初高中數(shù)學(xué)銜接教材已

1、初高中數(shù)學(xué)銜接教材編者的話現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下“脫節(jié)”：1、絕對(duì)值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內(nèi)容卻在使用；2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次項(xiàng)系數(shù)為1 的二次三項(xiàng)式的分解，對(duì)系數(shù)不為 1 的涉及不多，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡(jiǎn)求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、不等式常用的解題技巧；5 初中教材對(duì)二次函數(shù)的要求較低，學(xué)生處于了解水平。而高中則是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教材的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡(jiǎn)圖、求值域（取值

2、范圍）、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必須掌握的基本題型和常用方法；6 、 二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）初中不作要求，此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單的常規(guī)運(yùn)算，和難度不大的應(yīng)用題，而在高中數(shù)學(xué)中，它們的相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節(jié)；7、圖像的對(duì)稱、平移變換初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)時(shí)，則作為必備的基本知識(shí)要領(lǐng)；8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點(diǎn)，并無專題內(nèi)容在教材中出現(xiàn)，是高考必須考的綜合題型之一；9、幾何中很多概念（如三角形的五心：重心、內(nèi)心、外心、垂心

3、、旁心）和定理（平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經(jīng)刪除，大都沒有去學(xué)習(xí)；10 、圓中四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和判定初中沒有學(xué)習(xí)。高中則在使用。另外，象配方法、換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老師根本沒有去延伸發(fā)掘，不利于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。新的課程改革，難免會(huì)導(dǎo)致很多知識(shí)的脫節(jié)和漏洞。本書當(dāng)然也沒有詳盡列舉出來。我們會(huì)不斷的研究新課程及其體系。將不遺余力地找到新的初高中數(shù)學(xué)教材體系中存在的不足，加以補(bǔ)充和完善。歡迎廣大讀者提出寶貴意見，我們將不勝感激！目錄第一章數(shù)與式數(shù)與式的運(yùn)算1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4

4、分式分解因式第二章二次方程與二次不等式一元二次方程2.1.1 根的判別式2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)2.2.2 二次函數(shù)的三種表達(dá)方式2.2.3 二次函數(shù)的應(yīng)用方程與不等式2.3.1 二元二次方程組的解法第三章相似形、三角形、圓相似形3.1.1 平行線分線段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性質(zhì)與判定三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：鈍角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用圓3.3.1 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系：圓冪定理3.3.2 點(diǎn)的軌跡3.3.3 四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定3.3.4 直線和圓的方程（選學(xué)）數(shù)與式的運(yùn)

5、算1. 1 .1 .絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零即絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：a b表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.例1解不等式：x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0,得x 1;由x 3 0,得x 3;若x 1,不等式可變?yōu)?x 1) (x 3) 4,即 2x 4 >4,解得 xv0,又 xv1,.'x<0;若1 x 2,不等式可變?yōu)?x 1) (x 3) 4,即 1 >4,不存在滿足條件的x；若x 3,不等式可變?yōu)?x 1

6、) (x 3) 4,即 2x 4 >4,解得 x>4.又 x>3,.,.x>4.綜上所述，原不等式的解為xv 0,或 x>4.解法二：如圖1. 1 1, x 1表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之Tx3P-CABD- -x013 4 x|x-1|圖 1.1 1間的距離|PA,即|PA=|x 1| ； |x3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離| PB ,即所以，不等式x 1 x 3 >4的幾何意義即為| PB =| x3| .| PA + | PB >4.由| AB =2,可知點(diǎn)p在點(diǎn)q坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)p在點(diǎn)坐標(biāo)為4)的右側(cè).xv 0

7、,或 x>4.練 習(xí)1 .填空：(1) 若 x 5 ,貝U x=; 若 x 4 ,貝U x=.(2)如果 |a b| 5,且 a 1,貝b =;若 |1 c 2,貝(Jc =2 .選擇題:(A)(B)(C)(D)3.化簡(jiǎn):|x5| -|2x-13|(x>5).1.1.2.乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(a b)(a b)(2)完全平方公式22(a b) a我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:立方和公式(a2b)(a abb2)b3；(2)立方差公式(ab)(a2 abb2),3b ；(3)三數(shù)和平方公式(a22b c) ab22(ab bcac

