影幾何（高等幾何），射影幾何（高等幾何）， 微分幾何，微分幾何， 點集拓撲，點集拓撲， 代數(shù)拓撲，代數(shù)拓撲， 微分拓撲，微分拓撲， 微分流形，微分流形， 許多相關(guān)課程：代數(shù)幾何，旋論，形論，等許多相關(guān)課程：代數(shù)幾何，旋論，形論，等二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類 統(tǒng)計、概率類數(shù)學課程：統(tǒng)計、概率類數(shù)學課程： 統(tǒng)計，統(tǒng)計， 概率，概率， 許多相關(guān)課程：隨機微分方程，等等許多相關(guān)課程：隨機微分方程，等等二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課程分類二、主要脈絡(luò)：大學數(shù)學課

8、程分類 應(yīng)用類數(shù)學課程應(yīng)用類數(shù)學課程 運籌學運籌學線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃 優(yōu)化課程優(yōu)化課程 離散數(shù)學課程離散數(shù)學課程圖論、圖論、 學科應(yīng)用課程學科應(yīng)用課程生物數(shù)學、生物數(shù)學、 經(jīng)濟、金融類數(shù)學類課程經(jīng)濟、金融類數(shù)學類課程 計算類課程計算類課程 理論物理類數(shù)學課程理論物理類數(shù)學課程 圖像識別類數(shù)學課程圖像識別類數(shù)學課程 等等等等 算法與計算機課程算法與計算機課程三、承上啟下：高中數(shù)學課程三、承上啟下：高中數(shù)學課程 的主要脈絡(luò)的主要脈絡(luò)高中數(shù)學主要脈絡(luò)函數(shù)函數(shù)幾何幾何運算運算算法算法應(yīng)用應(yīng)用統(tǒng)計、概率統(tǒng)計、概率整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)函數(shù)整體把握課程 抓住基

9、本脈絡(luò)函數(shù) 20世紀初，在英國數(shù)學家貝利和德國數(shù)學家克萊因等人的大力倡導和推動下，函數(shù)進入了中學數(shù)學?？巳R因提出了一個重要的思想以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學教育的內(nèi)容，他認為：“函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學教材集中在它周圍，進行充分地綜合?！闭w把握課程 抓住基本脈絡(luò)函數(shù) 高中數(shù)學教材編寫中，把函數(shù)作為貫穿整個高中數(shù)學教材始終的主線，這條線將延續(xù)到大學的數(shù)學中，我們知道，大學幾乎所有的專業(yè)都開設(shè)了高等數(shù)學，有文科的高等數(shù)學，有工科的高等數(shù)學，在數(shù)學系中，有數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)、信息與計算專業(yè)、統(tǒng)計數(shù)學專業(yè)，這些專業(yè)開設(shè)了不同高等數(shù)學內(nèi)容的課程，雖然，不同的專業(yè)開設(shè)不

10、同的高等數(shù)學課程，但是，函數(shù)是這些高等數(shù)學課程的一條主線，在數(shù)學系課程中，尤顯突出，例如，數(shù)學分析、復變函數(shù)、實變函數(shù)、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，這些課程都是把函數(shù)作為研究對象。函數(shù)、映射不僅是數(shù)學的基本研究對象，它們的思想滲透到幾乎每一個數(shù)學分支。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)函數(shù)1對函數(shù)的認識對函數(shù)的認識 （1）函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型 （2）函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對象的橋梁 （3）函數(shù)是“圖形”整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)函數(shù) 以上是認識函數(shù)的三個不同角度，它們可以幫助我們更全面地認識函數(shù)，也是學生在高中階段中應(yīng)留下的東西。這些對于進一步學習是很重要的。進入大學，在高等數(shù)學的

11、學習中，我們還會學習認識函數(shù)的新的視角，例如，在很多情境中，常常要把具有某些形式的函數(shù)作為一個整體，并討論整體的結(jié)構(gòu)。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)函數(shù)2中學數(shù)學研究函數(shù)的什么性質(zhì)中學數(shù)學研究函數(shù)的什么性質(zhì) 數(shù)學中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。因為，函數(shù)的變化特征反映了它所刻畫的自然規(guī)律的特征。在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性。 單調(diào)性是在高中階段討論函數(shù)“變化”的一個最基本的性質(zhì)。 在高中數(shù)學課程中，對于函數(shù)這個性質(zhì)的研究分成兩個方法。 第一種方法，用運算的性質(zhì)研究單調(diào)性； 第二種方法，用導數(shù)的性質(zhì)研究單調(diào)性。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)函數(shù) 3具體函數(shù)模型具體函數(shù)模型 簡單的冪函數(shù)及其

