數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法

1、 第一節(jié)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的位置特征 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的位置特征是對一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)集中趨勢和平均水平的度量，通常將位置特征的度 量稱為平均指標(biāo)。 常用來表述統(tǒng)計數(shù)據(jù)位置特征的平均指標(biāo)有兩類：數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)。 數(shù)值平均數(shù)主要有算數(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)。 位置平均數(shù)主要有中位數(shù)和眾數(shù)。 分析、研究一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)的集中趨勢，就是尋找該組數(shù)據(jù)一般水平的代表值。 一、數(shù)值平均數(shù) 數(shù)值平均數(shù)是全部數(shù)據(jù)的平均值。主要有三種形式：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均 數(shù)。 （一）算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)是對一組數(shù)據(jù)中心位置的度量?？煞譃楹唵嗡阈g(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù) 平均數(shù)兩種。 1.1. 簡單算術(shù)平均數(shù) 適用未分組數(shù)據(jù)，計

2、算公式為： _ 1 帶 X七紜 （3.13.1） 式中，対（或；L）簡單算數(shù)平均數(shù)； 粕一第 i i 項的數(shù)據(jù)值; 數(shù)據(jù)的項數(shù)。 例 3.13.1 假設(shè)某商場 200200 名職工月銷售額的統(tǒng)計資料如表3 .1.1 所示，試求該商場 200200 名職工月平均銷售額。精品文庫 歡迎下載 2 % 3.1 200名職工月密售鑲 單位二萬元 210 154 175 273 80.5 16S 23S 273 112 70 175 1575 56 161 252 13AJ5 182 70 245 122.5 206.5 210 175 132 189 241 133 210 147 70 175 273

3、 63 84 1?5 241 1015 1925 34 147 2刃 13 875 224 105 1515 238 30S 189 168 280 175 231 93 175 206.5 87.5 182 171.5 182 112 224 105 245 203 133 175 224 2SO 122.5 119 1855 140 164.5 175 315 206 5 70 105 171.5 154 182 136 66 5 196 126 207 133 16S 105 140 182 105 1?5 101.5 210 196 1365 154 21? 140 245 血 血 1

4、75 1365 175 210 血 203 163 210 謔 136.5 224 1715 56 157.5 210 182 91 210 154 105 126 140 1435 168 224 161 182 171.5 154 203 168 9S 154 168 224 175 16 1?5 112 126 112 161 14) 189 245 175 133 192.5 207 189 163 14) 1唸 182 241.5 196 175 105 196 175 147 1 2 126 203 210 136 5 16S 140 245 119 175 175 206 5 1

5、33 112 14C 謔 14? 1 140 126 161 93 140 210 154 210 140 129 5 1?5 21? 133 9i 解 根據(jù)表中資料，200200 名職工月平均銷售額為: _ 1 1 X = yxi = *33218 二 166,09 (萬元)克 托告 200 2.2. 加權(quán)算數(shù)平均數(shù) 適用未分組數(shù)據(jù)，計算公式為: - - 1 1 * * 2-1 (3.2) (3.2) 式中，（或 1 1 二）一加權(quán)算術(shù)平均數(shù); 互第丄組的數(shù)據(jù)值或組中值;精品文庫 歡迎下載 3 fi第j組的數(shù)據(jù)值或組中值 藥出現(xiàn)的次數(shù); k 分組的組數(shù)。 例 3.23.2 將表3 .1.1

6、的某商場 200200 名職工月銷售額的統(tǒng)計資料編制成表 3.23.2 的分組 資料形式。 表 3.2 200 名職工月銷售額的分組資料 單位：萬元 月銷諫 KLAJStA) 52.5 S7.5 甘 6.5 眈-122.5 25 125 122.5 -157.5 44 22.0 157.5-192.5 60 30.0 192芍 37 185 227J-262J 13 6.5 262.5 297 5 6 3.0 297.5 - 332.5 2 1.0 &計 200 100.0 解根據(jù)表 3.23.2 中資料，按分組資料估計 200200 名職工月平均銷售額應(yīng)采用加權(quán)算 術(shù)平均數(shù)方法，計算

7、過程列表如下： 單位：萬元 各粗月/ 52.5-87.5 70 13 910 873U22.5 105 25 2625 122 5-157.5 140 44 6160 157 5* 192.5 175 50 10500 1924 227,5 210 37 7770 227.5 - 262.5 245 13 3135 262$ - 297.5 230 6 11530 297.5-332.5 315 2 630 合 計 200 33450 于是，200200 名職工月平均銷售額為:精品文庫 歡迎下載 4 1 再 1 牡 L 為禺二而心 460 二 1673 （萬元 L Z/ “ 200 i.l （

