中學(xué)代數(shù)公式大全1

1、目錄一、初中代數(shù)1二、高中代數(shù)42.1 、函數(shù)42.1.1不等式72.1.1數(shù)歹U82.1.1三角函數(shù)92.1.1復(fù)數(shù)112.2 排列、組合122.3 平面幾何132.3.1 直線與角132.3.2 三角形142.4 立體幾何142.4.1 直線與平面142.4.2 多面體、棱柱、棱錐172.5 解析幾何172.5.1 方程與曲線172.5.2 直線182.5.3 圓192.5.4 橢圓192.5.5 雙曲線202.5.6 線202.6 向量部分212.6.1 空間向量212.6.2 平面向量22三、常用公式233.1 常用公式233.2 幾何圖形及計(jì)算公式25四、坐標(biāo)幾何和二維、三維圖形27

2、4.1 坐標(biāo)幾何274.2 二維圖形284.3 三維圖形29一、初中代數(shù)【實(shí)數(shù)的分類】實(shí)致有理數(shù)'無理數(shù)Vf件整數(shù)自然數(shù))整數(shù)零負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)竟饕無限循環(huán)小數(shù)、負(fù)無理數(shù)j國無理數(shù)Lr日太襦鏟|百-i比限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)J【自然數(shù)】【質(zhì)數(shù)與合數(shù)】【相反數(shù)】【絕對(duì)值】【倒數(shù)】【完全平方數(shù)】【方根】.【開方】. 【算術(shù)根】.【代數(shù)式】【代數(shù)式的值】【代數(shù)式的分類】有理式，國式代數(shù)式41分式無理式-表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、4等都稱為自然數(shù)一個(gè)大于1的整數(shù)，如果除了它本身和1以外不能被其它正整數(shù)所整除，那么這個(gè)數(shù)稱為質(zhì)數(shù)。一個(gè)大于1的數(shù)，如果除了它本身和1以外還能被其它正整數(shù)所整除，那么這個(gè)數(shù)知

3、名人士為合數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)又不是合數(shù)。只有符號(hào)不同的兩個(gè)實(shí)數(shù)，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的相反數(shù)。零的相反數(shù)是零。一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值為零?？嗫谑菍?shí)物則：卜(a>0)同小(a=0)&(a<(T)從數(shù)軸上看，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)距離。1除以一個(gè)非零實(shí)數(shù)的商叫這個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)。零沒有倒數(shù)。如果一個(gè)有理數(shù)a的平方等于有理數(shù)b,那么這個(gè)有理數(shù)b叫做完全平方數(shù)。如果一個(gè)數(shù)的n次方(n是大于1的整數(shù))等于a,這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根。求一數(shù)的方根的運(yùn)算叫做開方。正數(shù)a的正的n次方根叫做a的n次算術(shù)根，零的算術(shù)根是零，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)根。用

4、有限次運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)所得的式子，叫做代數(shù)式。用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果，叫做當(dāng)這個(gè)字母取這個(gè)數(shù)值時(shí)的代數(shù)式的值?！居欣硎健恐缓辛?、減、乘、除和乘方運(yùn)算的代數(shù)式叫有理式【無理式】根號(hào)下含有字母的代數(shù)式叫做無理式【整式】沒有除法運(yùn)算或者雖有除法運(yùn)算而除式中不含字母的有理式叫整式【分式】除式中含字母的有理式叫分式加故換律；曰+方=方+日【有理數(shù)的運(yùn)算律】加法結(jié)合律:("3+c=£j+(6+c)乘短模微ab=ba【等式的性質(zhì)】乘海枷法的夕曾推：/+c）=a&+竺老則元”兄r老”b則需=be若&=b且。

5、閾則口，=£>LCC【乘法公式】平方差公式：（口+匕）（儀-b）=a2-b2立方和（墓）公式：（0士幼（口。+ab+b2）a3±b3完全平方公式±曠=>±2她+M【因式分解】梃取公因式法；ma+mb-mew(d+白一G應(yīng)用公式法，(1+與小_切=d2-b2(口士切(JTab+b2)a3±b3(a±b)2=a2±2ab+b2十字相黍法；x+(a+&)j+ab=(x+a)(j+&)求根公式法工ax+hx+r=口(工一1)(算一算3)-b+油2-4/算1其中2a-6-Jb3-4w“2d【方程】方程含有未

