高等代數(shù)最重要的基本概念匯總

1、第一章 基本概念1.5 數(shù)環(huán)和數(shù)域定義1 設(shè)S是復(fù)數(shù)集C的一個非空子集,如果對于S中任意兩個數(shù)a、b來說，a+b,a-b,ab都在S內(nèi)，那么稱S是一個數(shù)環(huán)。定義2 設(shè)F是一個數(shù)環(huán)。如果 （i）F是一個不等于零的數(shù)； （ii）如果a、bF,，并且b，那么就稱F是一個數(shù)域。定理 任何數(shù)域都包含有理數(shù)域，有理數(shù)域是最小的數(shù)域。第二章 多項式 2.1 一元多項式的定義和運(yùn)算定義1 數(shù)環(huán)R上的一個文字的多項式或一元多項式指的是形式表達(dá)式 ， 是非負(fù)整數(shù)而都是R中的數(shù)。 項式中，叫作零次項或常數(shù)項，叫作一次項，一般，叫作i次項的系數(shù)。 定義2 若是數(shù)環(huán)R上兩個一元多項式和有完全相同的項，或者只差一些系數(shù)為

2、零的項，那么就說和就說是相等定義3 叫作多項式，的最高次項，非負(fù)整數(shù)n叫作多項式，的次數(shù)。定理 設(shè)和是數(shù)環(huán)R上兩個多項式，并且，那么 當(dāng)時， 。多項式的加法和乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)則：1） 加法交換律： ；2） 加法結(jié)合律： ；3）乘法交換律： ；4） 乘法結(jié)合律： ；5） 乘法對加法的分配律： 。推論 當(dāng)且僅當(dāng)和中至少有一個是零多項式推論 若，且，那么2.2 多項式的整除性設(shè)F是一個數(shù)域。是F上一元多項式環(huán)定義 令和是數(shù)域F上多項式環(huán)的兩個多項式。如果存在的多項式，使，我們說，整除（能除盡）。多項式整除的一些基本性質(zhì)：1） 如果，那么2） 如果，那么3） 如果，那么對于中的任意多項式來說，4）

3、果那么對于中任意5） 次多項式，也就是F中不等于零的數(shù)，整除任意多項式。6） 每一個多項式都能被整除，這里c是F中任意一個不等于零的數(shù)。7） 如果，那么，這里c是F中的一個不等于零的數(shù)設(shè)，是兩個任意的多項式，并且。那么可以寫成以下形式，這里，或者的次數(shù)小于的次數(shù)。定理 設(shè)和是的任意兩個多項式，并且。那么在中可以找到多項式和，使 （3） 這里或者，或者的次數(shù)小于的次數(shù)，滿足以上條件的多項式只有一對。設(shè)數(shù)域含有數(shù)域而和是的兩個多項式，如果在里不能整除，那么在里也不能整除。1） 定義1 假定是和的任一公因式，那么由 中的第一個等式，也一定能整除。同理，由第二個等式，也一定能整除。如此逐步推下去，最后

4、得出能整除，這樣，的確是和的一個最大公因式，這種求最大公因式的方法叫做展轉(zhuǎn)相除法。定義2 設(shè)以除時，所得的商及余式，比較兩端同次冪的系數(shù)得，這種計算可以排成以下格式 用這種方法求商和余式（的系數(shù)）稱為綜合除法。2.3 多項式的最大公因式設(shè)F是一個數(shù)域。是F上一元多項式環(huán)定義1 令設(shè)和是的任意兩個多項式，若是的一個多項式同時整除和，那么叫作與的一個公因式。定義2 設(shè)是多項式與的一個公因式。若是能被與的每一個公因式整除，那么叫作與的一個最大公因式。定理 的任意兩個多項式與一定有最大公因式。除一個零次因式外，與的最大公因式是唯一確定的，這就說，若是與的一個最大公因式，那么數(shù)域F的任何一個不為零的數(shù)c

5、與的乘積c 也是與的一個最大公因式；而且當(dāng)與不完全為零時，只有這樣的乘積才是與的最大公因式。從數(shù)域F過度渡到數(shù)域時，與的最大公因式本質(zhì)上沒有改變。定理2.3.2 若是的多項式與的最大公因式，那么在里可以求得多項式，使以下等式成立： （2）。注意：定理2.3.2的逆命題不成立。例如，令，那么以下等式成立：但顯然不是與的最大公因。定義3 如果的兩個多項式除零次多項式外不在有其他的公因式，我們就說，這兩個多項式互素。定理2.3.3 的兩個多項式與互素的充要條件是：在中可以求得多項式，使（4） 從這個定理我們可以推出關(guān)于互素多項式的以下重要事實(shí)：若多項式與都與多項式互素，那么乘積也與互素。若多項式整除

