六年級奧數(shù)1分數(shù)的速算與巧算教師版

1、第一講分數(shù)的速算與巧算教學(xué)目標本講知識點屬于計算大板塊內(nèi)容，分為三個方面系統(tǒng)復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)小升初?？加嬎泐}型.1、 裂項：是計算中需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，裂項與通項歸納是密不可分的，本講要求學(xué)生掌握裂項技巧及尋找通項進行解題的能力2、 換元：讓學(xué)生能夠掌握等量代換的概念，通過等量代換講復(fù)雜算式變成簡單算式。3、 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)拆分：掌握循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡單的加、減運算，涉及循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的主要利用運算定律進行簡算的問題4、通項歸納法通項歸納法也要借助于代數(shù)，將算式化簡，但換元法只是將“形同”的算式用字母代替并參與計算，使計算過程更加簡便，而通項歸納法能將“形似”的復(fù)雜算式，

2、用字母表示后化簡為常見的一般形式知識點撥一、裂項綜合（一）、“裂差”型運算(1)對于分母可以寫作兩個因數(shù)乘積的分數(shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即，那么有(2)對于分母上為3個或4個連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分數(shù)，即：，形式的，我們有：裂差型裂項的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運算。（2）分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。（二）、“裂和”型運算：常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：（1） （2）裂和型運算與裂

3、差型運算的對比：裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉(zhuǎn)化為“分數(shù)湊整”型的，以達到簡化目的。三、整數(shù)裂項(1) (2) 二、換元解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用另一個量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的式子化繁為簡三、循環(huán)小數(shù)化分數(shù)1、循環(huán)小數(shù)化分數(shù)結(jié)論：純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)分子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點后的數(shù)字所組成的數(shù)與不循環(huán)部分數(shù)字所組成的數(shù)的差分母n個9，其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字個數(shù)按循環(huán)位數(shù)添9，不循環(huán)位數(shù)添0，組成分母，其中9在0的左側(cè)； ； ； ，2、單位分數(shù)的拆

4、分：例：=分析：分數(shù)單位的拆分，主要方法是：從分母N的約數(shù)中任意找出兩個m和n,有：=本題10的約數(shù)有:1,10,2,5.。例如：選1和2，有：本題具體的解有：例題精講模塊一、分數(shù)裂項【例 1】 【解析】 原式【鞏固】【解析】 原式【例 2】 計算： 【解析】 如果式子中每一項的分子都相同，那么就是一道很常見的分數(shù)裂項的題目但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2相比較于2，4，6，這一公差為2的等差數(shù)列(該數(shù)列的第個數(shù)恰好為的2倍)，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項都比其大3，所以可以先把原式中每一項的分子都分成3與另一個的和再進行計算原式 也可以直接進行通項歸納根據(jù)等差數(shù)列

5、的性質(zhì)，可知分子的通項公式為，所以，再將每一項的與分別加在一起進行裂項后面的過程與前面的方法相同【鞏固】 計算： 【解析】 本題的重點在于計算括號內(nèi)的算式：這個算式不同于我們常見的分數(shù)裂項的地方在于每一項的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的差或和的情況所以應(yīng)當(dāng)對分子進行適當(dāng)?shù)淖冃?，使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式觀察可知，即每一項的分子都等于分母中前兩個乘數(shù)的和，所以所以原式【鞏固】 計算： 【解析】 觀察可知原式每一項的分母中如果補上分子中的數(shù)，就會是5個連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先將每一項的分子、分母都乘以分子中的數(shù)即：原式現(xiàn)在進行裂項的話無法全部相消，需要對分子進行分拆，考慮

6、到每一項中分子、分母的對稱性，可以用平方差公式：，【解析】 原式【例 3】【解析】 原式【例 4】 【解析】 本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分數(shù)裂差型裂項”問題。此類問題需要從最簡單的項開始入手，通過公式的運算尋找規(guī)律。從第一項開始，對分母進行等差數(shù)列求和運算公式的代入有， 原式【鞏固】 原式（）（）（）（）【鞏固】【解析】 ，所以原式【鞏固】【解析】 原式【例 5】 . 【解析】 這題是利用平方差公式進行裂項：，原式【鞏固】 計算：【解析】 原式【鞏固】 計算： 【解析】 原式【鞏固】 計算： 【解析】 式子中每一項的分子與分母初看起來關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式

7、分別變?yōu)?，可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先將原式乘以4后進行計算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了原式【鞏固】 【解析】 （法1）：可先找通項原式（法2）：原式【例 6】 【解析】原式【鞏固】 計算：【解析】 先找通項公式原式 【鞏固】【解析】 先找通項：，原式 【例 7】 【解析】 找通項原式，通過試寫我們又發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在以上規(guī)律，這樣我們就可以輕松寫出全部的項，所以有原式【例 8】【解析】原式=【鞏固】【解析】原式【例 9】 計算：【解析】 通項公式：，原式【鞏固】 計算： 【解析】 本題的通項公式為，沒辦法進行裂項之類的處理注意到分母，可以看出如果把換成的話分母