6、知數(shù)的等式叫做方程。方程的解在未知數(shù)允許值范圍內(nèi)，能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。解方程在指定范圍內(nèi)求出方程所有解，或者確定方程無解的過程，叫做解方程?！疽淮畏匠獭?7-次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次;數(shù)是一次的整式方程叫做一一次方程它的標(biāo)準(zhǔn)形式是：fli+b-0（口納【一元二次方程】1JC一次方程:口，'+6+匚=0（a0）求根公式*X-"*畫-4ac>0）la根的判別式1±=2-4B當(dāng)A>。時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)&=0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、當(dāng)A<0時(shí).沒有實(shí)數(shù)根根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)也、心為一元一次方程：ax2+&am

7、p;x+c=0（日金0）的兩個(gè)根，則；bcX+I?=qXXQdd【集合】【集合的分類】:、高中代數(shù)2.1、函數(shù)指定的某一對(duì)象的全體叫集合。集合的元素具有確定性、無序性和不重復(fù)性。集合：號(hào)有限集：含有有限個(gè)元素的集合無限集：含有無限個(gè)元素的集合【集合的表示方法】列舉法】把集合中的元素一一列舉，馬在在括號(hào)內(nèi)表示集合的方法描述法：杷集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)的方法任意的工都有xcE=j4uBBB月工火pafAcBBC則工匚C中uA（總為非空子集）Q）若總匚£則XcC(t)AA=A(2)月c中二中()AEqAHcEcBB(1)j4vj4=A(2)A=A?4vBz>Bj4

8、«x|ze用十4Aal(T)AjA=A(2)/八工=中(4)XvB=ArB函數(shù)的性質(zhì)判定方法函數(shù)的奇偶性函如果對(duì)一函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任息個(gè)X,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)；函如果又t一函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任思個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)利用定義用等價(jià)例題：/(©是奇函數(shù)0汽冷+/(/=0/(冷是偶函數(shù)O函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于給定的區(qū)間上的函數(shù)f(x):如果對(duì)干屬干這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變的值町rX箝當(dāng)打心時(shí)，都有</(打),則K力在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)1(1)如果對(duì)于屬干這個(gè)區(qū)閽的任意兩個(gè)1自變的值勺、打，當(dāng)門時(shí)，都有則/

9、(X)在這個(gè)區(qū)間是減函數(shù)利用定義(2評(píng)1用己知函數(shù)的單調(diào)性0和用函數(shù)圖象(4)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T,使彳導(dǎo)當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)。不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的周期的有關(guān)定理。函數(shù)名稱解析式定義域值域奇偶性單調(diào)性正比例函數(shù)RR奇函數(shù)上,口墻函數(shù)j<。減函數(shù)反比例函數(shù)_x_(內(nèi)加Q網(wǎng)(一叫U口產(chǎn))奇函數(shù)大1口時(shí)，在(-»,o),(0,+®)上臧函數(shù)；卜M在(7,O)+DO)Lt減函數(shù)。一次函數(shù)y=心

10、+推線RR，時(shí)奇函數(shù)。了口，時(shí)非奇非偶函數(shù)時(shí)增函數(shù)bed時(shí)減函繳二次函數(shù)/=az3+&x+c（a5、。為常量；其中國學(xué)R口A1口時(shí)，,Aac-b2、(-，田)4da<0吐s-；4a匕nQ,時(shí)寄函數(shù)時(shí)非奇非偶函數(shù)&>0時(shí)，在（一嗎一馬上2a是減函數(shù)在卜2口上增函數(shù)&<0時(shí)，在-8苒上是增函數(shù)在卜，產(chǎn)）2d上減函數(shù)函數(shù)名稱解析式定義域值域奇偶性單調(diào)性正比例函數(shù)y=W蝴RR奇函數(shù)k>0增函數(shù)丸。減函數(shù)反比例函數(shù)（-叫也口產(chǎn)）3)u8m)奇函數(shù)fc>O0t，在1；-®,0）,（0*-K»；上臧函數(shù)卜M在（e,O）3上減函數(shù)。)一

11、次函數(shù)/Ar+貼*力RR2,時(shí)寄函數(shù)?；羁?時(shí)非奇非偶函數(shù)外口時(shí)增函數(shù)£）<0Bt二次函數(shù)/=az+bx+c(口、Kc為常量其中"QR口A1口時(shí)，,4ac-b2、(->必4da<0吐4口。-/s-：4t2匕nQ,時(shí)寄函數(shù)時(shí)非奇非偶函數(shù)&>0時(shí)，在（一叫_白上2a是減函數(shù)在卜&+*）2a上增函數(shù)向V口吐在（一叫-苒上是增函數(shù)在-品+®）上減函數(shù)2.1.1不等式不等式用不等號(hào)把兩個(gè)解析式連結(jié)起來的式子叫做不等式寸掰性a>bb<a(2)傳遞性1a>hrb>cc(引力口法單調(diào)性1a>b=>

