初中數(shù)學(xué)七年級上華東師大

1、第二章 有理數(shù)2§2.1 正數(shù)和負(fù)數(shù)31. 相反意義的量32. 正數(shù)與負(fù)數(shù)43. 有理數(shù)6§2.2 數(shù)軸111. 數(shù)軸112.在數(shù)軸上比較數(shù)的大小13§2.3 相反數(shù)18§2.4 絕對值22§2.5 有理數(shù)的大小比較27§2.6 有理數(shù)的加法321. 有理數(shù)加法法則322. 有理數(shù)加法的運(yùn)算律37§2.7 有理數(shù)的減法42§2.8 有理數(shù)的加減混合運(yùn)算481. 加減法統(tǒng)一成加法482. 加法運(yùn)算律在加減混合運(yùn)算中的應(yīng)用50閱讀材料中國人最早使用負(fù)數(shù)53§2.9 有理數(shù)的乘法551.有理數(shù)的乘法法則552有

2、理數(shù)乘法的運(yùn)算律58§2.10 有理數(shù)的除法66§2.11 有理數(shù)的乘方71閱讀材料 1000和3§2.12 科學(xué)計數(shù)法75閱讀材料光年和納米77§2.13 有理數(shù)的混合運(yùn)算79§2.14 近似數(shù)和有效數(shù)字84§2.15 用計算器進(jìn)行數(shù)的簡單運(yùn)算90 閱讀材料 從結(jié)繩計數(shù)到計算器小結(jié)94復(fù)習(xí)題96第二章 有理數(shù)在上面的天氣預(yù)報電視屏幕上，我們看到，這一天上海的最低溫度是-5，讀作負(fù)5，表示零下5。這里，出現(xiàn)了一種新數(shù)負(fù)數(shù). 我們將會看到，除了表示溫度以外，還有許多量需要用負(fù)數(shù)來表示.有了負(fù)數(shù)，數(shù)的家族引進(jìn)了新的成員，將變得更加絢麗多彩

3、，更加便于應(yīng)用.本章將引進(jìn)負(fù)數(shù)，并研究有理數(shù)的大小比較和運(yùn)算.§2.1 正數(shù)和負(fù)數(shù)回憶我們已經(jīng)學(xué)過哪些數(shù)？它們是怎樣產(chǎn)生和發(fā)展起來的？我們知道，為了表示物體的個數(shù)或事物的順序，產(chǎn)生了數(shù)1，2，3，.; 為了表示“沒有”，引入了數(shù)0；有時分配、測量的結(jié)果不是整數(shù)，需要用分?jǐn)?shù)(小數(shù))表示. 總之，數(shù)是為了滿足生產(chǎn)和生活的需要而產(chǎn)生發(fā)展起來的.1. 相反意義的量在日常生活中，常會遇到這樣的一些量：例1 汽車向東行駛3公里和向西行駛2公里；例2 溫度是零上10和零下5；例3 收入500元和支出237元; 例4 水位升高5.5米和下降3.6米等等.例5買進(jìn)100輛自行車和賣出20輛自行車。這里

4、出現(xiàn)的每一對量，雖然有著不同的具體內(nèi)容，但有著一個共同特點(diǎn)，它們都是具有相反意義的量，向東和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反的意義.這些例子中出現(xiàn)的每一對量，有什么共同特點(diǎn)?你能再舉出幾個日常生活中的具有相反意義的量嗎?2. 正數(shù)與負(fù)數(shù)只用原來的那些數(shù)很難區(qū)分量的相反意義. 例如,零上5用5表示, 那么零下5就不能仍用同一個數(shù)5來表示.在天氣預(yù)報的電視屏幕上我們發(fā)現(xiàn)，零下5可以用-5來表示. 一般地，對于具有相反意義的量，我們可把其中一種意義的量規(guī)定為正的，用過去學(xué)過的數(shù)表示，把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，用過去學(xué)過的數(shù)(零除外)前面放上一個“-”(讀作負(fù))號來表示.就拿溫度

5、為例，通常規(guī)定零上為正，于是零下為負(fù)，零上10就用10表示，零下5用 -5來表示.在例1中，如果規(guī)定向東為正，那么向西為負(fù).汽車向東行駛3公里記作3公里，向西2公里應(yīng)記作-2公里.在例3中，如果規(guī)定收入為正，收入500元記作500元，支出237元應(yīng)記作什么?在例4和例5中，我們?nèi)绾伪硎具@些具有相反意義的量呢？為了表示具有相反意義的量, 我們引進(jìn)了象-5,-2,-237,-3.6這樣的數(shù), 這是一種新數(shù),叫做負(fù)數(shù)(negative number). 過去學(xué)過的那些數(shù)(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正數(shù)(positive number). 正數(shù)前面有時也可放上一個"+&qu

6、ot;號, 如5可以寫成+5, +5和5是一樣的. 注意 0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).練習(xí)1. 將你所舉出的具有相反意義的量用正數(shù)或負(fù)數(shù)來表示. 2.在中國地形圖上，在珠穆朗 瑪峰和吐魯番盆地處都標(biāo)有表明它們的高度的數(shù)，如圖所示.這個數(shù)通常稱為海拔高度，它是相對于海平面來說的.請說出圖中所示的數(shù)8844和-155表示的實(shí)際意義。海平面的高度用什么數(shù)表示? 3.下列各數(shù)中,哪些是正數(shù)?哪些是負(fù)數(shù)?+6；-21；54；0；-3.14；0.001；-9994.“一個數(shù)，如果不是正數(shù)，必定就是負(fù)數(shù).”這句話對不對?為什么?3. 有理數(shù)引進(jìn)了負(fù)數(shù)以后，我們學(xué)過的數(shù)就可以分為以下幾類： 正整數(shù)，如1，2，3