6、多項式與的乘積，而與互素，那么一定整除。2） 若多項式與都整除多項式，而與互素，那么乘積也整除最大公因式的定義可以推廣到個多項式的情形：若是多項式整除多多項式中的每一個，那么叫作這n個多項式的一個公因式。若是的公因式能被這n個多項式的每一個公因式整除，那么叫作的一個最大公因式。 若是多項式的一個最大公因式，那么是多項式的最大公因式也是多項式的最大公因式。若多項式除零次多項式外，沒有其他的公因式，就是說這一組多項式互素。2.4 多項式的分解定義1 的任何一個多項式，那么F的任何不為零的元素c都是的因式，另一方面，c與的乘積c也總是的因式。我們把這樣的因式叫作它的平凡因式，定義2 令是的一個次數(shù)大

7、于零的多項式。若是在只有平凡因式，說是在數(shù)域F上（或在中）不可約。若除平凡因式外，在中還有其他因式，就說是在F上（或在中）可約。 如果的一個n（n0）次多項式能夠分解成中兩個次數(shù)小于n的多項式的乘積：（1） ，那么在F上可約。 若是在中的任一個形如（1）的分解式總含有一個零次因式，那么在F上不可約。 不可約多項式的一些重要性質(zhì)：1） 如果多項式不可約，那么F中任一不為零的元素c與的乘積c也不可約。2） 設(shè)是一個不可約多項式而是一個任意多項式，那么或者與互素，或者整除。3） 如果多項式與的乘積能被不可約多項式整除，那么至少有一個因式被 整除。4） 如果多項式的乘積能被不可約多項式整除，那么至少有

8、一個因式被整除。定理 的每一個n(n0)次多項式都可以分解成的不可約多項式的乘積。定理 令是的一個次數(shù)大于零的多項式，并且 此處與都是的不可約多項式，那么，并且適當(dāng)調(diào)換的次序后可使此處是F上的不為零的元素。換句話說，如果不計零次因式的差異，多項式分解成不可約因式乘積的分解式是唯一的。形如 的多項式叫作多項的典型分解式，每一個典型分解式都是唯一確定的。2.5 重因式定義 的多項式的導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)指的是的多項式 一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作的二階導(dǎo)數(shù)，記作，的導(dǎo)數(shù)叫作的三階導(dǎo)數(shù)，記作，等等。的k階導(dǎo)數(shù)也記作。 關(guān)于和與積的導(dǎo)數(shù)公式仍然成立：（1） （2） （3） 定理 設(shè)是多項式的一個重因式。那么是的導(dǎo)數(shù)的

9、一個k-1重因式。定理 多項式?jīng)]有重因式的充要條件是與它的導(dǎo)數(shù)互素。2.6 多項式函數(shù) 多項式的根 設(shè)給定了1R的一個多項式和一個數(shù)cR,那么在的表示式里，把用c來代替，就得到R的一個數(shù)這個數(shù)叫作當(dāng)時，的值，并且用來表示。對于R上的每一個數(shù)c，就有R中唯一確定的數(shù)與它對應(yīng)。就得到R與R的一個影射。這個影射是由多項式所確定的，叫作R上的一個多項式函數(shù)。定理 設(shè)，用除所得的余式等于當(dāng)時的值定義 令是的一個多項式而c是R中的一個數(shù)，若是當(dāng)時的值，那么c叫作在數(shù)環(huán)R中的一個根。定理 數(shù)c是的根的充要條件是能被整除。定理 設(shè)是中一個次多項式。那么在R中至多有n個不同的根。定理 設(shè)是的兩個多項式，它們的次

10、數(shù)都不大于n。若是以R中n+1個或更多不同的數(shù)來代替時，每次所得的值都相等，那么。定理 的兩個多項式相等，當(dāng)且僅當(dāng)她們所定義的R上多項式函數(shù)相等。這個公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。2.7 復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)域上多項式定理 （代數(shù)基本定理） 任何次多項式在復(fù)數(shù)域中至少有一個根。定理 任何次多項式在復(fù)數(shù)域中有n個根（按重根重數(shù)計算）。復(fù)數(shù)域C上任一次多項式可以在里分解為一次因式的乘積。負(fù)數(shù)域上任一次大于1的多項式都是可約的。定理 若實(shí)數(shù)多項式有一個非實(shí)的復(fù)數(shù)根，那么的共軛數(shù)也是的根，并且有同一重數(shù)。換句話說，實(shí)系數(shù)多項式的非實(shí)的非實(shí)的復(fù)數(shù)根兩兩成對。定理 實(shí)數(shù)域上不可約多項式，除一次多項式