12、拓展 實際函數(shù)的模型分段函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 數(shù)列整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)函數(shù)4函數(shù)與其他內(nèi)容的聯(lián)系函數(shù)與其他內(nèi)容的聯(lián)系 函數(shù)與方程函數(shù)與方程 函數(shù)與數(shù)列函數(shù)與數(shù)列 函數(shù)與不等式函數(shù)與不等式 函數(shù)與線性規(guī)劃函數(shù)與線性規(guī)劃 函數(shù)與算法函數(shù)與算法 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)函數(shù) 總之，在我們的教材中，函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式、線性規(guī)劃、算法、導數(shù)及其應(yīng)用，包括概率統(tǒng)計中的隨機變量等，以及選修系列3、4中的大部分專題內(nèi)容，都與函數(shù)有著密切的聯(lián)系。用函數(shù)（映射）的思想去理解這些內(nèi)容，是非常重要的一個出發(fā)點。反過來，通過這些內(nèi)容的學習，可以加深對于函數(shù)思想的認識。實際上，在我們的教材中，

13、都需要不斷地體會、理解“函數(shù)思想”給我們帶來的“好處”。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)幾何整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)幾何1. 幾何的教育功能幾何的教育功能 在我們的教材中，幾何的作用主要在于培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和推理論證能力。這兩種能力對于學生思維的發(fā)展和對數(shù)學本質(zhì)的理解都是非常重要的。 在我們的教材中，幾何是“圖”“文”并茂的內(nèi)容，它把數(shù)學所特有的邏輯思維和形象思維有機地結(jié)合起來。幾何思想主要體現(xiàn)在幾何直觀能力，即把握圖形的能力。幾何直觀能力主要包括空間想象力、直觀洞察力、用圖形語言來思考問題的能力。借助幾何這個載體，可以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。但僅僅把幾何作為培養(yǎng)形式推理能力載體的認識是片

14、面的。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)幾何1. 幾何的教育功能幾何的教育功能 在中學數(shù)學課程中重視幾何內(nèi)容是我國數(shù)學教育的傳統(tǒng)，也是共識。但是，如何運用幾何思想、把握圖形的能力去學習其它的數(shù)學內(nèi)容，卻沒有引起足夠的重視。在實驗區(qū)聽課時，最令我們感到遺憾的是：教師不太喜歡“畫圖”，講解析幾何時也不畫圖。 事實上，幾何學能夠給我們提供一種直觀的形象，通過對圖形的把握，可以發(fā)展空間想象能力，這種能力是非常重要的，無論是數(shù)學本身、數(shù)學學習本身，還是在其他方面，都是一種基本能力。搞藝術(shù)的人就經(jīng)常說，這種空間想象能力與他們藝術(shù)上的想象能力、藝術(shù)創(chuàng)作能力是一種殊途同歸的感覺。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)幾何2中學幾

15、何研究的對象中學幾何研究的對象 中學幾何主要是研究圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)中學幾何主要是研究圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系。最基本的幾何圖形是點、線、面，由線可圍成平系。最基本的幾何圖形是點、線、面，由線可圍成平面圖形，由面可圍成幾何體。中學幾何研究的圖形可面圖形，由面可圍成幾何體。中學幾何研究的圖形可分為兩類，一類是直邊或直面圖形，例如，直線，由分為兩類，一類是直邊或直面圖形，例如，直線，由直線圍成的三角形，由平面圍成的四面體、長方體等；直線圍成的三角形，由平面圍成的四面體、長方體等；另一類是曲邊或曲面圖形，例如，圓，球等。在中學另一類是曲邊或曲面圖形，例如，圓，球等。在中學幾何中，基本幾何圖形點、

