二階常系數(shù)線性微分方程的解法ppt課件

1、1 二階常系數(shù)線性微分方程的解法二階常系數(shù)線性微分方程的解法一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式其中其中a, ,b是常數(shù)是常數(shù). .(1)(xfbyyay 0 byyay(2)若若0)( xf, ,則則稱稱為為二二階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程, , 若若0)( xf, ,即即方方程程 稱為稱為二階常系數(shù)線性微分方程。二階常系數(shù)線性微分方程。 2二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊次齊次線性方程解的性質(zhì)線性方程解的性質(zhì)回顧回顧一階齊次線性一階齊次線性方程方程0)( y

2、xPy ( (1 1) ) 1 1、方程、方程(1)(1)的任意兩個解的任意兩個解的的和仍是和仍是(1)(1)的解；的解；2 2、方程、方程(1)(1)的任意一個解的常數(shù)倍仍是的任意一個解的常數(shù)倍仍是(1)(1)的解；的解；3二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊次齊次線性方程解的性質(zhì)線性方程解的性質(zhì)1 1、方程、方程(2)的任意兩個解的任意兩個解的的和仍是和仍是(2)的解；的解；2 2、方程、方程(2)的任意一個解的常數(shù)倍仍是的任意一個解的常數(shù)倍仍是(2)的解；的解；如如果果)(),(21xyxy是是方方程程(2)的的兩兩個個解解, ,則則 )()(2211xyCxyCy 也是也是(2)的解的解. .常常數(shù)

3、數(shù)如如果果 )()(21 xyxy( (稱稱線性無關(guān)線性無關(guān)),),則上式為則上式為(2)的的通解通解. .定理定理1 10 byyay(2)4二、二階常系數(shù)二、二階常系數(shù)齊次齊次線性方程的解法線性方程的解法下下面面來來尋尋找找方方程程(2)的的形形如如 xy e 的的特特解解. . 將將xy e 代代入入方方程程(2), ,得得 0e)(2 xba , , 而而0e x , ,于是有于是有 代數(shù)方程代數(shù)方程(3)稱為微分方程稱為微分方程(2)的的特征方程特征方程, ,它的根稱為它的根稱為特征根特征根( (或或特征特征值值).). (3)02 ba 0 byyay(2)5若若0 , , 則則特

4、特征征方方程程(3)有有兩兩個個相相異異的的實實根根 22,1 a , , 得得到到方方程程(2)的的兩兩個個特特解解xy1e1 , ,xy2e2 , , 而而Cxyxyx )(2121e)(/ )( , , 記記 ba42 , , 故它們線性無關(guān)故它們線性無關(guān), , 因此因此(2)的通解為的通解為 xxCCy21ee21 (3)02 ba 情形情形1 1 6若若 0 , , 則則特特征征方方程程(3)有有兩兩個個相相等等的的實實根根 只只得得到到方方程程(2)的的一一個個特特解解 xy1e1 , , 設(shè)設(shè))(/12xuyy , , 即即xxuy1e)(2 , , 代代入入方方程程(2), ,

5、并并約約去去 x1e , ,得得 因因為為1 是是方方程程02 ba 的的二二重重根根, , 故有故有0121 ba , ,021 a , , 0 u, , 取取特特解解 xu , , 即即得得xxy1e2 , , 于于是是(2)的的通通解解為為 xxCCy1e)(21 . . 情形情形2 2 ,22, 1a 2y, ,使使 12/ yy常常數(shù)數(shù). . 需要求另一個特解需要求另一個特解,0)()2(1211 ubauau 7若若 0 , , 則則特特征征方方程程(3)有有一一對對共共軛軛復(fù)復(fù)根根 情形情形3 3 i 2, 1可以證明可以證明, ,cose1xyx xyx sine2 是是(2)

6、的解，的解，且線性無關(guān)，且線性無關(guān)，所以方程所以方程(2)的通解為的通解為 )sincos(e21xCxCyx 802 ba 0 byyay小結(jié)小結(jié) 特征根的情況特征根的情況通解的表達式通解的表達式 21rr 21rr ir 2, 1實根實根實根實根復(fù)根復(fù)根xrxrCCy21ee21 xrxCCy1e)(21 )sincos(e21xCxCyx 9解解特征方程為特征方程為故所求通解為故所求通解為求求微微分分方方程程032 yyy的的通通解解. . 例例1 1例例2 2.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為0522 解得解得,2121i ， 故所求通解為故所求通解為)2

7、sin2cos(e21xCxCyx 0322 xxCCy321ee 3, 121 特征根為特征根為10解解特征方程為特征方程為故通解為故通解為求求微微分分方方程程0dd2dd22 ststs滿滿足足初初始始條條件件 2)0(, 4)0( ss的特解的特解. . 22 C, , 所所以以所所求求特特解解為為 tts e)24(. . 例例3 30122 121 特征根為特征根為ttCCs e)(21,4)0(1 Cs,e)(212ttCCCs ,2)0( 12 CCs11對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程三、二階常系數(shù)三、二階常系數(shù)非齊次非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法線性方程解的性質(zhì)及求解法(1)(xfb