11、外，只含非實(shí)共軛復(fù)數(shù)根的二次多項式。定理 每一個次數(shù)大于0的實(shí)系數(shù)多項式都可以分解為實(shí)系數(shù)的一次和二次不可約因式的乘積。2.8 有理數(shù)域上多項式 令是整數(shù)環(huán)Z上的一個次多項式。如果存在，它們的次數(shù)都小于n，使得， （1）那么自然可以看成有理數(shù)域Q上的多項式。等式（1）表明，在中是可約的。定義 若是一個整系數(shù)多項式的系數(shù)互素，那么叫作一個原本多項式。引理 兩個原本多項式的乘積仍然是一個原本多項式。定理 若是一個整系數(shù)次多項式在有理數(shù)域上可約，那么總可以分解成次數(shù)都小于n的兩個整系數(shù)多項式的乘積。定理 （艾森斯坦（Eisenstein）判別法）設(shè)是一個整系數(shù)多項式。若是能夠找到一個素數(shù)p，使得（i

12、）最高次項系數(shù)不能被p整除；（ii）其余各項都能被p整除；（iii）常數(shù)項不能被整除，那么多項式在有理數(shù)域上不可約。有理數(shù)域上任意次的不可約多項式都存在。定理 設(shè)是一個整系數(shù)多項式。若是有理數(shù)是 的一個根，這里和是互素的整數(shù)，那么 （i）整除的最高次項系數(shù)，而整除的常數(shù)項； （ii），這里是一個整系數(shù)多項式。2.9 多元多項式在這一節(jié)里，R總表示一個數(shù)環(huán)，且令是n個文字，形如的表示式。其中是非負(fù)整數(shù)，叫作R上的一個單項式。數(shù)a叫作這個單項式的系數(shù)，如果某一，那么可以不寫，約定。因此，個文字的單項式總可以看成n個文字的單項式。特別，當(dāng)時，我們有。形式表達(dá)式，是非負(fù)整數(shù)，叫作R上n個文字的一個多項

13、式，或簡稱R上一個n元多項式。 我們通常用符號，等來表示R上n個文字的多項式。定理 數(shù)環(huán)R上的兩個n元多項式與的乘積是首項等于這兩個多項式首項的乘積。特別，兩個非零多項式的乘積也不等于零。定理 數(shù)環(huán)R上兩個不等于零的n元多項式的乘積的次數(shù)等于這兩個多項式次數(shù)的和。定理 設(shè)是數(shù)環(huán)R上的一個n元多項式，如果對于任意都有，那么推論 設(shè)與是數(shù)環(huán)R上n元多項式，如果對于任意都有，那么換句話說，如果由與確定的多項式函數(shù)相等，那么這兩個多項式相等。2.10 對稱多項式定義1 設(shè)是數(shù)環(huán)R上的一個n元多項式，如果對于這n個文字的指標(biāo)集施行任意一個置換后，都不改變，那么就稱是R上一個n元對稱多項式。定義2 （1）

14、，這里表示 中k個所作的一切可能乘積的和，這樣的n個多項式顯然都是n元對稱多項式。我們稱這n個多項式為n元對等對稱多項式。引理 設(shè)是數(shù)環(huán)R上一個n元對稱多項式，以代替，得到關(guān)于的一個多項式。如果，那么一切系數(shù)，即定理 數(shù)環(huán)R上一n元對稱多項式都可以表示成初等對稱多項式的系數(shù)在R中的多項式，并且這種表示法是唯一的。推論 設(shè)是數(shù)域F上的一個一元n次多項式，它的最高次項系數(shù)是1。令是是復(fù)數(shù)域內(nèi)的全部根（按重根重數(shù)計算）。那么的每一個系數(shù)取自F的對稱多項式都是的系數(shù)的多項式（它的系數(shù)在F內(nèi)）因而是F的一個數(shù)。第三章 行列式3.2 排列定義1 n個數(shù)碼1，2，n的一個排列指的是由這n個數(shù)碼組成的一個有序