12、3;3+c>b+c(4)乘法單調(diào)性+a>b,c>Qac>be不等式 的性質(zhì)s>b,c<0ac<be(£i不等式相加a>b,c>da+ob-i-d(6)不等式相乘：a>>4£>0>口>bd(7)乘方法則：a>5>=a”>/5正加且月>1)G)開方法則:曰,$>口=癡>版(打正并且MA1)(分倒數(shù)法則：口>瓦破>0=>，4含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)g卜巾同4+占國$1+1/昨日驍 (i>0)“|網(wǎng)-附舊”國幻+IW（6 | H A b = &

13、amp; 之 6或口，一5色 > 0）幾個(gè)重要的不等式(l)ws>0(aR)(3)(?2+b2>2ab但兒>篇(abeR+)當(dāng)且僅當(dāng)京=6時(shí)，取H="號(hào)2(4)-+->2(ab>0)當(dāng)且僅當(dāng)”&時(shí)，取J'號(hào)ab”;+為源敷公尿。用當(dāng)且僅當(dāng)四=匕時(shí)，取/號(hào)研+町+-,+ssj.(6)-=>知口出口,"%(砌、日2、/胃E尺H程巨并且打>1)當(dāng)且僅當(dāng)皿=的=，為時(shí)，取%”號(hào)解集Xi"不等式的解法nubnu&>0。>口)其中不打是一兀二次方程+加+c=0的兩個(gè)根，且刈式如等式的解法A&g

14、t;0A=0A<0絕對(duì)a。時(shí)一0或1口值1住g=0B寸xxRflxO)不a(。時(shí)，|，w用a>0時(shí)|一0<x<aa-O0t中a<O0t中,>0feW)以力o>0I1/«<尿口2.1.1數(shù)列名稱定義通項(xiàng)公式前n項(xiàng)的和公式數(shù)列按照一定次序排成一列的數(shù)叫做數(shù)列，記為an如果一個(gè)數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式等$_/研+曰J"2=乳&i+-d差數(shù)列4-4.1=d0為常數(shù)，月瓦村之不叫做這個(gè)數(shù)列的公差%=%+(n-!)d其它等差中項(xiàng)a+bA=2生=如為常數(shù)%rt/網(wǎng)2)q叫

15、這個(gè)數(shù)冽的公比等比中項(xiàng)G二七庭數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：A=«無窮等比數(shù)列所有項(xiàng)的和：數(shù)適用范圍證明步驟注意事項(xiàng)學(xué)歸納法只適用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題設(shè)P(n)是關(guān)于自然n的一個(gè)命題，如果(1)當(dāng)n取A個(gè)值n0(例如：n=1或n=2)時(shí)，命題成立(2)假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，由此推出n=k+1時(shí)成立。那么P(n)對(duì)一切自(1)第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步的推理根據(jù)，兩步缺一/、可(2)第二步的證明過程中必須使用歸納假設(shè)。然數(shù)n都成立。2.1.1三角函數(shù)角一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的圖形叫做角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫角的終邊，射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)。角的

16、單位制關(guān)系弧長公式扇形面積公式角度制弧度130k06745弧度1=ISO庸厚"旃"_弧度制M=兄c1,.=三同J/=d7=-lr2角的終邊位置角的集合在x軸正半軸上aa=2M仗加在x軸負(fù)半軸上a在x軸上8亡=用叫在y軸上aa=h啟+,訓(xùn)在A象限內(nèi)2鞭啟<Q<2nff-JTrHy津cZ在第二象限內(nèi)2月郡+-<2hv+后，州比2在第三象限內(nèi)口3+芯<2M北+,%Z在第四象限內(nèi)3cf|+一正<a<2m:+2,2I2I特殊角的角函數(shù)值函數(shù)/角0IF77J1rl2i2Hsina021亙210-10cosa1也2也FlI0-101tana0g31不存