7、，.;零: 0;負(fù)整數(shù), 如-1,-2,-3,.;正分?jǐn)?shù), 如, ,4.5(即);負(fù)分?jǐn)?shù), 如-,-0.3(即),.正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)(integers)，正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)(fractions).整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)(rational numbers).我們可以作出如下的分類表：把一些數(shù)放在一起，就組成一個數(shù)的集合，簡稱數(shù)集(set of numbers).所有的有理數(shù)組成的 數(shù)集叫做有理數(shù)集.類似地，所有的整數(shù)組成的數(shù)集叫做整數(shù)集，所有的正數(shù)組成的數(shù)集叫做正數(shù)集，所有的負(fù)數(shù)組成的數(shù)集叫做負(fù)數(shù)集，如此等等.例6 把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的圈子里： -18, , 3.1416

8、, 0, 2001, , -0.142857, 95% 正整數(shù) 負(fù)整數(shù) 整數(shù)集 有理數(shù)集解, 3,2001, 95% -18, , -0.142857 正整數(shù) 負(fù)整數(shù)18，0，2001 -18, , 3.1416, 0, 2001, , -0.142857, 95% 整數(shù)集 有理數(shù)集練習(xí)1. 請說出兩個正整數(shù), 兩個負(fù)整數(shù), 兩個正分?jǐn)?shù),兩個負(fù)分?jǐn)?shù).它們都是有理數(shù)嗎?2. 有理數(shù)集中有沒有這樣的數(shù),它既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù)? 如有,這樣的數(shù)有幾個?3. 下面兩個圓圈分別表示正數(shù)集合和整數(shù)集合,請在這兩個圓圈內(nèi)填入六個數(shù),其中有三個數(shù)既在正數(shù)集合內(nèi), 又在整數(shù)集合內(nèi).這三個數(shù)應(yīng)填在哪里? 你能說

9、出這兩個圓圈的重疊部分表示什么數(shù)的集合嗎?正數(shù)集 整數(shù)集習(xí)題2.11. 下列各數(shù),哪些是整數(shù),哪些是分?jǐn)?shù)? 哪些是正數(shù),哪些是負(fù)數(shù)?1， -0.10， ，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.12.把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的圈子里：, 0.618, -3.14, 260, -2001, , , -5%整數(shù)集 分?jǐn)?shù)集負(fù)數(shù)集 有理數(shù)集3.下面的大括號表示一些數(shù)的集合,把第1、2兩題中的各數(shù)填入相應(yīng)的大括號里:正整數(shù)集: 負(fù)整數(shù)集: 正分?jǐn)?shù)集: 負(fù)分?jǐn)?shù)集: 4觀察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律?請接著寫出后面的三個數(shù)，你能說出第100個數(shù)、第2000個數(shù)、第20

10、01個數(shù)是什么嗎?(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ， ，.；(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ， ，.；(3)-1,-, , , ,.§2.2 數(shù)軸1. 數(shù)軸我們在小學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，就能用直線上依次排列的點(diǎn)來表示自然數(shù)，它幫助我們認(rèn)識了自然數(shù)的大小關(guān)系.如圖，溫度計上有刻度，可以方便地讀出溫度的度數(shù)，并且可以區(qū)分出是零上還是零下。與溫度計相仿，我們可以在一條直線上規(guī)定一個正方向，就可以用這條直線上的點(diǎn)表示正數(shù)、零和負(fù)數(shù).(圖2-2-1) 體做法如下：畫一條直線(通常畫成水平位置)，在這條直線上任取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，用這點(diǎn)表示.規(guī)定直線 圖2-2-1上從

11、原點(diǎn)向右為正方向,畫上箭頭,那么相反方向?yàn)樨?fù)方向. 再選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點(diǎn)向右每隔一個單位長度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上1，2，3，；從原點(diǎn)向左，每隔一個單位長度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上-1，-2，-3，(圖2-2-2). 圖2-2-2概括象這樣規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸 .在數(shù)軸上畫出表示有理數(shù)的點(diǎn)，可以先由這個數(shù)的符號確定它在數(shù)軸上原點(diǎn)的哪一個方向，再在相應(yīng)的方向上確定它與原點(diǎn)相距幾個單位長度.例1. 畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(diǎn)：4，-2，-4.5， ，0 .解 如圖2-2-3所示圖2-2-3練習(xí) 1.下列各圖表示數(shù)軸是否正確?為什么? 2.指出數(shù)軸上點(diǎn)A、B、C

12、、D分別表示什么數(shù). 3.畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(diǎn)：-1.8,0,-3.5, ,再按數(shù)軸上從左到右的順序，將這些數(shù)重新排成一行.2.在數(shù)軸上比較數(shù)的大小在小學(xué)里，我們已經(jīng)學(xué)會了比較兩個正數(shù)的大小，那么，引進(jìn)負(fù)數(shù)以后，怎樣比較任意兩個有利數(shù)的大小呢？例如，1與-2那個大？-1與0哪個大？-3-4哪個大？探索（1） 任意寫出兩個正數(shù)，在數(shù)周上畫出表示它們的點(diǎn)，較大的數(shù)與較小的數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)的位置有什么關(guān)系？（2） 1和-2那個溫度高？-1與0哪個溫度高？這個關(guān)系在溫度計上表現(xiàn)為怎樣的情況？把溫度計橫過來放，就像一條數(shù)軸，能否從中發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸上怎樣比較兩個有理數(shù)的大小？概括我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)軸

