瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)(上課用)

1、1.1.2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)平均變化率的概念：平均變化率的概念： 一般地，已知函數(shù)y=f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0). 則當(dāng)x0時(shí)，商稱作函數(shù)y=f(x)在區(qū)間x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均變化率。00()()f xxf xyxx一一. .平均速度平均速度已知物體作變速直線運(yùn)動(dòng)已知物體作變速直線運(yùn)動(dòng), ,其運(yùn)動(dòng)方程為其運(yùn)動(dòng)方程為s ss s( (t t)()(表示位移表示位移, ,t t表示時(shí)間表示時(shí)間),),求物體在求物體在t t0 0時(shí)刻的速時(shí)刻的速度度如圖設(shè)該物體在時(shí)刻如圖設(shè)該物體在時(shí)刻t t

2、0 0的位移是的位移是(t(t0 0) )OAOA0 0, ,在時(shí)刻在時(shí)刻t t0 0 + +t t 的位移是的位移是s s(t(t0 0+ + t)=t)=OAOA1 1, ,則從則從t t0 0 到到 t t0 0 + +t t 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi), ,物體的位移是物體的位移是: :tsttttsttsv 0000_)()()()()(0001tsttsOAOAs 在時(shí)間段在時(shí)間段 內(nèi)，物體的平均速度為內(nèi)，物體的平均速度為:00()tttt 平均速度：平均速度： 反映了物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的快慢程度反映了物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的快慢程度,但要精確地描述非但要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng),就要知道就要知

3、道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度慢程度,也既需要通過瞬時(shí)速度來反映也既需要通過瞬時(shí)速度來反映.問題情境問題情境: 跳水運(yùn)動(dòng)員從跳水運(yùn)動(dòng)員從10m高跳臺(tái)騰空到入水的過程高跳臺(tái)騰空到入水的過程中，不同時(shí)刻的速度是不同的。假設(shè)中，不同時(shí)刻的速度是不同的。假設(shè)t 秒后運(yùn)動(dòng)秒后運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度為員相對(duì)于水面的高度為H(t)=-4.9t2+6.5t+10,試試確定確定t=2s時(shí)運(yùn)動(dòng)員的速度。時(shí)運(yùn)動(dòng)員的速度。(1)計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在2s到到2.1s(t2,2.1)內(nèi)的內(nèi)的平均速度。平均速度。(2.1)(2)13.59(/ )2.1 2HHvm s (2)計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在計(jì)算運(yùn)動(dòng)員

4、在2s到到2+t s(t2,2+t)內(nèi)的平均速度。內(nèi)的平均速度。時(shí)間區(qū)間時(shí)間區(qū)間 t t 平均速度平均速度22，2.12.10.10.1-13.59-13.592,2.012,2.010.010.01-13.149-13.1492,2.0012,2.0010.0010.001-13.1049-13.10492,2.00012,2.00010.00010.0001-13.10049-13.100492,2.000012,2.000010.000010.00001-13.100049-13.1000492,2.0000012,2.0000010.0000010.000001-13.1000049-

5、13.10000490,?tv觀察當(dāng)趨近于 時(shí) 平均速度 有什么樣的變化趨勢(shì)時(shí)間區(qū)間時(shí)間區(qū)間 t t 平均速度平均速度1.91.9，22 0.10.1 -12.61 -12.611.99,21.99,2 0.010.01 -13.051 -13.0511.999,21.999,2 0.0010.001 -13.0951 -13.09511.9999,21.9999,2 0.00010.0001 -13.09951 -13.099511.99999,2 1.99999,2 0.00001 -13.0999510.00001 -13.099951. 1 .13,22,2,0,都趨近于一個(gè)確定的值平

6、均速度時(shí)一邊趨近于還是從大于一邊的從小于即無論時(shí)趨近于當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)tt該常數(shù)可作為運(yùn)動(dòng)員在該常數(shù)可作為運(yùn)動(dòng)員在2s時(shí)的瞬時(shí)速度。時(shí)的瞬時(shí)速度。度：，也可以計(jì)算出瞬時(shí)速一般地，對(duì)任一時(shí)刻0tt9 . 45 . 6t 8 . 9tt5 . 6t9 . 4tt9 . 42tt 5 . 6t9 . 410tt5 . 6tt9 . 410tthtth02002002000）（）（）（）（）（5 . 6t 8 . 90t0時(shí)，上式右邊趨近于趨近于當(dāng)s/m5 . 6t 8 . 9t00），運(yùn)動(dòng)員的速度是（這就是說，在時(shí)刻之間的平均變化率到）在（以上分析表明，函數(shù)tttth00tthtth00）（）（5 . 6

