分段函數(shù)專題非常全面

1、分段函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用分段函數(shù)是函數(shù)中比較復(fù)雜的一種函數(shù)，其要點在于自變量取不同范圍的值時所使用的解析式不同，所以在解決分段函數(shù)的問題時要時刻盯著自變量的范圍是否在發(fā)生變化。即“分段函數(shù)一一分段看”一、基礎(chǔ)知識：1、分段函數(shù)的定義域與值域一一各段的并集2、分段函數(shù)單調(diào)性的判斷：先判斷每段的單調(diào)性，如果單調(diào)性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的還是斷開的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調(diào)區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在兩段分界點出的函數(shù)值(和臨界值)的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起。3、分段函數(shù)對稱性的判斷：如果能夠?qū)⒚慷蔚膱D像作出，則優(yōu)先采用圖像法，通過觀察圖像判斷分段函數(shù)奇偶性。如果不便作出，則只能

2、通過代數(shù)方法比較f ( X ), f ( -X )的關(guān)系，要注意X,-X的范圍以代入到正確的解析式。4、分段函數(shù)分析要注意的幾個問題(1)分段函數(shù)在圖像上分為兩類，連續(xù)型與斷開型，判斷的方法為將邊界值代入每一段函數(shù)(其中一段是函數(shù)值，另外一段是臨界值)，若兩個值相等，那么分段函數(shù)是連續(xù)的。否-心2x -1,x< 3-F則是斷開的。例如：f(X°，將x = 3代入兩段解析式，計算結(jié)果相同，那X2 -4,x 32x-1,x < 3么此分段函數(shù)圖像即為一條連續(xù)的曲線，其性質(zhì)便于分析。再比如 f(x)=1)中,X2 -1,x 3兩段解析式結(jié)果不同，進(jìn)而分段函數(shù)的圖像是斷開的兩段。

3、(2)每一個含絕對值的函數(shù)，都可以通過絕對值內(nèi)部的符號討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)。fx-1 + 3,x 之 1例如：f (x)= x1 +3,可轉(zhuǎn)化為：f(x)=4(1-x + 3,x<15、遇到分段函數(shù)要時刻盯住變量的范圍，并根據(jù)變量的范圍選擇合適的解析式代入，若變量的范圍并不完全在某一段中，要注意進(jìn)行分類討論6、如果分段函數(shù)每一段的解析式便于作圖，則在解題時建議將分段函數(shù)的圖像作出，以便 必要時進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。、典型例題2X 1例1 :已知函數(shù)f (x) =2X ： 1 Hr,右fX _ 1-f (0)=4a,則實數(shù) a =思路：從里向外一層層求值,f 0)=20 1 =2 f f 0f

4、 2)=4 2a所以 4 2a =4a= a = 2答案：a =2cos 二 x, x 0例2:設(shè)函數(shù)f X =f X 1 -1,x ,0思路：由f (x)解析式可知，只有 x>0,才能得到具體的數(shù)值，x < 0時只能依靠f (x)=f (x+1 )1向x>0正數(shù)進(jìn)行靠攏。由此可得:)x ax9答案：-92小煉有話說：含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理里首先要明確目標(biāo)， 即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用(或者對函數(shù)圖象的影響)比如在本題 中：xc0,f (x)=f (x+1) 1可以立即為間隔為1的自變量，函數(shù)值差1,其作用在于自變量取負(fù)數(shù)時，可

5、以不斷 +1直至取到正數(shù)。理解到這兩點，問題自然迎刃而解。3x-4,x<2例3：函數(shù)f(x)=2，則不等式£口)至1的解集是(),x > 2lx -1A. (-°°,1 )U .5* )B.1-°°,11J ,i-,3 1思路：首先要把 f(x )之1轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式，由于h )33 Jf (x )是分段函數(shù)，所以要對 x的范21 ,可解得：x<-1圍分類討論以代入不同的解析式：當(dāng)x42時，f(x)21= 3x4,55-2一或x之一。所以x < -1或一 Mxw2；當(dāng)x>2時，ffx)之1=之1= 2 >