15、組，叫做數(shù)碼的排列。定義2 一般的在一個排列里，如果某一個較大的數(shù)碼排在一個較小的數(shù)碼前面，就說這兩個數(shù)碼構(gòu)成一個反序，在一個排列里出現(xiàn)的反序總數(shù)的總和叫做這個排列的反序數(shù)（逆序數(shù)）。一個排列的逆序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)，有偶數(shù)個逆序數(shù)的排列叫作一個偶排列；有奇數(shù)個逆序數(shù)的排列叫作一個奇排列。定義3 如果把這個排列里任意兩個數(shù)碼交換一下，而其余的數(shù)碼保持不動，那么就得到一個新的排列，對于排列所施行的這樣一個變換叫作一個對換，并且用符號來表示。定理 設(shè)和是n個數(shù)碼的任意兩個排列，那么 總可以通過一系列對換由得出。定理 每一個對換都改變排列的奇偶性。定理 時，n個數(shù)碼的奇排列與偶排列的個數(shù)相等，

16、各為個。3.3 n階行列式我們用符號來表示排列的逆序數(shù)。定義1 用符號表示的n階行列式指的是項的代數(shù)和，這些項是一切可能取自的不同的行與不同的列上的n個元素的 乘積。項的符號為，也就是說，當(dāng)是偶排列時，這一項的符號為正，當(dāng)是奇排列時，這一項的符號為負(fù)。定義2 n階行列式如果把D的行變?yōu)榱校偷玫揭粋€新的行列式叫作D的轉(zhuǎn)置行列式。引理 從n階行列式的第行和列取出的元素作積，這里和都是1，2，n這n個數(shù)碼的排列，那么這一項在行列式中的符號是命題 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。命題 交換一個行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號。推論 如果一個行列式有兩行（列）完全相同，那么這個行列式等于零。命題 把

17、一個行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一個數(shù)k，等于以數(shù)k乘以這個行列式。推論 一個行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符號外邊。推論 如果一個行列式中有一行（列）的元素全是零，那么這個行列式等于零。推論 如果一個行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，那么這個行列式等于零。命題 設(shè)行列式D的第i行的所有元素都可以表示成兩項的和：那么D等于兩個行列式的和，其中的第i行的元素是，的第i行元素是，而的其他各行都和D的一樣。命題 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上，行列式不變。3.4 子式和代數(shù)余子式行列式的依行列展開定義1 在一個n階行列式D中任意

18、取定k行和k列。位于這些行列式的相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫作行列式D的一個k階子式。定義2 階行列式的某一元素的余子式指的是在D中劃去所在的行和列后所余下的階子式。定義3 n階行列式D的元素的余子式附以符號后,叫作元素的代數(shù)余子式。元素的代數(shù)余子式用符號來表示：。定理 若在一個n階行列式中，第行（或第列）的元素除都是零，那么這個行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積： 定理 行列式D等于它任意一行（列）的所有元素與它們對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和。換句話說，行列式有依行或依列展開式：定理 行列式 的某一行(或列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零。換句話說，3.5 克拉默法

19、則設(shè)給定了一個含有n個未知量n個方程的線性方程組利用的系數(shù)可以構(gòu)成一個n階行列式，這個行列式叫作方程組的行列式。定理 （克拉默Cramer）法則)一個含有n個未知量的n個方程的線性方程組當(dāng)它的行列式時，有且僅有一個解，此處的是把行列式的第列的元素?fù)Q以方程組的常數(shù)項而得到的n階行列式。第四章 線性方程組4.1 消元法定義 我們對線性方程組施行這三個初等變換： (i) 交換兩個方程的位置；(ii) 用一個不等于零的數(shù)乘以某個方程；(iii) 用一個數(shù)乘以某個方程后加到另一個方程；叫作線性方程組的初等變換。定理 初等變換把一個線性方程組變?yōu)榕c它同解的線性方程組。定義1 由個數(shù)排成的一個s行和t列的表

20、 叫作一個s行t列（或）矩陣。叫作這個矩陣的元素。定義2 矩陣的行（或列）初等變換指的是對一個矩陣施行的下列變換： （i）交換矩陣的兩行（或列）；（ii）用一個不等于零的數(shù)乘以矩陣的某一行（列），即用一個不等于零的數(shù)乘以矩陣的某一行（列）的每一個元素；（iii）用某一個數(shù)乘以矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘以矩陣的某一行（列）的每一個元素后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上。定理 設(shè)A是一個m行n列的矩陣：通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式： 進(jìn)而化為以下形式： 這里表示矩陣的元素，但不同的位置上*的表示的元素未必相同。4.2 矩陣的秩 線性方程組可解的判別法定義1