8、二）調(diào)和平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)又稱“倒數(shù)平均數(shù)”， 它是數(shù)據(jù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。當(dāng)在實際工 作中所采集的數(shù)據(jù)不能直接應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)的計算公式時， 可利用調(diào)和平均數(shù)來度量一組 數(shù)據(jù)的中心位置。 1.1.簡單調(diào)和平均數(shù) 適用未分組數(shù)據(jù)，計算公式為: 1 - 1 f + 八 + 禺也 A a i Zy i-l心 (3.3(3.3) ) 例 3.33.3 假設(shè) 4 4 個企、 |業(yè)的每萬元工 匚業(yè)產(chǎn)值耗能源的統(tǒng)計資料如下：3 創(chuàng) 每萬元工業(yè)產(chǎn)值耗能游 （噸標(biāo)港煤） 0J560J56 D D 盤茁 0.70.7 LOTLOT 式中，H 調(diào)和平均數(shù)= 禺一第項的數(shù)據(jù)值; 母一馥據(jù)的項數(shù). 試求：4 4 個

9、企業(yè)的平均能耗 解每萬元工業(yè)產(chǎn)值耗能源是逆指標(biāo)，在計算平均水平時應(yīng)采用調(diào)和平均數(shù)方法。 4 4 H二 - p - f二 0.727 （噸標(biāo)準(zhǔn)煤海萬元工業(yè)產(chǎn)值） - + - + - + - 1556 0.833 0667 1.000 2.2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 適用分組數(shù)據(jù)，計算公式為: 1 JT/I +- + 占 Zt 五1 乳2 五丘 k ?-1 /i + A (3.4(3.4) ) 精品文庫 歡迎下載 5 式中，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)； 逅-第f組的數(shù)據(jù)值或組中值 /-第組的數(shù)據(jù)值或組中值無出現(xiàn)冊次數(shù); 憂-分組餌組數(shù)。 例 3.43.4 假設(shè)某企業(yè)某月按工人勞動生產(chǎn)率分組的統(tǒng)計資料如表 3.33.3

10、 所示，試求該企 業(yè)工人平均勞動生產(chǎn)率。 表 3.3 按工人勞動生產(chǎn)率分組 按工人勞動生產(chǎn)率分組（件/人） 生產(chǎn)班組 各組產(chǎn)量（件） 50 - 60 10 82500 60 - 70 8 65000 70 - 80 5 52500 80 - 90 2 25500 90 - 100 1 15200 解 首先求出各組的組中值，然后求出各組工人數(shù)，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)方法計算平 均水平。計算過程列表如下： 檢丁曲動生產(chǎn)率分齟時以） 組中值舞閃工 客組產(chǎn)S詩）f 50-60 55 靱500 1500 50-70 55 65000 1000 70*80 75 52500 700 8090 ：85 2550

11、0 300 50 -100 15200 10 含 計 24J70U 3660 注意，生產(chǎn)班組數(shù)雖然是不同的勞動生產(chǎn)率各個組的次數(shù)，但它和分組的組中值相乘無任何實際 意義，因此它不能做權(quán)數(shù)。 （三）幾何平均數(shù) 主要用于計算比率或者速度的平均，用 表示。 1.1. 簡單幾何平均數(shù) 適用未分組數(shù)據(jù)，計算公式為：65.77 （件） 240700 3660 精品文庫 歡迎下載 6 6 =何尼“遲 式中，G幾何平均數(shù)； 爲(wèi)一第i項冊數(shù)據(jù)值; ”-數(shù)據(jù)的項數(shù)。 例 3.53.5 假設(shè)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品要經(jīng)過 3 3 道連續(xù)作業(yè)的工序，每道工序的合格率依次 為 95 %95 %、90 %90 %和98 %98

12、%，試求 3 3 道工序的平均合格率。 解 因為產(chǎn)品的總合格率是各道工序合格率的連乘積，所以計算 3 3 道工序的平均合格 率應(yīng)采用幾何平均數(shù)方法。 G = y?5%x90%x98% = 94.28 % 2.2. 加權(quán)幾何平均數(shù) 適用分組數(shù)據(jù)，計算公式為: G =坷 y/一疋/庫/ =若彳 式中，G_加楓幾何平均數(shù)； 石一第 i組的數(shù)據(jù)值或組中值;： 力一第 i組的數(shù)據(jù)值或組中值無出現(xiàn)的諛數(shù)； k-分組的組教. 例 4.64.6 假設(shè)某投資銀行 1010 年期的投資年利率是按復(fù)利計算的，年利率的分配情況 為：第 1 1、2 2 年為3 %3 %，第 3 3 至第 5 5 年為 5 %5 %，第