6、x 1斛得33x-1x <3,所以 2 <x <3,綜上所述：x= I-oo,1 J j5,3 1答案：BI -x 1 x ： : 0 _例4:已知函數(shù)f(x)=4，則不等式x + (x + 1 )f (x + 1)M1的解集是 x-1x . 0思路：要想解不等式，首先要把f(x+1)轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的表達(dá)式，觀察已知分段函數(shù)，-x 1 x ：: 0- 、，I Ef(x) =4，x占據(jù)f()整個括號的位置，說明對于函數(shù)f(x)而言，括號里x -1x - 0的式子小于0時，代入上段解析式，當(dāng)括號里的式子大于 0時，代入下段解析式。故要對x + 1 的符號進(jìn)行分類討論。(1)當(dāng)x+1&

7、lt;0= x<-1時，f (x + 1 )=(x + 1 )+1= x ,不等 式變?yōu)椋簒-x x 1 £1= -x2 ：1 = x .(2)當(dāng) x+1 至 0= x 至 一1 時，f(x+1)=x + 11=x,不等式變?yōu)椋簒 x x 1 _ 1= x2 2x -1 _ 0= -1 -、2 _ x _ -1 、2x | -1,-1 -. 2答案：x-1,-1 .2.一，,-x2 2x 3,x <0 _ , .2例5：已知函數(shù)f (x )= 4 +，則不等式f (x+8)< f (x +3x)的解集為2x 1,x 0思路：本題如果通過分類討論將不等式變?yōu)榫唧w不等式

8、求解，則難點有二：一是要顧及 2x+8,x +3x的范圍，則需要分的情況太多；二是具體的不等式可能是多項式與指數(shù)式混在一起的不等式，不易進(jìn)行求解。所以考慮先擱置代數(shù)方法，去分析f(x)的圖像性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)f (x )的兩段解析式均可作圖，所以考慮作出f (x )的圖像，從而發(fā)現(xiàn) f (x)是增函數(shù)，222從而無論x +8,x +3x在哪個范圍，f(x+8)<f(x +3x)=x + 8<x +3x,從而解得：x<-4 或 x>2答案：-, -4 |J 2,二小煉有話說：含分段函數(shù)的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對X進(jìn)行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等

9、式求解(比如例3,例4)。另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖像的特點解不等式(比如例5)。2. x 2x,x - 0 ,一 ,一，.一一例6：已知函數(shù)f(X )= 2.右f (-a )+ f (a2f (1),貝U a的取值范圍是x2 -2x,x :二 0A. 1-1,0)B . 0,1C . 1-1,1D . 1-2,2 思路：本題可以對a進(jìn)行分類討論，以將 f(-a)+f(a)E 2f(1)變成具體不等式求解，但也可從-a, a的特點出發(fā)，考慮判斷 f (x )的奇偶性，通過作圖可發(fā)現(xiàn)f (x)為偶函數(shù)，所以f (-a )= f (a ),所解不等式變?yōu)閒 (a產(chǎn)f(1 ),

10、再由圖像可得只需a <1 ,即 -1 < a <1答案：C小煉有話說：(1)本題判斷函數(shù) f (x )的奇偶性可以簡化運算，而想到這一點是源于抓住所解不等式中a ,-a的特點。由此可見，有些題目的思路源于式子中的一些暗示(2)由于f(x )兩段圖像均易作出，所以在判斷f(x )奇偶性時用的是圖像法。對于某些不易作圖的分段函數(shù)，在判斷奇偶性時就需要用定義法了，下面以本題為例說說定義法如何判斷：整體思想依然是找到f(x),f(-x)，只是在代入過程中要注意-x,x的范圍：設(shè)_2_2_2_xu (0, f ),則xu (-°0,0 ),二 f (x) = x +2x, f

11、 (x )=( x ) -2 (-x )= x +2x , 所以f (x )= f (x ),即f (x )為偶函數(shù)一 ，一 一22g(刃 f)x 斗 g x例 7：已知函數(shù) f(x)=12x2,g(x)=x22x,若 F(x) = <"'""，則 F(x)的f(x),f(x) < g(x)值域是解析：F (x )是一個分段函數(shù)，其分段標(biāo)準(zhǔn)以f (x),g(x )的大小為界，所以第一步先確定1好x的取值，解不等式： f(xVg(xA 1-2x2 >x2-2x ,解得：WxW1 ,故| 21x -2x,_ x 至 1F (x ) = 3,分