8、的值不變，所以可以把原式子中的分數(shù)兩兩組合起來，最后單獨剩下一個將項數(shù)和為100的兩項相加，得，所以原式（或者，可得原式中99項的平均數(shù)為1，所以原式）【例 10】 【解析】 雖然很容易看出，可是再仔細一看，并沒有什么效果，因為這不象分數(shù)裂項那樣能消去很多項我們再來看后面的式子，每一項的分母容易讓我們想到公式 ，于是我們又有減號前面括號里的式子有10項，減號后面括號里的式子也恰好有10項，是不是“一個對一個”呢？ 模塊二、換元與公式應(yīng)用【例 11】 計算：【解析】 原式【鞏固】【解析】 原式【鞏固】 計算：【解析】 原式【例 12】 計算： 【解析】 法一：利用等比數(shù)列求和公式。原式法二：錯位

9、相減法設(shè)則，整理可得法三：本題與例3相比，式子中各項都是成等比數(shù)列，但是例3中的分子為3，與公比4差1，所以可以采用“借來還去”的方法，本題如果也要采用“借來還去”的方法，需要將每一項的分子變得也都與公比差1由于公比為3，要把分子變?yōu)?，可以先將每一項都乘以2進行算，最后再將所得的結(jié)果除以2即得到原式的值由題設(shè)，則運用“借來還去”的方法可得到，整理得到【例 13】 計算：【解析】 原式【鞏固】 _； _【解析】 觀察可知31415925和31415927都與31415926相差1，設(shè)，原式原式【鞏固】 計算：【解析】 原式 【例 14】 計算：【解析】 原式 【例 15】 【解析】 原式【鞏固

10、】 計算： 【解析】 本題可以直接將兩個乘積計算出來再求它們的差，但靈活采用平方差公式能收到更好的效果原式【鞏固】 計算： 【解析】 本題可以直接計算出各項乘積再求和，也可以采用平方差公式原式 其中可以直接計算，但如果項數(shù)較多，應(yīng)采用公式進行計算【鞏固】 計算： 【解析】 觀察發(fā)現(xiàn)式子中每相乘的兩個數(shù)的和都是相等的，可以采用平方差公式原式【鞏固】 看規(guī)律 ，試求原式【例 16】 計算： 【解析】 令，則：原式【鞏固】【解析】 設(shè)，則原式化簡為：【鞏固】 【解析】 設(shè)，原式【鞏固】 【解析】 設(shè)，原式【鞏固】 計算【解析】 設(shè)，原式 ()【鞏固】 【解析】 設(shè)，則有【鞏固】【解析】 設(shè)，則有【鞏

11、固】 計算【解析】 設(shè). 原式=+=+ =.【鞏固】 ()()()()【解析】 換元的思想即“打包”，令，則原式()()()() ()()【鞏固】 計算()()()()【解析】 該題相對簡單，盡量湊相同的部分，即能簡化運算.設(shè)， 有原式()()三、循環(huán)小數(shù)與分數(shù)互化【例 17】 計算：，結(jié)果保留三位小數(shù)【解析】 方法一：方法二：【鞏固】 ； 【解析】 法一：原式法二：將算式變?yōu)樨Q式：可判斷出結(jié)果應(yīng)該是，化為分數(shù)即是 原式【鞏固】 計算： 【解析】 方法一： = 方法二： 【鞏固】 計算 （1） （2） 【解析】 （1）原式（2）原式【例 18】 某學(xué)生將乘以一個數(shù)時，把誤看成1.23，使乘積比

12、正確結(jié)果減少0.3.則正確結(jié)果該是多少? 【解析】 由題意得：，即：，所以有：解得，所以【鞏固】 將循環(huán)小數(shù)與相乘，取近似值，要求保留一百位小數(shù)，那么該近似值的最后一位小數(shù)是多少? 【解析】 ×循環(huán)節(jié)有6位，100÷6=164，因此第100位小數(shù)是循環(huán)節(jié)中的第4位8，第10l位是5這樣四舍五入后第100位為9【例 19】 有8個數(shù)，,是其中6個，如果按從小到大的順序排列時，第4個數(shù)是，那么按從大到小排列時，第4個數(shù)是哪一個數(shù)? 【解析】 , 顯然有即，8個數(shù)從小到大排列第4個是，所以有(“”，表示未知的那2個數(shù)).所以，這8個數(shù)從大到小排列第4個數(shù)是【例 20】 真分數(shù)化為