8、)；(4)兩數(shù)和立方公式(ab)3a3 3a2b3ab2(5)兩數(shù)差立方公式(a332,b) a 3a b3ab2對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明.例 1 計(jì)算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1).解法一：原式=(x2 1) (x2 1)2 x2242(x2 1)(x4 x2 1)x61 .解法二：原式=(x 1)(x22x 1)(x 1)(x x 1)(2)(4 m)216m24m ()；=(x3 1)(x3 1)=x6 1 .例 2 已知 a b c 4, ab bc ac 4,求 a2 b2 c2 的值.解： a2 b2 c2 (a b c)2 2(ab

9、 bc ac) 8.練 習(xí)1 .填空：1212(1) a b9411,(2b 3a)()；(3 ) (a2bc)24b2c2 (2.選擇題:1一mx2是一個(gè)完全平方式，(A)(B) >2（c）3m2(D)1 2一 m16（2）不論a, b為何實(shí)數(shù),22_a b 2a 4b8的值（A）總是正數(shù)（B）總是負(fù)數(shù)（C）可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.3 .二次根式般地，形如 n（a 0）的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如3a >/a2b 2b, Ja2 b2等是無理式, 近x2 9x 1, x2及xy九"等是有理式1 .分母（

10、子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做 分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）有 理化，需要引入有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如/與企 , 3/與括，33 76與石76, 273 3丘與2石3亞，等等.一般地，a&與&,a. x b、. y 與 a . x b y , aXx b與aVx b互為有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào) 的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根 號(hào)的過程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過程中，二次根式的

11、乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式 命衣 候(a 0,b 0);而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式 的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算； 二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似， 應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式.2 .二次根式J07的意義例1 將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：(1) VT2F；(2) Va"b(a 0) ;(3) 如6y(x 0).解： (1) Ji2b 273b ;(2) Zab a|/b aVb(a 0);例2計(jì)算：用(3辨).解法一：褥(3 4) = 33=3 .33 (33)(33)(33)=3 ；3 39 3=3晨3 1)6解法二:點(diǎn)(3 何=

12、-3-3 .3.3( .3 1)V3 1(V3 1)(73 1)試比較下列各組數(shù)的大小:(1)無布和而出0;解:(1) 阮E正石1(-1211)( 12 .11)1；12 11121111 ,101110 ( .11.10)( ,11 . 10)11 J0又.,12 .,11 、丁,10,/E v萬炳.(2) V 2夜762 2 6(2.2 .6)(2 . 2+ . 6)2、2+ 62<2+；6,又4 >2色,. .回4> 76 + 22,V 272-展.,6 4例 4 化簡(jiǎn)：(73T2)2004 (痣 72) 2005解：(6-2 ) 2004 ( .3 , 2 ) 200

13、5=（百百2004 （百揚(yáng)2004 （百揚(yáng)=電業(yè)（73向2004 （內(nèi)百12004 (m1 亞)=33 衣.例 5 化簡(jiǎn)：(1)和475 ;(2) x2 士 2(0 x 1).解：(1)原式54匹4J(V5)22 2 北22(2屈 2 而|752.(2)原式=4(x x)2已知解:3 .2.32xy32 .3(2)(3)(4)所以，原式=-x. x舞求3x2 5xy 3y2的值詈戈(翼物) (聚V2)2 10,23 .2 .323x2 5xy 3y2 3(x y)2 11xy 3 102 11 289 .若&5 x)(x 3)2 (x 3)45x ,則x的取值范圍是 一4,24 6,5

14、4 3 962 .150若x ”,則2 .選擇題:等式，匚三*x=成立的條件是().x 2 x 2(A) x 2(B) x 0 (Q x 2(D) 0x23 .若 b 'a' 1 W a2 ,求 a b 的值. a 14 .比較大?。?-小鄧-木(填“>”，或“V”).1.1. 4 .分式1 .分式的意義形如A的式子，若B中含有字母，且B 0,則稱公為分式.當(dāng)M#o時(shí)，分式4 BBB具有下列性質(zhì):A A MA A MB B M ' B B M上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).2 .繁分式a像上 m n p這樣 分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.cd 2m 