17、在0不存在0cota不存在10不存在0不存在角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)定義域值域奇偶性周期性單調(diào)性y=sinxRE奇函數(shù)T=2w在比三加+月22（k丘Z）上是增函數(shù)在2履+,2麗+手（AfZ）上是減函數(shù)iy=cosxR川偶函數(shù)在2上店1%2宜吸上q1上是增函數(shù)在2白7,2際第+（fc1上是減函數(shù):）：）y=tanxjr|i阻r*存R奇函數(shù)T=IT在（kJ,加+；）（匕2）上是舸數(shù)y=cotx7|xeR且ihR奇函數(shù)f=北在（悅加+吸丘Z）上是減函數(shù)角/函數(shù)正弦余弦正切余切-a-sinacosa-tana-(ota900acosasinacotatana900+acosa-sina-cota-tma180

18、0-asina-cosa-tana-(ota1800+a-sina-cosatanacota2700-a-cosa-sinacotatana2700+a-cosasina-cota-tma3600-a-sinacosa-tana-(ota上弼°+口sinacosatanacota同角公式倒數(shù)關(guān)系sifidcscdalcosaseed=1tana-cota=1和差角公式倍角公式萬能公式半角公式積化和差公式和差化積公式商數(shù)關(guān)系sin 日, cosahnn=st"cosasin a平方關(guān)系sin2 a + cos2i? = i 1 + tan2 a =221 + cot a= e

19、sc ase? a/sin2& = 2 cos&cos2a - cos a - sin a -2 cos -1 - 1 - 2 sin a2 tan 日tan2 曰=71-tan* a2 tan1-tan2 2 tan222sing = cost? = tant?=4 a &*2 儀*2a1 +taii -14-tfiii -1 tan -sind cos/? = |siri(a +為十-向2cos/ Sui# - - sin(d + 0 - sit® - Q) 2cosaccis £= cos(ci + +。05缶-茄sinasm/? = - -u

20、hQ +0)- C80 -偽八、.0 + 3&-乳口曰 +5in /> =cos22sinta - sin V =上 cossin產(chǎn)？2COSO +COS 6 = 2 coscos222.1.1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的定義引入虛數(shù)單位i,規(guī)定i2=1,i可以和實(shí)數(shù)一起進(jìn)行通常的四則運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)原有力口乘運(yùn)算仍然成立。形如：a+bi（a,b為實(shí)數(shù)）a-實(shí)部b虛部復(fù)數(shù)的表小形式代數(shù)形式角形z=r(cosa+!sind)r=卜+爐模Q輻角(白+歷)±(r+如=±q+(5士d)i(a+bi)(c-di)-(ac-bd)+(由d+bc)ia+bi+的(o-di)ac+bdbe-ad。

21、+加(c+匈”由)/十笳十(:W8、n同時(shí)為零)復(fù)數(shù)的運(yùn)算(cosSj+j'rj(costf2+1sin白？)-丫口0口5(%+電)+臺(tái)in(比+fi2)McgJ】+ir1/一=3QS-日加E皿玩-出)r2(cosS24-jsinS2)勺r(cos4-jsinff)n=r1-(coshS+sin月由r(cosfi+fsin0)的內(nèi)次方根是：物(ccs+jsin)(后=12,打-1)2.2排列、組合分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟。做一件事，完成它有n類不問的辦法。第一類辦法中有ml種方法，第二第一中后ml種方法，第一步中啟m2類辦法中mm2種方法,第n央辦法中啟

22、mn種方法，則完成這件事共種方法,，第n步中有mn種方法，則有：N=m1+m2+mn種方法。完成這件事共后：N=m?m2?,?mn種方法。注意：處理實(shí)際問題時(shí)，步驟”。要善于區(qū)分是用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理，這兩個(gè)原理的標(biāo)志是“分類”還是“分排列組合m(m<n)個(gè)兒素,按照從n個(gè)不向的兀素中，任取m(m<n)個(gè)從n個(gè)小向的兀素中取一定的順序排成一排，叫做兀素笄成一組，叫做從n個(gè)不同的兀素從n個(gè)小向的兀素中取m個(gè)兀素的排列。中取m個(gè)兀素的組合。排列數(shù)組合數(shù)從n個(gè)小向的兀素中取m(mWn)個(gè)兀素從n個(gè)小向的兀素中取m(mn)/兀素的所七排歹U的午數(shù)，叫做從n個(gè)不同兀素中取出m個(gè)兀素