16、線、面之間的位置關(guān)系主幾何中，基本幾何圖形點、線、面之間的位置關(guān)系主要有平行、垂直、包含（如點在直線上，線在平面內(nèi)，要有平行、垂直、包含（如點在直線上，線在平面內(nèi)，線與線、面與面重合等），由基本圖形圍成的平面圖線與線、面與面重合等），由基本圖形圍成的平面圖形之間的關(guān)系主要有全等、相似、位似等。圖形的度形之間的關(guān)系主要有全等、相似、位似等。圖形的度量主要有夾角、長度、面積、體積等。量主要有夾角、長度、面積、體積等。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)幾何3幾何研究圖形的方法幾何研究圖形的方法 中學幾何研究圖形的方法主要有：綜中學幾何研究圖形的方法主要有：綜合幾何的方法，解析法，向量幾何的方法，合幾何的方法

17、，解析法，向量幾何的方法，函數(shù)的方法等。函數(shù)的方法等。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)幾何4幾何內(nèi)容的設(shè)計幾何內(nèi)容的設(shè)計 在我們的教材中，幾何課程的設(shè)計分為在我們的教材中，幾何課程的設(shè)計分為兩部分。兩部分。 一部分是將一部分是將“把握圖形把握圖形”的能力作為指的能力作為指導思想，貫穿在整個數(shù)學課程的始終。導思想，貫穿在整個數(shù)學課程的始終。 另一部分是設(shè)計了相應(yīng)的幾何內(nèi)容。另一部分是設(shè)計了相應(yīng)的幾何內(nèi)容。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)運算整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)運算 對數(shù)學最樸實的理解是：數(shù)學就是“算”，即“運算”?！斑\算”包括兩方面，一個是“運算的對象”，一個是“運算的規(guī)律”?！皵?shù)”、“字母”（代數(shù)式

18、）、“指數(shù)”、“對數(shù)”、“三角函數(shù)”、“向量”等等都是運算對象?！敖Y(jié)合律”、“a+(-a)=0”（即加一項，減一項）、“交換律”、各種“分配律”等等都是運算規(guī)律?！斑\算”幾乎滲透到數(shù)學的每一個角落，運算是貫穿數(shù)學的基本脈絡(luò)，是貫穿數(shù)學教材的主線，在我們的教材中，發(fā)揮著不可替代的作用。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)運算1對運算的認識對運算的認識 運算是數(shù)學學習的一個基本內(nèi)容。運算對象的不運算是數(shù)學學習的一個基本內(nèi)容。運算對象的不斷擴展是數(shù)學發(fā)展的一條重要線索。斷擴展是數(shù)學發(fā)展的一條重要線索。 從數(shù)的運算到字母運算，是運算的一次跳躍。從數(shù)的運算到字母運算，是運算的一次跳躍。 從數(shù)的運算，到向量運算，是

19、認識運算的又一次跳從數(shù)的運算，到向量運算，是認識運算的又一次跳躍。躍。 在以后的學習中，運算對象還要進一步拓展。上述在以后的學習中，運算對象還要進一步拓展。上述種種運算的學習，為學生今后進一步學習其它數(shù)學運種種運算的學習，為學生今后進一步學習其它數(shù)學運算，體會數(shù)學運算的意義以及運算在建構(gòu)數(shù)學系統(tǒng)中算，體會數(shù)學運算的意義以及運算在建構(gòu)數(shù)學系統(tǒng)中的作用，奠定了基礎(chǔ)。的作用，奠定了基礎(chǔ)。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)運算 2運算的作用運算的作用 （1）運算是研究高中數(shù)學的基礎(chǔ)）運算是研究高中數(shù)學的基礎(chǔ) 貫穿在高中數(shù)學的始終貫穿在高中數(shù)學的始終 （2）運算與推理）運算與推理 （3）運算與算法）運算與算法