7、t 8 . 90t0時(shí)，趨于常數(shù)趨近于當(dāng)時(shí)刻的瞬時(shí)速度我們把它稱為0tlts趨近于一個(gè)常數(shù)比值 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為s=f(t)。 以以t0為起始時(shí)刻，物體在為起始時(shí)刻，物體在 t時(shí)間內(nèi)的平均速度為時(shí)間內(nèi)的平均速度為 vttfttfts)()(00就是物體在就是物體在t0時(shí)刻時(shí)刻的的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度，即，即 所以當(dāng)所以當(dāng) t0時(shí)，時(shí)，ttfttfts)()(00。二、瞬時(shí)速度二、瞬時(shí)速度00()( )0f ttf ttlt 當(dāng)時(shí),一個(gè)常數(shù)三、函數(shù)的瞬時(shí)變化率：三、函數(shù)的瞬時(shí)變化率： 函數(shù)函數(shù)y=f(x)，在，在x0及其附近有意義及其附近有意義，自變量自變

8、量在在x=x0附近改變量為附近改變量為x 平均變化率為平均變化率為00()()f xxf xyxxf(x0+x)f(x0).則函數(shù)值相應(yīng)的改變則函數(shù)值相應(yīng)的改變y=00()()f xxf xyxx 當(dāng)當(dāng)x 0 時(shí)，時(shí)，常數(shù)常數(shù) l 常數(shù)常數(shù) 稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率的瞬時(shí)變化率l000()()limxf xxf xlx 上述過程記作上述過程記作000000|lim.x xxf xxf xfxyfxx 記作或即 處的在我們稱它為函數(shù)處的瞬時(shí)變化率是在函數(shù)一般地00000,lim,xxxfyxxfxxfxxxfyx導(dǎo)數(shù) 00.fxfxx表示函數(shù)點(diǎn)y在處的導(dǎo)數(shù)=數(shù)就是瞬時(shí)速度

9、因此位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是加速度因此速度對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)000000 )()(lim )()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx( )()xfxyy或或即即00()( )( )limlimxxyf xxf xyfxxx 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說就說f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)這時(shí)，對(duì)于開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)這時(shí)，對(duì)于開區(qū)間 (a,b)內(nèi)每一個(gè)確定的值內(nèi)每一個(gè)確定的值 x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)數(shù) 這樣就在開區(qū)間這樣就在開區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成了一個(gè)新的函內(nèi)構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，我們把這一新函數(shù)叫

10、做數(shù)，我們把這一新函數(shù)叫做 f(x) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，簡稱為，簡稱為導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，記作，記作 fx四、導(dǎo)函數(shù)四、導(dǎo)函數(shù)例1.求 在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)變式變式1.1.求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xy1xy1由定義求導(dǎo)數(shù)（三步法由定義求導(dǎo)數(shù)（三步法）步驟步驟:求求y=x2+2在點(diǎn)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)解：解：xxxxxyxxxy2)(22)()21 (2)1(22222|201xyxyx時(shí)，當(dāng));()()1 (00 xfxxfy求函數(shù)的增量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均變變化化率率.lim)()3(00 xyxfx取極限，得導(dǎo)數(shù)（求極限時(shí)，若經(jīng)整理后分母不

11、含求極限時(shí)，若經(jīng)整理后分母不含 ，則令其為，則令其為0即可）即可）x2) 1 (/f,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211,0000 xxxxxyx時(shí)當(dāng). 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由的值。求且出及其附近有定義，在、已知函數(shù)例00,21|20 xyxxxyxx例3火箭豎直向上發(fā)射，熄火時(shí)向上的速度達(dá)到100m/s，試問熄火后多長時(shí)間火箭向上的速度為0？ 解：火箭的運(yùn)動(dòng)方程為h(t)=100t gt2，21在t附近的平均變化率為22211100()() 100221100()2ttg tttgtttgt tt

12、gtt =100gt gt。 12當(dāng)t0時(shí)，上式趨近于100gt?？梢妕時(shí)刻的瞬時(shí)速度h(t)=100gt。 令h(t)=100gt=0，解得10010010.2( )9.8tsg 所以火箭熄火后約10.2s向上的速度變?yōu)?.例4一正方形鐵板在0C時(shí)，邊長為10cm，加熱后鐵板會(huì)膨脹，當(dāng)溫度為tC時(shí)，邊長變?yōu)?0(1+at)cm，a為常數(shù)，試求鐵板面積對(duì)溫度的膨脹率。解：設(shè)溫度的增量為t，則鐵板面積S的增量S=1021+a(t+t)2102(1+at)2 =200(a+a2t)t+100a2(t)2. 因此 =200(a+a2t)+100a2t. St令t0， 得S/= .200(a+a2t)st練習(xí)題xfxfx3) 1 ()1 (lim0C3133Cxxf1)(axafxfax)()(lima