課題立體幾何中向量坐標(biāo)法、綜合法的應(yīng)用

1、課題：立體幾何中向量坐標(biāo)法、綜合法的應(yīng)用1. 知識與技能鞏固空間向量的知識，能用向量坐標(biāo)法、綜合法解決有關(guān)線、面位置關(guān)系及夾角計算的問題，體會向量坐標(biāo)法、綜合法在研究幾何問題中的作用.2. 過程與方法經(jīng)歷用向量坐標(biāo)法、綜合法解題的過程，感受并歸納出各自的特點，能較為靈活地應(yīng)用這兩種方法，從不同角度解決立體幾何問題.一、 典型例題先看一道例題：ABCDPA1B1C1D1MOxyz例1、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2，M是C1C的中點，O是底面ABCD的中心，點P在A1B1上，設(shè)直線BM與OP所成的角大小為.（1） 若P是A1B1的中點，求的大??；（2） 若P是A1B1上的任意

2、點，求的大小.師：我們先采取哪種方法試試？預(yù)計大部分學(xué)生答：建系，用向量坐標(biāo)法.解法1：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，點D為原點（1） 依題意得O（1，1，0），P（2，1，2）， B（2，2，0），M（0，2，1）， =（1，0，2)，=（-2，0，1） =-2+0+2=0，即=90º（2） 依題意得O（1，1，0），P（2，y，2），B（2，2，0），M（0，2，1）， 則=（1，y-1，2)，=（-2，0，1）， =-2+0+2=0，即=90º.問題：從圖形結(jié)構(gòu)來看，P在A1B1上移動時，為什么總是有？（停留5秒，等待學(xué)生的反映，預(yù)計有部分學(xué)生能想到或者在教師的啟發(fā)下想到

3、是因為線面垂）下面讓我們換個思路，考慮用綜合法來解決這個問題.ABCDPA1B1C1D1MOFE教師啟發(fā)：P在A1B1上移動時，OP形成了什么圖形？解法2：過O作直線EF/AB交BC、AD于E、F，連B1E、A1F，易證四邊形A1FEB1為平行四邊形，易證B1EBM，A1B1BM，則BM平面A1B1EF，OP平面A1B1EF，故總是有，即=90º.小結(jié)：原來是因為線面垂，所以總是有線線垂.推廣：點P可以移動到B1E、A1F上，乃至平面A1B1EF內(nèi)不是O的任意一點，總是有.點評：向量坐標(biāo)法直接可以算出結(jié)果，但是運算過程不能很好地反映圖形本身的結(jié)構(gòu)特征，而綜合法就能彌補這個缺陷.向量是

4、工具，認(rèn)識本質(zhì)是目的.設(shè)計意圖：在解決兩直線夾角問題中，經(jīng)歷兩種方法解題的對比，感受到向量法解題帶來的方便及綜合法解題反映出的圖形本身的結(jié)構(gòu)特征.例2、如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，側(cè)棱SA底面ABCD，M是SC的中點，且SA=AB=BC=2，AD=1.MSABDCxzyE（1） 求證：DM/平面SAB；（2） 在側(cè)面SAB內(nèi)找一點N，使MN平面SBD；（3） 求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值.教師：我們可以嘗試用向量坐標(biāo)法和綜合法分別去考慮.解：（1）向量法：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，點A為原點,依題意A（0，0，0），D（1，0，0），S（

5、0，0，2），C（2，2，0），B（0，2，0），則M（1，1，1)，=（1,0,0)，=（0，1，1）=0+0+0=0，易證是平面SAB的法向量，而平面SAB，故MD/平面SAB綜合法：取SB中點E，連ME、EA，三角形SBC中位線ME，四邊形ADME是平行四邊形，MD/AE，而平面SAB，AE平面SAB，故MD/平面SAB.（2）向量法：依題意B(0,2,0),可設(shè)N（0，y,z）， 則=（-1，y-1,z-1）,=(-1，0，2)，=（-1,2,0)， MN平面SBD，1+0+2z-2=2z-1=0，z=，1+2y-2+0=2y-1=0，y= N(0,)綜合法：課后思考，但是很難想到，提

6、示點N實際上恰好是AE的中點.小結(jié)：在一個復(fù)雜圖形中，如果建系方便，采取向量坐標(biāo)法會很方便.（3）向量法：可先求兩個平面的法向量，利用法向量的夾角來解決問題.依題意，設(shè)面SCD的一個法向量為而，則，即：，令x=2，得y = -1,z =1，即，同理可求面SAB的一個法向量，或者直接用作面SAB的一個法向量.顯然所求二面角是銳角，故面SCD與面SAB所成二面角的余弦值是.綜合法：延長BA、CD交于F，連SF，易知面SCD面SAB=SFSABDCF在三角形FBC中，AD，所以AD為其中位線，所以FA=AB，而在三角形SFB中，有AS=AF=AB，必有，所以SBSF.因為：FD=DC=SD=在三角形

7、SFC中，有DS=DF=DC，也必有，所以SCSF由可知，為所求二面角的平面角，易證BCSB，易求SB=，BC=2，SC=2，小結(jié)：解決二面角問題時，利用求法向量的方法不用去找二面角的平面角，轉(zhuǎn)化為求法向量的夾角，思維簡單，但計算量較大.綜合法在找二面角的平面角時需要補形，找到二面角的棱，再利用定義證明為所求二面角的平面角，技巧性比較強，但是能夠挖出平面角就是，還是很有成就感，也揭示了圖形本身的結(jié)構(gòu).設(shè)計意圖：通過第（2)問的思考，明白在處理復(fù)雜的立體幾何圖形問題時，向量坐標(biāo)法的優(yōu)勢.通過第三（3）問，感受到用向量坐標(biāo)法處理問題時以大量的運算代替邏輯思維的過程，而用綜合法處理問題往往需要一些技巧以及最后“柳暗花明又一村”、“得來全不費工夫”的解題喜悅心情.二、 作業(yè)布置PABCDEF1、如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正