13、 6 6 至第 1010 年為 8 %8 %。求平均年利率。 解首先采用加權(quán)幾何平均數(shù)方法計算平均年本利率。 G =業(yè) 0 拓 10；1 咄=1 0608 = 106 08 % 于是，得平均年利率為 二二 、位置平均數(shù) 位置平均數(shù)是根據(jù)其在全部數(shù)據(jù)中所處的位置確定的平均值。主要有二種形式：中位數(shù)和眾數(shù)。 （一） 中位數(shù) 中位數(shù)是將全部數(shù)據(jù)項按從小到大順序排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)值，用 II 表示。(36) 精品文庫 歡迎下載 7 1 1未分組數(shù)據(jù) 計算步驟為: 第一步，將一組數(shù)據(jù) r, r, ：, , ,；：；：按從小到大的順序排列后， 不妨表示為 第二步，確定中位數(shù)的位次。 中位數(shù)的位 r

14、fc= 2 式中，L L 為數(shù)據(jù)的項數(shù)； 第三步，確定中位數(shù) J J 的數(shù)值，計算公式為 當(dāng)為奇數(shù)時， *當(dāng)鬥為偶數(shù)時。 (3.7)(3.7) 例 3.73.7 根據(jù)表 3.13.1 的未分組數(shù)據(jù)，計算 200200 名職工月銷售額的中位數(shù)。 解首先將全部數(shù)據(jù)項按從小到大順序排列后，得表 3.43.4。 表 3.4 200 名職工月銷售額按從小到大順序排列 單位：萬元 56 98 126 140 154 168 175 189 210 238 56 98 126 140 154 168 175 189 210 238 63 101.5 126 140 157.5 171.5 175 192.5

15、 210 241 66.5 101.5 126 140 157.5 171.5 175 192.5 210 241 70 105 126 140 157.5 171.5 175 196 210 241.5 70 105 129.5 140 161 171.5 175 196 210 245 70 105 133 140 161 175 182 196 210 245 70 105 133 140 161 175 182 196 210 245 77 105 133 140 161 175 182 196 210 245 80.5 105 133 140 164.5 175 182 196 21

16、7 245 81 105 133 143.5 168 175 182 203 217 252 84 112 133 147 168 175 182 203 217 259 84 112 136.5 147 168 175 182 203 217 273 87.5 112 136.5 147 168 175 182 203 224 273 精品文庫 歡迎下載 8 87.5 112 136.5 147 168 175 182 206.5 224 273 91 112 136.5 154 168 175 182 206.5 224 280 91 119 136.5 154 168 175 182 2

17、06.5 224 280 98 119 136.5 154 168 175 185.5 206.5 224 280 98 122.5 140 154 168 175 189 210 224 308 98 122.5 140 154 168 175 189 210 231 315 中位數(shù)的耐辛警訶 因為 n n=200=200 為偶數(shù)，根據(jù)公式(3.7(3.7) )，中位數(shù)為第 100100 項和第 101101 項數(shù)據(jù)的算數(shù)平均數(shù), 疋+舟叫= 168 + 168 = 168 (萬元) 2 2 2 2分組數(shù)據(jù) 計算步驟為： 第一步，確定中位數(shù)的位次。 中位數(shù)的位葩A 2 式中， 各組次數(shù)總和；

18、 第二步，確定中位數(shù)所在組。 從第一組開始計算累計次數(shù)，當(dāng)累計次數(shù)大于 -時，該組即為中位數(shù)所在組； 第三步，確定中位數(shù) 的數(shù)值，計算公式為 -L + - x； 人 (3.8)(3.8) 式中，1 1中位數(shù)所在組的下限值； 中位數(shù)所在組的次數(shù)； 精品文庫 歡迎下載 9 各組次數(shù)總和; 1 1 中位數(shù)所在組以前各組的次數(shù)之和； .中位數(shù)所在組的組距。 例 3.83.8 根據(jù)表 3.23.2 的分組數(shù)據(jù)，計算 200200 名職工月銷售額的中位數(shù)。 解 中位數(shù)的位= = 100 2 2 從第一組開始累計到第 4 4 組時，累計職工人數(shù)為 142142人，所以第 4 4 組為中位數(shù)所在組。于是中位數(shù)