13、上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.根據(jù)有理數(shù)在數(shù)軸上表示的相對位置，在應(yīng)用中我們也常說：正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù).例2 將有理數(shù)3，0，-4按從小到大順序排列，用“”號連接起來.解 正數(shù)3，由正、負(fù)數(shù)大小比較法則，得-403 .例3 比較下列各數(shù)的大?。?-1.3，0.3，-3，-5 .解 將這些數(shù)分別在數(shù)軸上表示出來(圖2-2-4)： 圖2-2-4所以 -5-3-1.30.3練習(xí)1.判斷下列各式是否正確: 2.9-3.1； 0-14； -10-9； -5.4-4.52.用“”號或“”號填空： 3.6 2.5； -3 0； -16 -1.6； +1 -10； -2.1 +

14、2.1； -9 -7習(xí)題2.21. 指出數(shù)軸上A、B、C、D各點(diǎn)所表示的數(shù)：2. 分別畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(diǎn)： -2.1，-3，0.5，； -50，250，0，-400 .3. 指出在數(shù)軸上表示下列各數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的哪邊，與原點(diǎn)距離多少個單位長度： -3，4.2，-1， .4. 如下圖，一個點(diǎn)從數(shù)軸上原點(diǎn)開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度. 可以看出，終點(diǎn)表示數(shù)-2.已知A、 B是數(shù)軸上的點(diǎn).(1)如果點(diǎn)A表示 數(shù)-3，將A向右移動7個單位長度，那么終點(diǎn)表示數(shù) ；(2)如果點(diǎn)A表示數(shù)3， 將A向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點(diǎn)表示數(shù)

15、；(3)如果將點(diǎn)B向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，終點(diǎn)表示的數(shù)是0，那么點(diǎn)B所表示的數(shù)是 .5. 比較下列每對數(shù)的大小： (1)-8，-6； (2)-5, 0.1； (3,0； (4)-4.2；-5.1； (5) , ； (6) ,0 ； 6. 畫出數(shù)軸，把下列各組數(shù)分別在數(shù)軸上表示出來，并按從小到大順序排列，用“<”連接起來：(1)1，-2，3，-4；(2) ，0 ，-3 ，0.2.7. 下表是某年一月份我國幾個城市的平均氣溫，將各城市按平均氣溫從高到低的順序排列.8. 下列各數(shù)是否存在?有的話把他們找出來：(1) 最小的正整數(shù)；(2) 最小的負(fù)整數(shù)；(3) 最大的負(fù)整數(shù)

16、；(4) 最小的整數(shù).§2.3 相反數(shù)做一做在數(shù)軸上，畫出表示一下兩對數(shù)的點(diǎn)：-6和6，1.5和-1.5這兩對點(diǎn)，各有哪些相同？哪些不同？如圖，在數(shù)軸上在數(shù)軸上(圖2-3-1)，-6和6位于原點(diǎn)兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等，也就是說，它們對于原點(diǎn)的位置只有方向不同。1.5 和 -1.5也是這樣. 圖2-3-1 容易看出，每對數(shù)中的兩個數(shù)，都只有符號不同。概括象這樣只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù) (opposite number).如 和- 互為相反數(shù).即是- 的相反數(shù). -是 的相反數(shù).在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等.我們還規(guī)定：0的相反數(shù)是0.

17、是否還有相反數(shù)等于本身的數(shù)?例1 分別寫出下列各數(shù)的相反數(shù)： 5，-7，- ，+11.2.解: 5的相反數(shù)是-5. -7的相反數(shù)是7. -的相反數(shù)是. +11.2的相反數(shù)是-11.2.我們通常把在一個數(shù)前面添上“-”號，表示這個數(shù)的相反數(shù).例如 -(-4)=4, -(+5.5)=-5.5，- 0 = 0.同樣，在一個數(shù)前面添上“+”號，表示這個數(shù)本身.例如 +(-4)=-4，+(+12)=12，+ 0 = 0. 例2 化簡下列各數(shù)： (1)-(+10)； (2)+(-0.15)； (3)+(+3)； (4)-(-20).解 (1)-(+10)=-10. (2)+(-0.15)=-0.15. (

18、3)+(+3)=+3 = 3. (4)-(-20)=20.練習(xí)1. 填空：(1)2.5的相反數(shù)是 ；(2) 是-100的相反數(shù)；(3) 是 的相反數(shù)；(4) 的相反數(shù)是-1.1；(5)8.2和 互為相反數(shù).2. 化簡下列各數(shù)：(1) -(+0.78)； (2)+(+)；(2) (3)-(-3 .14)； (4)+(-10.1).3. 判斷下列語句是否正確，為什么?(1) 符號相反的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)；(2)互為相反數(shù)的兩個數(shù)不一定一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)；(3)相反數(shù)和我們以前學(xué)過的倒數(shù)是一樣的. 習(xí)題2.31. 分別寫出下列各數(shù)的相反數(shù)：-2.5，1，0，-(+10).2. 畫出數(shù)軸，在數(shù)軸