20、 （4）運算與恒等變形）運算與恒等變形整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)運算3運算內(nèi)容的設(shè)計運算內(nèi)容的設(shè)計 在我們的教材中，主要有幾部分內(nèi)容在我們的教材中，主要有幾部分內(nèi)容集中的介紹了運算：指數(shù)運算；對數(shù)運算；集中的介紹了運算：指數(shù)運算；對數(shù)運算；三角函數(shù)運算；向量運算，包括平面向量三角函數(shù)運算；向量運算，包括平面向量和空間向量；復數(shù)運算；導數(shù)運算；等等。和空間向量；復數(shù)運算；導數(shù)運算；等等。 在我們的教材中，自始至終都在強調(diào)在我們的教材中，自始至終都在強調(diào)運算的作用。運算的作用。 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法 算法也是設(shè)計我們的教材的一條主線。有三方面的問題應(yīng)該特別注

21、意：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語句。 算法教學應(yīng)該采用“案例教學”，從具體的學生熟悉的實例出發(fā)，在具體的情境中、在處理具體問題過程中，使學生理解：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語句。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法1算法的作用算法的作用 （1）算法學習能夠幫助學生清晰思考問）算法學習能夠幫助學生清晰思考問題、提高邏輯思維能力題、提高邏輯思維能力 （2）算法學習突出了）算法學習突出了“通性通法通性通法” （3）算法學習有助于幫助學生理解信息）算法學習有助于幫助學生理解信息時代計算機的作用時代計算機的作用 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法2算法的基本思想算法的基本思想 算法

22、的基本思想是指按照確定的步驟，一步一步算法的基本思想是指按照確定的步驟，一步一步去解決某個問題的程序化思想。在數(shù)學中，完成每一去解決某個問題的程序化思想。在數(shù)學中，完成每一件工作，例如，計算一個函數(shù)值，求解一個方程，證件工作，例如，計算一個函數(shù)值，求解一個方程，證明一個結(jié)果，等等，我們都需要有一個清晰的思路，明一個結(jié)果，等等，我們都需要有一個清晰的思路，一系列的步驟，一步一步地去完成，這就是算法的思一系列的步驟，一步一步地去完成，這就是算法的思想，即程序化的思想。以前，在高中數(shù)學課程中沒有想，即程序化的思想。以前，在高中數(shù)學課程中沒有給出給出“算法算法”這個名詞，但是，我們卻熟悉許多問題這個名

23、詞，但是，我們卻熟悉許多問題的算法，一直在利用算法的思想。例如，我們知道解的算法，一直在利用算法的思想。例如，我們知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式，一元二一元二次方程的算法，求解一元一次不等式，一元二次不等式的算法，求解線性方程組的算法，求兩個數(shù)次不等式的算法，求解線性方程組的算法，求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的算法，等等。的最大公因數(shù)的算法，等等。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法3算法的基本結(jié)構(gòu)算法的基本結(jié)構(gòu) （1）順序結(jié)構(gòu)）順序結(jié)構(gòu)反映邏輯思路反映邏輯思路（2）分叉（選擇）結(jié)構(gòu)）分叉（選擇）結(jié)構(gòu)分類討論思想分類討論思想（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)）循環(huán)結(jié)構(gòu)簡化敘述簡化敘述整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法

24、4算法的基本語句算法的基本語句 輸入輸出語句輸入輸出語句 賦值語句賦值語句 條件語句條件語句 循環(huán)語句循環(huán)語句 我們的教材采用我們的教材采用C語言的語句。語言的語句。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法5算法內(nèi)容的設(shè)計算法內(nèi)容的設(shè)計 在我們的教材中，算法內(nèi)容的設(shè)計分為兩在我們的教材中，算法內(nèi)容的設(shè)計分為兩部分。部分。 一部分主要介紹算法的基礎(chǔ)知識，可以稱作算一部分主要介紹算法的基礎(chǔ)知識，可以稱作算法的法的“三基三基”：算法的基本思想，算法的基本：算法的基本思想，算法的基本結(jié)構(gòu)，算法的基本語句。結(jié)構(gòu)，算法的基本語句。 另一部分是把算法的思想融入相關(guān)數(shù)學內(nèi)容中。另一部分是把算法的思想融入相關(guān)數(shù)學內(nèi)容中。