15、9;若5x 4 x(x 2)A旦，求常數(shù)A,B的值. x x 2解:A(x 2) Bxx(x 2)(A B)x 2Ax(x 2)5x 4x(x 2)，(1)(2)A B 5,2A 4,（1）試證:(2)(3)證明:解：由解得1 n(n1)計(jì)算:證明：對(duì)任意大于(n 1)2,BIII3.（其中n是正整數(shù)）；I;1的正整數(shù)n,有'III2 3 3 4 ，lfn(n 1)（3）證明：.1n(n 1)1）可知3 III19 10in（其中n是正整數(shù)）成立.11111(1 2) (1 3) III (9 育=n(n 1)(1 3) (1 4) hi e1 n(n110土）1)_910一II_1又

16、n>2,且n是正整數(shù)，二.一定為正數(shù),1111n(n 1)例 3 設(shè)e c,且 e> 1, 2c2-5ac+ 2a2=0,求 e 的值. a解：在2c25ac +2a2=0兩邊同除以a2,得22 e 5e+ 2= 0,，(2e1)( e-2) =0,1. e=2 v1,舍去；或 e=2.填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n,1n(n 2)方);2.選擇題:若注上2 ,則二=x y 3 y(A) 1(B)(C)2xy,求二的值.x y1.99 100習(xí)題1 .A組(2)y3 3xy的值.二；3 .正數(shù)x,y滿足x2 y24 .計(jì)算1L- 1 2 2 3 3 41 .解不等式：(1) x 1 3;

17、(3)x 1 x 1 6.2 .已知x y 1 ,求x33 .填空：(1) (2 商8(2 73)19(2)若J(1 a)27(1 a)2 2,則a的取值范圍是 (3)2,1,13a ab(1) a b ,貝U -2233a2 5ab 2b若x2xy 2y20,則2 c2x 3xy y2.已知：x12,y1.選擇題:(A)(B)(C)(D) b aa1(B)、a(C)（D）2.解方程2（x2） x3(x0.3計(jì)算：113六Ill19 114.試證：對(duì)任意的正整數(shù)I" n(n 1)(n1一 < .2)4因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，

18、另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.1 .十字相乘法例1分解因式：(1) x2-3x+2;(2) x2+4x-12;(3) x2 (a b)xy aby2 ;(4) xy 1 x y.解：(1)如圖1. 1 1,將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè) x的積，再將常數(shù)項(xiàng) 2 分解成1與2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為一 3x,就是x2 3x + 2中的一次項(xiàng)，所以，有2x -3x+ 2=(x 1)( x-2).x-11-11/X 2 x.說明x今后在今羅與本事似的二為三項(xiàng)式禮可以直警將31,1-1中的兩個(gè)x用1臬丫示1畫圖1.巴2位示).圖 1.1 (2)由圖1. 13,得x2 + 4x12=(

19、x2)( x+6).(3)由圖1. 14,得22x (a b)xy aby =(x ay)(x by)(4) xy 1 x y=xy + (xy)1= (x1)( y+1)(如圖 1. 15 所示).課堂練習(xí)一、填空題：1、把下列各式分解因式：(1) x2 5x 6 (2) x2 5x 6 (3) x2 5x 6 (4) x2 5x 6 (5) x2 a 1 x a c(6) x2 11x 18 o(7) 6x2 7x 2 o(8) 4m2 12m 9 _>(9) 5 7x 6x2 o(10) 12x2 xy 6y2 ?2、x2 4x x 3 x 3、若 x2 ax b x 2 x 4

20、貝a , b 。二、選擇題：（每小題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的）1、在多項(xiàng)式(1) x2 7x 6 (2) x2 4x 3 (3) x2 6x 8 (4) x2 7x 10（5） x2 15x 44中，有相同因式的是（）A、只有（1） （2）B、只有（3） （4）C、只有（3） （5）D （1）和（2）; （3）和（4）; （3）和（5）2、分解因式a2 8ab 33b2得（）A、 a 11 a 3 Ba 11b a 3b C 、 a 11b a 3b D 、 a 11b a 3b3、a b2 8a b 20分解因式得()A、 a b 10 a b 2 B 、ab 5ab 4C、 a b 2

21、a b 104、若多項(xiàng)式x2 3x a可分解為x 5 x b ,則a、b的值是（）a 10， b 2A a 10， b 2 B 、 a 10， b 2 C 、 a 10， b 2 D5、若x2 mx 10 x a x b其中a、b為整數(shù)，則m的值為（A 3或 9 B 、3 C9 D 、3或 9三把下列各式分解因式1、 62p q2 11q 2p 32322a3 5a2b 6ab23、 2y2 4y 62提取公因式法42 b4 2b2 8例 2 分解因式：1) a2 b 5 a5 b2) x3 9 3x2 3x解：1) a2 b 5 a 5 b =a(b 5)(a 1)2) x232333 9