19、上表示下列各數(shù)及它們的相反數(shù)： ，-2，0，-3.75. 3. 化簡下列各數(shù)：(1)-(-16)； (2)-(+25)；(3)+(-12)； (4)+(+2.1)；(5)-(+33)； (6)-(-).4. 回答下列問題：(1) 什么數(shù)的相反數(shù)大于本身?(2) 什么數(shù)的相反數(shù)等于本身?(3) 什么數(shù)的相反數(shù)小于本身?§2.4 絕對值觀察在一些量的計算中，有時并不注重其方向.例如為了計算汽車行駛所耗汽油，起主要作用的是汽車行駛的路程而不是行駛的方向.在討論數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離時，只需要觀察它與原點(diǎn)之間相隔多少個單位長度，與位于原點(diǎn)何方無關(guān).我們把在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)

20、a的絕對值( absolute value ).記作|a|例如，在數(shù)軸上表示數(shù)-6與表示數(shù)6的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離都是6，所以-6和6的絕對值都是6，記作|-6|=|6|=6.同樣可知|-4|=4，|+1.7|=1.7.試一試： (1)|+2|= ，= ，|+8.2|= ； (2)|0|= ；(3)|-3|= ，|-0.2|= ，|-8.2|= .概括由絕對值的意義，我們可以知道：1. 一個正數(shù)的絕對值是它本身；2. 0的絕對值是0；3. 一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).試一試你能將上面的結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示嗎？1. 當(dāng)a0時，a= 2. 當(dāng)a0時，a= 3. 當(dāng)a0時，a= 由此可以看出，不論有理數(shù)a

21、取何值，它的絕對值總是正數(shù)或0(通常也稱非負(fù)數(shù)).即對任意有理數(shù)a，總有|a|0.例1 求下列各數(shù)的絕對值：-,-4.75,10.5 解 -=|-4.75|=4.75|10.5|=10.5.例2 化簡：(1); (2)解(1) ;(2) 練習(xí)1. 求下列各數(shù)的絕對值：-5，4.5，-0.5，+1，0.2. 填空：(1)-3的符號是 ，絕對值是 ；(2)符號是“+”號，絕對是7的數(shù)是 ；(3)10.5的符號是 ，絕對值是 ；(4)絕對值是5.1，符號是“-”號的數(shù)是 .3. 回答下列問題：(1) 絕對值是12的數(shù)有幾個?是什么?(2) 絕對值是0的數(shù)有幾個?是什么?(3) 有沒有絕對值是-3的數(shù)

22、?為什么?習(xí)題2.41. 在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并分別寫出它們的絕對值： ，5，0，-2，4.22. 化簡：(1);(2);(3);(4).3. 計算：(1);(2) ;(3) ;(4) .4. 下列判斷是否正確?為什么?(1) 有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù)；(2) 如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等；(3) 如果一個數(shù)是正數(shù)，那么這個數(shù)的絕對值是它本身；(4) 如果一個數(shù)的絕對值是它本身，那么這個數(shù)是正數(shù).§2.5 有理數(shù)的大小比較由2.2節(jié)我們知道，在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。那么，怎樣表較兩個負(fù)數(shù)的大小呢？例如：

23、-2與-5哪個大？探索在數(shù)軸上，畫出表示-2和-5的點(diǎn)，這兩個數(shù)中哪個較大？從中你能概括出直接比較兩個負(fù)數(shù)大小的法則來嗎？說說你的道理。概括我們發(fā)現(xiàn)：兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.這是因?yàn)?，在?shù)軸上表示兩個負(fù)數(shù)的兩個點(diǎn)中，與原點(diǎn)距離較大的那個點(diǎn)在左邊。例如，比較兩個負(fù)數(shù)和的大?。?先分別求出它們的絕對值：= 比較絕對值的大?。阂?yàn)樗?得出結(jié)論： 例1 比較下列各對數(shù)的大?。海?） 1與0.01;（2） 與0（3） 0.3與（4） 與解 (1)這是兩個負(fù)數(shù)比較大小，因?yàn)閨-1|=1， |-0.01|=0.01，且 1>0.01，所以 -1< -0.01 .(2) 化簡 -|-2|=-

24、2，因?yàn)樨?fù)數(shù)小于0，所以-|-2| < 0 . (3) 這是兩個負(fù)數(shù)比較大小，因?yàn)閨-0.3|=0.3，且 0.3 < ， 所以 (4) 分別化簡兩數(shù)，得因?yàn)檎龜?shù)大于負(fù)數(shù)，所以 練習(xí)1. 用“<”號或“>”填 空：(1)因?yàn)?,所以 ； (2)因?yàn)?|-10| |-100| ；所以 -10 -100 .2. 判斷下列各式是否正確：(1) (2) (3) >(4) <3. 比較下列各對數(shù)的大?。?1) 與(2) 與-0.6184. 回答下列問題：(1) 大于-4的負(fù)整數(shù)有幾個?(2) 小于4的正整數(shù)有幾個?(3) 大于-4且小于4的整數(shù)有幾個?習(xí)題 2.5 1