21、 在一個s行t列的矩陣中，任意取k行k列。位于這些行列式的交點(diǎn)處的元素（不改變元素的相對位置）所構(gòu)成的k階行列式叫作這個矩陣的一個k階子式。定義2 一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個矩陣的秩。若一個矩陣沒有不等于領(lǐng)的子式，就認(rèn)為這個矩陣的秩是；零。定理 初等變換不改變矩鎮(zhèn)的秩。定理 （線性方程組可解的判別法）線性方程組有解的充要條件是：它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。定理 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩r，那么r等于方程組所含有未知量的個數(shù)n時，方程組有唯一解；當(dāng)時，方程組有無窮多個解。4.3 線性方程組的公解定理 設(shè)方程組有解，它的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣共同秩是。那么可以

22、在的m個方程中選出r個方程，使得剩下的個方程中的每一個都是這r個方程的結(jié)果，因而解方程組可以歸結(jié)為解這r個方程所組成的線性方程組。定義3 若是一個線性方程組的常數(shù)項等于零，那么這個方程組叫作一個齊次線性方程組。定理 一個齊次線性方程組有非零解的充要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個數(shù)n。推論 含有n個未知量的n個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是：方程組的系數(shù)行列式等于零。 若在一個齊次線性方程組中，方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù)n，那么這個方程組一定有非零解。4.4 結(jié)式和判別式定理 如果多項式 ， 有公共根，或者，那么它們的結(jié)式等于零。定理 設(shè)是復(fù)數(shù)域C上多項式。是它們的結(jié)式

23、。（i）如果，而是的全部根，那么 （ii）如果，而是的全部根，那么。 定理 如果多項式的結(jié)式等于零，那么或者它們的最高次項系數(shù)都等于零，或者這兩個多項式有公共根。第五章 矩陣5.1 矩陣的運(yùn)算定義 令F是一個數(shù)域。用F的元素作成的一個m行n列的矩陣 叫作一個F上的矩陣。A也簡記作，為了指明A的行數(shù)和列數(shù)，有時也把它記作。定義1 數(shù)域F上的一個矩陣的乘積aA指的是矩陣。求數(shù)與矩陣 的乘積的運(yùn)算叫作數(shù)與矩陣的乘法。定義2 兩個矩陣，的和A+B指的是矩陣。求兩個矩 陣的和的運(yùn)算叫作矩陣的加法。注意：我們只能把行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個矩陣相加。以上兩種運(yùn)算的一個重要的特例是 數(shù)列的運(yùn)算我們把由F的n個

24、數(shù)所組成的數(shù)列叫作F上的一個n元數(shù)列。這樣的一個n元素列可以理解為一個一行n列矩陣，也可以理解為一個n行一列矩陣，這樣，作為以上定義的矩陣運(yùn)算的特例，就得到F的數(shù)與n元數(shù)列的乘法以及兩個n元數(shù)列的加法：，由定義1和定義2，得出以下運(yùn)算規(guī)律：A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);0+A=A;A+(-)A=0a(A+B)= aA+Bb；(a+b)A= aA+Ab;A(Ba)=(ab)A;這里A，B，和C表示任意矩陣，而a和b表示F中的任意數(shù)。利用負(fù)矩陣我們定義矩陣的減法： A-B=A+（-B），于是有 。定義3 數(shù)域F上的矩陣與矩陣的乘積AB指的是這樣的一個矩陣，這個矩陣的第行和第列的元

25、素等于A的第行的元素與B的第列的對應(yīng)元素的乘積的和：這個乘法可以圖示如下： = 矩陣乘法滿足結(jié)合律： （AB）C=A（BC）定義 我們把主對角線（從左上腳到右下腳的對角線）上元素都是1，而其他元素都是0的n階方陣叫作n階單位矩陣，記作，有時簡記作。有以下性質(zhì)： 矩陣的乘法和加法滿足分配律： ，。矩陣的乘法和數(shù)與矩陣的乘法顯然滿足以下運(yùn)算規(guī)律： 。定義4 設(shè)矩陣 把A的行變?yōu)榱兴玫降木仃?叫作矩陣A的轉(zhuǎn)置。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下規(guī)律：5.2 可逆矩陣 矩陣乘積的行列式定義 令A(yù)是數(shù)域F上的一個n階矩陣，若是存在F上的一個n階矩陣B，使得，那么叫作一個可逆矩陣（或非奇異矩陣），而B叫作A的逆矩陣。定義 我們把以下三種矩陣叫作初等矩陣：初等矩陣都是可逆的，并且它們的逆矩仍然是初等矩陣。引理 設(shè)對矩陣A施行一個初等變換后，得到矩陣，那么A可逆的充