23、的排列數(shù)，記為Pnm的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)小同兀素中取出m個(gè)兒素的組合數(shù)，記為Cnm選排列數(shù)全排列數(shù)C；=工(常用于數(shù)值計(jì)算)ml討-m+1)(常用千數(shù)值計(jì)算)&1常用干視5-砌=n詞見定01=17=:常用于字母計(jì)兌和證明)北！01-m)!重要性質(zhì):規(guī)定*1.糧_尸由一劇_富就一】L8乙期m+11L?i十字母計(jì)算和證明)(口+妨*+或產(chǎn)獷+*"%*.+*8任因此公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理項(xiàng)式定理圖/+。3，+射叫做(口+與怨的二項(xiàng)展開式c2d，U叫做二項(xiàng)式系數(shù)通項(xiàng)公式:5+1=片5一1飛-0X2可項(xiàng)數(shù)：n+1項(xiàng)(2)指數(shù)：各項(xiàng)中的a的指數(shù)由n起依次減少1,直至0為止；

24、b的指出從0起依次增加1,直至n為止。而每項(xiàng)中a與b的指數(shù)之和均等于n。(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式的性質(zhì)二項(xiàng)式的領(lǐng)具對(duì)稱性,與兩端箱硼項(xiàng)的二項(xiàng)式領(lǐng)相等當(dāng)泌偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的系數(shù)最大當(dāng)H為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的系數(shù)最大。所有二項(xiàng)式系教之和為'即己+C；+記；=尸各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式的系數(shù)之和即匕+CC+72.3平面幾何2.3.1直線與角直線(不7E義)直線恒兩方尢限延伸，匕無端點(diǎn)。射線在直線上某一點(diǎn)旁的部分。射線只有一個(gè)端點(diǎn)。線段直線上兩點(diǎn)間的部分。它有兩個(gè)端點(diǎn)。垂線如果兩條直線相交成直角，那么稱這兩條直線互相垂直。其中一條叫另一條的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足。斜線如果

25、兩條直線不相交成直角時(shí)，其中一條直線叫另一條直線的斜線。點(diǎn)到直線的距離從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線距離。線段的垂直平分線定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。平行線在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。平行線公理及推論經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有一條而且只價(jià)-條直線和這條直線平行。平行于同一條直線的兩條直線平行。角的定義有公共點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形，叫做角角的分類周角：3600平角：1800直角：900銳角：00<a<900鈍角：900<a<18002.3.2三角形三角形的分類按角分銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形按邊分等腰三角形，

26、等邊三角形，不等邊三角形三角形的角平分線三角形一個(gè)的角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段，叫做三角形的角的平分線。三角形的中線連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做三角形的中線。三角形的高三角形一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊所在直線的垂線段，叫做三角形的高。三角形的中位線連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線。全等三角形定義能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形。性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)的角的平分線、高及中線相等。判定任意三角形直角三角形(1)兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等。記為SAS(1)一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等(2)兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等。記為ASAA或AAS(2)兩直角邊對(duì)應(yīng)相等。(3)三邊

27、對(duì)應(yīng)相等。記為SSS(3)斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)相等(HL)三角形的四心名稱定義性質(zhì)內(nèi)心三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心(即內(nèi)切圓的圓心)(1)內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。(2)三角形一個(gè)頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分這個(gè)角。外心三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。(即外接圓的圓心)(1)外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。(2)外心與三角形一邊中點(diǎn)的連線必垂直該邊。(3)過外心垂直于三角形一邊的直線必平分該邊。重心三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心。(1)重心到每邊中點(diǎn)的距離等于這邊中線的三分之一。(2)三角形頂點(diǎn)與重心的連線必過對(duì)邊中點(diǎn)。垂心三角形三條高的交點(diǎn)，叫做三角形的垂心。

28、二角形的一個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線必垂直于對(duì)邊。2.4立體幾何2.4.1直線與平面平面的基本性質(zhì)圖形作用4:平行于同一直線的兩條直線互相平定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。心力為二異面直線，bfa"R日"瓦口、，所成的捌角值角）口，叫做異面直線a與b所成的角（0。4以£見口）若期_L。干兒期15干區(qū)則直線”叫兩條異面直線雙方的公垂線。線段加的長度叫異面直線帛5的距離。）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）直線和平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）直線和平面平行一一沒有公共點(diǎn)）、m-rpn7EXE理性質(zhì)定理直線與平面所成的角(1)平面的斜線