8、yyay 0 byyay(2)1 1、方程方程(1)的任意一個解加上方程的任意一個解加上方程(2)的任意一個解是的任意一個解是(1)的解；的解；2 2、方程方程(1)的任意兩個解之差是的任意兩個解之差是(2)的解的解 . . yYy定理定理2 2設(shè)設(shè))(xy 是是方方程程( (1 1) )的的一一個個特特解解, , )(xY是是( (2 2) )的的通通解解, , 那么方程那么方程(1)(1)的通解為的通解為12問題歸結(jié)為求方程問題歸結(jié)為求方程(1)的一個特解的一個特解. .只討論只討論 f (x) 的兩種類型的兩種類型. .用用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求解求解. .對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程三、二

9、階常系數(shù)三、二階常系數(shù)非齊次非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法線性方程解的性質(zhì)及求解法(1)(xfbyyay 0 byyay(2). yYy)(xY是是( (2 2) )的的通通解解, , 那么方程那么方程(1)(1)的通解為的通解為定理定理2 2設(shè)設(shè))(xy 是是方方程程( (1 1) )的的一一個個特特解解, , 13其其中中 r 是是一一個個實實數(shù)數(shù), ,)(xPm是是m次次多多項項式式. . 設(shè)設(shè)xrxQye )( , ,其中其中)(xQ是多項式是多項式, , 代代入入方方程程)(xfbyyay , , 整理并約去整理并約去xre, ,得得 )()()2(2xPQbarrQarQm ( (

10、* *) ) 型型、)(e)(1xPxfmxr 則則xrxrxQxQye )(e )()( xrxrxrxQxQxQye )(e )(2e )()(2 14即即02 barr, , 則則可可設(shè)設(shè))(xQ為為次次數(shù)數(shù)與與)(xPm次次數(shù)數(shù)相相同同的的多多項項式式: : )()()2(2xPQbarrQarQm ( (* *) ) 情形情形1 1 若若 r 不是特征根不是特征根, , , )()(xQxQm xrmxQye)( 即即情形情形2 2 而而02 ar, , 若若 r 是特征方程的單根是特征方程的單根, , 即即02 barr, , , )()( xQxxQm 則則令令即即xrmxxQy

11、e)( 15)()()2(2xPQbarrQarQm ( (* *) ) 情形情形3 3 若若 r 是特征方程的是特征方程的二重二重根根, , 即即02 barr, , , )()(2 xQxxQm 則則令令即即且且02 ar, , xrmxQxye)(2 16綜上討論綜上討論 )(xQ不是特征根r)(exPbyyaymxr 設(shè)特解為設(shè)特解為，)(xQm是單特征根r，)(xxQm是二重特征根r，xrxQye)( 其中其中，)(2xQxm)()()2(2xPQbarrQarQm ( (* *) ) 然然后后將將 y代代入入原原方方程程，或或根根據(jù)據(jù)恒恒等等式式( (* *) )來來確確定定)(x

12、Q, ,從從而而得得到到特特解解 y. . ，若若)()(xPxfm 可可看看成成是是0 r的的特殊特殊情形情形。 17解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程0322 特征根特征根1321 ，,ee231xxCCY 求求微微分分方方程程1332 xyyy的的通通解解. . 因因為為0 r不不是是特特征征根根, , 故故設(shè)設(shè)特特解解BAxy , , 31, 1 BA, , 所所以以特特解解 xy 31, , 即即原原方方程程的的通通解解為為 31ee321 xCCyxx. . 例例4 4代入原方程代入原方程, ,得得 13)(32 xBAxA18.e232的的通通解解求求方方程程x

13、xyyy 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,0232 特征根特征根，2121 .ee221xxCCY 是是單單根根，2 代入方程，代入方程，xBAxA 22，121 BA，于于是是xxxy2e )121( 原方程通解為原方程通解為.e) 121(ee2221xxxxxCCy 例例5 5xBAxxy2e)( 所所以以設(shè)設(shè)得得,e)(22xBxAxx 19解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,0962 特征根特征根，32, 1 .e)(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96 的的通通解解. . 因因為為3 r是是二二重重特特征征根根, , 解解

14、得得 0,61 BA, , 所所以以特特解解 xxy33e61 , , 從從而而方方程程的的通通解解為為 xxxxCCy33321e61e)( . . 例例6 6代入方程代入方程, 得得xBAxxy22e)( 所以設(shè)特解為所以設(shè)特解為,e)(223xBxAx ,26xBAx 20解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,0962 特征根特征根，32, 1 .e)(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96 的的通通解解. . 例例6 6因因為為3 r是是二二重重特特征征根根, , 注意：注意：實實際際計計算算時時，只只要要將將23)(BxAxxQ 代代入入 )()()