22、3x2 3x =(x3 3x2) (3x 9) =x2(x 3) 3(x 3)2(x 3)(x2 3)222= (x 1) 2(x 1) (x 1) 2 2 = (x 3)(x3)課堂練習(xí)：一、填空題：1、多項(xiàng)式6x2y 2xy2 4xyz中各項(xiàng)的公因式是 。2、mxy n y x x y ?。2922 o3、mxy n y x x y ?。4、mxyz n y z x x y z ?05、mxyz x y z x y z ?06 、13ab2x6 39a3b2x5分解因式得 。7 .計(jì)算 992 99=二、判斷題：(正確的打上，錯(cuò)誤的打上“X”)1、2a2b 4ab2 2ab a b ( )

23、2、 am bm m ma b 3、 3x3 6x2 15x 3x x2 2x 5 ()4、xn xn 1 xn 1 x 1 ( )3:公式法例 3 分解因式： (1)a4 16(2) 3x 2y 2 x y 2解：(1)a4 16 = 42(a2)2 (4a2)(4a2) (4 a2)(2a)(2 a)22(2)3x 2y x y =(3x2y x y)(3x 2y xy) (4xy)(2x 3y)課堂練習(xí)a2 2ab b2 , a2 b2 , a3 b3 的公因式是 。二、判斷題：(正確的打上，錯(cuò)誤的打上“X”)2,4 22222、1、4x2 0.012x 0.12x 0.1 -x 0.1

24、 ()93332、9a2 8b2 3a 2 4b 2 3a 4b 3a 4b ()3、25a2 16b 5a 4b 5a 4b ( )4 、 x2 y2x2 y2 x y x y ()L2 I2.5、 a bc abcabc 五、把下列各式分解22 _221、9 m n m nc223、4 x 4x 24.分組分解法例 4(1) x2 xy 3y 3x2> 3x2 -3424、 x 2x 1(2) 2x2 xy y2 4x 5y 6 .2x22, L2,2 L Cxy y 4x 5y 6 =2x (y 4)x y 5y 62x2 (y 4)x (y 2)( y 3)=(2x y 2)(

25、x y 3).2x22._22、，._ 、xy y 4x 5y 6=(2x xy y ) (4x 5y) 6(2x y)(x y) (4x 5y) 6(2x y 2)(x y 3).課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項(xiàng)式（1） x2 y2 a2 b2 2ax 2by(2) a2 4ab 4b2 6a 12b 95 .關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a乎0）的因式分解.若關(guān)于x的方程ax2 bx c 0(a 0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、x2 ,則二次三項(xiàng)式ax2 bx c(a 0)就可分解為 a(x x1)(x x2).例5把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：(1) x2 2x 1；(2) x2 4xy

26、 4y2 .解：(1)令 x2 2x 1=0,則解得 x11x21 72,x2 2x 1= x (1 :2) x ( 1 .2)=(x 1 72)(x 1 V2).(2)令 x2 4xy 4y2=0,貝U解得 x1 ( 2 2圓 , x1 ( 2 272) y ,x2 4xy 4y2=x 2(1 揚(yáng) yx 2(1 揚(yáng) y.練 習(xí)1 .選擇題：多項(xiàng)式2x2 xy 15y2的一個(gè)因式為()(A) 2x 5y(B) x 3y(C) x 3y(D) x 5y2 .分解因式:(1) x2 + 6x + 8;(3) x2-2x-1;>1 .分解因式：(1) a3 1；(3) b2 c2 2ab 2a

27、c 2bc;2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：(1) x2 5x 3 ;(3) 3x2 4xy y2;3 . ABC三邊 a, b, c滿足 a2 b2 c24 .分解因式：x2 + x (a2a).5 .(嘗試題)已知 abc=1, a+b+c=2, 值. 8a3b3;(4) 4(x y 1) y(y 2x).1 . 2 4x4 13x2 9;(4) 3x2 5xy 2y2 x 9y 4 . x2 272x 3;(4) (x2 2x)2 7(x2 2x) 12 .ab bc ca ,試判定 ABC的形狀.a2+b2+c2=,求一1十1+1的 ab c-1 bc a-1 ca b -1一元二次方程2.