19、為 =1.57.5 + - x35 = 168 （萬元 60 （二）眾數(shù) 眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)值，用 I I 表示。 1.1. 未分組數(shù)據(jù) 對于未分組數(shù)據(jù)，直接找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)值即可。 例 3.93.9 根據(jù)表 3.13.1 的未分組數(shù)據(jù)，計算 200200 名職工月銷售額的眾數(shù)。 解首先將全部數(shù)據(jù)項按從小到大順序排列后，得表 3.43.4。 從表 3.43.4 可以看出，在 200200 名職工中，有 2020 名職工的月銷售額為 168168 萬元，次數(shù)最 多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為： 叫皿（萬元）。 2.2. 分組數(shù)據(jù) 計算步驟為： 第一步，確定眾數(shù)所在的組，即在分組數(shù)

20、據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的一組為眾數(shù)組； 第二步，確定眾數(shù).的數(shù)值，計算公式為：精品文庫 歡迎下載 10 式中，丄一眾數(shù)組的下限值; - -1 1 眾數(shù)組的次數(shù)與下一組的次數(shù)之差; 0 Jt0 任意實數(shù)，原點矩的階數(shù)； 加一分組的組數(shù)。珂=扌 顯然，珂*，即算數(shù)平均數(shù)是 1 1 階原點矩。 (二)中心矩 1.1. 未分組數(shù)據(jù)，k k 階中心矩的計算公式為: T T _ _ 吹-工N -封 尬i-1 (3.21)(3.21) 式中，血一比階中心矩； X X第 i i 項的數(shù)據(jù)值； X-全部數(shù)據(jù)的算數(shù)平均數(shù)； 0 0 任意實數(shù)，中心矩的階數(shù)； n n數(shù)據(jù)的項數(shù)。 2.2. 分組數(shù)據(jù)，丄階中心矩的計算公式為

21、： 1 M _ 2-1 (3.22)(3.22) 其中，山一 k k 階中心矩； 第 I I 組的數(shù)據(jù)值或組中值；精品文庫 歡迎下載 21 全部數(shù)據(jù)的算數(shù)平均數(shù); 第組的數(shù)據(jù)值或組中值 匚出現(xiàn)的次數(shù); Jt0 Jt0 任意實數(shù)，中心矩的階數(shù); 皿分組的組數(shù) 顯然，二二，即方差是 2 2 階中心矩 3.3. 原點矩與中心矩的換算公式 常用的前 4 4 階矩的換算公式如下: 二、偏度 偏度，亦稱偏態(tài)、偏態(tài)系數(shù)等，是統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布偏斜方向和程度的度量， 分布非對稱程度的數(shù)字特征。偏度是利用 3 3 階矩定義的，偏度的計算公式為: (3.23)(3.23) 式中，r 偏度;是統(tǒng)計數(shù)據(jù) 地=兩-3 旳昭+

22、 2 彳 精品文庫 歡迎下載 22 r r: : 3 3 階中心矩; ii ii 標(biāo)準(zhǔn)差。 在一般情形下，當(dāng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)為右偏分布時， ，且氣值越大，右偏程度越高； 當(dāng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)為左偏分布時，： I I ,且二值越小，左偏程度越高。當(dāng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)為對稱分 布時，顯然有；=| 例 3.173.17 根據(jù)表 3.13.1 的未分組數(shù)據(jù)，計算 200200 名職工月銷售額的偏度。 解因為 旳二無= 166,09, 30216.475f - = 5916360.419, 于是有 = -3art + 2a5P1635Q41?-3xl66.09x3021W75+2x(l 56.09)23877.7295 最后得偏度

23、為 三、峰度 謔度，亦稱峰態(tài)、峰態(tài)系數(shù)字是統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布陡峭和茂的度血峰度是利用 4 4 階矩 定義的， 峰度的計算公式為： 他 (3.24)(3.24) 式中，匚一峰度； - -1 1 4 4 階中心矩； 丨一標(biāo)準(zhǔn)差。CT 23877.7295 51.28923 = 0.1770 精品文庫 歡迎下載 23 將統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分布形態(tài)與正態(tài)分布加以比較，在一般情形下，如果統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分布較 正態(tài)分布更加陡峭時，則 星 1 1 二，稱為尖頂（尖峰）分布，且 r 值越大，分布的形狀越 陡峭；如果統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分布較正態(tài)分布更加平坦時，則 門，稱為平頂（平峰）分布， 且,值越小，分布的形狀越平坦；當(dāng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)為正態(tài)