29、和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角(2)一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角(3)一條直線和平囿平行，或在平囿內(nèi)，定義它和平囿所成的角是00的角三垂線定理在平囿內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平囿的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直三垂線逆定理在平囿內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平囿的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直空間兩個(gè)平囿兩個(gè)平面平行判定性質(zhì)(1)如果一個(gè)平囿內(nèi)有兩條相父直線平行于另一個(gè)平囿，那么這兩個(gè)平囿平行(2)垂直十同一直線的兩個(gè)平面平行(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平囿(2)如果兩個(gè)平行平囿同時(shí)和第三個(gè)平囿相交，那么它們

30、的交線平行(3)一條直線垂直于明個(gè)平行平囿中的一個(gè)平囿，它也垂直于另一個(gè)平面相交的兩平面二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個(gè)豐平曲叫二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角平囿角是直角的一間角叫做直一面角兩平判定性質(zhì)面垂直如果一個(gè)平囿經(jīng)過另一個(gè)平囿的一條垂線，那么這兩個(gè)平向互相垂直(1)若一平囿垂直，那么在一個(gè)平囿內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另,個(gè)平囿(2)如果兩個(gè)平囿垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平囿內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在Q個(gè)平面內(nèi)2.4.2多面體、棱柱、棱錐

31、多面體7E義由若十個(gè)多邊形所圍成的兒何體叫做多向體。棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂苴于底囿的棱柱。直棱柱：側(cè)棱與底回垂苴的梭柱。正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。棱錐正棱錐：如果棱錐的底向是止多邊形，并且頂點(diǎn)在底向的射影是底向的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。球到一定點(diǎn)距離等于定長或小于定長的點(diǎn)的集合。歐拉定理簡單多向體的貝點(diǎn)數(shù)V,棱數(shù)E及囿數(shù)F間有關(guān)系：V+F-E=2多面體側(cè)面積公式111»1電檢序=chS正檢隹跑S正嫉610=)人體積公式%度=旗%*=*%曹亭5+£+刈球球的表面積；5=4。球的體現(xiàn)選2.5解析幾何2.5.1方程與曲線程與線既念在平囿直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)

32、xx,y)都是方程F(x,y)=0的解；反之方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y)都在曲線C上，那么方程F(x,y)=0叫曲線C的方程，曲線C叫方程F(x,y)=0的曲線。已k曲，戔*它，呈步(1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用(x,y)表示曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件M的點(diǎn)P的集合(3)用坐標(biāo)表示條件M(P),列出方程；f(x,y)=0(4)化方程f(x,y)=0為取間形式(5)證明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)如曼城立，那么時(shí)過，即乂就是說W是B成立的充分條件必 要 條 件充條 牛如果B成立，那么工成立，即Bn4或者，如果H不成立,那么礴不成立，這時(shí)我們就說總是E成立的必要條件

33、如臬R=又有我們就說/是8成立的充分必要條件，簡稱充要條件，即HoE，戔 的i呈點(diǎn)斜式：六即=比。7口）直線與x軸垂直不能用斜費(fèi)式;j = kx+b直線與x軸垂直不能用兩點(diǎn)式：31 = 31f 勺71直線與坐標(biāo)軸垂直不能用鞭式+1 = 1 a b直線與坐標(biāo)軸垂直或過原點(diǎn)不能用一般式：如+即+C =。A B不全為零2.5.2直線占八、U +5表示點(diǎn)a°,九）到直線也+班+c=口的距離到兩心,=即工+mr+Bj+C=007=無"+B/+=。條直線的關(guān)系及條件平行重合垂直礫o瓦與且也豐啊,與不與1軸垂直或3_=£l#£l也比C,，】與“重合O即能且康1=/式4

34、與6不與后由垂直）或合*j_L4O兒電=-1&與以均不與軸垂直）或肉肉十場(chǎng)為=0，戔的距斜交入JCr八I瓦rkN0<S<-tandH-21+附2經(jīng)過二直城h：=0J2t4jr+Baj+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程口嚇含直線4,+為+Q=0）小+的+G+a（41K+顯了+0）=0a為任意實(shí)數(shù)）2.5.3圓定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)是圓心，定長是半徑。標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程圓似地半徑T+j2+Px+=0（其中D。即-4f>0）圓點(diǎn)與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系點(diǎn)R"力）圓心eg3半徑/Fffi圓內(nèi)Kr唯圓上UPC=r拉圓外o