28、1.1根的判別式情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次方程的根的求法,如求方程的根（1 ） x2 2x 3 0（2） x2 2x 1 0 （3） x2 2x 3 0我們知道，對(duì)于一元二次方程 ax2+bx + c = 0 （a乎0）,用配方法可以將其變形為,2/ b 苕 b 4ac(x 丁)， 22a4a因?yàn)閍才0,所以，4a2>0.于是(1)當(dāng)b2-4ao 0時(shí)，方程的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b . b2 4acXi 2=；2ab2 4ac=0時(shí)，方程的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根xi = x2= ；2a(3)b2-4acv0時(shí)，方程的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)

29、，而方程的左邊（x ）22a定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根.由此可知，一元二次方程ax2 + bx+ c = 0 （a乎0）的根的情況可以由 b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程 ax2+bx+ c=0 （a乎0）的根的判別式，通常用符號(hào)來表示.綜上所述，對(duì)于一元二次方程 ax2+bx+ c=0 (a0),有(1)當(dāng) > 0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b .b 4acXi , 2 =2a(2)當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 xi = X2=上；2a(3)當(dāng)AV0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根, 寫出方程的

30、實(shí)數(shù)根.(1) x23x+3 = 0;(2) x2ax1 = 0;(3) x2- ax+ (a1) = 0;(4) x22x+a = 0.解：(1) = 32 4X1X3= 3v0,方程沒有實(shí)數(shù)根.(2)該方程的根的判別式 = a2 4X1X( 1)=a2+4>0,所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根aa2 4a a2 4x1 ,x2 .22(3)由于該方程的根的判別式為 = a2 4X 1 x ( a 1) =a2 4a+4= (a2) 2,所以,當(dāng)a=2時(shí)，= 0,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根Xi = X2= 1 ；當(dāng)a才2時(shí)，> 0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根Xi=1, X2 =

31、a 1.(3)由于該方程的根的判別式為 = 224X1 x a = 4 4a=4(1 a),所以當(dāng)A>0,即4(1 a) >0,即avi時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1 1 Ji a ,x2 1 71 a ;當(dāng)A = 0,即a=1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根X1 = X2= 1 ；當(dāng)AV0,即a>1時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.說明：在第3, 4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著 a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對(duì) a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做 分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地 運(yùn)用這一方法來解決問題.2.1.2根與

32、系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)若一元二次方程 ax2+bx+ c=0 (a0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根bb2 4acbb2 4acX1-, X2",2a2a則有b ，b2 4ac b ，b2 4ac 2bbX X2 -；2a2a2aab b2 4ac b b2 4ac b2 (b2 4ac) 4ac cxix2-22 _ 2a2a4a4a a所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果ax2 + bx+ c = 0(a乎0)的兩根分別是 xi, X2,那么x1 + x2= b , xi X2= £ .這 aa一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理. 2特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一兀二次萬程x +px+

33、q = 0,右xi, X2是其兩根， 由韋達(dá)定理可知x1 + x2= p, x1 x2=q,p= 一 (xdX2), q = xi X2,所以，方程 x2+ px+ q = 0 可化為 x2 (Xi + X2)x + Xi X2=0,由于 Xi, X2是一元 二次方程x2+px+q=0的兩根，所以，xi, X2也是一元二次方程 x2-(xi + x2)x + xi * 長(zhǎng) =0.因此有以兩個(gè)數(shù)Xi, X2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是2X ( Xi + X2) X+Xi X2= 0.例2已知方程5x2 kX 6 0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及 k的值.分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可

34、以直接將這一根代入，求出 k的值，再由方程解出另一個(gè)根.但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即 由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求 出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出 k的值.解法一：: 2是方程的一個(gè)根，5X2 2+kx26 = 0,，k= 7.所以，方程就為5x27X 6=0,解得Xi = 2, X2= -.5所以，方程的另一個(gè)根為一 3, k的值為一7.5解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為 Xi,則2 Xi = 6, .Xi = 3.55由 (3 ) + 2=-,得 k= 7. 55所以，方程的另一個(gè)根為一 3, k的值為一7.5例3 已知關(guān)