25、整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法用算法表述解方程整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法用算法表述解不等式整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法用算法表述解線性規(guī)劃的算法步驟：確定目標函數(shù)確定由二元一次不等式組組成的可行域確定可行域邊界上的頂點計算出定點的函數(shù)值根據(jù)問題要求確定最大值或最小值整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)算法用算法表述解幾何問題例如，平面外一點M到平面的距離。確定平面上的一點N及垂直平面的向量a a確定向量NM將向量a a的的單位向量求向量NM與向量a a的的單位向量的點乘這個結(jié)果就是所求的距離。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)統(tǒng)計概率整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)統(tǒng)計概率 目前我們的社會已經(jīng)進入了信息時代，信

26、息的主要載體是數(shù)據(jù)。收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取有用信息、利用數(shù)據(jù)中的信息說明問題等等，這些已經(jīng)成為人們的基本素質(zhì)和能力。這些變化必然會直接影響到數(shù)學課程的設(shè)置。概率與統(tǒng)計是在1958年前后，進入中國大學數(shù)學課程。幾經(jīng)反復，到了文化革命以后，概率與統(tǒng)計在大學數(shù)學課程中，站住了腳，同時，也滲透到其它相關(guān)學科中，在大學，相當多的專業(yè)都需要開設(shè)統(tǒng)計概率課程，例如，在生物學科中，學習統(tǒng)計也成為了重要的課程。這是一個重大的變化。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)統(tǒng)計概率 在傳統(tǒng)的大學概率統(tǒng)計課程中，概率的分量大于統(tǒng)計，或者說在這些課程中是重概率。隨著時代的發(fā)展，統(tǒng)計在社會發(fā)展中的作用越來越大，在大

27、學的概率統(tǒng)計課程又發(fā)生了新的變化，近年來，在數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)中，統(tǒng)計概率課已經(jīng)成為基礎(chǔ)課，它與數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、普通物理、數(shù)學建模、計算機基礎(chǔ)都成為基礎(chǔ)課。在概率統(tǒng)計課程中，課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化，統(tǒng)計的分量大大的加強了。 這種變化也影響到了中小學的課程，現(xiàn)在中小學的課程中統(tǒng)計概率的內(nèi)容大大的增加，這已經(jīng)成為國際中小學數(shù)學課程發(fā)展的趨勢。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)統(tǒng)計概率我們的教材我們的教材數(shù)據(jù)處理的能力數(shù)據(jù)處理的能力統(tǒng)計注重過程統(tǒng)計注重過程統(tǒng)計采用的案例的教學方式統(tǒng)計采用的案例的教學方式統(tǒng)計是一種歸納的思維統(tǒng)計是一種歸納的思維 隨機的思想隨機的思想統(tǒng)計中的隨機思想統(tǒng)計中的隨

28、機思想 整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)應(yīng)用整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)應(yīng)用 對于高中課程中數(shù)學的應(yīng)用，可以分成三個層次來理解，分別是：知識的背景和對實際問題的數(shù)學描述；對數(shù)學模型的認識和在實際中的直接應(yīng)用；經(jīng)歷數(shù)學建模的過程。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)應(yīng)用 發(fā)展學生的應(yīng)用意識 激發(fā)學生的學習興趣 增強學生對數(shù)學的理解 擴展學生的視野 培養(yǎng)學生的良好品行 提高學生的閱讀能力整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)應(yīng)用 必修和選修1（2）教材中，每一章都設(shè)有數(shù)學應(yīng)用的內(nèi)容 選修3（4）的以下教材編寫中，也提供了大量的數(shù)學應(yīng)用實例 選修3-2 信息安全與密碼 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步 選修4-10開關(guān)電路與布爾

29、代數(shù) 選修4-9 風險與決策 選修4-8 統(tǒng)籌法與圖論初步整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)應(yīng)用 在教材中，針對學生的不同發(fā)展水平，分層次在教材中，針對學生的不同發(fā)展水平，分層次開展多樣的數(shù)學應(yīng)用與建?；顒?。形式可以是多開展多樣的數(shù)學應(yīng)用與建?；顒?。形式可以是多種多樣的，常見的主要有以下三種：種多樣的，常見的主要有以下三種： (1) (1) 在一些數(shù)學概念的引入中，設(shè)計了有實在一些數(shù)學概念的引入中，設(shè)計了有實際背景的應(yīng)用內(nèi)容際背景的應(yīng)用內(nèi)容 (2) (2) 設(shè)計了一些以數(shù)學應(yīng)用為主題的課外活設(shè)計了一些以數(shù)學應(yīng)用為主題的課外活動動 (3) (3) 設(shè)計了數(shù)學建模的選題設(shè)計了數(shù)學建模的選題整體把握課程 抓