13、小數(shù)后，如果從小數(shù)點后第一位的數(shù)字開始連續(xù)若干個數(shù)字之和是1992，那么是多少? 【解析】 ， ， 因此，真分數(shù)化為小數(shù)后，從小數(shù)點第一位開始每連續(xù)六個數(shù)字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因為1992÷27=7321,27-21=6，而6=2+4，所以，即【鞏固】 真分數(shù)化成循環(huán)小數(shù)之后，從小數(shù)點后第1位起若干位數(shù)字之和是，則是多少？ 【解析】 我們知道形如的真分數(shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后，循環(huán)節(jié)都是由1、2、4、5、7、8這6個數(shù)字組成，只是各個數(shù)字的位置不同而已，那么就應(yīng)該由若干個完整的和一個不完整組成。 ，而，所以最后一個循環(huán)節(jié)中所缺的數(shù)字之和為6，經(jīng)檢驗只有最后兩位為4，2時

14、才符合要求，顯然，這種情況下完整的循環(huán)節(jié)為“”，因此這個分數(shù)應(yīng)該為，所以?！眷柟獭?真分數(shù)化成循環(huán)小數(shù)之后，小數(shù)點后第2009位數(shù)字為7，則是多少？ 【解析】 我們知道形如的真分數(shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后，循環(huán)節(jié)都是由6位數(shù)字組成，因此只需判斷當(dāng)為幾時滿足循環(huán)節(jié)第5位數(shù)是7，經(jīng)逐一檢驗得?！纠?21】 和化成循環(huán)小數(shù)后第100位上的數(shù)字之和是_.【解析】 如果將和轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后再去計算第100位上的數(shù)字和比較麻煩，通過觀察計算我們發(fā)現(xiàn)，而，則第100位上的數(shù)字和為9.【鞏固】 純循環(huán)小數(shù)寫成最簡分數(shù)時,分子和分母的和是,則三位數(shù)【解析】 如果直接把轉(zhuǎn)化為分數(shù),應(yīng)該是,因此,化成最簡分數(shù)后的分母應(yīng)該是

15、999的約數(shù),我們將分解質(zhì)因數(shù)得: ,這個最簡分數(shù)的分母應(yīng)小于,而且大于,否則該分數(shù)就變成了假分數(shù)了,符合這個要求的的約數(shù)就只有37了,因此,分母應(yīng)當(dāng)為37,分子就是,也就是說,因此.【例 22】 在下面的括號里填上不同的自然數(shù)，使等式成立 （1）；（2）【解析】 單位分數(shù)的拆分，主要方法是從分母的約數(shù)中任意找出兩個數(shù)和，有： ，從分母的約數(shù)中任意找出兩個和 ()，有：（1） 本題的約數(shù)有：，10，2，5例如：選1和2，有：；從上面變化的過程可以看出，如果取出的兩組不同的和，它們的數(shù)值雖然不同，但是如果和的比值相同，那么最后得到的和也是相同的本題中，從10的約數(shù)中任取兩個數(shù)， 共有種，但是其中

16、比值不同的只有5組：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本題共可拆分成5組具體的解如下： （2）10的約數(shù)有1、2、5、10，我們可選2和5： 另外的解讓學(xué)生去嘗試練習(xí)【鞏固】 在下面的括號里填上不同的自然數(shù)，使等式成立 【解析】 先選10的三個約數(shù)，比如5、2和1，表示成連減式和連加式則：如果選10、5、2，那么有：另外，對于這類題還有個方法，就是先將單位分數(shù)拆分，拆成兩個單位分數(shù)的和或差，再將其中的一個單位分數(shù)拆成兩個單位分數(shù)的和或差，這樣就將原來的單位分數(shù)拆成了3個單位分數(shù)的和或差了比如，要得到，根據(jù)前面的拆分隨意選取一組，比如，再選擇其中的一個分數(shù)進行拆分

17、，比如，所以【例 23】【解析】【鞏固】 =-=【解析】注：這里要先選10的三個約數(shù)，比如5、2和1，表示成連減式5-2-1和連加式5+2+1. 【例 24】 所有分母小于30并且分母是質(zhì)數(shù)的真分數(shù)相加，和是_。【解析】 小于30的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十個，分母為17的真分數(shù)相加，和等于。類似地，可以求出其它分母為質(zhì)數(shù)的分數(shù)的和。因此，所求的和是【鞏固】 分母為1996的所有最簡分數(shù)之和是_?！窘馕觥?因為1996=2×2×499。所以分母為1996的最簡分數(shù)，分子不能是偶數(shù)，也不能是499的倍數(shù)，499與3×499。因此，分母為1996的所有最簡真分數(shù)之和是=【例 25】 若，其中a、b都是四位數(shù)，且a<b，那么滿足上述條件的所有數(shù)對（a,b）是【解析】 2004的約數(shù)有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，滿足題意的分拆有：【鞏固】 如果，均為正整數(shù)，則最大是多少？【解析】 從前面的例題我們知道，要將按照如下規(guī)則寫成的形式：，其中和都是的約數(shù)。如果要讓盡可能地大，實際上就是讓上面的式子中的盡可能地小而盡可能地大，因此應(yīng)當(dāng)取最大的約數(shù)，而應(yīng)取最小的約數(shù)，因此，所以.課后練習(xí)：練習(xí)1