25、. 比較下列每對數(shù)的大小：(1) 與 ;(2)-9.1與-9.099； (3)-8與 |-8| ； (4)-|-3.2|與-(+3.2).2. 將有理數(shù)0，-3.14， ，2.7，-4，0.14按 從小到大的順序排列，用“<”號連接起來.3. 寫出絕對值小于5的所有整數(shù)，并在數(shù)軸上表示出來.4. 回答下列問題：(1) 有沒有最小的正數(shù)?有沒有最大的負(fù)數(shù)?為什么?(2) 有沒有絕對值最小的有理數(shù)?把它寫出來.§2.6 有理數(shù)的加法1. 有理數(shù)加法法則問題小明在一條東西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否確定他現(xiàn)在位于原來位置的哪個方向，相距多少米?我們知道，求兩次運(yùn)動的總結(jié)

26、果，可以用加法來解答.可是上述問題不能得到確定答案，因?yàn)樾∶髯詈蟮奈恢门c行走方向有關(guān).試驗(yàn)我們必須把問題說得明確些，并規(guī)定向東為正，向西為負(fù).(1)若兩次都是向東走，很明顯，一共向東走 了50米，寫成算式就是(+20)+(+30)=+50，即這位同學(xué)位于原來位置的東方50米處.這一運(yùn)算在數(shù)軸上表示如圖2-6-1. 圖2-6-1(2)若兩次都是向西走，則他現(xiàn)在位于原來位 置的西方50米處，寫成算式就是(-20)+(-30)=-50 . (3)若第一次向東走20米，第二次向西走30米，我們先在數(shù)軸上表示如圖2-6-2. 圖2-6-2寫成算式是(+20)+(-30)=-10，即這位同學(xué)位于原來位置的

27、西方10米處. (4)若第一次向西走20米，第二次向東走30米，寫成算式是(-20)+(+30)=( ).即這位同學(xué)位于原來位置的( )方( )米處.后兩種情形中兩個加數(shù)符號不同(通?？煞Q異號)，所得和的符號似乎不能確定，讓我們再試幾次(下式中的加數(shù)不仿仍可看作運(yùn)動的方向和路程)：(+4)+(-3)=( )；(+3)+(-10)=( )；(-5)+(+7)=( )；(-6)+ 2 = ( ).再看兩種特殊情形： (5)第一次向西走了30米，第二次向東走了30米.寫成算式是(-30)+(+30)=( ). (6)第一次向西走了30米，第二次沒走.寫成算式是(-30)+ 0 =( ).探索從上述（

28、1）-（6）中所寫出的算式，你能總結(jié)出一些規(guī)律？概括綜合以上情形，我們得到有理數(shù)的加法法則：1. 同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；2. 絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；3. 互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；4. 一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).注意一個有理數(shù)由符號和絕對值兩部分組成，所以進(jìn)行加法運(yùn)算時，必須分別確定和的符號和絕對值.這與小學(xué)階段學(xué)習(xí)加法運(yùn)算不同.例1 計算：(1) (+2)+(-11);(2) (+20)+(+12);(3) ;(4) (-3.4)+4.3解(1) (+2)+(-11)=-(11-2)=-9;(2) (+2

29、0)+(+12)=+(20+12)=+32=32;(3) ;(4) (-3.4)+4.3=+(4.3-3.4)=0.9練習(xí)1. 填 表：2. 計算：(1) 10+(-4);(2) (+9)+7;(3) (-15)+(-32);(4) (-9)+0;(5) 100+(-199);(6) (-0.5)+4.4;(7) +(1.25);(8)3. 填 空：(1)( )+(-3)=-8； (2)( )+(-3)= 8； (3)(-3)+( )=-1；(4)(-3)+( )= 0 .4.兩個有理數(shù)相加，和是否一定大于每個加數(shù)?2. 有理數(shù)加法的運(yùn)算律在小學(xué)里我們知道，數(shù)的加法滿足交換率，例如有5+3.5

30、=3.5+5還滿足結(jié)合律，例如有（5+3.5）+2.5=5+（3.5+2.5）引進(jìn)了負(fù)數(shù)以后，這些運(yùn)算率是否還成立？也就是說，上面兩個等式中，將5、3.5和2.5換成任意的有理數(shù)，是否依然成立？ 探索（1） 任意選擇兩個有理數(shù)（至少有一個是負(fù)數(shù)），分別填入下列和內(nèi)，并比較兩個運(yùn)算結(jié)果： + 和 + （2）任意選擇三個有理數(shù)（至少有一個是負(fù)數(shù)），分別填入下列、和內(nèi)，并比較兩個運(yùn)算結(jié)果： ( + )+ 和 +( + ).概括有理數(shù)的加法仍滿足加法交換率和結(jié)合律。加法交換率：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。a+b=b+a加法結(jié)合律:三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變.(

31、a + b )+ c = a + ( b + c )這樣，多個有理數(shù)相加，可以任意交換加數(shù)的位置，也可先把其中的幾個數(shù)相加，使計算簡化.例2 計算：(1) (+26)+(-18)+5+(-16)(2) 解 (1)(+26)+(-18)+5+(-16) =(26+5)+(-18)+(-16) = 31+(-34)= -(34-31)= - 3 .(2) =例3 10筐蘋果，以每筐30千克為準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，記錄如下：2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5.求這10 筐蘋果的總重量.解 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1

32、)+0+(-2.5) = (2+3+3)+(-4)+2.5+(-2.5)+(-0.5)+(-1)+1.5 =8+(-4)= 4 . 30×10 + 4 = 304 .答：10筐蘋果總重量是304千克.練習(xí)1. 計算：(1) (-7)+(+10)+(-11)+(-2);(2) 2+(-3)+(+4)+(-5)+6; (3)2. 某天氣溫從早晨-3到中午升高了5，到晚上降低了3，到午夜又降低了4.求午夜時的溫度.習(xí)題 2.61. 計算：(1)(-12)+(+3)； (2)(+15)+(-4)；(3)(-16)+(-8)； (4)(+23)+(+24)；(5)(-102)+132； (6)