30、住基本脈絡(luò)應(yīng)用 選擇了一批適合學生參與的選擇了一批適合學生參與的“好的問題好的問題”，并，并提出了一些教師和學生應(yīng)特別注意的問題：提出了一些教師和學生應(yīng)特別注意的問題： 選擇與學生的生活實際相關(guān)的問題，并減少對問題不選擇與學生的生活實際相關(guān)的問題，并減少對問題不必要的人為加工和刻意雕琢。必要的人為加工和刻意雕琢。 表現(xiàn)出建模的全過程，而不僅僅是問題本身的解決表現(xiàn)出建模的全過程，而不僅僅是問題本身的解決 問題要有較為寬泛的數(shù)學背景、有不同的層次，并注問題要有較為寬泛的數(shù)學背景、有不同的層次，并注意問題的可擴展性和開放性。意問題的可擴展性和開放性。 鼓勵學生在問題分析解決的過程中使用計算工具和成鼓

31、勵學生在問題分析解決的過程中使用計算工具和成品工具軟件。品工具軟件。 提倡教師自己動手、因地制宜地收集、編制、改造數(shù)提倡教師自己動手、因地制宜地收集、編制、改造數(shù)學應(yīng)用或建模問題學應(yīng)用或建模問題四、初中課程目標與結(jié)構(gòu)四、初中課程目標與結(jié)構(gòu) 四基：四基： 基本知識、基本知識、 基本技能能、基本技能能、 基本思想、基本思想、 基本活動經(jīng)驗基本活動經(jīng)驗四、初中課程目標與結(jié)構(gòu)四、初中課程目標與結(jié)構(gòu) 內(nèi)容結(jié)構(gòu)與比例：內(nèi)容結(jié)構(gòu)與比例： 數(shù)與代數(shù)數(shù)與代數(shù) 空間與圖形空間與圖形 統(tǒng)計與概率統(tǒng)計與概率 綜合與實踐綜合與實踐 比例？比例？ 重點？重點？五、數(shù)與代數(shù)：五、數(shù)與代數(shù)：運算運算計算能力計算能力 運算對象

32、：運算對象： 數(shù)：自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)數(shù)：自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù) 代數(shù)式：單項式、多項式、分式代數(shù)式：單項式、多項式、分式 運算對象的認識：例如，分數(shù)運算對象的認識：例如，分數(shù) 運算：加、減、乘、除運算：加、減、乘、除 運算意義：加、減、乘、除運算意義：加、減、乘、除五、數(shù)與代數(shù)：五、數(shù)與代數(shù)：運算運算計算能力計算能力 運算規(guī)則：運算規(guī)則：確保運算結(jié)果的唯一確保運算結(jié)果的唯一 運算法則：加、減、乘、除運算法則：加、減、乘、除 運算順序：先乘除后加減運算順序：先乘除后加減 去括號去括號 等等等等 等式與不等式性質(zhì)等式與不等式性質(zhì) 五、數(shù)與代數(shù)：五、數(shù)與代數(shù)：運算運算計算能力計算能力 運

33、算應(yīng)用：運算應(yīng)用： 方程方程 不等式不等式 函數(shù)函數(shù)六、數(shù)與代數(shù)：六、數(shù)與代數(shù)：模型模型從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù) 雞兔同籠問題雞兔同籠問題 算術(shù)方法與代數(shù)方法的特點算術(shù)方法與代數(shù)方法的特點 模型模型 模型特點模型特點 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題例子：雞兔同籠問題 問題：一支鉛筆4元，一支鋼筆7元，共有46元買10支筆，應(yīng)如何購買？ 有兩種思維方法： 算術(shù)方法：嘗試，調(diào)整 窮舉，列表 假設(shè)，推理 代數(shù)方法：分析問題中的量，確定等量關(guān) 系，設(shè)未知數(shù)，列方程（不同方式），解方程。 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題例子：雞兔同籠問題 算術(shù)方法（一）嘗試（猜測）調(diào)整 有的學生嘗