35、于x的方程x . (Xi + X2) - 3 x i -兌=21,即-2(nnr2) 23(n2+4) =2i,化簡(jiǎn)，得 m2- i6mvi7 = 0,解得 m一 i,或 vm= i7.當(dāng)m i時(shí)，方程為x2+6x + 5=0, A>0,滿足題意; + 2(mv2)x+m2i+ 4= 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè) 實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大 21,求m的值.分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得 m的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零.解：設(shè)Xi, X2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得2X

36、i + X2= 2(m2) , Xi X2= m+ 4.2 .2 Xi + X2 Xi , X2 = 21,當(dāng) m 17 時(shí)，方程為 x2+30x + 293 = 0, = 302 4X 1 X293v 0,不合題意,舍去綜上，nn= 17.說明： （ 1 ）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可.（ 1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零.因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根.例 4 已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為12，求這兩個(gè)

37、數(shù)分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x, y,利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù).也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x， y，貝 x + y = 4,xy = 12.由，得 y=4x,代入，得x(4 x) = 12,2x 4x 12= 0,x12,或 x26,y16, Ly22.因此，這兩個(gè)數(shù)是一2和6.解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x2 4x12=0的兩個(gè)根.解這個(gè)方程，得x1=2, x2 = 6.所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6.說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）要 比解法一簡(jiǎn)捷.例5 若x1和x2分別是一元二次方程 2x2+ 5x 3

38、= 0的兩根.(1)求 | xi x2| 的值； (2)求212 的值；(3) xi3+x23.xix2解： x1和x2分別是一元二次方程 2x2+5x3 = 0的兩根,x1x2為 x2(1)X1 X212 = X12+ X222 X 1X2= (X1 + X2)2 4 X1X2=(5)23 _ 250 (2)=VX 1 X2| 2(3)1-2X11-2X222X1X22TX1X2(% x2)2 2x1x2(5)2 2 ( 3)Xi + X2 = ( Xi + X2)(X1X2)225T9437"9X 1 X1X2+ X2 ) = ( Xi + X2)(2X 1 + X2)3X1X2

39、=(5)X( - -)2-3x( 3)2158說明：一元二次方程的 兩根之差的絕對(duì)值 是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問題，為了解題簡(jiǎn)便,我們可以探討出其一般規(guī)律:設(shè)X1和X2分別是一元二次方程ax2+bx+ c = 0 (a才0),則b bX12a4ac,X2. b2 4ac2a ' | X 1 X2| b .1 b2 4ac2ab b2 4ac2a2 b2 4ac2ab2 4ac .|a|a|于是有下面的結(jié)論:若Xi和X2分別是一元二次方程 ax2+bx+ c=0 (a0),則| x1一x2| = 匚 (其 |a|中 = b2 4ac).今后，在求一元二次方程的兩根之

40、差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論.例6 若關(guān)于x的一元二次方程x2 x+ a 4=0的一根大于零、另一根小于零， 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)Xi, X2是方程的兩根，則XiX2=a4v0,2且= ( 1) 4( a4) >0.由得av4,17， -I由得av丁 .，a的取值范圍是av4.4練 習(xí)1 .選擇題：(1)方程x2 2>/3kx 3k2 0的根的情況是()(A)有一個(gè)實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)沒有實(shí)數(shù)根(2)若關(guān)于x的方程mX+ (21)x+m= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) m的取( ), 、1(A) m< 41(C) m&

41、lt; ,且 m 042.填空：值范圍, 1(B) m> -41(D) m>-,且 m04(1)若方程x23x1 = 0的兩根分別是X1和地，則工 =(2)方程 mX + x2m= 0 (m0)的根的情況是 (3)以一3和1為根的一元二次方程是 3 .已知Ja2 8a 16 |b 1| 0,當(dāng)k取何值時(shí)，方程kx2+ax+ b= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根4 .已知方程x2 3x1 = 0的兩根為X1和X2,求(X1 3)( X2 3)的值.習(xí)題(1)已知關(guān)于x的方程x方程3 x +2x=0的兩根之和為一 2,兩根之積為0.其中正確說法的個(gè)數(shù)是()(A) 1 個(gè)(B) 2 個(gè)(C) 3