33、(-32)+(-11)；(7)(-35)+0； (8)78+(-85).2. 計算：(1) (-0.9)+(+1.5);(2) (+6.5)+3.7;(3) 1.5+(-8.5);(4) (-4.1)+(-1.9);(5) ;(6)3. 計算：(1) (+14)+(-4)+(-2)+(+26)+(-3);(2) (-83)+(+26)+(-41)+(+15);(3) (-1.8)+(+0.7)+(-0.9)+1.3+(-0.2);(4) .4. 列式并計算：(1)求+1.2的相反數(shù)與-3.1的絕對值的和；(2) 與的和的相反數(shù)是多少? 5. 利用有理數(shù)加法解下列各題：(1) 存折中原有550元

34、，取出260元，又存入150元，現(xiàn)在存折中還有多少錢?(2) 潛水艇原停于海面下800米處，先上浮150米，又下潛200米.這時潛水艇在海面下多少米處?(3) 倉庫內(nèi)原存某種原料3500千克，一周內(nèi)存入和領(lǐng)出情況如如下(存入為正，單位千克)： 1500，-300，-650，600，-1800，-250，-200.問第七天末倉庫內(nèi)還存這種原料多少千克?(4) 某公路養(yǎng)護(hù)小組乘車沿東西向公路巡視維護(hù).某天早晨從A地出發(fā)，晚上到達(dá)B地.約定向東為正方向，行走記錄如下(單位千米)：+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.問B地在A地何方，相距多少千米?若汽車行駛每千米耗油a升，求該天自出

35、發(fā)至回到A地共耗油多少?§2.7 有理數(shù)的減法做一做珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地的海拔高度分別是8844米和-155米，問珠穆朗瑪峰比吐魯番盆地高多少？這一問題通?？闪谐鏊闶?844-（-155）那么，怎樣進(jìn)行有理數(shù)的減法呢？我們不妨先看一個簡單的問題：計算 (-8)-(-3)根據(jù)減法的意義，就是求一個數(shù)?使( ? )+(-3)=-8.根據(jù)有理數(shù)加法運(yùn)算，有(-5)+(-3)=-8，所以 (-8)-(-3)=-5. 試一試填空：(-8)+( )=-5，容易得到(-8)+(+3)=-5. 比較、兩式，我們發(fā)現(xiàn)：-8“減去-3”與“加上+3”結(jié)果是相等的.即(-8)-(-3)=(-8)+(+3

36、)概括從上述結(jié)果我們可以發(fā)現(xiàn)：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).這就是 有理數(shù)減法法則。例1 計算：(1)(-32)-(+5)； (2)7.3-(-6.8)；(3)(-2)-(-25)； (4)12-21 .解 減號變加號(1)(-32) -(+5)=(-32)+(-5)=-37. 減數(shù)變相反數(shù) 減號變加號 (2)7.3-(-6.8)=7.3 + 6.8 =14.1 .減數(shù)變相反數(shù)(注意：兩處必須同時改變符號.)(3)(-2)-(-25)=(-2)+25=23 .(4)12-21 = 12+(-21)= -9 .練習(xí)1. 下列括號內(nèi)各應(yīng)填什么數(shù)? (1)(+2)-(-3)=(-2)+( )；

37、 (2)0 - (-4)= 0 +( )； (3)(-6)- 3 =(-6)+( )； (4)1 - (+39) = 1 +( ).2. 計算：(1) (+3)-(-2);(2) (-1)-(+2);(3) 0-(-3);(4) 1-5;(5) (-23)-(-12);(6) (-1.3)-2.6;(7) ;(8)3. 填空：(1)溫度3比-8高 ；(2)溫度-9比-1低 ；(3)海拔高度-20m比-180m高 ；(4)從海拔22m到-50m，下降了 .習(xí)題 2.71. 計算：(1)(-14)-(+15)； (2)(-14)-(-16)；(3)(+12)-(-9)； (4)12-(+17)；(

38、5)0-(+52)； (6)108-(-11).2. 計算：(1) 4.8-(+2.3);(2) (-1.24)-(+4.76);(3) (-3.28)-1;(4) ;(5) ;(6)3. 計算：(1) (-4)-(+7)-(-5)；(2)3-(-3)-12；(3)8-(9-10)；(4)(3-5)-(6-10).4. 某地連續(xù)五天內(nèi)每天的最高氣溫與最低氣溫記錄如下，哪一天的溫差(最高氣溫與最低氣溫的差)最大，哪天的溫差最小?5.某一礦井的示意圖如右：以地面為準(zhǔn)A點(diǎn)的高度是4.2米，B、C兩點(diǎn)的高度分別是15.6米與30.5米。A點(diǎn)比B點(diǎn)高多少？比C點(diǎn)呢？6.求出下列每對數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)之間的