34、試：買4支鉛筆6支鋼筆， 供需要58元。 調(diào)整：只有46元，不足，只能少買一些鋼筆；買1支鋼筆9支鉛筆，可否？需43元。再調(diào)整：自己有46元，還可多買鋼筆；買2支鋼筆8支鉛筆，恰為46元。 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題例子：雞兔同籠問題 求 的值 二分法 排序 優(yōu)選法 微積分、數(shù)值計算等大部分數(shù)學課程 這種方法本質(zhì)上是“逼近”，在數(shù)學研究特別是數(shù)學應(yīng)用中，她是非?；镜脭?shù)學思想，也是一種重要的方法。2 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題例子：雞兔同籠問題 算術(shù)方法（二）窮舉，列表 學生很容易在老師的誘導下，通過窮舉、列表法做出判斷。 在“分類分類”討論是數(shù)學思考問題的基本

35、思討論是數(shù)學思考問題的基本思想想，窮舉、列表等是最基本、重要的一種方法。為了把所有的情況表示清楚，我們常常采用這種方法。 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題例子：雞兔同籠問題 算術(shù)方法（三）假設(shè)、推理 假設(shè)有10支鉛筆，0支鋼筆，則一共需要40元。如何使用余下的6元？ 我們知道： 1支鋼筆7元=1支鉛筆4元+3元 這樣，可以用2支鉛筆加6元換兩支鋼筆。由此可知 46元可買8支鉛筆，2支鋼筆。 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題例子：雞兔同籠問題 算術(shù)方法小結(jié)： 從數(shù)學上來講，前兩種方法更重要一些，它們體現(xiàn)了數(shù)學基本思想逼近、分類逼近、分類。它們也是數(shù)學的通性通法，在今后學習中非

36、常有用。希望老師幫助學生掌握。 從學生認知來說，前兩種方法也是學生容易接受的方法。它們反映了比較自然的解決問題過程。 很多老師更喜歡用第三種方法來解決類似問題，但這對于部分學生有一定難度。 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題例子：雞兔同籠問題 代數(shù)方法： 1、量的分析 鉛筆每支4元、鋼筆每支7元 （1） 鉛筆的數(shù)量、鋼筆的數(shù)量 （2） 鉛筆和鋼筆的總量10支 （3） 一共擁有46元 （4） 其中(1)(3)(4)是已知量,(2)是未知量.這些在討論問題過程中都是不變的。 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題例子：雞兔同籠問題 2、等量關(guān)系 讓學生用自然語言敘述等量關(guān)系 等量關(guān)系1

37、：鉛筆、鋼筆的數(shù)量之和是10支。 等量關(guān)系2：買鉛筆和鋼筆的費用之和是46元。 3、設(shè)未知數(shù)、列方程 第一種列方程方式：設(shè)未知量鉛筆的支數(shù)為x， 利用等量關(guān)系1：鋼筆的數(shù)量為10-x, 這樣，利用等量關(guān)系2，有： 4x+7(10-x)=46 。 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題例子：雞兔同籠問題 第二種列方程方式： 設(shè)鉛筆的支數(shù)為x，鋼筆的支數(shù)為y，則 x + y=10 （利用等量關(guān)系1） 4x+7y=46 （利用等量關(guān)系2） 4、 解方程。 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題例子：雞兔同籠問題 代數(shù)方法特征： 分析規(guī)律 表示規(guī)律 解決問題 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)算術(shù)、代數(shù)

38、方法特征算術(shù)、代數(shù)方法特征 算術(shù)方法 基本特征：算數(shù)（加減、乘、除） 基本特征：用“術(shù)”算（有規(guī)律地算） 基本特征：不同的算法 不同的計算途徑或程序 基本特征：解決一個一個的具體問題 通過“術(shù)”和“算”解決的問題是算術(shù)問題。 通過“術(shù)”和“算”體現(xiàn)邏輯思維演繹。 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)算術(shù)、代數(shù)方法特征算術(shù)、代數(shù)方法特征代數(shù)方法代數(shù)方法 基本特征：用字母代替數(shù) 基本特征：用字母表示規(guī)律 量之間的相等關(guān)系、不等關(guān)系、函數(shù)關(guān)系 基本特征：通過字母的運算和運算規(guī)律 解決問題 基本特征：不同的算法 不同的計算途徑或程序 基本特征：一類一類地解決問題 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)算術(shù)、代數(shù)方法特征算術(shù)、代