12、別求出每段最值，再取并集即可-21,1 -2x , x ： - or x 1 3叱(a-2)x -1 (x <1)例8：已知函數(shù)f(x)=4，若f (x)在(3,依)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的lOga x (x 1)取值范圍是思路：若f(x近(q,f)單調(diào)增，則在R上任取x1 < x2,均有f(x1)< f(x2),在任取中就包含x1，x2均在同一段取值的情況，所以可得要想在R上單調(diào)增，起碼每一段的解析式，, a -2 0，、一, 一,也應(yīng)當(dāng)是單調(diào)遞增的，由此可得：a，但僅僅滿足這個條件是不夠的。還有一種a 1L取值可能為x1，x2不在同一段取值，若也?黃足X <x2,均有f

13、 (x1產(chǎn)f (x2),通過作圖可發(fā)現(xiàn)需要左邊函數(shù)的最大值不大于右邊函數(shù)的最小值。代入x = 1 ,有左段 三右端，即a -2 -1 < loga1 =0= a M3綜上所述可得：a 2,3 1答案：2,31x 1.x 1-1,0例9:已知f(x)=< 2.,則下列選項錯誤的是()x 1,x 匕,1 1C.是f ( x| )的圖像D.是f (x )的圖像思路：考慮先作出f(x)的圖像(如右圖所示)，再按照選項進(jìn)行驗證即可：A. f (X -1 )為f (x )向右平移一個單位，/正確；B. f(x)為f(x聲于y軸對稱的圖像，正確； 個一：5fC. f (|x )為f (x)正半軸

14、圖像不變，負(fù)半軸作與f (x )正半軸關(guān)于y軸對稱的圖像，正確；D. f (x)的圖像為f(x)在x軸上方的圖像不變，下方圖像沿x軸對稱翻折。而f(x)圖像均在x軸上方，所以f (xj應(yīng)與f (x )圖像相同。錯誤答案：D7 3/x +1, x >1例10:函數(shù)f (x )= ( n,則下列結(jié)論正確的是()2sin x, x < 1、2A.函數(shù)f (x附1,y )上為增函數(shù)B. 函數(shù)f (x )的最小正周期為4C.函數(shù)f (x朗奇函數(shù)D.函數(shù)f (x)無最小值思路：可觀察到 f (x )的圖像易于作出，所以考慮先作圖，再看由圖像能否判斷各個選項，如圖所示可得：BC選項錯誤，D選項f

15、(x)存在最小值f(-1)=-2,所以D錯誤，A選項是正確的答案：A小煉有話說：(1)本題利用數(shù)形結(jié)合是最為簡便的方法，一方面是因為f (x )本身便于作圖，另一方面四個選項在圖上也有具體的含義。(2)分段函數(shù)作圖過程中，尤其在函數(shù)圖象斷開時，一定要注意端點處屬于哪個解析式。本題中x = -1就屬于y = 2sin - x部分，所以才存在最小值。2三、近年模擬題題目精選x a -3,x -1,1、已知函數(shù) f(x)=x若 f(1)=f(3 ),則2=!g(x2 +1 ,x<1,2、已知 f (x) = «x2,(x <0),什''，若 ff(X0) = 3

16、,貝 U X0 =2sinx,(0 <x < 43、(2016,湖州中學(xué)期中)函數(shù) f(x)4 +x,2x,x < 0,，若 f f (a) > ff(a)+1,則實 x 0,數(shù)a的取值范圍為()A. (-1,0B . -1,0. (-5,-4D . 5,M-2x 1 4、已知f (x )=x,x 0,則x : 0f (x )>-1的解集為5、(2015,北京)設(shè)函數(shù)2 - a, x ： 1f x)=4 x - a x-2a,x_1若a =1 ,則f (x)的最小值為若f (X)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.-x 6,x _ 26、(2015,福建)若函數(shù)

17、f(x)=(a>0,a#1)的值域是4,y),則頭3 logax,x 2數(shù)a的取值范圍是1 log2 2 - x , x ： 17、(2015,新課標(biāo) II)設(shè)函數(shù) f(x)=4.，則 f (-2)+f (log22)=()2xJ,x -1A.B. 6C. 9D. 123x - 1,x ： 18、(2015,山東)設(shè)函數(shù)f (x )=/，則滿足f ( f (a )= 2()的a的取值范圍2x,x -1A.11B. 10,112C. 一，二IL3D.1, ,二9、已知函數(shù)f (x ) = sin x +cosx - sinx - cosx，則 f (x )的值域是(A.1-2,2 1B.我,2 C.-