24、分布時，顯然有 -。 例 3.183.18 根據(jù)表 3.13.1 的未分組數(shù)據(jù)，計算 200200 名職工月銷售額的峰度。 因溝 J = 叫忑 n 30216,475, = P = 5Q16360.419， 知=尹=12323M050.47 于是據(jù)原點矩與中心矩的換算公式有 灼=夂網(wǎng) + 昭嗎-3a* = 1232364050.47 -4x 16605 x 5916360419+ 6 x（166.09）ax：3a21fi,475-3x （Id 109/= 20116964.38 蟲后得峰度為 2.9071 附錄：用Excel計算描述統(tǒng)計量 通過本附錄的學(xué)習(xí)，我們將學(xué)會利用 ExcelExcel

25、 提供的各種統(tǒng)計函數(shù)和 數(shù)據(jù)分析”宏程序中的描述統(tǒng)計 過程，計算描述統(tǒng)計量的方法。 一、利用“描述統(tǒng)計”過程計算 例 1 1 某電腦公司四月份電腦銷售量數(shù)據(jù)（單位：臺）如下： 257 271 272 276 292 284 297 261 268 252 281 304 237 300 272 311 275 262 240 265 311 235 280 250 261 291 270 278 260 297 步驟一：輸入數(shù)據(jù)。打開 ExcelExcel 工作簿，分別在 A1A1 至 A30A30 這 3030 個單元格內(nèi)輸入上述 數(shù)據(jù)。 步驟二：利用“描述統(tǒng)計”過程計算。 1.1. 選擇“

26、工具”下拉菜單。 2.2. 選擇“數(shù)據(jù)分析”選項。 （如無此選項， 可利用第二章附錄中介紹的“加載宏”的 方法予以加載。 ） 3.3. 在數(shù)據(jù)分析工具中選擇“描述統(tǒng)計”。20116964.38 51.2892* 精品文庫 歡迎下載 24 出現(xiàn)描述統(tǒng)計對話框，如下圖: 在“輸入?yún)^(qū)域”方框中鍵入 A1A1: A30;A30; 在“輸出區(qū)域”方框中鍵入輸出區(qū)域第一個起始單元格的地址 B B? ? 選擇“匯總統(tǒng)計”、“平均數(shù)置信度”； 在“第 K K 個最大值”和“第 K K 個最小值”中，選擇系統(tǒng)默認(rèn)值“ 1 1 出第 1 1 個最大值和第 1 1 個最小值）； 單擊“確定”按鈕。 計算結(jié)果如下：

27、ExcelExcel 計算的月銷售額的描述統(tǒng)計量（表示選擇輸 精品文庫 歡迎下載 25 A IFF B C D . 1. 257 列1 2 2S1 3 311平塢 273.6666667 4 271標(biāo)準(zhǔn)誤差 3.776921246 5 304中值 272 n 6 235模式 311 7 272標(biāo)準(zhǔn)偏差 20. 58704964 8 237樣本方差 427.954023 9 280峰值 -0. 540366555 10 二 276僞斜度 6 026816O7S 11 _ 300區(qū)域 76 J 12 250最小值 235 13 292最大值 311 272求和 8210 15 -861 itift

28、 30 16 屈4最大311 17 311最小 235 18 291 首倍度(95. 0) 7.724675503 30 297 、利用統(tǒng)計函數(shù)完成描述統(tǒng)計 （一）一般統(tǒng)計 1.1. 求和。 格式如下： 有 J J ：。 例 2 2 以上題為例，求 A1A1： A30A30 的和。 解 打開存儲上例數(shù)據(jù)的 ExcelExcel 文件； 單擊任意一個單元格（本例中為 E1E1）; 輸入公式“ ，回車確定即可，結(jié)果為 82108210。 2.2. 求最大值。 格式如下：EZEZ- - - -. . . 3.3. 求最小值。 格式如下： 丨于丁一、喬丁一. （二）集中趨勢統(tǒng)計 1. 1. 求算術(shù)平均值。精品文庫 歡迎下載 26 格式如下：-I I I I V V ， 例 3 3 計算 1 1, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6 6, 7 7, 8 8, 9 9 的平均值。 解 在 ExcelExcel 中單擊任意單元格，輸入公式： A A 冋 GEGE（1 1, 2, 3, 4, 5, 6, , 2, 3, 4, 5, 6, J J , ,兒