42、 個(gè)(D) 4 個(gè)(3)關(guān)于x的一元二次方程ax25x + a2+a= 0的一個(gè)根是0,則a的值是()(A) 0(B) 1(C) -1(D) 0,或一12.填空：(1)方程kx?+ 4x1 = 0的兩根之和為一 2,則k=.+kx 2 = 0的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是()(A) 3(B) 3(C) -2(D) 2(2)下列四個(gè)說法：方程x?+2x7 = 0的兩根之和為一 2,兩根之積為一 7;方程x22x+7 = 0的兩根之和為2,兩根之積為7;方程3 x 27=0的兩根之和為0,兩根之積為 ；3(2)方程 2x2 X4 = 0 的兩根為 a, B,則 a2+B2 =.(3)已知關(guān)于 x的

43、方程x2ax3a=0的一個(gè)根是一2,則它的另一個(gè)根是.(4)方程 2x2 +2x1 = 0 的兩根為 xi和 x2,則 | x1一x?|=.3 .試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 Mx2 (2底1) x +1 = 0有兩個(gè)不 相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根4 .求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x1 = 0各根的相反數(shù).B組1 .選擇題：若關(guān)于x的方程x2 + (k21) x+k+1 = 0的兩根互為相反數(shù)，則 k的值為()(A) 1,或1(B) 1(C) - 1(D) 02 .填空：(1)若 m, n是方程x2 + 2005x 1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 mn+

44、mlmn的值等 于.(2)如果a, b是方程x2+x- 1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式 a3 + a2b+ab2+b3 的值是.3 .已知關(guān)于x的方程x2kx 2 = 0.(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩根為 xi和X2,如果2(Xi + X2)>xiX2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.4 . 一元二次方程 ax2+bx + c = 0 (a乎0)的兩根為xi和x2.求：(1) | xi x2| 和 2; (2) xi3+x23.25.關(guān)于x的方程x2+4x+ mn= 0的兩根為xi, x2滿足| x ix2| =2,求實(shí)數(shù)m的值.C組1 .選擇題：(i)已知一個(gè)直角三角形的

45、兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2x2 8x + 7=0的兩根，則這 個(gè) 直 角 三 角 形 的 斜 邊 長(zhǎng) 等 于( )(A) 33(B) 3(C) 6(D) 9(2)若 xi, x2是方程 2x24x+ i =0 的兩個(gè)根，則區(qū)的值為()x2 xi3(A) 6(B) 4(C) 3(D)-2(3)如果關(guān)于x的方程x2 2(i mx+m= 0有兩實(shí)數(shù)根a, B,則a + B的取值范圍為)1 1(A) a + B)一(B) a + B 0 (C) a + B>1 (Da +2 2B < 1(4)已知a, b, c是 ABC勺三邊長(zhǎng)，那么方程 cx2+(a+b)x+2 = 0的根的情況是()(A

46、)沒有實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2 .填空：若方程 x 2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y= ax2 + bx+c的圖象和性質(zhì)情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖8x+mn= 0 的兩根為 x1，X2,且 3x1+2x2=18,則 mn=.3 .已知Xi, X2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2 4kx + k+1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)是否存在實(shí)數(shù)k,使(2xi X2)( xi-2 X2)=3成立若存在，求出k的值;2若不存在，說明理由；(2)求使土 在一2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；(3)若k=2, 上，X2 X|x2試

47、求的值.24 .已知關(guān)于X的方程x2 (m 2)x 0 .4(1)求證：無論 m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 xi, x2滿足| x2| =|xi| +2,求m的值及相應(yīng)的xi, 乂2.5.若關(guān)于x的方程x2+x+a= 0的一個(gè)大于1、零一根小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范 圍.(1) y x2 (2) y x2 (3) y x2 2x 3問題1函數(shù)y = ax2與y = x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系為了研究這一問題，我們可以先畫出y = 2x2, y=1x2, y = 2x2的圖象，通過這2些函數(shù)圖象與函數(shù)y = x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y = ax

48、2與y = x2的圖象之間 所存在的關(guān)系.先畫出函數(shù)y = x2, y=2x2的圖象.先列表：x-3-2-101232x94101492x2188202818從表中不難看出，要得到 2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了.再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù) y = x2, y = 2x2的圖象(如圖2-1所示)，從圖21我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y = 2x2的圖象可以由函數(shù)y=x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y=1x2, y = 2x2的圖象，并研究2這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù) y = x2的圖象之間的關(guān)系.通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y=ax2(a乎0)的圖象可以由y= x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?a倍 得到.在二次函數(shù)丫 = 2/(2乎0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一 個(gè)坐標(biāo)系中的開口的大小.問題2函數(shù)y = a(x+ h)2 + k