39、距離。(1) 3與2.2;(2) 與；(3) 4與4.5;(4) 與。你能發(fā)現(xiàn)所得的距離與這兩數(shù)的差有什么關(guān)系嗎？§2.8 有理數(shù)的加減混合運(yùn)算1. 加減法統(tǒng)一成加法算式(-8)-(-10)+(-6)-(+4)是有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，可以按照運(yùn)算順序，從左到右逐一計算.通常也可以應(yīng)用有理數(shù)的減法法則，把它改寫成(-8)+(+10)+(-6)+(-4)，統(tǒng)一為只有加法運(yùn)算的和式.在一個和式里，通常把各個加號省略不寫.如上式可寫成省略加號的和的形式(和式中第一個加數(shù)同時省略括號，若是正數(shù)，正號也省略不寫.)： -8 + 10 - 6 - 4 .這個式子仍看作和式，讀作“負(fù)8、正10、負(fù)6

40、、負(fù)4的和”.按運(yùn)算意義也可讀作“負(fù)8加10 減6減4”. 例1 把寫成省略加號的和的形式，并把它讀出來.解=讀作：“的和”。練習(xí)1.把下列各式寫成省略加號的和的形式，并說出它們的兩種讀法. (1)(-12)-(+8)+(-6)-(-5)；(2)(+3.7)-(-2.1)-1.8+(-2.6).2.按運(yùn)算順序直接計算：(1) (-16)+(+20)-(+10)-(-11);(2)2. 加法運(yùn)算律在加減混合運(yùn)算中的應(yīng)用聯(lián)想在有理數(shù)加法運(yùn)算中，通常適當(dāng)應(yīng)用加法運(yùn)算律，可使計算簡化.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法后，一般也應(yīng)注意運(yùn)算的合理性.例1 計算：（1） 243.2-16-3.5+0.3;（2

41、） 解 (1)因?yàn)樵奖硎?24，3.2，-16，-3.5，0.3的和，所以可將加數(shù)適當(dāng)交換位置,并作適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合進(jìn)行計算，即-24+3.2-16-3.5+0.3=-40 .(2) =練習(xí)1. 下列交換加數(shù)位置的變形是否正確?(1) 1-4+5-4=1-4+4-5 ;(2) 1-2+3-4=2-1+4-3;(3) 4.5-1.7-2.5+1.8=4.5-2.5+1.8-1.7;(4) 2. 計算：(1) 0-1+2-3+4-5;(2) 4.2+5.7-8.4+10.2; (3) 30-11-(-10)+(-12)+18;(4) 習(xí)題 2.81. 按運(yùn)算順序直接運(yùn)算：(1) (-7)-(-10)+

42、(-8)-(+2);(2) ;(3) ;(4) (-1.2)+1-(-0.3)2.將下式寫成省略加號的和的形式，并按括號內(nèi)要求交換加數(shù)的位置：(1)(+16)+(-29)-(-7)-(+11)+(+9) (使符號相同的加數(shù)在一起)；(2)(-3.1)-(-4.5)+(+4.4)-(+1.3)+ (-2.5)(使和為整數(shù)的加數(shù)在一起)；(3) (使分母相同或便于通分的加數(shù)在一起)；(4) (使計算簡便) 3. 計算：4. 當(dāng)a=-2.1，b=1.2，c=-3.4時，求下列各式的值： (1)a+b-c； (2)(b-a)-(c+b).閱讀材料中國人最早使用負(fù)數(shù)九章算術(shù)和我國古代的“正負(fù)術(shù)”九章算術(shù)

43、是中國古典數(shù)學(xué)最重要的一部著作。這部著作的成書年代，根據(jù)現(xiàn)在的考證，至遲在公元前一世紀(jì)，但其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。九章算術(shù)采用問題集的形式，全書246個問題，分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、贏不足、方程、勾股等九章，其中所包含的數(shù)學(xué)成就是十分豐富的。引進(jìn)和使用負(fù)數(shù)是九章算術(shù)的一項(xiàng)突出的貢獻(xiàn)。在九章算術(shù)的“方程術(shù)”中，當(dāng)用遍乘直除算法消元時，可能出現(xiàn)減數(shù)大于被減數(shù)的情形，為此，就需要引進(jìn)負(fù)數(shù)九章算術(shù)在方程章中提出了如下的“正負(fù)術(shù)”： “同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之?！边@實(shí)際上就是正負(fù)術(shù)的加減運(yùn)算法則?！巴?、“異

44、名”分別指同號、異號；“相益”、“相除”分別指兩數(shù)的絕對值相加、相減。前四句說的是正負(fù)數(shù)和零的減法法則，后四句說的是正負(fù)數(shù)和零的加法法則。用符號表示，設(shè)ab0，這八句話可以表示為： (±a)(±b)±(ab)；(±a)(b)±(ab)；0aa；0(a)a；(±a)(b)±(ab),(±b)(a)(ab)；(±a)(±b)±(ab)；0aa；0(a)a。不難看出，所有這些是與我們所學(xué)的有理數(shù)加減法法則是完全一致的。九章算術(shù)以后，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽對負(fù)數(shù)的出現(xiàn)就作了很自然的解釋：“兩算得

45、失相反，要令正負(fù)以名之”，并主張在籌算中用紅籌代表正數(shù)，黑籌代表負(fù)數(shù)。在國外，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)和使用要比我國遲好幾百年，直到七世紀(jì)時印度數(shù)學(xué)家才開始使用負(fù)數(shù)。而在歐洲，直到十六世紀(jì)韋達(dá)的著作還拒絕使用負(fù)數(shù)。§2.9 有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)的乘法法則問題1 一只小蟲沿一條東西向的跑道，以每分鐘3米的速度向東爬行2分鐘，那么它現(xiàn)在位于原來的位置的那個方向，相距多少米?我們知道，這個問題可用乘法來解答：3×26，即小蟲位于原來位置的東方6米處.注意： 這里我們規(guī)定向東為正，向西為負(fù)。如果上述問題變?yōu)椋簡栴}2 小蟲向西以每分鐘3米的速度爬行2分鐘，那么結(jié)果有何變化?這也不難，寫成算式就是