39、數(shù)方法特征代數(shù)方法代數(shù)方法 通過字母的運算和運算規(guī)律解決的問題是代數(shù)問題。 通過運算和運算規(guī)律體現(xiàn)邏輯思維演繹。 算術(shù)方法與代數(shù)方法 共性： 通過“算”和“算律”解決問題 通過“算”和“算律”體現(xiàn)數(shù)學的邏輯思維 不同： “算數(shù)”“算字母” 解決具體問題解決一類問題 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù) 算術(shù)、代數(shù)方法特征算術(shù)、代數(shù)方法特征 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)代數(shù)方法：核心代數(shù)方法：核心模型模型 初中數(shù)學的主要模型：初中數(shù)學的主要模型： 方程方程一元一次方程一元一次方程 一元二次方程一元二次方程 二元一次方程組二元一次方程組 不等式不等式一元一次不等式一元一次不等式 一元一次不等式組一元一次不等式組

40、函數(shù)函數(shù)一元一次函數(shù)一元一次函數(shù) 反比例函數(shù)反比例函數(shù)對勾函數(shù)對勾函數(shù) 一元二次函數(shù)一元二次函數(shù) 分段函數(shù)分段函數(shù) 從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)代數(shù)方法：核心代數(shù)方法：核心模型模型 初中數(shù)學的主要模型：初中數(shù)學的主要模型： 模型基本特征：模型基本特征： 背景背景實例實例 一類問題一類問題參數(shù)參數(shù) 過程：提出問題過程：提出問題建立模型建立模型 求解求解驗證驗證總結(jié)總結(jié)七、數(shù)與代數(shù)：七、數(shù)與代數(shù)：同一對象不同處理思考同一對象不同處理思考因式分解因式分解 乘法對加法的分配律乘法對加法的分配律因式分解基礎(chǔ)之一因式分解基礎(chǔ)之一 負數(shù)性質(zhì)負數(shù)性質(zhì)分組分解分組分解 除除因式分解基礎(chǔ)之一因式分解基礎(chǔ)之一 整除整除

41、余數(shù)定理余數(shù)定理 余數(shù)定理余數(shù)定理方程方程 因式分解最基本的方法因式分解最基本的方法七、數(shù)與代數(shù)：七、數(shù)與代數(shù)：同一對象不同處理思考同一對象不同處理思考因式分解因式分解 如何看待十字相乘方法：如何看待十字相乘方法： 韋達定理韋達定理方程方程方程方程十字相乘十字相乘十字相乘程序十字相乘程序十字相乘的適用范圍十字相乘的適用范圍十字相乘與求根公式的比較十字相乘與求根公式的比較因式分解的教學建議因式分解的教學建議八、數(shù)與代數(shù)：通性通法八、數(shù)與代數(shù)：通性通法 待定系數(shù)待定系數(shù)模型模型 中間變量代換中間變量代換 消元消元帶入消元、加減消元帶入消元、加減消元 配方配方九、空間與圖形：九、空間與圖形：圖形分類與研究方法圖形分類與研究方法 圖形分類兩個基本維度：圖形分類兩個基本維度： 維數(shù)維數(shù)一維、二維、三維圖形一維、二維、三維圖形 “直直”與與“曲曲”圖形圖形 方法：綜合幾何方法方法：綜合幾何方法 變換方法變換方法 用代數(shù)方法（解析幾何、向量幾何、用代數(shù)方法（解析幾何、向量幾何、代數(shù)拓撲等）代數(shù)拓撲等） 分析方法分析方法十、空間與圖形：變換與幾何直觀十、空間與圖形：變換與幾何直觀 幾何課程的教育價值：幾何課程的教育價值： 邏輯推理、幾何直觀邏輯推理、幾何直觀 歐式幾何的利弊：歐式幾何的利弊： 培養(yǎng)邏輯推理載體、初步體會培養(yǎng)邏輯推理載體、