15、2(2xPQbarrQarQm 現(xiàn)即現(xiàn)即, )()(xPxQm 即得即得.26xBAx 這樣比代入原方程要簡便得多。這樣比代入原方程要簡便得多。xBAxxy22e)( 所以設(shè)特解為所以設(shè)特解為,e)(223xBxAx 21解解求求微微分分方方程程xyyy e44 的的通通解解, , 1 1）若若2 , , 則則設(shè)設(shè)特特解解為為 xAxy22e , , 其其中中 為為實實數(shù)數(shù). . 代代入入原原方方程程, ,得得 21 A, , 即即特特解解為為xxy22e21 , , 此此時時原原方方程程的的通通解解為為 xxxxCCy22221e21e )( ； 例例7 7對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特

16、征方程特征方程,0442 特征根特征根，22, 1 .e)(221xxCCY ,)(2AxxQ , )(xPQm 12 A222 2）若若2 , , 則設(shè)特解為則設(shè)特解為 xAy e , , 代代入入原原方方程程, ,得得 2)2(1 A, , 即即特特解解為為xy e)2(12 , , xyyy e44 .e)2(1e )(2221xxxCCy 此時原方程的通解為此時原方程的通解為 23型型、 )sincos(e)(2xNxMxfxr 可以證明可以證明, ,方程方程(1)具有如下形式的特解具有如下形式的特解: :)sincos(exBxAxyxrk .1;0是是特特征征根根不不是是特特征征根

17、根irirk 是是待待定定系系數(shù)數(shù)，其其中中BA,24解解求求微微分分方方程程xyyy2sin1022 的的通通解解. . 因因為為 2, 0 r, ,iir2 不不是是特特征征根根, ,故故設(shè)設(shè)特特解解為為 例例8 8，xBxAy2sin2cos ，xxBAxBA2sin102sin)24(2cos)42( 所求所求通解為通解為 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,0222 特征根特征根，i 12, 1 .)sincos(e21xCxCYx 代入原方程代入原方程, ,得得 1024042BABA.2sin2cos2)sincos(e21xxxCxCyx ,12 BA25解解求求

18、微微分分方方程程xyy2sin104 的的通通解解. . 因因為為 2, 0 r, ,iir2 是是特特征征根根, ,故故設(shè)設(shè)特特解解為為 例例9 9，)2sin2cos(xBxAxy ，xxAxB2sin102sin42cos4 所求所求通解為通解為 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,042 特征根特征根，i 22, 1 .2sin2cos21xCxCY 代入原方程代入原方程, ,得得 10404AB.2cos252sin2cos21xxxCxCy ,025 BA26定理定理3 (3 (非齊次線性方程的疊加原理非齊次線性方程的疊加原理) ) 設(shè)設(shè))(),(21xyxy 分分別

19、別是是非非齊齊次次線線性性方方程程 則則)()(21xyxy 為非齊次方程為非齊次方程 和和的特解的特解, ,)(1xfbyyay )(2xfbyyay )()(21xfxfbyyay 的一個特解的一個特解, ,27.2coscos的的通通解解求求xxyy ，xCxCYirsincos01212 ，對對于于xxf3cos21)(1 例例1010解解xxxf2coscos)( ，設(shè)設(shè)xBxAy3sin3cos1 ，xxBxA3cos213sin83cos8 代入得代入得,0161 BA，；xy3cos161 1 ，xxcos213cos21 28,cos21)(2xxf 對對于于，xCxCYsi

20、ncos21 ，對對于于xxf3cos21)(1 解解，xxxfcos213cos21)( ；xy3cos161 1 ，41, 0 BA，xxAxBcos21)sincos(2 代入得代入得，xxysin41 2 原方程通解為原方程通解為.sin413cos161sincos21xxxxCxCy ，設(shè)設(shè))sincos(2xBxAxy .2coscos的的通通解解求求xxyy 例例101029解解)()()(xfyxqyxpy ( (A A) )中中2211ycyc 不不是是對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的解解, ,故故( (A A) )錯錯； 有有三三個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解)(1xy, ,)

21、(2xy, ,)(3xy, ,則則其其通通解解 是是( ( ) )( (21,cc是是任任意意常常數(shù)數(shù)) ). . ( (A A) )32211yycyc 3212211)()(Byccycyc ( (C C) )3212211)1(yccycyc ( (D D) )3212211)1(yccycyc ( (B B) )中中)()()(3223113212211yycyycyccycyc 例例1111是對應(yīng)齊次方程的通解是對應(yīng)齊次方程的通解, ,但沒有原方程的特解但沒有原方程的特解, , 故故( (B)B)也不對；也不對； 二階非齊次線性微分方程二階非齊次線性微分方程 30(C)(C)中中3212211)1(yccycyc ( (C C) )3212211)1 (yccycyc ( (D D) )3212211)1(yccycyc 3322311)()(yyycyyc , , 顯顯然然不不是是原原方方程程的的通通解解. ( (D D) )中中3212211)1 (yccycyc 3322311)()(yyycyyc , , 其其中中31yy 與與32yy 是是對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的解解, , 且且線線性性無無