35、|FC»r圓心C®直線£的跑離為區(qū)圓的半徑為,，則相離Od>7相切od=r相交ode過囪=/上一點(diǎn)（%,人）回的切線方程：殉，+人了=戶圓心距為d兩圓半徑為勺與勺外離0d>口+勺外切Od=/i+巳外離O卜1-nKd（斗。內(nèi)切=0=|門-與|內(nèi)含0dY12.5.4橢圓幾何性質(zhì)范圍1仔1昨占所以在由直線1=土a=場(chǎng)圍成的矩形內(nèi)對(duì)稱性坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱由，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心。橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心。頂點(diǎn)46珥口）,為血吸務(wù)。-辦國與叫做桶圓的頂點(diǎn)4均叫長軸，瓦為叫短軸；長半軸為部短半向?yàn)榉诫x心率ce=（0<e<f）a白越接近L橢圓越扁；&

36、#163;越接近。，橢圓越接近千圓2.5.5雙曲線雙k線定義：平囿內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做焦距。標(biāo)準(zhǔn)方程J，1=1Q小口)/“蟄象Pv“1lyUi11_jIyFl°/I1?2X/O工A隹自F1(-c,0)F2(c,0)F1(0,-c)F2(0,-c)焦距范圍|MN口所以雙曲線在兩條直跋I=4=r的外例1對(duì)稱性坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱由，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心。橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心。幾何性質(zhì)頂點(diǎn)同-娟）/（羽，叫做雙曲線的頂點(diǎn)從義喉町臚州虛軸；漸近線/=土工叫做雙典線的漸近線a。=6的

37、雙曲線叫做等軸雙曲線離心率g=E叫做雙曲線離心率（>1）a越大，雙曲線的開口越開闊2.5拋物線拋物定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線L距離相等的的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線L叫做拋物線的準(zhǔn)線。2.6向量部分2.6.1空間向量空間向量的概念在空間內(nèi)具有大小和方向的量叫做和向量共線向量定理時(shí)干空間任間兩個(gè)向量0Kb沸0）,a!lbXbJ共向向量定理如果兩個(gè)向量比桿其線，則向量聲向量0洪圜的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)用>使£=高+了行空間向量基本定里如果三個(gè)向量£匕）不共面，那么對(duì)空間任一向量2存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（號(hào)力,使p=m+5+ec兩個(gè)向量的數(shù)量積

38、向量R的數(shù)量積：$=舊|3|cos<a,b>。響量熊在鞋Lt或方向上的投靠：AB=|XS|cos<珥咫>=口電空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)f(l)oe=|以|cos<a,e>(2)alb<a1=1(3)a=aa空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)口三g】,方）小三如辦約則a+6=a2+%色十屯3），ff由一占=|；口一瓦，日24>2*日3%）；孫,孫孫），ab-ai&i+djijj+&三6二口"8O為=舫，口，=必3a_L8=dj&j+4口與+=。兩向量的夾角設(shè)日=31，翅爐）2三（%53，g>則川+0+城舊+短+短2.6.2平

39、面向量平向向量的概念在平囿內(nèi)具有大小和方向的量叫做和向量運(yùn)算性質(zhì)&+b=b+nr»9+8)+c-口+。+。u+。=0+a=0實(shí)數(shù)與向量的積定義；l3當(dāng)工>時(shí),忘與洞向,|北同；1|同3；1<卯七九占甚向,|船卜|1|白|運(yùn)算律冊(cè)修)=(4舊(4+戶)a=la+/iflA(a+&)=la+A/bab=ba(Ad)b-a-(1)=X(a-&)(口t沙。=ab+bc平面向量基本定如果忘后是同一平面的兩個(gè)不共線向邕那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)憲教工九總使以=%+與叼向量平行兩向量平行的充要條件affb<>a=1b設(shè)0=。1，門）3=（

40、n%）,則以"5=丁/:一??？7=0向重垂直兩向量平行的充要條件：0_l3=£1W=。設(shè)日=（勺。3/立則a±50,+1271=口定比分點(diǎn)公式設(shè)戶（“）（知）,與（5力），且戶1戶="改，勺十入町T.'1+1/i+VaC-1+A三、常用公式3.1 常用公式公式分類公式表達(dá)式乘法與因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|&|a|+|b|a-b|<|a|+|b|a|&b<=>-b<a<b|a-b|>

41、;|a|-|b|-|a|waw|a|一兀二次方程的解-b+v/(b2-4ac)Z2a-b-b+，(b2-4ac)/2a根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注韋達(dá)定理判別式b2-4a=0注方程有相等的兩實(shí)根b2-4ac>0注方程有一個(gè)實(shí)根b2-4ac<0注方程有共鈍復(fù)數(shù)根三角函數(shù)公式兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan

42、(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=v/(1-cosA)Z2)sin(A/2)=-v/(1-cosA)/2)cos(A/2)=v/(1+cosA)/2)cos(A/2)=-v/(1+cosA)/2)tan(A/2)=v/(1-cosA)/(1+cosA)t

43、an(A/2)=-v/(1-cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)=V(1+cosA)/(1-cosA)ctg(A/2)=-v/(1+cosA)/(1-cosA)和差化積2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=s

44、in(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些數(shù)列前n項(xiàng)和1+2+3+4+5+6+7+8+9+,+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+,+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+,+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+,+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+,n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+,+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b

45、/sinB=c/sinC=2R注其中R表示三角形的外接圓半徑余弦定理b2=a2+c2-2accosB注角B是邊a和邊c的夾角圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注(a,b)是圓心坐標(biāo)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注D2+E2-4F>0拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h正棱錐側(cè)面積S=1/2c*h'正棱臺(tái)側(cè)面積S=1/2(c+c')h'圓臺(tái)側(cè)面積S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積

46、S=1/2*c*l=pi*r*l弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2*l*r錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱體積V=S'L注：其中，S'是直截面面積，L是側(cè)棱長柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h3.2 幾何圖形及計(jì)算公式平面圖形名稱符號(hào)周長C和面積S止方形a一邊長C=4aS=a2長方形a和b-邊長C=2(a+b)S=ab三角形a,b,c三邊長S=ah/2ha邊上的高=ab/2-sinCs一周長的T=s(s-a)(s-b)(s-c)1/2A,B,C內(nèi)角=a2sinBsinC/(2sinA)其中s

47、=(a+b+c)/2四邊形d,D對(duì)角線長S=dD/2-sinaa對(duì)角線夾角平行四邊形:a,b一邊長S=ahha邊的高=absinaa兩邊夾角菱形a一邊長S=Dd/2“一夾角=a2sinaD長對(duì)角線長d短對(duì)角線長梯形a和b一上、下底長S=(a+b)h/2h高=mhmi-中位線長圓r半徑C=兀d=2兀rd一直徑S=兀r2=兀d2/4扇形r一扇形半徑C=2r+271rx(a/360)a一圓心角度數(shù)S=兀r2x(a/360)弓形1l弧長S=r2/2(兀a/180-sina)b弦長=r2arccos(r-h)/r-(r-h)(2rh-h2)1/2h矢高=兀ar2/360-b/2r2-(b/2)21/2r

48、半徑=r(l-b)/2+bh/2“一圓心角的度數(shù)2bh/3圓環(huán)R外圓半徑S=兀(R2-r2)r內(nèi)圓半徑=兀(D2-d2)/4D外圓直徑d內(nèi)圓直徑橢圓D長軸S=兀Dd/4d短軸立方圖形名稱符號(hào)面積S和體積V正方體a一邊長S=6a2V=a3長方體a-長S=2(ab+ac+bc)b寬V=abcc-iWj棱柱S一底面積V=Shh高棱錐S一底面積V=Sh/3h高棱臺(tái)S1和S2上、下底面積V=hS1+S2+(S1S1)1/2/3h高擬柱體S1一上底面積V=h(S1+S2+4S0)/6S2一下底面積S0中截面積h高圓柱r底半徑C=271rh高$底=兀r2C一底向周長$側(cè)=ChS底底向積$表=Ch+2s底S側(cè)一側(cè)面積V=S底hS表表面積=兀r2h空心圓柱R外圓半徑V=兀h(R2-r2)r內(nèi)圓半徑h高直圓錐r底半徑V=兀r2h/3h高圓臺(tái)r上底半徑V=兀h(R2+Rr+r2)/3R下底半徑h高球r半徑V=4/3兀r3=兀d2/6d一直徑球缺h球缺高V=兀h(3a2+h2)/6r球半徑=兀h2(3r-h)/3a球缺底半徑a2=h(2r-h)球臺(tái)ri和r2球臺(tái)上、下底半徑V=兀h3(r12+r22)+h2/6h高圓環(huán)體R環(huán)體半徑V=2n2Rr2D-環(huán)體直徑=兀2Dd2/4r環(huán)體截面半徑d環(huán)體截向直徑桶狀體D桶腹直徑V=兀h(2D2+d2)/12d桶底直徑（母線是圓弧形，圓心是桶的中心）hWWV=兀h（