46、：(3)×26，即小蟲位于原來位置的西方6米處。比較上面兩個算式，有什么發(fā)現(xiàn)?當(dāng)我們把“3×26”中的一個因數(shù)“3”換成它的相反數(shù)“3”時，所得的積是原來的積“6”的相反數(shù)“6”，一般地，我們有：兩數(shù)相乘，若把一個因數(shù) 換成它的相反數(shù)，所得的積是原來的積的相反數(shù).試一試：3×(2)?與3×26相比較，這里把一個因數(shù)“2”換成了它的相反數(shù)“2”，所得的積是原來的積“6”的相反數(shù)“6”，即3×(2)6.再試一試：(3)×(2)?把上式與(3)×26對比，這里把一個因數(shù)“2”換成了它的相反數(shù)“2”，所得的積是原來的積“6”的相反數(shù)

47、“6”，即(3)×(2)6此外，如果有一個因數(shù)是0時，所得的積還是0，如(3)×00、0×20.概括：綜合以上各種情況，我們有有理數(shù)乘法法則： 兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對植相乘.任何數(shù)同0相乘，都得0.例如：(5)×(3)··················同號兩數(shù)相乘(5)×(3)( )·····

48、3;··········得正5×315····················把絕對值相乘所以 (5)×(3)15.再如：(6)×4···········

49、83;········異號兩數(shù)相乘(6)×4( )···················得負(fù)6×424·················&#

50、183;··把絕對值相乘所以 (6)×424.例1 計算：(1) (5)×(6);(2)解(1) (5)×(6)=30;(2)練習(xí)1.確定下列兩數(shù)的積的符號:(1) 5×(3)；(2) (3)×3;(3) (2)×(7)；(4)2.計算:(1) 3×(4)；(2) (5)×2；(3) (6)×2；(4) 6×(2)；(5) (6)×0；(6) 0×(6)；(7) (4)×0.25;(8) (0.5)×(8)；(9) ;(10) ;(11

51、) (5)×2；(12) 2×(5)3.計算:(1) 3×(1)； (2) (2)(5)×(1)；(3) ； (4)0×(1)；(5) (6)×1； (6) (6)2×1；(7) 0×1； (8) (8)1×(1).2有理數(shù)乘法的運(yùn)算律概括有理數(shù)的乘法仍滿足交換率和結(jié)合律。乘法交換律： 兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。abba.乘法結(jié)合律： 三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相積乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變.(ab)ca(bc).根據(jù)乘法交換律和結(jié)合律可以推出：三個以上有理數(shù)相乘，可以任意交換乘數(shù)的位置，也

52、可以先把其中的幾個數(shù)相乘.例2 計算：(-10) ××0.1×6解(-10) ××0.1×6= (-10) ×0.1 ×= (-1) ×2 = - 2能直接寫出下列各式的結(jié)果嗎?(-10) ××0.1×6 = (-10) ××(-0.1)×6 = (-10) ××(-0.1)×( -6 )= 觀察以上各式，能發(fā)現(xiàn)幾個正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘，積的符號與各因數(shù)的符號之間的關(guān)系嗎?一般地，我們有幾個:不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)

53、因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.幾個不等于0的數(shù)相乘，首先確定積的符號，然后把絕對值相乘.思考三個數(shù)相乘，積為負(fù)，其中可能有幾個因數(shù)為負(fù)數(shù)？四個數(shù)相乘，積為正，這四個數(shù)中是否可能有負(fù)數(shù)？試一試：幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0.例3 計算:(1) ;(2) 解(1) = = 8+3=11(2) =練習(xí)1.計算：(1) (2) (3) 2.計算：(1) (2) (3) (4) 小學(xué)里我們還學(xué)過乘法分配律，例如6*（1/2+1/3）=6*1/2+6*1/3概括有理數(shù)的乘法仍滿足分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加.a

54、(bc)abac. 例4 計算：(1) ;(2) 解(1) ;(2)例5 計算：(1) 4×(-12)+(-5)×(-8)+16(2)解(1) 4×(-12)+(-5)×(-8)+16=8×(-6+5+2)=8×1=8(2)由上面的例子可以看出，應(yīng)用運(yùn)算律，有時可使運(yùn)算簡便. 也有時需要先把算式變形，才能用分配律，如例4(2)，還有時需反向運(yùn)用分配律，如例5(1).練習(xí)1.計算:(1) (2) ;(3) ;(4) 2.計算:(1) ;(2) 習(xí)題2.91.計算(1)(6)×(7)； (2)(5)×12；(3)(26)×(1)； (4)(25)×14.2.計算：(1)0.5×(0.4)； (2)10.5×0.2；(3)(100)×(0.001)；(4)4.8×(1.25)；(5)7.6×0.02； (6)4.5×(0.32).3.計算：(1) ;(2) ;(3) ;(4) 4.計算：(1)2×(3)×(4); (2)6×(7)×(5);(3)100×(1)×(0.1);(